ESTUDIO EXPLORATORIO DE LAS PROPIEDADES ASINTÓTICAS DEL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE ASOCIADAS A LA DISTRIBUCIÓN DEL ESTIMADOR

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1 4 27 ESTUDIO EXPLORATORIO DE LAS PROPIEDADES ASINTÓTICAS DEL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE ASOCIADAS A LA DISTRIBUCIÓN DEL ESTIMADOR Danny A. Lenis Vargas Estudiante Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística Universidad del Valle, Colombia. Contacto: danyleni@univalle.edu.co Johann A. Ospina Galíndez Estudiante Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística Universidad del Valle, Colombia. Contacto: joalexos@univalle.edu.co Andrés F. Barrientos Profesor Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística Universidad del Valle, Colombia. Contacto: anfebar@pino.univalle.edu.co Resumen Este estudio ha sido elaborado con base en los análisis y discusiones realizadas al Teorema Central del Límite en el curso Estadística Aplicada I (2007), por parte de los estudiantes de la Universidad del Valle que cursan su sexto semestre de Estadística. El trabajo consistió en analizar bajo distintos escenarios, es decir, diferentes distribuciones, parámetros y tamaños de muestra; el comportamiento teórico que debe lograr la distribución del estimador o promedio muestral X, según lo postulado en el Teorema Central del Límite. El análisis esta basado en un proceso de simulaciones generadas usando el software R 2.4.0, considerando los modelos de probabilidad discretos y continuos más comunes en la literatura estadística y evaluando la normalidad del estimador mediante la prueba de Kolmogorov-Smirnov. Finalmente se logra identificar diferentes factores distintos al tamaño de la muestra que influyen directamente en la distribución de X. Palabras Clave: Simulación, Distribuciones de probabilidad, Parámetros, Normalidad, Teorema Central del Limite, Tamaños de Muestra y Prueba de Kolmogorov-Smirnov. Abstract This study has been done based on the analysis and discussions realized about the Limit Central Theorem in the subject Applicated Statistic I (2007), by the Universidad del Valle s students matriculated in sixth semester of Statistic. Under several scenarios, that is, probability distributions, parameters and sample s sizes, the asymptotic properties of the estimator were analyzed, in accordance with the Limit Central Theorem. The analysis was based on a simulations process generated using the software R 2.4.0, considering the continuous and discrete probability models more common in the statistic literature and testing the estimator s normality using the Kolmogorov-Smirnov test. Finally several factors different to the sample s size were identified, which have direct influence in the distribution of. Keywords: Simulation, Probability s distributions, Parameters, Sample s sizes and Kolmogorov- Smirnov Test.

2 Introducción En el campo de la Estadística particularmente en el inferencial, es de gran utilidad contar con herramientas teóricas y practicas, las cuales permitan asociar a una variable aleatoria una distribución de probabilidad que modele su comportamiento, y de esta forma dar solución a problemas relacionados con estimación, decisión y predicción, de eventos o valores en contextos condicionados por incertidumbre y error. Así mismo conocer la distribución muestral de un estadístico (o función de los valores de una muestra aleatoria) es fundamental, más aun cuando se trata del promedio muestral (), puesto que gran parte de los métodos estadísticos paramétricos (pruebas de hipótesis, estimación, técnicas clásicas del muestreo, modelos lineales, entre otros) se basan en este estimador y han sido construidos bajo el supuesto de normalidad, siendo el Teorema Central del Límite (TCL) el principal argumento teórico que sustenta estos métodos. Formalmente el TCL puede definirse de la siguiente forma (ver Mendenhall, 2002; Devore, 2006 y Peña, 2001): Sea una muestra aleatoria independiente e idénticamente distribuida, donde y, para. Entonces la distribución de converge a una distribución normal conforme, con parámetros y. Nótese que el TCL no esta condicionado a la distribución de probabilidad 1 de la que provienen los datos; lo cual ha ocasionado que algunos investigadores en diferentes situaciones asuman erróneamente la normalidad de. Este importante descubrimiento data próximamente desde 1729 cuando Abraham de Moivre (Pérez, 2007) basado en los hallazgos de Bernoulli (lo que se conoce hoy como la ley de los grandes números) expone una primera versión del teorema para el caso de los eventos sucesivos de Bernoulli, trabajo al que también contribuyo Pierre Simón Laplace con lo que se conoce como el teorema central del límite integral de De Moivre-Laplace. A través de la historia muchos autores han aportado al desarrollo de este teorema como lo fueron, Peter G. Dirichlet, Augustin Cauchy, Denis Poisson, Tshebyshev, Markov y Liapunov. En 1810 el TCL aparece por primera vez en una publicación llamada (Memoire sur les approximations des formules qui sont fonctions de tres grands nombres et sur leer application aux probabilites) (Behar, 1997). En diferentes apartados de la literatura estadística (ver Mendenhall, 2002) el TCL ha sido formulado de manera muy general sin una apropiada profundización respecto a ciertos cuestionamientos, tales como, Cuál es el tamaño de muestra que se considera suficientemente grande para que se logre según el TCL la normalidad en la distribución del estimador? El origen de esta duda emerge de considerar el papel significativo de los tamaños de muestra al momento de validar conclusiones y asumir costos de una investigación. De igual forma resulta razonable asumir que la tasa de convergencia hacia la normalidad podría verse afectada por la distribución de origen y sus respectivos parámetros, es decir, no es lo mismo que los datos provengan de una distribución beta o una binomial y a su vez no es lo mismo que provengan de una binomial con probabilidad de éxito igual a 0.5 o Este artículo es una propuesta metodológica basada en simulación, que pretende profundizar en las propiedades asintóticas del TCL empleando diferentes tamaños de muestra y distribuciones de probabilidad. 2. Aspectos Metodológicos La evolución de la informática y la aplicación estadística ha venido cohesionándose fuertemente, convirtiendo al software en una herramienta imprescindible de la estadística al momento del procesamiento de datos y presentación de resultados, así mismo y gracias a diferentes lenguajes de programación, esta evolución permite en la actualidad realizar extensos análisis estadísticos basados en grandes volúmenes de información. En particular, para la realización de este estudio exploratorio se consideraron diferentes tamaños de muestra y distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas y discretas. El procedimiento empleado para analizar cada una de las distribuciones consideradas dado un valor especifico en los parámetros consistió en generar 1000 (N) muestras de un tamaño especifico (n) y calcular para cada una de ellas el promedio muestral. Con este conjunto de valores (medias) se determino mediante la prueba no parametrica 1 Un requisito poco intuitivo referente a la familia de densidades correspondiente a la distribución muestral del estimador es el relacionado con la completez, es decir, la función de densidad de los datos debe pertenecer a una familia de densidades completa.

3 4 29 Kolmogorov-Smirnov (K-S) (ver Spiegel & Stephen, 2002) si existe a un determinado nivel de confianza (en este caso del 95%) evidencia suficiente para asumir que la distribución del estimador es Normal, es decir, probar la hipótesis nula que los datos se distribuyen normal con parámetros de acuerdo a la distribución de origen, en contraste con la hipótesis alterna donde se plantea que los datos no se distribuyen Normal. En algunos casos especialmente para las distribuciones discretas se consideró un N=100; más adelante se presenta el argumento que conllevo a tomar esta decisión. Para cada distribución de probabilidad y tamaño de muestra se realizaron 100 pruebas siguiendo con lo preliminar, el porcentaje de pruebas no rechazadas será un indicador que permitirá determinar si la distribución del estimador alcanza Normalidad, en otras palabras, si el estimador construido con una distribución, unos parámetros y un tamaño de muestra especifico, se distribuye Normal, entonces se espera que el 95% (nivel de confianza) de las pruebas indiquen normalidad, en caso contrario la distribución del estimador posiblemente no se aproxima de manera significativa a la distribución normal. Para el proceso de simulación, análisis y presentación de resultados se utilizo software libre R Simulación y Análisis Se debe resaltar previamente que estos resultados han sido obtenidos de acuerdo con la metodología propuesta, por tal motivo es necesario considerar que muchos procesos de simulación están condicionados al software, número de simulaciones y pruebas seleccionadas. Por esta razón se deben plantear estudios posteriores que permitan la comparación de diferentes software, número de simulaciones y pruebas; y así considerar la posibilidad de realizar generalizaciones respecto a aspectos específicos del tema de estudio. A continuación se presentan los resultados obtenidos, iniciando con modelos de probabilidad discretos y finalizando con los continuos. 3.1 Distribuciones Discretas En la figura 1 se aprecian porcentajes de no rechazo para la distribución poisson (ver Ross, 2000) con λ=1/2, 2, 8, respectivamente. Se debe recordar que λ es el número de eventos promedio que ocurren en un intervalo de tiempo determinado. En esta figura se evidencia que a medida que el tamaño de muestra aumenta el porcentaje de hipótesis de normalidad no rechazadas se incrementa, y además lo hace rápidamente para valores grandes del parámetro lambda en este caso λ=8, que en tamaños de muestra mayores a 90 tiende a estabilizarse cerca de un 95% (porcentajes de no rechazo o nivel de confianza), mientras que para λ=2, se aproxima cerca de un 80% cuando los tamaños de muestra están por encima de 100. Mientras en λ=1/2 se alcanzan niveles de confianza por arriba del 60% para tamaños de muestra alrededor de 200. Con el fin de evaluar la incidencia del número de simulaciones en los resultados, para estos mismos valores del parámetro de la distribución poisson, pero realizando solo N=100, en la figura 2 podemos ver como los resultados cambian hacia lo esperado. En este caso para un λ= 8 y tamaños de muestra mayores o iguales a 2 el porcentaje de rechazos es aproximadamente igual al 80% y en tamaños mayores a 5 el nivel de confianza tiende a estabilizarse alrededor del 95%. Seguidamente para λ=2 el nivel de confianza tiende a estar cercano del 95% cuando los tamaños de muestra son mayores a 50. Y por último se tiene que si λ=2 y los tamaños de muestra son mayores a 50 el nivel de confianza está entre el 80% y el 95%. l=1/2 l=2 l=8 Figura 1. Distribución Poisson ( N=1000) l=1/2 l=2 l=8 Figura 2. Distribución Poisson (N=100)

4 30 4 En la figura 3 se observa la convergencia del TCL para la distribución bernoulli con P=0.06, 0.5, 0.1 y 0.8 (donde P es la probabilidad del éxito). Se tiene para P=0.5 que el nivel de confianza con tamaños de muestra superiores a 100 oscila entre el 85% y 95%, mientras que si P=0.8 los porcentajes de no rechazo se encuentran en un rango de 74% a 90% con tamaños de muestra mayores a 100. En cuanto al comportamiento de P=0.1 se observa que el nivel de confianza en tamaños de muestra mayores a 150 tiende a estabilizarse alrededor del 80% y por ultimo cuando P=0.06 el nivel de confianza para los tamaños de muestra establecidos no sobrepasa el 80%; dado los resultados preliminares se puede plantear una convergencia mas rápida cuando P es igual o cercano a 0.5. Por otra parte con respecto a la distribución binomial 2 para las diferentes combinaciones de los parámetros (n y P) que aparecen en la figura 4; se puede ver que si P=0.5 y n=5, y de igual manera si P=0.2 y n=5 el nivel de confianza fluctúa cerca del 75% con tamaños de muestra superiores a 12, no obstante en las combinaciones con P=0.5 y n=100, y similarmente para P=0.9 y n=94 se evidencia que en tamaños de muestra pequeños el comportamiento del nivel de confianza aproxima alrededor del 85% y en muestras mayores a 50 tiende a estabilizarse en el 95%. p=0.06 p=0.5 p=0.1 p=0.8 Figura 3. Distribución Bernoulli ( N=1000 ) p=0.5, n=5 p=0.2, n=5 p=0.5, n=100 p=0.9, n=94 Figura 4. Distribución Binomial (N=1000) La distribución hypergeométrica (haciendo una analogía con el experimento de las urnas (ver Meyer, 1978) se tiene que el parámetro m es el numero de bolas en la urna sin la característica, n es el numero de bolas con la característica, y k es el numero de bolas extraídas de la urna. El numero de bolas con la característica que sale en la muestra de tamaño k es la variable aleatoria distribuida Hypergeométrica) en la figura 5, para las combinaciones de los parámetros m=550, n=550, k=400 y m=250, n=250, k=200, se tiene un comportamiento asintótico del nivel de confianza aproximadamente alrededor del 95% cuando el tamaño de muestra es superior a 50, mientras que para la combinación de m=50, n=450, k=50, el nivel de confianza tiende a estabilizarse igualmente alrededor del 95% para tamaños de muestra mayores a 100. Por ultimo para valores de m=800, n=200, k=10, el nivel de confianza aumenta conforme al tamaño de muestra, pero no supera al 90%. m=800,n=200,k=10) m=550,n=550,k=400) m=100,n=900,k=100) m=250,n=250,k=200) m=50,n=450,k=50) Figura 5. Distribución Hypergeométrica (N=1000) a=1, N=1000 a=1, N=400 a=1, N=200 Figura 6. Distribución Uniforme discreta (N=1000) 2 la distribución binomial se entiende como la suma de n variables aleatorias distribuidas bernoulli con probabilidad de éxito P.

5 4 31 De otro lado en la figura 6 para la uniforme discreta con parámetro N (donde N es el máximo valor discreto que puede tomar la variable, que a su vez esta definida desde cero), se encontró que las combinaciones planteadas tuvieron un comportamiento asintótico próximo al 95% del nivel de confianza en tamaños superiores a 2 unidades. r=5, p=0.1 r=1, p=0.5 r=10, p=0.8 r=1, p=0.1 Figura 7. Distribución Binomial negativa (N=1000) r=5, p=0.1 r=1, p=0.5 r=10, p=0.8 r=1, p=0.1 Figura 8. Distribución Binomial negativa (N=100) La distribución binomial negativa (figura 7) con r=5 y p=0.1 (donde r es el numero de éxitos y p la probabilidad de éxito) tenemos que en tamaños de muestra mayores a 50 el nivel de confianza tiende estar cercano al 95%, mientras que cuando r=1 y p=0.1 (recordemos que la distribución geométrica es el caso particular de la distribución Binomial negativa cuando r=1) el nivel de confianza para n >50 varía entre el 80% y el 95%. Por otra parte si r=1 y p=0.8 el nivel de confianza en valores de n >100 tiene un comportamiento similar al anterior; mientras que en r=1 y p=0.5 para tamaños de muestra grandes el nivel de confianza se mantiene por debajo del 80%. Pero cuando se realiza el ejercicio con N=100 (figura 8) para las combinaciones de r y p mencionadas anteriormente, cuando los tamaños de muestra son superiores a 50 los porcentajes se aproximan asintóticamente al 95%. En esta distribución se puede plantear una posible relación entre el nivel de confianza y valores pequeños de los parámetros, pues pareciera que el teorema converge rápidamente. 3.2 Distribuciones Continuas En la distribución gamma (ver Graybill, 1974) (puede ser vista como la suma de variables aleatorias distribuidas exponencial con λ=b), figura 9, el nivel de confianza tanto para a=6 y b=1, como a= 12 y b=5 con valores mayores del tamaño de muestra a 50 se encuentra aproximadamente alrededor del 95%, y cuando a= 2 y b=10 el nivel de confianza aproxima a este valor para muestras de tamaño mayor a 100, aunque cuando n >30 está por encima del 80 %. Parece que el valor del parámetro de escala en la distribución gamma es más influyente en la convergencia del teorema. Por otra parte en cuanto a la distribución beta (figura 10) con a=1 y b=5, a=10 y b=1, y para a=5 y b=10 el nivel de confianza en n >100 tiende a estar muy cercano al 95%, aunque para esta ultima combinación de parámetros incluso con tamaños de muestra mayores a 2 está cerca del 95%. a=2, b=10 a=12, b=5 a=6, b=1 Figura 9. Distribución Gamma (N=1000) a=1, b=5 a=10, b=1 a=5, b=10 Figura 10. Distribución Beta (N=1000)

6 32 4 En cuanto a la distribución exponencial con parámetro lamda (El modelo de probabilidad exponencial tiene su origen en el proceso Poisson (ver Ross, 2000), la variable aleatoria exponencial es el tiempo transcurrido entre dos eventos Poisson) como se puede ver en la figura 11 la convergencia del TCL para las cuatro parámetros planteados mantienen una fluctuación análoga presentando una mayor convergencia cuanto se tienen muestras de tamaño superior a 120, no obstante para muestras de tamaño 200 tiende a estabilizarse en niveles de no rechazo del 95%. Por otra parte, la figura 12 que ilustra el comportamiento asintótico de la distribución weibull (compuesta de un parámetro de forma a y un parámetro de escala b, ambos positivos, y de dominio), en cuanto a los valores de a=3 y b=2 se encontró que para todos los tamaños de muestra propuestos el nivel de confianza estuvo siempre alrededor del 95%, igualmente a medida que el tamaño de muestra crece se acota al 95% de confianza; para las otras dos combinaciones de estos parámetros, que tuvieron un comportamiento análogo, el nivel de confianza en tamaños de muestra 4 crece a un 75%, igualmente en muestras de 25 se aproxima al 90% y ya en muestras de tamaño superiores a 60 las fluctuaciones se mantienen en el 95%. Para la distribución uniforme los niveles de confianza con los parámetros que se presentan en la figura 13, tienden asintóticamente a estar alrededor del 95% cuando los tamaños de muestra son mayores a 5. Finalmente se presenta la distribución normal en la figura 14, donde en diferentes combinaciones de los parámetros, los niveles de confianza alcanzados para todos los tamaños de muestra se encuentran alrededor del 95%, lo que naturalmente se esperaría. a=0, b=1 a=0, b=50 a=2, b=10 Figura 13. Distribución Uniforme ( N=1000) m=0, s=8 m=4, s=1 m=24, s=16 Figura 14. Distribución Normal (N=1000) 4. Conclusiones En efecto, a través de los resultados expuestos se puede percibir una mayor variabilidad en cuanto al porcentaje de no rechazo logrado en las distribuciones discretas, caso contrario al de las distribuciones continuas que presentaron los mayores porcentajes y una menor variabilidad. No obstante, en términos generales se comprueba la veracidad del teorema, que está estrechamente relacionado con el tamaño de la muestra. Por lo tanto debe reconsiderarse lo que se puede entender como

7 4 33 un tamaño de muestra grande cuando se desea asumir normalidad, teniendo en cuenta que el tamaño es relativo para cada distribución y combinación de parámetros de la misma, por ejemplo, se observo en los resultados en la figura 10 que la distribución beta con parámetros a=5 y b=1 para todos los tamaños de muestra el nivel de confianza está muy próximo al 95% de una manera asintótica, mientras que esta misma distribución pero con a=1 y b=5 se necesitan tamaños de muestra mayores a 50 para lograr este porcentaje. Respecto a la discusión frente a la ambigüedad que se puede presentar en las interpretaciones realizadas por parte de algunos investigadores, profesores y estudiantes; los cuales por falta de información adecuada y dejando a un lado algunos aspectos teóricos, afirman que si el número de datos o tamaño de la muestra supera el mágico número 30, entonces el supuesto de normalidad se hace valido; no obstante los resultados de este trabajo sugieren que definir en general un tamaño de muestra adecuado para que se cumpla este postulado resulta descontextualizado. Sin asumir una generalidad en la siguiente afirmación y considerando los resultados obtenidos, una aproximación indicaría que bajo ciertas excepciones, muestras de tamaño cercanos a 50 podrían permitirle al investigador asumir que se distribuye normal con una confianza cercana al 95%. Veamos ahora la siguiente tabla que muestra, según los resultados de este trabajo, algunas relaciones entre los parámetros de las distribuciones tratadas que de cierta manera influyen en la convergencia del TCL y también a partir de que tamaño de muestra el nivel de confianza o porcentajes de no rechazo de la hipótesis de normalidad, tiende a comportarse de manera asintótica y en qué valor aproximadamente esto sucede: (Tabla de relaciones). Distribución bernoulli binomial binomial negativa uniforme discreta poisson hypergeométrica exponencial gamma beta weibull uniforme continua relación entre los parámetros y la convergencia Converge rápidamente cuando p tiende a 0.5. Converge más rápido cuando n tiende a ser muy grande y p tiende a 0.5. Converge más rápido cuando r tiende a ser muy grande y p tiende a 0.5. Converge rápidamente independiente de los parámetros. Converge más rápido cuando tiende a ser muy grande. Converge más rápido si mes aproximadamente igual anykesgrande. Converge más rápido cuando tiende a ser muy grande. Converge mas rápido cuando aybson grandes, ya>b. Converge mas rápido cuando aybson grandes, ya<b. Converge rápidamente cuando aybson pequeños. Converge rápidamente independiente de los parámetros. Relación entre el tamaño de muestra y el nivel de confianza al tiende a estar por encima del 60% tiende a estar cercano al 90% tiende a estar alrededor del 95% el nivel de confianza siempre está alrededor del 95% tiende a ser próximo al 80% tiende a estar entre el 70% y el 90% se aproxima cerca del 70% tiende asintóticamente al 95% tiende asintóticamente al 95% tiende asintóticamente al 95% el nivel de confianza siempre está alrededor del 95% Tabla de Relaciones

8 34 4 Finalmente se propone como estudios futuros evaluar las simulaciones en diferentes paquetes computacionales tales como SPSS, MINITAB, SAS, entre otros, ya que los sistemas de generación de números aleatorios pueden variar dependiendo del software; de igual manera considerar diferentes pruebas de bondad de ajuste y determinar el número de simulaciones optimas, puesto que se pueden dar algunas ambigüedades como las presentadas en las simulaciones de la distribución poisson y binomial negativa cuando se produjo un cambio en el número de simulaciones. 5. Referencias Bibliográficas 1. Behar, Gutiérrez R. (1997). Comprendiendo la estadística usando el sentido común, Notas de clase Universidad del Valle. 2. Devore, Jay L. (2006). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, sexta edición, Thomson, 3. Graybill, Franklin A., A. M. Mood y D. C. Boes (1974). Introduction to the theory of Statistics, McGraw-hill, U.S.A. 4. Mendenhall, William, D. D. Wackerly y R. L. Scheaffer (1994). Estadística matemática con aplicaciones, segunda edición, Grupo editorial iberoamericano, U.S.A. 5. Meyer, Paul L. (1978). Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas, Fondo Educativo Interamericano S.A, U.S.A. 6. Peña, Daniel. (2001). Fundamentos de estadistica Alianza editorial, Madrid. 7. Pérez, Víctor M. (2007). Una invitación a la probabilidad. Departamento de probabilidad y estadística, Centro de Investigación en Matemática A.C: ad_documentos/invitacionprobabilidad.pdf 8. Ross, Sheldon. M. (2000). Introduction to Probability Models, séptima edición, Academic Press, U.S.A. 9. Stephens, L. J. y Spiegel M. R. (2002). Estadística, tercera edición, McGraw-Hill, U.S.A.