ESTABILIDAD 1 EVALUACIÓN ESPECIAL TEORÍAS DE ROTURA

Transcripción

1 EVALUACIÓN ESPECIAL TEORÍAS DE ROTURA Titular Cátedra: Ing. Pedro P. Oelsner. J.T.P.: Ing. Enrique Rivas. Alumno: Ricardo E. Naciff. Curso: 2º 19º Fecha:

2 ÍNDICE: ESTABILIDAD 1 INTRODUCCIÓN: 3 GENERALIDADES: 3 CONCEPTO DE ROTURA: 3 CONCEPTO DE COEFICIENTE DE SEGURIDAD: 4 EJERCICIO: 5 TEMA: 5 PROBLEMA: 5 RESOLUCIÓN: 6 1.TEORÍA DE LA MÁXIMA TENSIÓN PRINCIPAL: 6 2.TEORÍA DE LA MÁXIMA DEFORMACIÓN ESPECIFICA PRINCIPAL: 7 3.HIPÓTESIS DE LA MÁXIMA TENSIÓN TANGENCIAL: 9 4.TEORÍA DE LA ENERGÍA TOTAL DE DEFORMACIÓN POR UNIDAD DE VOLUMEN: 10 5.TEORÍA DEL MÁXIMO TRABAJO DE DISTORSIÓN POR UNIDAD DE VOLUMEN: 11 6.TEORÍA DE LA MÁXIMA TENSIÓN TANGENCIAL OCTAÉDRICA: 12 7.TEORÍA DE MOHR: 13 COMPARACIÓN ENTRE TEORÍAS: 15 COMPARACIÓN ANALÍTICA: 15 COMPARACIÓN GRÁFICA: 17 OTRAS APLICACIONES: 18 APLICACIÓN A UN PUNTO DE UNA VIGA: 18 APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE MOHR: 22 BIBLIOGRAFÍA: 23 - Evaluación Especial - 2

3 INTRODUCCIÓN: ESTABILIDAD 1 GENERALIDADES: Cuales son las causas que condicionan el comienzo de la fluencia y la rotura en un material? 1. Ésta es la pregunta a responder, que fue formulada por Otto Mohr en una de sus conocidas obras donde desarrolla su teoría de rotura de los cuerpos, que será vista más adelante. Las teorías con que se pretende justificar la rotura de los cuerpos se basan en distintos conceptos, éstos pueden agruparse en: teorías basadas en tensiones, teorías basadas en deformaciones específicas, teorías basadas en tensiones tangenciales, teorías cuyos fundamento es la energía de deformación, teorías empíricas varias, teorías que se apoyan en la estructura de la materia. No existe una única teoría que justifique cómo y por qué rompen todos los materiales; en rigor, para cada material existe una teoría de rotura propia. No obstante, siempre refiriéndose a materiales isótropos, pueden agruparse en dos grupos: materiales dúctiles y materiales frágiles. CONCEPTO DE ROTURA: Si consideramos para un material dado la curva tensión-deformación, algunos autores consideran que se ha alcanzado la rotura cuando se ha llegado a: el límite de proporcionalidad, el límite de elasticidad, el límite de fluencia, el límite convencional de fluencia, el límite de rotura. Creemos como más correcto decir que un material ha alcanzado la rotura cuando llega a un límite de solicitación tal que las tensiones alcanzan un valor para el cual el material ya no es más utilizable para el fin que se lo destina. En el caso de un material dúctil, la rotura corresponde al límite de fluencia, ya que a partir de este punto comienzan las grandes deformaciones sin aumento de la solicitación (el material fluye). En cambio, para un material frágil prácticamente puede considerarse que la rotura coincide con la rotura física. Englobando ambos conceptos, diremos que un material ha alcanzado el estado de rotura cuando se produce lo que denominamos la rotura estructural, es decir, la estructura del material ya no cumple las condiciones para las que fue proyectado. 1 Welche Umstände bedingen die Elastizitätsgrenzen und den Bruch eines Materials? - Pregunta que da titulo al capitulo V de la obra magistral de Otto Mohr. - Evaluación Especial - 3

4 CONCEPTO DE COEFICIENTE DE SEGURIDAD: ESTABILIDAD 1 Dimensionar una pieza o una estructura significa determinar las dimensiones transversales y longitudinales necesarias para que la pieza o estructura resista las condiciones tensionales a las que se la va a someter. Ya que la pieza va a ser sometida a un estado tensional cualquiera, y para cada material existen valores máximos de tensiones (fluencia o rotura, determinadas en laboratorio por medio de probetas), que al sobrepasarlos se expone a la pieza a una deformación o rotura tal que no cumpla las condiciones para las que fue construida. Estas dos tensiones, la de trabajo y la de fluencia o rotura, se relacionan mediante un coeficiente de seguridad. En cuanto más se aproxime la tensión de trabajo a la de fluencia o rotura (depende si el material es dúctil o frágil) es mayor el riesgo que la pieza corre de romperse, o deformarse lo suficiente como para no cumplir el fin con el que se la construyó. Este coeficiente considera dos factores; uno de ignorancia y el otro de incertidumbre. El primero es debido a fallas o imperfecciones de nuestro conocimiento: falta de exactitud en los procedimientos de cálculo, conocimiento imperfecto de la respuesta de una estructura a un determinado tipo de solicitación, errores numéricos en el cálculo, etc. Este factor se ha reducido considerablemente en los últimos años debido a la aparición de las computadoras y elementos de medición más precisos. Mientras que el factor de incertidumbre se refiere a las variables imposible de determinar con precisión, tales como la evaluación de las cargas actuales, el conocimiento exacto de los materiales utilizados, etc. - Evaluación Especial - 4

5 EJERCICIO: TEMA: Aplicación de las Teorías de Rotura, incluyendo la Teoría de la Máxima Tensión Tangencial Octaédrica o Teoría de Mohr. PROBLEMA: El estado tensional plano de la figura se produce en un punto crítico de una máquina. Como resultado de varios ensayos, se ha determinado que el límite de fluencia a tracción es σ fl = kg/cm² para el tipo de acero utilizado. Se pide: Hallar el factor de seguridad con respecto a la fluencia usando y comparando todas las teorías de rotura. σ x = 800 kg/cm² σ y = 400 kg/cm² σ fl = kg/cm² - Evaluación Especial - 5

6 RESOLUCIÓN: ESTABILIDAD 1 A continuación se determinará el factor de seguridad de la pieza aplicando las principales teorías de rotura, éstas son: 1. TEORÍA DE LA MÁXIMA TENSIÓN PRINCIPAL. 2. TEORÍA DE LA MÁXIMA DEFORMACIÓN ESPECÍFICA. 3. TEORÍA DE LA MÁXIMA TENSIÓN TANGENCIAL. 4. TEORÍA DE LA ENERGÍA TOTAL DE DEFORMACIÓN POR UNIDAD DE VOLUMEN. 5. TEORÍA DE LA MÁXIMA ENERGÍA DE DISTORSIÓN. 6. TEORÍA DE LA TENSIÓN TANGENCIAL OCTAÉDRICA. 7. TEORÍA DE MOHR. 1.TEORÍA DE LA MÁXIMA TENSIÓN PRINCIPAL: Esta teoría fue enunciada por Rankine - Lamé y su enunciado es el siguiente: La deformación anelástica de un punto cualquiera de un sólido solicitado por un estado cualquiera de tensión, comienza sólo cuando la máxima tensión principal en el punto considerado, alcanza un valor igual al de la tensión en el límite de fluencia (en tracción o compresión simples) con total prescindencia de las tensiones, normales o tangenciales, que puedan existir en otros planos. Es decir; la rotura se produce cuando la mayor de las tensiones principales alcanza un valor límite, que puede ser el de fluencia o rotura, obtenido en un ensayo de laboratorio. Esta teoría es satisfactoria para aceros frágiles pero no para aceros dúctiles ya que no tiene en cuenta el efecto de tensiones aplicadas en direcciones transversales a la que se estudia, ni tampoco tiene en cuenta el valor que puede alcanzar τ en los otros planos. σ fl 2500 Kg/cm² n = = = 3,125 σ x 800 Kg/cm² n = 3,125 - Evaluación Especial - 6

7 2.TEORÍA DE LA MÁXIMA DEFORMACIÓN ESPECIFICA PRINCIPAL: Fue enunciada por Saint - Venant y dice: La rotura de un cuerpo sujeto a un determinado estado de tensión ocurre cuando la deformación específica en la dirección de la máxima tensión principal alcanza el valor de la máxima deformación especifica que corresponde a la rotura por tracción simple. Es decir; la acción anelástica en un punto de un cuerpo donde existe un estado tensional cualquiera, comienza SOLAMENTE cuando la máxima deformación unitaria en dicho punto alcanza un valor igual al que existe al iniciarse la acción anelástica en el material sometido a un estado tensional simple, como ocurre en la probeta de ensayo a tracción. Primero debemos determinar el coeficiente de Poisson: E E 2, Kg/cm² G = µ = 1 = 1 0,3 2. (1+µ) 2. G 2. 0, Kg/cm² µ 0,3 E = módulo de elasticidad longitudinal para el acero 2. G = módulo de elasticidad transversal para el acero ε x = (σ x - µ σ y ) = [800 Kg/cm² - 0,3. (-400 Kg/cm²)] E 2, Kg/cm² ε x = 0, ε y = (σ y - µ σ x ) = [(-400 Kg/cm²) - 0, Kg/cm²] E 2, Kg/cm² ε y = - 0, Valor en promedio obtenido de Cuadro I del Libro Propiedades de los Materiales, Autor: Fliess, Capitulo:7, pag.: Valor obtenido del Cuadro II Libro Propiedades de los Materiales, Autor: Fliess, Capitulo: 7, pag.: Evaluación Especial - 7

8 σ x,e = E. ε x = 2, Kg/cm². 0, ESTABILIDAD 1 σ x,e = 919,8 Kg/cm² σ y,e = E. ε y = 2, Kg/cm². 0, σ y,e = 630 Kg/cm² σ fl 2500 Kg/cm² n x = = = 2,71 σ x,e 919,8 Kg/cm² σ fl 2500 Kg/cm² n y = = = 3,96 σ y,e 630 Kg/cm² n = 2,71 Tomaremos el coeficiente de seguridad menor, ya que es en este sentido en el que la pieza rompería primero. - Evaluación Especial - 8

9 3.HIPÓTESIS DE LA MÁXIMA TENSIÓN TANGENCIAL: Denominada teoría de Guest, Mohr o Coulomb y dice: La rotura de un material comienza cuando; en un punto cualquiera de un material sujeto a un estado múltiple de tensiones, la máxima tensión de corte alcanza el valor de la máxima tensión de corte producida en un ensayo de tracción simple. Esto nos dice que la rotura aparece cuando τ toma el valor de la máxima tensión tangencial que se produce en el límite de fluencia producido en el ensayo de tracción simple. Para determinar la tensión tangencial máxima τ que se produce según el estado tensional de la pieza recurrimos al círculo de Mohr: Este valor fue tomado de la gráfica: τ = 600 kg/cm² 1 σ fl Kg/cm² n =. =. = 2,08 2 τ Kg/cm² n = 2,08 - Evaluación Especial - 9

10 4.TEORÍA DE LA ENERGÍA TOTAL DE DEFORMACIÓN POR UNIDAD DE VOLUMEN: Se denomina también Teoría de Beltrami y fue desarrollada por los científicos Haigh - Huber y dice: En un punto cualquiera de un sólido sujeto a un estado dado de tensión el comienzo de la plastificación ocurre cuando la energía total de deformación por unidad de volumen, correspondiente al estado de tensiones dado, es igual a la energía total de deformación unitaria que corresponde a la solicitación por tracción simple, para el límite de fluencia. Esta teoría se aplica a materiales dúctiles. [(σ x ² + σ y ²) - 2. µ. σ y. σ x ] = σ fl n n = 2500 Kg/cm² [(800² Kg²/cm ² Kg²/cm 4 ) ,3. (- 400 Kg/cm²). 800 Kg/cm²] n = 2,51 - Evaluación Especial - 10

11 5.TEORÍA DEL MÁXIMO TRABAJO DE DISTORSIÓN POR UNIDAD DE VOLUMEN: Surgió de los estudios de Huber, von Mises y Hencky. Esta teoría dice: En un cuerpo sujeto a un estado cualquiera de tensiones, el comienzo de fluencia en un punto del cuerpo se produce solamente cuando la energía de distorsión por unidad de volumen para dicho estado de tensión, alcanza el valor de la energía de distorsión absorbida por unidad de volumen en un punto cualquiera de la pieza solicitada hasta el límite elástico bajo un estado tensional simple producido por un ensayo de tracción (o compresión) simple. 1 σ fl [(σ x - σ y )² + σ x 2 + σ y 2 = 2 n n = 2500 Kg/cm² 0,5. [(800 Kg/cm² Kg/cm²)² + 800² Kg²/cm ² Kg²/cm 4 ] n = 2,36 - Evaluación Especial - 11

12 6.TEORÍA DE LA MÁXIMA TENSIÓN TANGENCIAL OCTAÉDRICA: Esta es una forma distinta de interpretar la teoría del máximo trabajo de distorsión por unidad de volumen. A diferencia de ésta, que basa la rotura en función de la energía de distorsión, la teoría que nos ocupa lo hace por medio de las tensiones tangenciales octaédricas. La expresión de la tensión tangencial octaédrica es: 1 τ oct =. [(σ x - σ y )² + σ y 2 + σ x 2 ] 3 1 τ oct = {[800 Kg/cm² - (-400 Kg/cm²)]² + (-400)² Kg²/cm ² kg²/cm 4 } 3 τ oct = 498,59 Kg/cm² 1 τ oct,fl = 2. σ fl τ oct,fl = ² Kg²/cm 4 3 τ oct,fl = 1178,51 Kg/cm² τ oct,fl 1178,51 Kg/cm² n = = = 2,36 τ oct 498,88 Kg/cm² n = 2,36 - Evaluación Especial - 12

13 7.TEORÍA DE MOHR: ESTABILIDAD 1 Mohr enuncia su teoría de la siguiente manera: Los límites de fluencia y de rotura de un material quedan definidos por las tensiones que se desarrollan en los planos de deslizamiento y fractura. Esta teoría es más general que las otras, ya que se puede aplicar en materiales dúctiles y frágiles, aunque responde mejor a los últimos. 4 Supongamos que en el punto de la pieza del ejercicio donde se produce el estado tensional límite, tanto de fluencia como de rotura, y sean σ y τ las componentes de tensión en el plano en que se producen, inmediatamente antes de que éstas ocurran. Si σ permanece constante, es evidente que para sobrepasar el estado límite, es necesario aumentar τ. Teniendo esto último en cuenta, Mohr amplió su teoría: La tensión tangencial en el plano de fractura o escurrimiento alcanza para el estado límite un valor máximo, que es función de la correspondiente tensión normal y las caracteristicas del material. La fractura o escurrimiento se produce para una serie de valores (σ,τ), si graficamos los círculos de Mohr de cada uno de estos valores (σ,τ) obtendremos una familia de circunferencias; la envolvente de ésta se llama curva de resistencia intrínseca o envolvente de Mohr. La teoría de Mohr puede resumirse como sigue: Conocida la envolvente de Mohr para un material, un estado dado de tensiones será determinante de la fluencia o rotura si la correspondiente circunferencia de Mohr corta o es tangente a la primera. Si es interior a la envolvente de Mohr no existe peligro de colapso del material y el coeficiente de seguridad será tanto mayor cuanto más alejada de ésta se encuentre. Envolvente de 4 También se utiliza en Mecánica de Suelos para el estudio de la capacidad portante de los mismos. - Véase OTRAS APLICACIONES, pag.: Evaluación Especial - 13

14 En el caso de un material dúctil, como el acero, donde: σ fl,t = σ fl,c de acuerdo con lo visto, la envolvente de Mohr resulta ser un par de rectas paralelas al eje de las σ. τ fl = Tensión tangencial correspondiente al σ fl. τ fl = σ fl 2 σ fl 2500 Kg/cm² n = = = 2,08 2. τ Kg/cm² n = 2,08 - Evaluación Especial - 14

15 COMPARACIÓN ENTRE TEORÍAS: ESTABILIDAD 1 La tabla muestra los resultados obtenidos para el ejercicio mediante las distintas teorías, en qué materiales se aplican dichas teorías y en qué basan su definición de rotura. Teoría Se basa en: Materiales n DE LA MÁXIMA TENSIÓN PRINCIPAL Lame-Rankine σ max Frágiles 3,125 DE LA MÁXIMA DEFORMACIÓN ESPECÍFICA Saint-Venant ε max Frágiles 2,71 DE LA MÁXIMA TENSIÓN TANGENCIAL Coulomb-Mohr-Guest τ max Dúctiles 2,08 DE LA MÁXIMA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Beltrami-Haighy Huber U def Dúctiles 2,51 DEL MÁXIMO TRABAJO DE DISTORSIÓN Huber-von Mises y Hencky U dist Dúctiles 2,36 DE LA MÁXIMA TENSIÓN TANGENCIAL OCTAÉDRICA Huber-Hencky-von Mises τ max,oct Dúctiles 2,36 DE MOHR Mohr τ Todos 5 2,08 Para establecer cuál es el coeficiente de seguridad determinante para nuestro ejercicio necesitaríamos saber si el acero utilizado es del tipo frágil o dúctil. Suponiendo que es dúctil, como para la mayoría de los aceros, el coeficiente de seguridad decisivo para el punto crítico de la máquina, es el menor de los obtenidos con las teorías aplicables a materiales dúctiles; es decir 2,08. COMPARACIÓN ANALÍTICA: Como veremos más adelante, la relación entre σ x /σ fl y σ y /σ fl varían para cada teoría. Partiendo de la base de que el material tiene el mismo punto de fluencia a tracción y a compresión, las condiciones de fluencia que establecen las distintas teorías son: τ = σ fl TEORÍA DE MÁXIMA TENSIÓN PRINCIPAL 5 La Teoría de Mohr puede ser aplicada tanto a materiales dúctiles como frágiles, comportándose mejor para estos últimos. - Evaluación Especial - 15

16 τ = µ σ fl ESTABILIDAD 1 TEORÍA DE LA MÁXIMA DEFORMACIÓN ESPECIFICA PRINCIPAL τ = 1 2 σ fl HIPÓTESIS DE LA MÁXIMA TENSIÓN TANGENCIAL τ = σ fl 2. (1 + µ ) TEORÍA DE LA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN E 1 + µ τ ² = σ fl µ 3. E TEORÍA DEL MÁXIMO TRABAJO DE DISTORSIÓN La TEORÍA DE LA MÁXIMA TENSIÓN TANGENCIAL OCTAÉDRICA conduce al mismo resultado que ésta última, por ese motivo no la veremos en detalle. 1 τ =. σ fl 2 TEORÍA DE MOHR Para el caso del ejercicio, tenemos un coeficiente de Poisson de µ = 0,3, la relación entre las tensiones tangenciales y las normales será: Teoría DE LA MÁXIMA TENSIÓN PRINCIPAL Lame-Rankine DE LA MÁXIMA DEFORMACIÓN ESPECIFICA Saint-Venant DE LA MÁXIMA TENSIÓN TANGENCIAL Coulomb-Mohr-Guest DE LA MÁXIMA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Beltrami-Haighy Huber DEL MÁXIMO TRABAJO DE DISTORCIÓN Huber-von Mises y Hencky DE LA MÁXIMA TENSIÓN TANGENCIAL OCTAÉDRICA Huber-Hencky-von Mises DE MOHR Mohr Relacion entre τ fl y σ fl τ fl = σ fl τ fl = 0,77 σ fl τ fl = 0,50 σ fl τ fl = 0,62 σ fl τ fl = 0,577 σ fl τ fl = 0,577 σ fl τ fl = 0,50 σ fl - Evaluación Especial - 16

17 COMPARACIÓN GRÁFICA: ESTABILIDAD 1 Para visualizar mejor la diferencia entre teorías se ha realizado la siguiente gráfica 6 de la relación entre σ x /σ fl y σ y /σ fl, con excepción de la teoría de Mohr. En la misma gráfica se han agregado los valores de los ensayos efectuados por Ros y Eichinger, Lode, Cook y Robertson, y Taylor y Quinney, con distintos materiales. 6 Según trabajos de Westergaard. - Evaluación Especial - 17

18 OTRAS APLICACIONES: APLICACIÓN A UN PUNTO DE UNA VIGA: Determinación de las tensiones principales en un punto de una viga. Efectuaremos la determinación indicada para el caso de la viga de la figura siguiente, en el punto x = 120 cm, y = 5 cm, para un acero St 37 (σ fl = 2400 kg/cm²). CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS: 9,8 cm. 1,22³ cm³ 19,56³ cm³. 0,81cm I x = ,8 cm. 1,22 cm. 10,39² cm² Evaluación Especial - 18

19 I x = 3089 cm 4 S x = 9,8 cm. 1,22 cm. 10,39 cm + 0,81 cm. 4,78 cm. 7,39 cm S x = 152,83 cm³ CÁLCULO DE TENSIONES: M 2,88 tm 1000 kg. 100 cm σ =. y =. (- 5 cm). I x 3089 cm 4 1 t. 1 m σ = Kg/cm² Kg/cm² El signo negativo se debe a que la viga, en ese punto, está comprimida. Q. S x 1,8 t. 152,83 cm³ Kg τ = = I x. b 3089 cm 4. 0,81 cm. 1 t τ = 109,94 Kg/cm² 110 Kg/cm² CONSTRUCCIÓN DEL CIRCULO DE MOHR: σ x σ x 2 σ max,min = ± + τ x Kg/cm² (-470² Kg²/cm 4 ) σ max,min = ± + 110² Kg²/cm Evaluación Especial - 19

20 σx ESTABILIDAD 1 σ max = 24,47 Kg/cm² 25 Kg/cm² σ min = - 494,47 Kg/cm² Kg/cm² Kg/cm² tng 2α 0 = - = 0, Kg/cm² α 0 = 12º 38` τ Circulo de Mohr σm á x α0 +90º σ τx σm in Esc.: 75 Kg/cm² cm - Evaluación Especial - 20

21 VERIFICACIÓN POR TEORÍA DEL TRABAJO DE DISTORSIÓN POR UNIDAD DE VOLUMEN: 1 σ fl [(σ min - σ max ) 2 + σ max 2 + σ min 2 = 2 n n = 2400 Kg/cm² 0.5. [(- 495 Kg/cm² - 25 Kg/cm²)² + 25² Kg²/cm ² Kg²/cm 4 ] n = 4,72 VERIFICACIÓN POR LA TEORÍA DE DEFORMACIÓN POR UNIDAD DE VOLUMEN: Adoptamos para el caso del acero St 37 un coeficiente de Poisson de µ = 0,3. [(σ min ² + σ max ²) - 2. µ. σ max. σ min ] = σ fl n n = 2400 Kg/cm² [(- 495² Kg²/cm ² Kg²/cm 4 ) ,3. 25 Kg/cm². (- 495Kg/cm²)] n = 4,77 - Evaluación Especial - 21

22 APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE MOHR: La siguiente es una aplicación de la teoría de Mohr a los suelos sometidos a esfuerzos cortantes producidos por distintos esfuerzos principales. Se han utilizado resultados obtenidos en prácticas de la Cátedra Mecánica de Suelos y Fundaciones, curso de la Facultad de Ingeniería de la U.N.C. Mediante el ensayo de compresión triaxial de tres probetas cilíndricas de suelo, se obtuvieron los tres círculos de Mohr para las tensiones de rotura de dichas probetas y con ello, la curva de resistencia intrínseca de ese suelo. Recordamos que los ensayos se realizan con las probetas sumergidas en agua a presión (aislados por látex), lo que nos da una presión radial constante durante el ensayo, que hemos llamado σ 3 ; la otra presión, según el eje del cilindro, se aplica con el émbolo de la prensa hasta la rotura, denominada σ 1. σ 3 σ 1 Probeta 1 0,0056 Kg/mm² 0,0247 Kg/mm² Probeta 2 0,0106 Kg/mm² 0,0337 Kg/mm² Probeta 3 0,0239 Kg/mm² 0,0586 Kg/mm² - Evaluación Especial - 22

23 BIBLIOGRAFÍA: Curso Medio de Resistencia de Materiales - VII Edición Autor: Ing. Enrique Panseri. Estabilidad Segundo Curso - I Edición Autor: Ing. Enrique Fliess. Resistencia de Materiales Segundo Curso - II Edición Autor: S. Timoshenko. Teorías de Rotura - Cátedra de Estabilidad II-Resistencia de Materiales - Facultad de Ingeniería Electromecánica - F.R.M.-U.T.N Profesor Titular: Ing. Pedro P. Oelsner. Apuntes de clase de la Cátedra de Estabilidad I - Facultad de Ingeniería Electromecánica - F.R.M.-U.T.N Profesor Titular: Ing. Pedro P. Oelsner. Recopilación de Tablas - Cátedra Estabilidad II-Resistencia de Materiales - Facultad de Ingeniería U.N.C Profesor Titular: Ing. Ángel Videla. - Evaluación Especial - 23