UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - R=7,6. D 2 =A 2 +B 2 #2ABcos(37º)

Transcripción

1 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC Ejercicios resueltos de vectores. Ejercicio Dos vectores y de 3 y 5 unidades de magnitud respectivamente, forman un ángulo de 37º. Determine analíticamente la magnitud de la resultante y de la R=7,6 y la diferencia es: D 2 = #2cos(37º) D 2 =9+25#2(3)(5)(0,8) D=3,2 diferencia entre ambos vectores. La resultante (R= + ) así como la diferencia o la suma del opuesto (D= - ) se puede ver en forma gráfica en la figura siguiente: Ejercicio Hallar el vector resultante entre los vectores y de 4 y 3 unidades de magnitud respectivamente, que forman un ángulo de 60º entre ellos. 37º En la siguiente figura se observan los vectores y sus ángulos: 37º 180º - 37º D= - R= + 37º R = + 120º La magnitud de la resultante se puede calcular con el teorema del coseno: Entonces aplicando el teorema del coseno R 2 = #2cos120º R 2 = #2cos(180º-37º) R 2 =14+9#2(4)(3)cos 120º R 2 =9+25#2(3)(5)(- 0,8) R=6,1 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 80

2 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - El ángulo entre la resultante y el vector se puede calcular con el teorema del En la siguiente figura se ilustra el ejemplo: seno: sen sen120º R sen 0,87 3 6,1 =arcsen0,43=25,5º N E V V = velocidad del avión V V = velocidad del viento V V V Ejercicio Un avión se mueve hacia el norte con una rapidez de 30 Km h, cuando es sometido a la acción del viento Entonces el vector velocidad del viento Km será el vector: V " v 40 i mientras que h Km la velocidad del avión será: V " 30 j h si consideramos que el plano geográfico que sopla con rapidez de 40 Km h en es el plano cartesiano XY. dirección este. Encontrar el movimiento resultante del avión. En este problema se trabaja con la magnitud vectorial denominada velocidad. De esta manera, la resultante debe ser: V= " " 40i+30j Km h Cuya magnitud es V 2 =(40 Km h )2 + (30 Km h ) 2 Para nosotros sin embargo, solo será un V=50 Km h. vector en este momento, y por tanto, la velocidad resultante no será más que la suma de los vectores velocidad correspondiente al movimiento del avión propiamente tal, y la velocidad del viento. Que es la rapidez resultante con que se moverá realmente el avión. La dirección de la velocidad resultante será: 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 81

3 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - V =arctg V =arctg 30 kph 40 kph =36,9º horas, luego de caminar en línea recta durante 20 kilómetros hacia el sur. Es decir, la velocidad resultante tiene una dirección de 36,9º medidos desde el este hacia el norte (E36,9ºN). Nos encontramos a salvo. El relato anterior puede traducirse en términos de los desplazamientos diarios y del desplazamiento final en forma analítica: Ejercicio Otra magnitud física vectorial interesante es el denominado desplazamiento. Por desplazamiento se entiende el vector N (Y) D 2 D 3 53º de posición que une los puntos inicial y final de un movimiento, sin importar la forma del camino recorrido entre ambos. D 1 R E (X) Supongamos que dos personas caminan perdidas por un desierto plano y hostil de manera tal que finalizado cada día anotan en su diario de viaje lo siguiente: Entonces los desplazamientos diarios son: D =30Km " j 1 D =20Km cos53º " i +20Km sen53º " j 2 Día 1: caminamos 30 kilómetros en línea recta hacia el norte; no encontramos agua. Día 2: hoy solo hemos logrado caminar 20 kilómetros en línea recta, en dirección norte 37º hacia el este (N37ºE); nos encontramos extenuados. No encontramos agua. Día 3: Por fin hemos encontrado agua. El feliz hecho ocurrió hoy a las 16:00 D =12Km " i +16Km " j 2 D =20Km(- " j ) 3 Por tanto, el desplazamiento resultante es R D D D R=12Kmi+26Kmj " " Cuya magnitud es: 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 82

4 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - R 2 =(12Km) 2 +(26Km) 2 R=28,6Km y cuya dirección es: 26 Km =arctg 12 Km =arctg2,17=65,3º En otras palabras, si nuestros viajeros Ejercicio Hallar la proyección del vector =i-2j+k " " " sobre el vector =4i-4j+7k " " " En la figura se observa la proyección pedida hubiesen sabido la ubicación del pozo de agua, habrían caminado solo 28,6Km en línea recta, en dirección E65,3ºN. = cos Ejercicio Encontrar el valor de a, de forma que y sean perpendiculares. =2i+aj+k " " " ; 4i " -2j " -2k" La condición de perpendicularidad es que el producto escalar entre ambos debe ser cero: $ =8#2a#2=0 De donde se obtiene a = 3 De la definición de producto escalar se tiene que: =cos Que se puede escribir como: = Ya que =coscomo se observa en la figura anterior. En consecuencia: =2,1 9 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 83

5 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Ejercicio Dados los vectores =2i-j ""; " i k" y C=j+k " ", determinar: a) Un vector unitario en la dirección del vector +-3C. b) Un vector perpendicular al plano formado por los vectores y C. c) Área del paralelógramo formado por y. Ejercicio Dados los siguientes vectores: =3i+2j+2k " " " ; " i -3j " 4k" y C=2i+3j-k " " ". a) Determine analíticamente si y son o no perpendiculares. b) Calcular XC a) Para ser perpendiculares deben cumplir con la condición =0 a) +- 3 C "u +-3C 3i-4j-2k " " " i-4j-2k " " " 5,39 =3#6+8=5 "u =0,56 " i #0,74 " j #0,37 " k b) P = XC " i " j k" i-j+k "" " c) El Área es el módulo del producto vectorial entre y, por tanto: " i " j k" i-2j+k " " " X 2, Luego no son perpendiculares. b) La única interpretación posible de este producto, denominado producto triple (y que geométricamente representa el volumen del paralelogramo cuyas aristas son los vectores, y C ) es la operación XC ) pues se tiene el producto escalar entre los vectores (XC ). En cambio la operación XC y no está definida pues es la multiplicación vectorial entre un escalar ( ) y un vector ( C ). Recordemos que el producto vectorial está definido entre vectores. 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 84

6 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Por tanto: " i " j k" xc i+9j+9k " " " " " " " " " XC= 3i+2j+2k 9i 9j 9k XC= =9 En primer lugar hay que demostrar que forman un triángulo, para lo que se necesita que la resultante de dos de ellos sea el tercero o que la resultante de los tres sea el vector nulo, como se ve en la figura siguiente. C C Ejercicio siguientes: Hallar los productos + = C + + C = 0 a) 2jX3k " " b) 3iX " " -2k c) 2jXi " " " -3k a) 2jX3k=6i " " " En segundo lugar, para que sea rectángulo, el producto escalar entre dos de ellos debe ser nulo. En nuestro ejemplo, +=C por lo que son un triángulo y C =6#2#4= 0 por lo que C. 3iX " -2k " = 3-2 " ixk " 6k " b) 2jXi -3k=2 " -k" 3k" 5k" c) " " Ejercicio Deducir el teorema del seno. Ejercicio Demostrar que los vectores: =2i+j-4k " " " ; " i -3j " 5k" y C 3i " -2j " k" forman un triángulo Suponer un triángulo formado por los vectores de la figura. rectángulo. 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 85

7 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - X CX XC C C Es decir: C sen "u =C sen C "u =C sen C "u Entonces C 0 Multiplicando vectorialmente por : x X XC X0 X XC 0 ( i ) Si la multiplicamos vectorialmente por : X+X+XC=X0 por igualdad de vectores, se tiene: sen = C sen C = C sen C y debido a que sen (180-)=sen: sen=c sen=c sen Dividiendo por C: sen sen sen C X+XC=0 ( ii ) Conocido con el nombre de teorema del seno. si la multiplicamos vectorialmente por C : CX CX CXC 0 Ejercicio Deducir el teorema CX CX 0 De (i): X=CX De (ii): X=CX ( iii ) del coseno. Suponer que se tiene un triángulo formado por los vectores de la figura. De (iii): CX=XC Pues el producto vectorial es anticonmutativo. C De donde se tiene: Entonces: C=- 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 86

8 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Elevando al cuadrado la expresión: C C= - - C C= C $C $ -2 $ $ C 2 = #cos Conocido como teorema del coseno. 27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 87