SOLUCIONES. LÓGICA 1: CUESTIONES TIPO TEST (3 ptos)

Transcripción

1 Ingenierías Informáticas-UA Curso SOLUCIONES Examen de la convocatoria de febrero 2009 LEE: para poder aprobar es necesario que en cada parte del examen (lógica, 1, 2 y 3) se obtenga al menos la cuarta parte de la puntuación de cada una de ellas. LÓGICA 1: CUESTIONES TIPO TEST (3 ptos) 1. La Forma Normal de Skolem de la fbf: xp(x) xq(x) xr(f(a),x), es: a) xp(x) Q(b) R(f(a),a) b) xp(x) Q(g(x)) R(f(a),a) c) x P(x) zq(z) yr(f(a),y) d) P(c) Q(b) R(f(a),d) 1º) Normalizar la fbf x P(x) xq(x) xr(f(a),x) NU 2º) Normalizar variables x P(x) yq(y) zr(f(a),z) 3º) Eliminar existenciales: en este caso, ninguno de los 3 se encuentra dentro del ámbito de un cuantificador universal, por lo que se sustituyen las variables por constantes de Skolem (una constante diferente para cada variable) P(c) Q(b) R(f(a),d) 2. Se sabe que Para que una función sea derivable es necesario que sea continua. Con esto, si demuestras la derivabilidad de una función puedes asegurar que la misma es continua, pero si demuestras que la función no es derivable qué puedes asegurar? a) Que al no ser la función derivable entonces no es continua b) Que no puedo asegurar si es continua o no hasta que no lo demuestre c) Que aparece una contradicción en la información porque por un lado me aseguran que es derivable y por otro que no lo es d) La función no es continua aunque no sea derivable Marco conceptual: Una función es derivable: der; Una función es continua: con Formalización: P1: der con P2: der Rept a) es errónea puesto que si Q= con podemos encontrar un contraejemplo al argumento P1,P2=>Q - sería la interpretación {con=v, der=f} - Rept b) es correcta. Si tenemos una implicación cierta y el antecedente es F, no podemos asegurar nada sobre el consecuente hasta que no lo demostremos. Rept c) es errónea puesto que no me están asegurando que sea derivable, todo lo contrario. Rept d) es errónea puesto que en ese caso Q= con der, y entonces, al igual que en a), podríamos encontrar un contraejemplo al argumento P1,P2=>Q - sería la interpretación {con=v, der=f} - 3. Con el Marco Conceptual: Es(x,y): x estudia y; In(x): x es inteligente; Si(x): x es simpático; Lógica:lo; Álgebra:al; La formalización de la sentencia: Sólo los que estudian Lógica pero no Álgebra son inteligentes aunque no simpáticos es: a) x [Es(x,lo) Es(x,al) In(x) Si(x)] b) x [In(x) Si(x) Es(x,lo) Es(x,al)] c) x [In(x) Si(x) Es(x,lo) Es(x,al)]

2 d) x [In(x) Si(x) Es(x,lo) Es(x,al)] Solución del Examen de Febrero 4. Dadas las fbfs P1: x [Al(x,lo) Al(x,ca) Fe(x)]; P2: x [Fe(x) Op(x)]; P3: x Op(x) Cuál de las siguientes fbf podemos deducir de ellas? a) x [ Op(x) Al(x,lo) Al(x,ca)] b) x Op(x) c) x [Fe(x) Op(x)] d) Ninguna de las anteriores -1 x [Al(x,lo) Al(x,ca) Fe(x)] -2 x [Fe(x) Op(x)] -3 x Op(x) 4 Op(a) Sup. 5 Fe(a) Op(a) EU 2 6 Fe(a) MT 4,5 7 Al(a,lo) Al(a,ca) Fe(a) EU 1 8 (Al(a,lo) Al(a,ca)) MT 6,7 9 Al(a,lo) Al(a,ca) DM 8 10 Op(a) Al(a,lo) Al(a,ca) TD x [ Op(x) Al(x,lo) Al(x,ca)] IU Dadas las premisas P1: x [Op(x) Al(x,ca) Fe(x)]; P2: x [Bo(x) Op(x)] Cuál de las siguientes fbf podemos deducir de ellas? a) x [Bo(x) Op(x)] b) Fe(a) Bo(a) c) x Op(x) d) x [Fe(x) Bo(x)] -1 x [Op(x) Al(x,ca) Fe(x)] -2 x [Bo(x) Op(x)] 3 Bo(a) Op(a) Sup. 4 Op(a) EC 3 5 Op(a) Al(a,ca) Fe(a) EU 1 6 Op(a) Al(a,ca) ID 4 7 Fe(a) MP 5,6 8 Bo(a) EC 3 9 Fe(a) Bo(a) IC 7,8 10 x [Fe(x) Bo(x)] IE 9 11 x [Fe(x) Bo(x)] EE 2, Dadas las premisas P1: x [(Al(x,lo) Al(x,ca)) Fe(x)]; P2: x [Fe(x) Op(x)] Cuál de las siguientes fbf podemos deducir de ellas? a) x Al(x,lo) b) x [(Al(x,lo) Al(x,ca)) Op(x)] c) Fe(a) Op(a) 2

3 d) x Fe(x) -1 x [(Al(x,lo) Al(x,ca)) Fe(x)] -2 x [Fe(x) Op(x)] 3 Fe(a) Op(a) Sup. 4 Fe(a) EC 3 5 x Fe(x) IE 4 6 x Fe(x) EE 2, 3-5 LÓGICA 2: FORMALIZACIÓN E INTERPRETACIÓN DE SENTENCIAS (3 ptos) S1: Para que Pacman se coma o triture los cocos es necesario que se mueva por el mapa M. Conceptual Pacman se come los cocos: cm Pacman tritura los cocos: tr Pacman se mueve por el mapa: mp Fbf-S1 cm tr mp S2: Para que pacman no gane la partida y caiga en el letargo es suficiente con que le fulminen los enemigos peligrosos o no se suba en el virtu-transportador. Marco C. Fbf-S2 Pacman gana la partida: ga Pacman cae en el letargo: le A Pacman le fulminan los enemigos peligrosos: fu; Pacman se sube en el virtud-transportador: vt fu vt ga le S3: A menos que Pacman gane la partida o no caiga en el letargo, no se mueve por el mapa. Fbf-S3 mp ga le S4: O Pacman no se mueve por el mapa o no gana la partida. Fbf-S4 mp ga S5: Pacman no tritura los cocos y no gana la partida. Fbf-S5 tr ga 3

4 Preguntas sobre interpretación de sentencias Preg-1.- Bajo la interpretación I = {es cierto que Pacman se mueve por el mapa} cómo se interpreta la sentencia S1? a) Verdadera y satisfacible b) No se sabe c) Satisfacible y tautología d) Modelo y verdadera Rept a) es correcta puesto que según la formalización de S1: cm tr mp al ser cierto el consecuente la fbf es verdadera y tb satisfacible. Rept b) es errónea. Si has formalizado mal y has cambiado el antecedente por el consecuente ésta será tu respuesta correcta. Rept c) es errónea puesto que aunque es cierto que la fbf es satisfacible al ser verdadera, sin embargo bajo una interpretación no se puede clasificar semántica/ una fbf como tautología. Rept d) es errónea puesto que Modelo clasifica a una interpretación no a una fbf. Preg-2.- Cómo se puede clasificar semánticamente la fbf S3 para todas sus interpretaciones? a) Como tautología, contradicción o contingencia b) Como verdadera o falsa c) Como Satisfacible y por lo tanto será un modelo o Insatisfacible y por lo tanto será un contramodelo de S3 d) Como modelo o como contramodelo Rept a) es correcta puesto que una fbf molecular se interpreta o bien como tautología, como contradicción o como contingente. Rept b) es errónea puesto que Modelo y Contramodelo clasifican a una interpretación no a una fbf. Rept c) es errónea puesto que decir que satisfacible implica modelo relaciona conceptos diferentes, satisfacible clasifica a fbf y modelo a interpretaciones. Rept d) es errónea puesto que verdadera o falsa es la forma en que se interpreta una fbf para una interpretación. Preg-3.- La expresión, S2 es suficiente, pero no necesario, para que se dé S1 se interpreta como: a) Falsa si es cierto S1 pero no S2 b) Verdadera si no sucede que no es cierto S1 ni S2 c) Insatisfacible si es cierto S2 y no lo es S1 d) Verdadera si no sucede que si es cierto S1 sea cierto S2 La expresión se formalizaría como (S2 S1) (S1 S2) Rept a) es errónea puesto que si S1=V y S2=F la expresión se interpretaría como (F V) (V F) = V V = V 4

5 Rept b) es errónea puesto que en ese caso ( S1 S2) = S1 S2 y así, no siempre es verdadera, pues si S1=F y S2=V la expresión se interpretaría como (V F) (F V) = F F = F Rept c) es errónea puesto que decir que no se puede decir que una fbf sea insatisfacible con respecto a una sola interpretación. Rept d) es correcta puesto que en ese caso (S1 S2) = ( S1 S2) = S1 S2 - igual que en a), S1=V y S2=F - por lo que la expresión se interpretaría como (F V) (V F) = V V = V Preg-4.- Estudia y clasifica semánticamente el conjunto de fbf C = {S1, S2, S3, S5}. Escribe la interpretación con la que consigues el resultado de su estudio semántico. 1º.- Un conjunto de fbfs se puede interpretar como: satisfacible o insatisfacible. 2º.- Describe cada uno de los conceptos indicados en 1) C es satisfacible si todas sus fbfs son verdaderas bajo la misma interpretación. C es insatisfacible cuando no existe ninguna interpretación que hace sus fbfs verdaderas bajo la misma interpretación 3º.- Describe la forma en que llevarás a cabo dicho estudio Compruebo si C es satisfacible. Para ello supongo que todas las fbfs son verdaderas. mp ga le =V fu vt ga le=v cm tr mp=v tr ga=v 4º.- Clasifica C: 5º.- Escribe la interpretación que demuestra el resultado: satisfacible I={cm=F, tr=f, mp=f, fu=f, vt=f, ga=f, le=v} 5

6 LÓGICA 3: EJERCICIOS SOBRE VALIDEZ DE RAZONAMIENTOS (4 ptos) Ejercicio 1 Demuestra la validez del siguiente razonamiento con el método del contraejemplo: A B, C A, D B C D Para hacer la demostración del problema suponemos la existencia de una interpretación I llamada: contraejemplo. Bajo esta interpretación I las sentencias se clasifican semánticamente (interpretan) como: FBF INTERPRETACIÓN DE CADA FBF BAJO I P1: A B V P2: C A V P3: D B V Q: C D F En el siguiente paso de la demostración debes comprobar la existencia, o no, de I Si C D=F, entonces C=F (C=V) y D=F (D=V); Con estos valores P2 y P3 hacen que A, B=V. Esto se contradice con los valores semánticos de la fbf P1. Luego no se establece el contraejemplo. Existe la interpretación I? SI Escríbela I = { } NO, porque: no se puede sostener que en el razonamiento las premisas se interpreten como verdaderas y la conclusión falsa. Por lo tanto: El razonamiento es correcto SI porque: no existe ninguna interpretación contramodelo NO porque: 6

7 Ejercicio 2 Demuestra con el método del contraejemplo si la sentencia S5 es consecuencia lógica de las sentencias S1, S2 y S3. Sigue los pasos indicados. Sol Paso 1: Escribe las fbfs de cada una de las sentencia que intervienen en el problema a resolver. Fbf-S1: cm tr mp Fbf-S2: Fbf-S3: Fbf-S5: fu vt ga le mp ga le tr ga Paso 2: Plantea la demostración del problema. Para hacer la demostración del problema suponemos la existencia de una interpretación I llamada: contramodelo o contraejemplo. Bajo esta interpretación I las sentencias se clasifican semánticamente (interpretan) como: FBF-SENTENCIAS INTERPRETACIÓN DE CADA FBF BAJO I Fbf-S1: cm tr mp Fbf-S2: fu vt ga le Fbf-S3: mp ga le Fbf-S5: tr ga Verdadera (V) Verdadera (V) Verdadera (V) Falsa (F) Paso 3: Demostración. Debes comprobar la existencia, o no, de I cm tr mp =V fu vt ga le=v mp ga le = V tr ga=f Existe la interpretación I? SI Escríbela I = {cm=f, vt= V, tr=v, mp=v, fu=f, ga=v. le=v} NO, porque: Por lo tanto SI porque: S5 es consecuencia lógica de S1, S2 y S3? NO porque: S5 es falsa cuando las sentencias S1,S2 y S3 son verdaderas, esto contradice el concepto de consecuencia lógica 7

8 Ejercicio 3 Demuestra si el argumento 2: S1, S2, S3 S4 es correcto a partir del estudio semántico de su fbf asociada. Ésta debe validarse mediante el método del Cuadro. Sigue los pasos indicados. Paso 1- Explicación del proceso que llevarás a cabo para resolver el problema. Para validar el argumento procederemos a estudiar la valoración semántica de su fbf asociada. Dicha fbf se obtiene por sucesivas aplicaciones del: teorema de Deducción Paso 2:- Esquema de la fbf asociada al argumento 2. Escribe aquí el esquema de la fbf asociada al argumento 2: S1 (S2 (S3 S4)) Paso 3.- Si el resultado de la valoración semántica de la fbf demuestra que ésta es: una tautología por el: teorema 1 podremos afirmar que el argumento 2 es: correcto. Paso 4.- Valoración semántica de la fbf aplicando el método de Cuadro. Para valorar semántica/ una fbf con dicho método es necesario que la misma está formalizada bajo el esquema (escríbelo): S1 S2 S3 S4 A partir de este esquema escribimos la fbf en: Forma Normal Disyuntiva: Paso 5- Escribe aquí las fbfs correspondientes al argumento 2: Fbf-S1: cm tr mp Fbf-S2: fu vt ga le Fbf-S3: mp ga le Fbf-S4: mp ga Paso 6.- Escribe la Fbf A asociada al Argumento 2 según el esquema del Paso 5: Hay que transformar la fbf a FND: A: (cm tr mp) ( fu vt ga le) (mp ga le) mp FND: (cm mp) (tr mp) (fu vt ga) ( vt ga le) (mp ga le) mp ga Escribe la fbf A que debe ser validada por el m. Cuadro: A- (cm mp) (tr mp) (fu vt ga) ( vt ga le) (mp ga le) mp ga Paso 7.- Aplicación del método del Cuadro. Paso 1: la fbf A no es contradicción porque al menos una conjunción elemental, como - mp que no es contradicción. Paso 2: A- (cm mp) (tr mp) (fu vt ga) ( vt ga le) (mp ga le) mp ga mp =F fbf A: (cm F) (tr F) (fu vt ga) ( vt ga le) (V ga le) F ga = (fu vt ga) ( vt ga le) ( ga le) ga ga =F fbf A: (fu vt V) ( vt V le) (F le) F = (fu vt) ( vt le) 8

9 Descomponemos la fbf A A=A1 A2= [fu ( vt le)] [ vt ( vt le)] Evaluamos la fbf A1= fu ( vt le) fu =F fbf A1: =F ( vt le) = vt le A1 es contingente 8º.Análisis de resultados: Independiente/ del valor semántico de A1 el valor de A es contingente. Luego el argumento S1, S2, S3 S4 no es correcto. 9