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11 ÍNDICE COMPETENCIA 1 Ecuaciones Lineales o de Primer Grado COMPETENCIA 2 Ecuaciones Lineales en dos o tres variables 80 COMPETENCIA 3 Ecuaciones Cuadráticas COMPETENCIA 4 Conceptos Básicos de la Geometría Euclidiana COMPETENCIA 5 El Triángulo. 171 COMPETENCIA 6 Polígonos, la Circunferencia, Área y Volumen

12 Competencia 1 ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO Explicar los algoritmos necesarios para resolver una ecuación lineal. Problemas en palabras que se resuelven por medio de una ecuación lineal o de primer grado. Saberes 1. Resolución de ecuaciones lineales en una variable 2. Problemas en palabras que dan lugar a una ecuación lineal Ejercicios 1. A practicar las ecuaciones lineales 2. A resolver problemas en palabras por medio de una ecuación lineal 12

13 Saberes Nombre Resolución de ecuaciones lineales en una variable No. 1 Instrucciones para el alumno Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor Saberes a adquirir El alumno comprenderá los algoritmos necesarios para resolver una ecuación de primer grado o lineal. Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE ECUACIÓN. El enunciado en que dos cantidades son iguales es llamado una ecuación. La manera acostumbrada de escribir una ecuación es la de colocar el símbolo (que se lee es igual a ) entre las dos cantidades iguales. Una ecuación tiene, entonces dos miembros, el izquierdo y el derecho. Las ecuaciones comprenden usualmente una o más letras que son vistas como variables o incógnitas. Los números que al sustituir a las variables hacen iguales a los dos miembros de la ecuación se dice que satisfacen a, o que son una solución de, la ecuación. La totalidad de las soluciones es llamada el conjunto de soluciones. Esto es una ecuación: 2x 5 = x + 3 Primer miembro Segundo miembro Ejemplo de raíz o solución de una ecuación Es el valor o valores de la incógnita que hacen cierta la ecuación. Así la raíz de 3x 9 = 5x 23 es x = 7 Porque: 3(7) 9 = 5(7) = 12 13

14 De igual manera las raíces de son y porque: = = = = 0 0 = 0 0 = 0 Ecuación Identidad Es una igualdad que es cierta para cualquier valor numérico que se le asigne a la literal (o literales); es una igualdad absoluta. igualdad). Por ejemplo: (para cualquier valor de se cumple la Ecuación Literal Es aquella en la que algunas o todas las cantidades conocidas están representadas por letras. Por ejemplo:. OPERACIONES CON ECUACIONES 1.- Si a cada miembro de una ecuación se le suma o resta una misma cantidad, la ecuación sigue siendo cierta. 2.- Si cada miembro de una ecuación se multiplica por un mismo número, la ecuación sigue siendo cierta. 3.- Si cada miembro de una ecuación se divide entre un mismo número (excepto cero) la ecuación sigue siendo cierta. En esta sección resolveremos ecuaciones de la forma, o que son reducibles a la forma donde representa a cualquier número y a cualquier número distinto de cero. Esta ecuación es de primer grado en y es llamada una ecuación lineal. 14

15 Ejemplo 1. Resolvamos la ecuación Ecuación dada sumando reuniendo términos ó dividiendo por 6 Verificación: Sustituimos por en cada miembro de la ecuación dada y encontramos, Ejemplo 2. Resolver: Multiplicamos por 2 ambos lados Sumando a ambos lados Dividiendo entre 3 Verificación: 15

16 Transposición de términos Por los ejemplos anteriores se ve que puede suprimir un término cualquiera en un miembro, siempre que se agregue al otro su simétrico. Esto equivale a afirmar que puede pasarse un término de un miembro a otro respetando la siguiente regla: Si el término esta sumando pasa restando + - Si el término esta restando pasa sumando - + Si el término multiplicando pasa dividiendo X Si el término esta dividiendo pasa multiplicando X A esto se le llama transposición de términos. Intercambio de miembros Es recomendable que los términos que contengan la incógnita se pongan siempre en el primer miembro de la ecuación: Así, las ecuaciones 25 = 3x - 4 y 12 = 2x + 3 Conviene escribirlas 3x 4 = 35 y 12x + 3 = 12 Cambio de signo En una ocasión cualquiera se puede cambiar los signos de todos sus términos, lo que equivale a multiplicarlos por (- 1), con lo cual la igualdad no se altera. Esto es de gran utilidad según se ve continuación: 16

17 Forma original Forma preferible -2x + 5 = x 5 = 25-8x - 3 = x 6 8x + 3 = -x + 6 Ejemplo 3. Comprobación: 7x 5 = 3x 25 7(-5) -5 = 3(-5) -25 7x 3x = = x = = -40 x 20 4 x = -5 Ejemplo 4. Resuelve: Comprobación: 16x 192 = 0 16 (12) 192 = 0 16x = = x 0 = 0 16 x = 12 17

18 Ejemplo 5. Resuelve: Comprobación: X = x (-30) = (-30) X - 11x = = x = = x = -300 x X= -30 Ejemplo 6. Resuelve: comprobación: 2z + 96 = 15z 8-5z 2(13) + 96 = 15 (13) 8 5 (13) 2z + 96 = 10z = z - 10z= = 122-8z = z = 104 z Z = 13 18

19 Ejemplo 7. Resuelve: comprobación: 5c 9 + c = 2c 73 5(-16) 9 + (-16) = 2(-16) -73 6c 9 = 2c = c - 2c = = 105 4c = -64 c 64 4 C = -16 Ejemplo 8. Resuelve: Comprobación: y 2 = -5(39 - y) = -5 (39-49) -3 y 2 = y = -5 (-10) -3 y 2 = y 47 = 50-3 y- 5y = = 47-4y = y = 196 y y=49 19

20 Ejemplo 9. Resuelve: Comprobación: 84-19y = - 7 (60 + y) (42) = -7 (60+42) 84-19y = y = -7 (102) -19y + 7y = = y = 504 y y = 42 Ejemplo 10. Resuelve: comprobación: 5(4x - 7) - (3x - 1) 2 = -5 5 (4 (2) 7) - (3 (2 ) 1) 2 = -5 20x 35-6x + 2 = -5 5 (8 7) (6 1) 2 = -5 14x 33 = -5 5(1) 2(5) = -5 14x = = -5-5 = -5 20

21 ECUACIONES QUE CONTIENEN QUEBRADOS Cuando una ecuación contiene quebrados, se transforman en otra equivalencia que tenga forma entera, multiplicando ambos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores. Ejemplo 11. Resuelve la siguiente ecuación: 3x 3x x 3x m.c.m. de 4 y 5 = 20 Comprobación: 15x 700 = x 3*100 3* x + 12x = = x = X = 100 Ejemplo 12. Resolver la siguiente ecuación: x 5x 3x x 5x 3x m.c.m. de 2,7 y 4 = 28 Comprobación: 14x 20x = x 56 5*56 3* x - 20x - 21x = = x = X= -1512/-27 X = 56 21

22 Ejemplo 13. Resolver la ecuación El m.c.m. de 5, 4 y 2 es 20 que resulta, Ejemplo 14. Resolvamos la ecuación para para. reuniendo términos factorizando Ejemplo 15. Resolver la ecuación: Solución: Desarrollando productos Quitando paréntesis Simplificando términos 22

23 Ejercicios Nombre A practicar con las ecuaciones lineales No. 1 Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas Orden Responsabilidad Manera didáctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas I. Resuelve las siguientes ecuaciones y compruébala cada una. 1. 8x 8 x 4 5x x 2157 x x 2 9x 6 4x m 22 3m 2m (7x 8) 7(2 x ) (7 2 x) 11 4(2x 3) 16. 9( x 1) 7(3 x )

24 17. 5(8x 3) 3 2(4x 3) 18. 6x 17 13( x 1) (5 x)(2 x) x( x 3) (4x 3) 3(7 6 x) 16x x 1 2 x x 1 1 x x 4 x x 1 2 x x 1 2x x x x 1 2 x x 4 2x (x + 20) 0.03x = x 0.03(21,000 x) =

25 Respuesta a los ejercicios impares: ; 43) 45) ; 49) I. Subraya la respuesta de cada una de las siguientes preguntas: 1. El valor de al resolver la ecuación es: A) B) C) D) 2. Al resolver la ecuación el valor de es: A) B) C) D) 3. El valor de en la ecuación es: A) B) C) D) 4. La solución de la ecuación es: A) B) C) D) 25

26 5. La solución de la ecuación es: A) B) C) D) 6. El valor de en la ecuación A) B) C) D) 7. El valor de en la ecuación es: A) B) C) D) 8. El valor de en la ecuación A) B) C) D) 9. Resuélvase la siguiente ecuación para : A) B) C) D) 10. Resuélvase para la siguiente ecuación: A) B) C) D) 26

27 II. rucigrama algebraico Aquí encontrarás un crucigrama muy divertido. Para llenarlo tendrás que resolver 17 ecuaciones de primer grado. Anímate! Verticales Horizontales 1) 3x + 2 = 32 3) 7x 4 = 171 2) x/5 = 16 4) 8x 920 = 7,080 3) 2x + 8 = 440 6) ½ x + 8 = 88 5) 2x - 9 = x ) 5x = 35,745 8) 9x + 9 = ) 4x 4 = 3x + 6 9) ¼ x - 2 = ) 5/2 x + 40 = ) x/3-11 = x ) x/9 43 = 1,000 15) x + 5 = 2x ) x/7 5 = 0 16) 5x 4x + 3x + 8 = 8 27

28 Qué tal, resultó divertido? III. Con el perímetro dado, encontrar el valor de la incógnita. i. Hallar el valor de si el perímetro del rectángulo es 38 cm ii. valor de Si el perímetro del cuadrado es 68 cm, hallar el iii. Si el perímetro del triángulo isósceles es de 29 cm, hallar el valor de 28

29 Saberes Nombre Instrucciones para el alumno Saberes a adquirir Problemas en palabras que dan lugar a una No. 2 ecuación lineal Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno adquirirá la Mediante habilidad para Manera didáctica exposición y plantear una de lograrlos tareas ecuación lineal que resuelva un problema práctico en un contexto determinado. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN PALABRAS CON EL USO DE ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE Los problemas planteados con palabras son enunciados que expresan relaciones entre cantidades numéricas. Nuestro objetivo es traducir la expresión del problema a una ecuación algebraica que pueda resolverse por medios conocidos. Para resolver un problema planteado con palabras, se procede como sigue: 1. Se determina la cantidad incógnita y se le representa con una variable. 2. Todas las demás cantidades incógnitas se deben expresar en términos de la misma variable. 3. Se traducen los enunciados del problema relativos a la variable a una ecuación algebraica. 4. Se resuelve la ecuación para la incógnita y luego se encuentran las otras cantidades requeridas. 5. Se comprueba la respuesta en el problema original planteado con palabras, no en la ecuación. 29

30 Las siguientes son ilustraciones de ciertas frases y problemas verbales y sus equivalentes algebraicos: 1. Un número aumentado en Un número disminuido en 7 3. Un número supera en 4 a otro Primer número segundo número 4. Un número es 2 unidades menor que otro Primer número segundo número 5. La suma de dos números es 30 Primer número segundo número 6. Tres enteros consecutivos Primer número segundo número tercer número 7. Tres enteros impares consecutivos Primer número segundo número tercer número 8. Tres enteros pares consecutivos Primer número segundo número tercer número 30

31 9. Un número es la mitad de un segundo número Primer número segundo número 10. Un número es el triple del otro Primer número Segundo número 11. Un número es cuatro unidades menos que el doble de un segundo número Primer número Segundo número 12. Un número supera en 6 al triple de un segundo número Primer número Segundo número 13. El número supera en 6 al número b. o bien 14. El número es 10 unidades menor que el número b o bien 15. Un 6% de impuesto sobre dolares. Impuesto = o 16. Un descuento se 15% sobre dolares o bien 17. El valor en dólares de billetes de cinco dólares: Valor = 31

32 18. La cantidad de plata contenida en libras de una aleación de plata al 6%. Cantidad de plata = libras 19. La cantidad de alcohol en galones de una solución de alcohol al 80%. Cantidad de alcohol = galones 20. Si Roberto puede caminar millas por hora, qué distancia recorrerá en 3 horas? la distancia En problemas de velocidad usaremos la fórmula que al despejar nos dá, por lo tanto el problema queda: millas 21. Si Lorena conduce a 55 millas por hora, Qué distancia puede recorrer en horas? Distancia = 22. Rafael puede viajar en su bicicleta a una velocidad promedio de 15 millas por hora Cuánto demorará en recorrer millas? Tiempo = 23. La anchura de un rectángulo es de pies. Cuál es el perímetro si la longitud es el doble de su anchura? Anchura Longitud Perímetro = 2 veces el ancho + 2 veces el largo Perímetro = 32

33 24. La anchura de un rectángulo es de pies. Cuál es el área del rectángulo si su longitud mide 4 pies más que su anchura? Anchura Longitud pies pies Área = pies cuadrados EJEMPLO 1 Pedro tiene un trabajo en donde gana $150,000 anuales, que incluye un bono de $12,000 al final del año. Si recibe un pago quincenal, Cuál es el ingreso bruto en cada cheque? Con palabras Ingreso por año= 24 pagos + bono Qué conoces? Ingreso por año= $150,000 Bono = $12,000 Qué quieres? Cantidad en cada cheque = x Ecuación 150,000 = 24x + 12,000 Solución Despejamos el valor de x de la ecuación anterior, El ingreso por cada cheque es de $5,750 33

34 EJEMPLO 2 Enrique invitó al Cinépolis a su esposa y durante la función compraron dos refrescos del mismo precio y dos bolsas de palomitas de $25 cada una. Si Roberto gastó $90 en total, cuánto costó cada refresco? Con palabras Gasto total = 2 bolsas de palomitas de $25 cada una + 2 refrescos Qué conoces? Gasto total = $90 Costo de las palomitas = (2)($25) = $50 Qué quieres? Precio de cada refresco = x Ecuación $90 = $50 + 2x Solución Despejando x, tenemos: Cada refresco costo $

35 EJEMPLO 3 Karla invierte $120,000 en dos cuentas diferentes, de forma que en una de ellas le pagan el 6% y en la otra 5% anual de interés simple. Si el interés total es de $6,800 al año, cuánto dinero esta invertido en cada una de las cuentas? Con palabras Interés total generado por $120,000 dividido en dos cuentas. Qué conoces? Dinero invertido = $120,000 Tasa de interés de una cuenta = 6% Tasa de interés de la otra cuenta = 5% Interés total recibido = $6,800 Qué quieres? Cantidad invertida al 6% = x Cantidad invertida al 5% = $120, x Ecuación Solución 0.06x (120,000 x) = 6,800 Silvia ha invertido $80,000 al 6% y $40,000 al 5%. 35

36 EJEMPLO 4 Un albañil puede hacer una obra en 4 días y otro en 5 días, en cuánto tiempo terminaran la obra juntos? Con palabras Tiempo total de la obra = Tiempo empleado por los albañiles trabajando juntos. Qué conoces? Tiempo del albañil 1 = 4 días Tiempo del albañil 2 = 5 días Qué quieres? Tiempo total de la obra = x Ecuación Solución El ritmo de trabajo de un albañil es de y el del otro, por lo tanto, entre ambos terminan el 100% de la obra en días El tiempo total para terminar la obra entre ambos albañiles es de días. 36

37 EJEMPLO 5 Un automóvil recorre una distancia del D.F. a Acapulco a una velocidad promedio de 120 Km/hr y de regreso viaja a una velocidad promedio de 90 Km/hr. Si todo el recorrido tomo 7horas. Cuál es la distancia del D.F. a Acapulco? Con palabras Tiempo total del viaje = Tiempo de ida + tiempo de regreso Qué conoces? Velocidad promedio de ida = 120 Km/hr Velocidad promedio de regreso = 90 Km/hr Tiempo total del viaje = 7 hrs Qué quieres? Distancia del D.F. a Acapulco = x Ecuación Solución La relación de velocidad es, entonces el tiempo t es, luego, el tiempo de ida es y el de regreso. Por lo tanto, La distancia del D.F. a Acapulco es de 360 Kms. 37

38 MÁS PROBLEMAS RESUELTOS Problemas que se refieren a números 1. Cuáles son los tres números consecutivos cuya suma es igual a 48? Primer número: x Segundo numero: x + 1 Tercer número: x + 2 Condición: (x) + (x+1) + (x+2) = 48 x + x x + 2 = 48 3x + 3 = 48 Los tres números 3x = 48 3 son 15, 16 y 17. 3x = 45 x = 45 / 3 x = Cuál es el número que aumentando en 20 se triplica? Número pedido a condición: X + 20 = 3x X 3x = -20-2x = -20 2x = 20 por lo tanto x = 10 38

39 3. La tercera parte de un número es 7 unidades menor que la mitad de él. Encontrar el número. Solución Sea el número = Multiplicando ambos miembros de la ecuación por 6, obtenemos El número es Un número es el quíntuplo de otro. La suma de ambos es 90. Determinar los dos números. Solución primer némero segundo número Primer número = Segundo número = Hallar dos números cuya suma sea 27 y que el séxtuplo del menor supere en 9 unidades al triple del mayor. Solución: Número menor Número mayor Número menor = 10 Número mayor = = 17 39

40 6. Encontrar dos enteros pares consecutivos tales que el cuádruplo del mayor sea 8 unidades menos que el quíntuplo del menor. Solución primer entero par segundo entero par Primer entero par = 16 Segundo entero par = = La suma de tres números es 63. El segundo número es el doble del primero y el tercero supera en tres al segundo. Encontrar los números. Solución Primer número Segundo número Tercer número Primer número = 12 Segundo número = Tercer número = = 27 40

41 Problemas de porcentaje A veces la relación entre dos números se expresa como un porcentaje. Tanto por ciento significa por cada cien y se representa por el símbolo %. De esta manera Para determinar qué tanto por ciento es un número de otro, se divide el primer número entre el segundo, se multiplica el cociente por 100% y se simplifica. Obsérvese que 100 % = Qué tanto por ciento es 24 de 40? Solución 2. Qué tanto por ciento es 238 de 350? Solución 41

42 Para expresar un número como tanto por ciento, se multiplica el número por 100% y se simplifica. 3. Escribir 4 como un tanto por ciento 4. Expresar como un tanto por ciento. Solución Para obtener un porcentaje de cualquier número, se cambia el símbolo de tanto por ciento a, luego se multiplica pór el número y se simplifica. 5. Cuál es el 70% de 48? Solución 6. A qué es igual el %? Solución La mayoría de los problemas de negocios y mezclas se relacionan con porcentajes. En esta sección tratamos problemas de negocios. Cuando se realizan depósitos de dinero en un banco, la cantidad que se deposita se llama capital o principal y se denota por P. La tasa de interés anual se denota por. El interés que se recibe está representado por. 42

43 interés. El interés recibido al cabo de un año es el producto del capital y la tasa de La fórmula anterior es útil en la solución de problemas de tanto por ciento. 7. El precio de venta al menudeo de una máquina de coser es de $360 dólares. Si se ofrece en venta de $297, cuál es el porcentaje de reducción? Solución Reducción de precio = = 63. Porcentaje de reducción = 8. A qué es igual el impuesto sobre un artículo que costó $540 si la tasa de impuesto es de? Solución Impuesto = 9. En cuánto se venderá un refrigerador si el precio marcado es de $760 y la tienda ofrece un 12% de descuento? Solución Descuento = Precio de venta = = $ Al Sr. Noble le costó $17,466 comprar un coche, incluido un 6.5% de impuesto de venta. Cuál era el precio de venta del coche antes de agregar el impuesto? Solución Sea el precio de venta del coche sin impuesto = Impuesto = 43

44 Precio de venta sin impuesto más impuesto igual a precio de venta total (Se multiplica por 1000) Precio de venta sin impuesto $16, El precio de venta de una caja fuerte es de $350 luego de aplicar un 30% de descuento. Cuál es el precio regular de la caja fuerte? Solución Sea el precio regular = Descuento = El precio de venta es igual al precio regular menos el descuento (Se multiplica por 100) Precio regular de la caja fuerte = $500 Definición Margen de utilidad es la cantidad que se agrega al costo de un artículo para determinar el precio de venta de tal artículo. El margen de utilidad se expresa normalmente como un tanto por ciento del costo o del precio de venta. 12. Un radio costó $80. Cuál es el precio de venta si el margen de utilidad es del 20% de dicho precio? Solución Sea el costo cuando el margen de utilidad se calculo sobre el costo, pero si dicho margen se calcula sobre el precio de venta, éste se denota por. 44

45 Sea el precio de venta = Margen de utilidad = El precio de venta menos el margen de utilidad es igual al costo. (Se multiplica por 100) Precio de venta $ El precio de venta de un equipo de tiro es de $584. Cuál es el costo si la utilidad es del 25% del mismo? Solución Sea el costo = Utilidad = Costo más utilidad sobre el costo es igual al precio de venta. (Se multiplica por 100) Costo = $ Dos sumas de dinero que totalizan $20,000 ganan, respectivamente, 5% y 6% de interés anual. Encontrar las cantidades si juntas ganan $1080. Solución Primera cantidad Segunda cantidad Capital Tasa 5% 6% Interés 45

46 (Se multiplica por 100) Cantidad invertida al 5% = $12,000 Cantidad invertida al 6% = $8, Una persona realizó dos inversiones de un total de $10,000. En una de las inversiones obtuvo un 10% de utilidad, pero en la otra tuvo una pérdida de 12%. Si la pérdida neta fue de $540, Qué cantidad tenía en cada inversión? Solución Primera inversión Segunda inversión Ganancia de Pérdida de 12% Cantidad ganada = Cantidad perdida = 46

47 Cantidad perdida menos cantidad ganada igual a pérdida neta. (Se multiplica por 100) Primera inversión = $3000 Segunda inversión = $ El interés anual producido por $24,000 supera en $156 al producido por $17,000 con una tasa anual de interés 1.8% mayor. Cuál es la tasa anual de interés aplicada a cada cantidad? Solución Capital $24,000 $17,000 Tasa (Se multiplica por 100) Las tasas de interés son 6.6% y 8.4% 47

48 Prolemas de mezclas 1. Cuántos litros de agua deben agregarse a 6 litros de una solución de sal al 8% y agua, para producir otra solución al 5% de sal? Solución Una solución de sal al 8% significa que el 8% es ésta es sal y el 92% agua. Dicha cantidad en la solución original más la cantidad en el agua agregada debe ser igual a la cantidad de sal en la solución final. Cantidad original Cantidad agregada Cantidad final 6 litros (Se multiplica por 100) Deben agregarse 3.6 litros 2. Cuántos litros de un líquido que contiene 74% de alcohol se debe mezclar con 5 litros de otro líquido que contiene 90% de alcohol, se desea una mezcla de 84% de alcohol? Número de litros de la solución de 74% de alcohol que debe emplearse = x Número de litros de alcohol aportados por la solución al 74% = 0.74x Número de litros de alcohol aportados por la solución al 90% = 0.90 (5)=4.5 48

49 Número de litros en la mezcla = x + 5 Número de litros de alcohol en la mezcla = 0.84(x+5) 0.74x = 0.84(x+5) 0.74x = 0.84x x 0.84 = x = x x = 3 litros Un hombre mezcló 48 onzas de una solución de yodo al 4% con 40 onzas de una solución al 15% de la misma sustancia. Cuál es el porcentaje de yodo en la mezcla. Solución Consideremos la cantidad de yodo en la solución Primera solución Segunda solución Mezcla 48 onzas 40 onzas 88 onzas 4% de yodo 15% de yodo de yodo (88) (Se multiplica por 100) La mezcla es una solución al 9% de yodo 49

50 4. Carlos mezcló una aleación de aluminio al 48% contra otra al 72% para producir una aleación de aluminio al 57%. Si hay 20 libras más de la aleación al 48% que de la aleación al 72%, Cuántas libras hay en la aleación total? Solución 48% 72% 57% (Se multiplica por 100) El peso de la mezcla total = 2(30) + 20 = 80 libras Problemas de valor monetario 50

51 1. Elena tiene $4.45 en monedas de 10 y 25. Si dispone en total de 28 monedas, Cuántas tiene de cada clase? Solución Monedas de 10 Monedas de 25 monedas La suma de los valores de las monedas es igual a la cantidad total de dinero (Nota: 445, no 4.45) Número de monedas de = 17 Número de monedas de 2. Ramona compró $10.60 dólares de estampillas de con un total de 52 estampillas. Si la cantidad de estampillas de que compró es el cuádruplo de la de, Cuántas estampillas de cada clase compró? Solución 15 estampillas 51

52 La suma de los valores de las clases individuales de estampillas es igual a la cantidad total. (Nota: 1060, no 10.60) Número de estampillas de = 8 Número de estampillas de 15 = 52 5(8) = 12 Número de estampillsa de 25 = 4(8) = Un carnicero mezcla 2 clases de carne molida, una de la libra y otra de. Si la combinación pesa 450 libras y se vende a 145 cada una, Cuántas libras de cada clase forman la mezcla? Solución por libra por libra por libra libras libras La suma de los precios de las clases individuales es igual al precio de la mezcla Número de libras a Número de libras a 52

53 Problemas de Movimiento La distancia recorrida, en kilómetros, es igual al producto de la velocidad, en kilómetros por hora, por el tiempo, en horas. En símbolos, 1. Dos automóviles que se encuentran a una distancia de 375 km entre sí y cuyas velocidades difieren en 5 km por hora, se dirigen el uno hacia el otro. Se encontrarán dentro de 3 horas. Cuál es la velocidad de cada automóvil? Solución Primer auto Segundo auto Velocidad Tiempo Distancia Las sumas de las distancias recorridas es igual a 375 kilómetros Velocidad del primer auto ; velocidad segundo auto 53

54 2. Dos automóviles parten de un mismo lugar y viajan en direcciones opuestas. El primer automóvil hace un promedio de 55 km por hora, mientras el segundo tiene uno de 65 km por hora. En cuántas horas se encontrarán a 720 kilómetros entre sí? Solución Primer auto Segundo auto Velocidad 55 km/h 65 km/h Tiempo x hr x hr Distancia La suma de las distancias recorridas es igual a 720 kilómetros. Tiempo en el que los autos estarán a una distancia de 720 kms entre sí 3. Un avión de reacción que vuela a una velocidad de 650 kms por hora va a alcanzar a otro que lleva una delantera de 4 horas y está volando a una velocidad de 400 kms por hora. Cuánto tardará el primer avión en alcanzar el segundo? Solución Primer avión Segundo avión Velocidad Tiempo Distancia 54

55 El primer avión alcanzará al segundo cuando ambos hayan recorrido la misma distancia El tiempo requerido es o Problemas de Geometría El perímetro de un cuadrado es igual a cuatro veces la longitud de su lado. El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado. El perímetro de un rectángulo es igual al doble de su base más el doble de su altura. El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a. El área de un triángulo es igual a un medio del producto de la base por la altura. Se dice que dos ángulos son complementarios si su suma es 90. Dos ángulos son suplementarios si su suma es La base de un rectángulo es 3 pies menor que el doble de la altura, y el Solución perímetro es de 42 pies. Obtener las dimensiones del rectángulo. Véase la figura de este problema Altura Base Altura del rectángulo = 8 pies; Base del rectángulo pies 55

56 2. La base de una pintura rectangular es 8 pulgadas menor que el doble se su altura. Si el marco tiene 4 pulgadas de ancho y un área de 816 pulgadas cuadradas, hallar las dimensiones de la pintura sin el marco. Solución Véase la figura de este problema. Altura Base Área Sin marco Con marco x x+8 2x-8 2x El área de la pintura incluyendo el marco, menos el área de la pintura sin este último, es igual al área del marco. Altura de la pintura = 34 pulgada Base de la pintura = 2(34) 8 = 60 pulgadas 56

57 3. La suma de la base y la altura de un triángulo es 28 pies. Encontrar el área del triángulo si su base es 8 pies menos que el doble de su altura. Solución Base Altura Problemas en donde se realiza un trabajo 1. La persona A puede hacer cierto trabajo en 8 hr, la persona B en 10 hr, y la persona C en 12 hr. Cuánto tiempo tomará efectuar el trabajo si A y B se ponen a trabajar durante 1 hr y A y C terminan después? Solución: Las partes del trabajo que realizan en una hora A, B y C son respectivamente. La contribución de cada trabajador es la parte que hace en una hora multiplicada por el número de horas 57

58 que trabaja. Si designamos con el número total de horas requeridas para hacer el trabajo, entonces A trabaja horas, B trabaja 1 hora y C trabaja hr. Por tanto, = parte del trabajo hecho por A = Parte del trabajo hecho por B = Parte del trabajo hecha por C El trabajo total se completa sumando estas partes y, por tanto; hr. Por lo tanto, requerido es hr. 2. Un recipiente, alimentado por 3 llaves, puede ser llenado en 30 minutos por la primera, en 20 minutos por la segunda y en 40 minutos por la tercera, en cuánto tiempo llenarán el recipiente las 3 llaves juntas? Tiempo que tardan las 3 llaves juntas: x La primera llena en x minutos: 1 30 * (x) = x 30 La segunda llena en x minutos 1 20 *(x) = x 20 58

59 La tercera llena en x minutos: 1 40 *(x) = x 40 Condición: x x + 40 x = 1 (Se iguala a 1 porque se realiza un trabajo) 4x + 6x + 3x = x =

60 RALACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON LA FUNCIÓN LINEAL Hay ecuaciones lineales que únicamente depende de una incógnita; se les conoce como ecuaciones lineales con una incógnita y con tres Las ecuaciones de primer grado tienen incógnitas elevadas a la potencia 1 y no se multiplican por factor; si sucediera esto se convertirían en ecuaciones de segundo grado. EJEMPLO Una compañía de telefonía móvil define un costo de $4 por minuto de llamada. Establezcamos una expresión matemática para esta situación. SOLUCIÓN a. Datos Costo de la llamada: $4 por minuto. El siguiente cuadro presenta pares ordenados y puedes reconocer que los minutos están relacionados con el incremento del costo. PRECIO DE LAS LLAMADAS Referencia Minutos (x) Costo (y) Al minuto 0 el costo es $0. 0 4(0)= 0 Al minuto 1 el costo es $4. 1 4(1)= 4 Al minuto 2 es costo es $8. 2 4(2)= 8 Al minuto 3 el costo es $ (3)= 12 Al minuto x el costo se representa con la ecuación: y=4x. x 4x b. Análisis La ecuación muestra dos variables: y es el costo total y x es el número de minutos. La combinación de ambas describe la relación existente entre el costo y el tiempo en minutos cuando se habla por el teléfono móvil. Su representación gráfica se muestra a continuación. 60

61 Como puedes ver en la grafica de la página anterior se define una recta creciente, y esto quiere decir que cuanto más hable el usuario, mayor será el costo. En la gráfica se nota que existe el conjunto de números en y el conjunto de números en. A la variable, denominada dependiente, la podemos representar con es decir A cada elemento del conjunto de números en le corresponde uno y sólo uno del conjunto de números en. Cuando una relación de pares ordenados se rige por estas condiciones se conoce como función. Comprueba qué efecto tendría la gráfica si un elemento estuviera relacionado al mismo tiempo con dos o más números. Al primer conjunto (minutos) lo denominamos dominio de la función. Cada uno de los elementos del dominio de la función tiene una imagen en el segundo conjunto (costo). Al conjunto de todas las imágenes se le llama rango o contradominio de la función. c. Síntesis Interpretativa En este caso se formaron las parejas: (0, 0), (1, 4), (2, 8), (3, 12),, La variable es cualquier número natural que represente el número de minutos, y es cualquier número natural que represente el costo. Veamos una representación gráfica de esta correspondencia. 61

62 Dominio Imagen o contradominio Una función es una correspondencia entre dos conjuntos de números, de manera que a cada valor del primer conjunto o dominio le corresponde un único valor del segundo conjunto (o ninguno), que llamamos imagen o contradominio. Una forma de interpretar una función es como si fuera una fábrica: la materia prima es el dominio que pasa a través de la fábrica y entrega un producto (rango). 0 2 Si consideramos la correspondencia de los pares ordenados (5, 25), (-3, 2), (5, 0), (1/2, ( ½), podemos reconocer que un valor del dominio se relaciona más de una vez con elementos del contradominio (5, 25) y (5, 0). En estas condiciones no se habla de función, sino de relación. 62

63 Ejercicios Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas A resolver problemas en palabras por medio de una No. 2 ecuación lineal Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden Manera Responsabilidad didáctica de Ejercicios y tareas sobre el lograrlas tema Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas Resolver los siguientes problemas en palabras: A) Problemas que se refieren a números 1. Si a un número se le suma 15, el resultado es 21. Determine el número 2. Cuando se resta 11 de cierto número, el resultado es 52. Obtenga el número. 3. Si al doble de un número se le aumenta 7, resulta 35. Halle el número. 4. El triple de un número disminuido en 19 es 53. Determine el número. 5. Ocho veces un número es 30 unidades más que 6 veces el mismo. Encuentre el número. 6. Si a siete tantos de un número se le suma 6, resulta el número aumentado en 24. Obtenga el número. 7. El tercio de un número, sumado con su cuarta parte da 35, Cuál será el número? 63

64 8. Dos terceras partes de un número exceden a la mitad de él en tres unidades. Encuentre el número. 9. La suma de dos números es 24. Uno de ellos es el triple del otro. Obtenga ambos. 10. Un número supera en 7 a otro número. Determine los dos si su suma es Un número es 40 unidades menor que otro. Obtenga ambos si su suma es Un número es de otro número y la suma de ambos es 126. Encuentre los números. 13. Un número es de otro y la suma de ambos es 230. Hállelos. 14. La suma de dos números es 48. El cuádruplo del menor es igual al doble del mayor. Encuentre los números. 15. Un número es 3 unidades menor que otro. Determine ambos si el cuádruplo del menor es una unidad menos que el triple del mayor. 16. La mitad de un entero es igual a dos quintos de otro. Obtenga los dos si su suma es Un entero supera en 4 a otro. Encuentre ambos si un cuarto del menor es igual a un quinto del mayor. 18. La suma de tres números es 44. El segundo es el doble del primero, y el tercero es 4 menos que el primero. Hállelos. 19. La suma de tres números es 78. El segundo es el doble del primero, y el tercero es el triple del primero. Obtenga los números. 20. Halle tres enteros consecutivos tales que la suma del primero y el segundo supere en 20 al tercero. 21. Encuentre tres enteros consecutivos tales que la suma del segundo y el tercero sea 9 unidades menor que el triple del primero. Respuesta de los impares: 1) 6 ; 3) 14; 5) 15; 7) 60; 9) 18,6; 11) 120,160 13)92,138 15) 8,11; 17) 20,16; 19) 13,26,39; 21) 12,13,14 64

65 B) Problemas de porcentaje 1. Cierto automóvil se vendió en $16,000 dólares hace dos años. El mismo modelo se vende este año en $18,000. Cuál es el porcentaje de aumento en el precio de compra? 2. Margarita obtiene en sus exámenes un total de 240 puntos de 320 posibles. Cuál es su calificación porcentual? 3. El precio por libra de cierto corte de carne es $2.52 dólares en el año presente. Si el precio correspondiente fue de $2.40 el año pasado, cuál es el porcentaje de aumento del precio por libra? 4. Si se asignan 8.4 millones de barriles de petróleo diarios para el consumo de cierto país y solamente se utilizan 6.3 millones, qué porcentaje de la asignación no se consume? 5. Mirna gasta $75 dólares a la semana en alimentos. Cuánto deberá gastar a la semana si su precio aumenta 8%? 6. Mauricio gana $2100 dólares al mes. Cuánto ganará mensualmente si su salario se incrementa 6%? 7. El ingreso bruto de una empresa es de $450,000. Cuál es el nuevo ingreso si las ventas aumentan 12%? 8. Una casa se vendió en $168,500 dólares. Cuánto recibe el propietario si el corredor de bienes raíces tiene una comisión del 6% sobre el precio de venta? 9. Este año, la depreciación de un automóvil es de $ dólares en base a una tasa de depreciación del 12%. Cuál era el precio del auto? 10. Un corredor de bienes raíces recibió una comisión de $31,440 por la venta de una casa en Los Ángeles. En cuanto se vendió la casa si el corredor cobró un 6% del precio de la venta? 11. El descuento aplicado a un equipo estereofónico fue de $ en base a una tasa del 18%. Cuál era el precio normal del equipo? 12. Paty compró un abrigo de pieles con un impuesto del 6.5% incluido, en $8903. Cuál fue el precio del abrigo sin impuesto? 65

66 13. El señor Eduardo compró un televisor a color con un impuesto del 6.5% incluido, en $ Cuál es el precio de venta del televisor antes de aplicar el impuesto? 14. En cuanto se venderá un sofá si su precio normal es de $840 y la tienda ofrece un 15% de descuento? 15. Un equipo de aire acondicionado fue vendido en $345 luego de aplicar un 25% de descuento. Cuál era el precio normal del equipo? 16. Cuál es el precio normal de un traje si se ha vendido en $245 luego de aplicar un 12.5% de descuento? 17. El costo de un alimentador para aves es de $45 y su precio de venta es de $63. Cuál es el margen de utilidad sobre el costo? 18. El costo de una botella de licor es $19.25 y su precio de venta es de $25. Cuál es el margen de utilidad sobre el precio de venta? 19. El precio de venta de un reloj es de $126. Cuál es el costo si el margen de utilidad es de 40% del costo? 20. El precio de venta de una estufa eléctrica es de $756. Cuál es el costo si la ganancia es el 35% del costo? 21. El costo de una alfombra es de $581. Cuál es el precio de venta si el margen de utilidad es es 30% del precio de venta? 22. El costo de un automóvil es de $7320. Cuál es el precio de venta si el margen de utilidad es el 25% del precio de venta? 23. Dos sumas de dinero que totalizan $30,000 ganan, respectivamente, 6% y 9% de interés anual. Encuentre ambas cantidades si, en conjunto, producen una ganancia de $2, Dos sumas de dinero que totalizan $45,000 ganan, respectivamente, 6.8% y 8.4% de interés anual. Halle ambas cantidades si juntas dan una ganancia de $3, Ines tiene $10,000 invertidos al 6%. Cuánto debe invertir al 7.5% para que el interés de ambas inversiones le den un ingreso de $2,400? 26. Juan tiene $9,000 invertidos al 7%. Cuánto debe invertir al 9.2% para que el interés de ambas inversiones le den un ingreso de $4,862? 66

67 27. La Sra. López invirtió dos sumas iguales de dinero, una de 5.25% y la otra de 7.75%. Cuánto invirtió en total si su ingreso por interés fue de $1040? 28. El Sr.Rico realizó dos inversiones cuiya diferencia es de $18,000. La inversión menor es al 7.8% y la mayor al 8.6%. determine las cantidades invertidas si el ingreso anual total por intereses es de $2, El Sr. Braulio invirtió una parte de $40,000 al 6.2% y el resto al 7.4%. Si su ingreso por la inversión al 7.4% fue de $1,328 más que el de la inversión al 6.2%, qué tanto estaba invertido en cada tasa? Respuesta a los problemas impares: 1) 12.5%; 3) 5%; 5) $81; 7) $504,000; 9) $18,840; 11) $6,470; 13) $740; 15) $460; 17) 40%; 19) $90; 21) $830 23) $12,000 a 6%; $18,000 a 9%; 25) $24,000; 27) $16,000; 29) $12,000 a 6.2%; $28,000 a 7.4% C) Problemas de mezclas 1. Cuántos galones de agua deben agregarse a 2 galones de una solución de sal al 10% y agua, para producir una solución al 4%? 2. Cuántas onzas de alcohol deben añadirse a 100 onzas de una solución al 12% de yodo en alcohol para obtener una solución al 8% de yodo? 3. Cuántos litros de una solución de sal al 30% deben agregarse a 10 litros de igual solución al 16% para producir una al 20%? 4. Cuántas onzas de una solución de yodo al 16% deben añadirse a 60 onzas del mismo tipo de solución al 3% para obtener una al 8%? 5. Cuántas pintas de una solución con desinfectante al 4% deben agregarse a 20 pintas de otra igual al 30% para obtener una al 12%? 6. Cuántos litros de una solución de ácido al 80% deben añadirse a 15 litros de igual solución al 6% para hacer una al 20%? 67

68 7. Un hombre mezcló 100 libras de una aleación de cobre al 90% con 150 libras del mismo tipo de aleación al 60%. Cuál es el porcentaje de cobre en la mezcla? 8. Un platero mezcló 20 kilogramos de una aleación de plata al 70% con 55 kilogramos de la misma aleación al 40%. Cuál es el porcentaje de plata en la mezcla? 9. Susana mezcló 800 gramos de una solución de yodo al 6% con 700 gramos de una solución del yodo al 9%. Cuál es el porcentaje de yodo en la mezcla? 10. Jaime mezcló 45 litros del mismo tipo de solución al 18% con 60 litros de una al 32%. Cuál es el porcentaje de ácido en la mezcla? 11. Rodrigo mezcló 60 libras de una aleación de aluminio al 30% con 140 libras de la misma aleación. Cuál es el porcentaje de aluminio en la segunda aleación si la mezcla es de 65% de aluminio? 12. Un químico mezcló 200 gramos de una solución de yodo al 30% con 500 gramos de otra solución de yodo. Cuál es el porcentaje de yodo en la segunda solución si la mezcla es de 20% de yodo? 13. Margarita mezcló 30 litros de una solución desinfectante al 46% con 55 litros de otra. Cuál es el porcentaje de desinfectante en la segunda si la mezcla contiene 24% de desinfectante? 14. René mezcló 42 kilogramos de una aleación de cobre al 80% con 78 kilogramos de otra aleación. Cuál es el porcentaje de cobre en la segunda aleación si la mezcla es de 57.25% de cobre? 15. Julia mezcló una aleación de plata al 40% con otra, al 90%, para hacer una al 75%. Si hay 20 onzas más de la aleación al 90% que la de 40%, Cuántas onzas hay en la mezcla total? 16. Un agricultor mezcló un fertilizante que contiene 20% de nitrógeno con otro de 60% para hacer un fertilizante con 34% de nitrógeno. Si hay 36 kg menos del fertilizante de 60% que del de 20%, Cuántos kilogramos hay en la mezcla total? 68

69 17. Una planta procesadora de alimentos desea producir 1020 litros de salsa de tomate con 30% de azúcar. Si tienen una salsa con 16% de azúcar y otra con 50%, Qué cantidad de cada clase de salsa deben de emplear? Respuesta a los problemas impares: 1) 3 galones; 3) 4 litros; 5) 45 pintas; 7) 72%; 9) 7.4%; 11) 80%; 13) 12%; 15) 50 onzas; 17) 600 litros al 16%; 420 litros al 50% D) Problemas de valor monetario 1. Pedro tiene $3.40 en monedas de 5 y 10. Si dispone en total de 47 monedas, cuántas de cada clase posee? 2. Rosa tiene $4 en monedas de 5 y 25. Si posee un total de 32 monedas, cuántas tiene de cada clase? 3. Raymundo tiene $7.60 en monedas de 10 y 25. Si en total dispone de 40 monedas, cuántas de cada clase posee? 4. Leonor tiene 6 monedas más de 25 que de 10. Si el valor total es de $9.20, cuántas tiene de cada clase? 5. Raquel posee 8 monedas más de 5 que de 10. Si el valor total es de $3.10, cuántas monedas de cada clase posee? 6. Gerardo compró $8.7 dólares de estampillas de 15 y 25. Si adquirió 42 de éstas en total, cuántas de cada clase compró? 7. Ramiro tiene 99 dólares en billetes de $1, $5 y $10. Hay 26 de ellos en total y la cantidad de billetes de $1 es el doble de la de $5. cuántas tiene de cada clase? 8. Alma tiene $13 dólares en monedas en monedas de 5, 10 y 25. Si en total posee 92 monedas y el número de éstas de 10 es el doble del de 5, cuántas posee de cada clase? 9. Nora tiene el doble de monedas de 25 que de 5 y tiene 3 más de 5 que de 10. Si el valor total de las monedas es $8.15, cuántas tiene de cada clase? 69

70 10. Naty compró $9.20 dólares de estampillas de 10, 15 y 25 con un total de 50. Si la cantidad de las de 25 que compró es el doble de la correspondiente a las de 15, cuántas estampillas adquiró de cada clase? 11. Eduardo compró $5.75 dólares de estampillas de 10, 15 y 25 con un total de 39. Si la cantidad de estampillas de 15 es el triple de las de 10, cuántas consiguió de cada clase? 12. Doroteo compró 11 dólares de estampillas de 10, 15 y 25 con un total de 58. Si la cantidad de 25 es el cuádruplo de las de 15, cuántas obtuvo de cada clase? 13. Un abarrotero mezclal 2 clases de nuez, una vale $2.59 la libra y, la otra, $3.99. Si la mezcla pesa 84 libras y vale $3.09 la libra, cuántas libras de cada clase utiliza? 14. Un tendero mezcla 2 clases de grano de café, uno vale $2.79 la libra y el otro $3.09. Si la mezcla pesa 400 libras y se vende $3.09 la libra, cuántas libras de cada clase de grano emplea? 15. Un confitero mezcla caramelo que vale 139 la libra con otro a 84 la libra. Si la mezcla pesa 240 libras y se vende a 177 la libra, cuántas libras de cada clase de caramelo usa? 16. Cuántas libras de té de $4.59 la libra deben mezclarse con 27 libras de un té de $3.79 la libra para producir una mezcla con un precio de $3.99 la libra? 17. Micaela compró $13.55 de estampillas de 10, 15 y 25 con un total de 62. Si hay 2 estampillas más de 15 que el doble de las de 10, cuántas adquirió de cada clase? 18. Roque compró $10.70 de estampillas de 10, 15 y 25 con un total de 53. Si el número de las de 25 es 4 menos que el quíntuplo de las de 10, cuántas consiguió de cada clase? 19. Soila Jhonson tien $7 dólares en monedas de 5, 10 y 25. Si posee 39 en total y hay 5 más de 25 que el doble de las de 10, cuántas monedas de cada clase hay? 70

71 20. Bruno dispone de $20 dólares en monedas de 10, 25 y 50. Si en total tiene 110 y hay 2 menos de 10 que el séxtuplo de las de 50, cuántas posee de cada clase? 21. La recaudación por la venta de 35,000 boletos para un partido de fútbol americano fue de $305, Si se vendieron a $8 y $11, cuántas de cada clase fueron vendidos? Respuesta a los problemas impares: 1) 26 monedas de 5 ; 21 de 10 13) 54 libras a $2.59 y 30 libras a $3.99 3) 16 monedsa de 10 ; 24 de 5 15) 144 libras a 139 ; 96 libras a 84 5) 26 monedas de 5 ; 18 de 10 17) 5 de 10 ; 12 de 15 ; 45 de 25 7) 14 de $1; 7 de $5; 5 de $10 19) 7 de 5 ; 9 de 10, 23 de 25 9) 13 monedas de 5 ; 10 de 10 ; 26 de 25 21) 26,500 a $8; $8,500 a $11 11) 8 de 5 ; 24 de 15 ; 7 de 25 E) Problemas de Movimiento 1. Dos grupos de boy scouts que se hallan a 25 millas entre sí, decidieron acampar juntos en cierto punto intermedio. Si uno de los grupos camina 1/3 de milla por hora más aprisa que el otro y se encuentran en 3 horas, cuál es la velocidad de cada grupo? 2. Dos automóviles que están a una distancia de 464 millas entre sí y cuyas velocidades difieren en 8 mph, se dirigen el uno hacia el otro. Se encontrarán dentro de 4 horas. Cuál es la velocidad de cada automóvil? 3. Dos automóviles parten del mismo lugar y viajan en direcciones opuestas. El primer auto hace un promedio de 45 mph y el segundo, tiene uno de 50 mph. En cuántas horas se encontrarán a 570 millas entre sí? 71

72 4. Dos coches parten de un mismo punto en direcciones opuestas. Uno de ellos hace un promedio de 6 mph más que el otro. Determine las velocidades de ambos sí al cabo de horas se encuentran a 528 millas entre sí. 5. Un avión a reacción que vuela a una velocidad de 750 mph va a alcanzar a otro que partió dos horas antes y que vuela a una velocidad de 500 mph. A qué distancia del punto de partida encontrará el primer avión al segundo? 6. Un automóvil parte a una velocidad de 50 mph. Un segundo sale 3 horas más tarde a una velocidad de 65 mph para alcanzar al primero. En cuántas horas alcanzará el segundo auto al primero? 7. Un hombre cabalgó de ida a una velocidad de 30 mph y de regreso a una velocidad de 35 mph. Su viaje redondo duró horas. Qué distancia recorrió? 8. Bertha condujo su automóvil 48 minutos a cierta velocidad. Una descompostura la obligó a reducirla en 30 mph por el resto del viaje. Si la distancia total recorrida fue de 65 millas y le tomó 2 horas y 3 minutos, qué distancia manejó a la velocidad baja? 9. Enrique manejó 40 millas. En las primeras 20 hizo un promedio de 60 mph y condujo las restantes 20 a una velocidad promedio de 40 mph. Cuál fue la velocidad promedio del recorrido total? 10. Un hombre manejó 20 millas a una velocidad media de 30 mph y las siguientes 80 a la de 60 mph. Cuál fue la velocidad promedio del recorrido total? 11. Samuel viajó en autobús a una ciudad a 60 millas de distancia y regresó a casa en su bicicleta. El autobús viajó al doble de la velocidad de la bicicleta y el viaje redondo duró horas. A qué velocidad viajó Samuel en su bicicleta? 72

73 Respuesta a los problemas impares: 1) ; 3) 6 h; 5) 3,000 millas; 7) 105 millas; 9) 48 mph; 11) 20 mph F) Problemas de Geometría 1. La base de un rectángulo mide 6 pies más que su altura y el perímetro es de 96 pies. Encuentre las dimensiones del rectángulo. 2. La altura de un rectángulo mide 8 pies menos que la base. Si el perímetro del rectángulo es de 60 pies, halle las dimensiones de éste. 3. La base de un rectángulo es el triple de la altura, y el perímetro es de 256 pies. Obtenga las dimensiones del rectángulo. 4. La base de un rectángulo mide 4 pies más que el doble de la altura, y el perímetro es de 146 pies. Determine las dimensiones del rectángulo. 5. La base de un rectángulo mide 7 pies menos que el doble de la longitud, y el perímetro es de 58 pies. Encuentre el área del rectángulo. 6. La base de un rectángulo mide 10 pies más que el doble de su altura y el perímetro es de 170 pies. Halle el área del rectángulo. 7. Si dos lados opuestos de un cuadrado se incrementan en 3 pulgadas cada uno y los otro dos disminuyen 2 cada uno, el área aumenta en 8 pulgadas cuadradas. Encuentre el lado del cuadrado. 8. Si dos lados opuestos de un cuadrado aumentan 5 pulgadas cada uno y los otros dos disminuyen 3 cada uno, el área se incrementa en 33 pulgadas cuadradas. Obtenga el lado del cuadrado. 9. Si dos lados opuestos de un cuadrado se incrementan en 6 pulgadas cada uno y los otros dos lados disminuyen 4 cada uno, el área permanece constante. Determine el lado del cuadrado. 10. Si dos lados opuestos de un cuadrado aumentan 10 pulgadas cada uno y los otros dos disminuyen 8 cada uno, el área decrece 20 pulgadas cuadradas. Hallar el lado del cuadrado. 73

74 11. La base de un cuadrado sin marco mide el doble de su altura. Si el marco tiene 2 pulgadas de ancho y su área es de 208 pulgadas cuadradas, encuentre las dimensiones del cuadrado sin marco. 12. La base de una pintura sin marco es 3 pulgadas menos que el doble de su altura. Si el marco tiene 1 pulgada de ancho y su área es de 34 pulgadas cuadradas, cuáles son las dimensiones de la pintura sin marco? 13. Un edificio ocupa un terreno rectangular que mide de largo 30 pies menos que el doble de su ancho. La banqueta que rodea el edificio tiene 10 pies de anchura y un área de 4,600 pies cuadrados. Cuáles son las dimensiones del terreno que ocupa el edificio? 14. Una construcción se asienta en un terreno rectangular que mide de largo 10 pies menos que el doble de su ancho. La banqueta que rodea la construcción tiene 8 pies de anchura y su área es de 2,496 pies cuadrados. Determine las dimensiones del terreno de la construcción. 15. La longitud de un edificio es de 20 pies menos que el doble de su anchura. El alero de la azotea es de 2 pies de ancho en todos los lados del edificio y su área es de 536 pies cuadrados. Si el costo del techo por pie cuadrado es de $3.60, determine el costo total del techo. 16. La longitud de un cuarto es de 9 pies menos que el doble de su anchura. La alfombra del cuarto está a 1.5 pies de las paredes. El área de la parte descubierta del piso es de 99 pies cuadrados. Si el costo de una yarda cuadrada de la alfombra es de $162, obtenga el costo total de la alfombra. (1 yarda = 3 pies) 17. Un lado de un triángulo mide el doble de otro. El tercer lado es de 6 pulgadas y el perímetro es de 18. Encuentre la longitud de cada uno de los lados. 18. La suma de la base y la altura de un triángulo es 35 pies. Encuentre el área del triángulo si su base mide 10 pies menos que el doble de su altura. 74

75 19. La suma de la base y la altura de un triángulo es 62 pies. Encuentre el área del triángulo si su altura mide 22 pies menos que el doble de su base. Respuesta a los problemas impares: 1) 21 pies, 27 pies; 3) 32 pies, 96 pies; 5) 204 pies cuadrados; 7) 14 pulgadas; 9) 12 pulgadas; 11) 32 pulgadas, 16 pulgadas; 13) 130 pies, 80 pies; 15) $16,329.60; 17) 4 pulg, 6 pulg, 8 pulg; 19) 476 pies cuadrados. G) Problemas donde se realiza un trabajo 1. Una llave llenaría un tanque en 10 horas, y otra llave lo llenaría en 15 horas. Estando el tanque vació, en cuanto tiempo se llenará, si se abren las dos llaves a la vez? Resp: 6 horas 2. Un hombre puede hacer cierto trabajo en 21 hr, otro hombre puede hacer el trabajo en 28 hr, y un muchacho puede hacer el trabajo en 48 hr. Encuentre cuanto tiempo necesitaría para hacer el trabajo si los tres trabajaran juntos. 3. La persona A puede pintar una casa en 10 días y la persona B puede pintar una casa en 12 días. Cuánto tiempo tomaría pintar la casa trabajando los dos hombres conjuntamente? 4. Un trabajador voluntario requirió 2 horas para escribir la dirección de un grupo de sobres para un fondo de cariadad, mientras que el segundo trabajador requirió tres horas para el mismo grupo de sobres, cuánto tiempo tomaron los 2 trabajadores para escribir la dirección a un grupo similar de sobres? 5. Un trabajador de mantenimiento necesitó 8 horas para lavar las ventanas de cierto edificio. El mes siguiente su ayudante tomó 10 horas para lavar las ventanas. Si los dos trabajadores lo hicieran juntos, cuánto tiempo tomaría en lavar las ventanas? 75

76 6. Un tanque puede llenarse con u tubo en 9 hr y con otro tubo en 12 hr. Si el tanque está vacío al empezar, en cuánto tiempo se llenará el tanque de agua sí está saliendo el agua por un tercer tubo a una razón de de la capacidad del tanque por hora? 7. Una persona A puede hacer cierto trabajo en 4 hr, B puede hacer la tarea en 6 hr, y C puede hacer la tarea en 8 hr. Cuánto tiempo llevaría hacer la tarea si A y B trabajan una hora y después B y C terminan el trabajo? Respuesta a los problemas impares: 1) 6 hr; 3) días; 5) horas; 7) 3 hrs 76

77 H) En cada una de las siguientes situaciones completa los datos que faltan en la tabla para encontrar la solución. 1. Las medidas de un cartel. Un anuncio tiene impresa su parte central con forma rectangular, que mide 100 por 140 centímetros y está enmarcada con una banda de ancho constante. El perímetro del cartel es 1.5 veces el del área impresa. Cuál es el ancho de la banda, y cuáles son las dimensiones del cartel? Imagen del problema Datos Perímetro del área impresa = (2)(100) + (2)(140) = 480 Perímetro del cartel = 1.5 veces el perímetro del área impresa = 720 Lo que se pide Ancho de la banda = x Dimensiones del cartel = ( x)( x) Perímetro = 2( x) + 2( x) Ecuación Solución Ancho de la banda = Dimensiones del cartel = 77

78 2. Que tan alto es el edificio. Se desea calcular la altura de un edificio y, para tal fin, una persona de 1.80 m mide la sombra que proyecta el edificio y ésta resulta ser de 10 m, mientras que su propia sombra es de 1 m. Cuál es la altura h del edificio? Imagen del problema Datos Sombra del edificio = Sombra de la persona = 3. Altura de la persona = Lo que se pide Altura del edificio = Ecuación Solución Considerando las razones entre triángulos Altura del edificio = 78

79 I) ACTIVIDAD GRUPAL Formen grupos de trabajo de cuatro a cinco estudiantes y desarrollen los siguientes cálculos. Respondan en una hoja aparte y presente su información al grupo. 1. En un café internet el costo por utilización del servicio es $0.20 por minuto. a. Expresen mediante una función entre el costo y el tiempo, y grafiquen la función. b. Cuál es el costo por hora de servicio? c. Si el dueño del establecimiento tiene 5 computadoras para el servicio y abre 9 horas al día, Cuánto es el máximo que obtendría de ganancia por día? 2. En un billar el costo por jugar en una mesa es de $35 por hora. a. Cuál es el costo por jugar t horas? b. Cuál es la utilidad máxima que obtendría el dueño, del establecimiento por esa mesa, si abre 12 horas diarias. c. Cuál es la utilidad que obtendría el dueño, si tiene 10 mesas? d. Si 2 jugadores ocupan la mesa y pagaron $180, Cuánto tiempo jugaron? 79

80 Competencia 2 ECUACIONES LINEALES EN DOS Y TRES VARIABLES Explicar los distintos métodos que existen para resolver una ecuación lineal en dos o tres variables. Resolución de problemas en palabras que dan lugar a una ecuación lineal en dos o tres variables. Saberes 1. Ecuaciones lineales en dos y tres variables Método Gráfico Método por Suma y Resta Método por Igualación Método por Sustitución Método por Determinantes 2. Problemas en palabras que dan lugar a un sistema de ecuaciones lineales. Ejercicios 1. A resolver ecuaciones lineales en dos y tres variables 2. A resolver problemas cotidianos que dan lugar a un sistema de ecuaciones lineales. 80

81 Saberes Nombre Ecuaciones lineales en dos y tres variavles No. 1 Instrucciones para el alumno Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para simplificar una expresión que contenga exponentes fraccionarios Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables Los elementos del conjunto solución de una ecuación lineal constituyen una cantidad infinita de parejas ordenadas que pueden representarse gráficamente con una línea recta. Cuando de dibujan las gráficas de dos ecuaciones lineales en dos variables en un sistema de coordenadas cartesianas surge una de las siguientes posibilidades: 1. Las dos rectas coinciden 2. Las rectas no se intersecan; en tal caso se llaman rectas paralelas 3. Las rectas se intersecan precisamente en un punto. Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables Muchas veces se requiere encontrar la solución común, o conjunto solución común de dos o más ecuaciones que forman un sistema de ecuaciones. DEFINICIÓN: El conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones en dos variables que tienen la forma y es el conjunto de todas las parejas ordenadas de números que constituyen soluciones comunes a las dos ecuaciones. Es la intersección del conjunto solución de una de las ecuaciones con el de la otra. 81

82 1. Cuando las dos rectas se intersecan exactamente en un punto, el conjunto solución del sistema es la pareja ordenada formada por las coordenadas del punto de intersección. 2. Cuando las dos rectas coinciden, lo cual significa que al dibujarlas una recta queda sobre la otra, el conjunto solución del sistema es el de cualquiera de las ecuaciones. 3. Cuando las dos rectas no se intersecan, el conjunto solución del sistema es el conjunto vacio. Algunos de los métodos de solución son los siguientes: 1. Solución Gráfica 2. Solución por Suma y Resta 3. Solución por igualación 4. Solución por Sustitución 5. Solución por Determinantes I. Solución grafica Ejemplo 1 Resolver el siguiente sistema: 2x + y = x + y = Se procede como sigue: En la ecuación (1) despejamos el valor de (y), colocando esta incógnita es función de (x) como a continuación se indica: y = 16 2x Ahora efectuamos una tabulación (damos valores a x y vemos que valores adopta y). 82

83 En la ecuación (2) también despejamos a (y) y tabulamos: Tabulaciones A continuación, graficamos ambas ecuaciones (ambos lugares geométricos) en un sistema de ejes coordenados: La solución gráfica del sistema de ecuaciones simultáneas está dada por el punto de intersección entre ambas rectas. Solución: x = 6 y = 4 Comprobación: 2(6) + (4) = 16 83

84 II. Solución por suma o resta Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de eliminación por suma o resta, se aplica el siguiente procedimiento: 1. Multiplicamos los dos miembros de una ecuación, o de ambas, por factores tales que igualen los coeficientes de una misma incógnita. 2. Sumamos las ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y las restamos si son del mismo signo. 3. Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior, con lo cual obtenemos el valor de una incógnita. 4. Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales y resolvemos para la otra incógnita. Ejemplo 2 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x + y = 4 ecuación 1 + x y = 2 ecuación 2 Sumamos ambas ecuaciones 2x = 6 Sustituimos en 1: Podemos hacer la comprobación (3) + y = 4 x + y = = 4 y = 4 3 x y = = 2 y = 1 Solución: x = 3, y = 1 84

85 Ejemplo 3 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas: X + 2y = 5.1 X + y = 4.2 Multiplicamos la ecuación 2 por (- 1) y la sumamos a la ecuación 1. Nota: Usted tiene la libertad de eliminar cualquiera de las variables, según sea su preferencia. X + 2y = 5 Sustituyendo y = 1 en ec. (2) Comprobación: -x y = -4 Ecuación (1): y = 1 Solución: Ecuación (2): Ejemplo 4 Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas:.1..2 Multiplicamos la ecuación 1 por 3 y la ecuación 2 por 2 y luego las sumamos: Sustituimos en ecuación 1 (porque es mi elección, pudiera ser la ecuación 2) por lo tanto 85

86 III. Solución por igualación Para resolver un sistema de dos ecuaciones simultáneas, eliminando por el método de igualación, aplicamos el siguiente procedimiento: 1. Despejamos en cada ecuación la incógnita que se quiere eliminar. 2. Igualamos las dos expresiones del paso anterior. 3. Resolvemos la ecuación resultante de la igualación, con lo cual obtenemos el valor de una de las incógnitas. 4. Sustituimos el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita y resolvemos para ella. Ejemplo 5. Resuelve: X + y = 12 (1 X y = 8 (2 Despejamos a x en ambas ecuaciones e igualamos: De 1: x = 12 y de 2: x = 8 +y Por lo tanto: Como: Comprobación 12 y = 8 + y (10) + (2) = 12 -y y = = 12-2y = - 4 (10) ( 2) = 8 2y = 4 8 = 8 y = 2 86

87 Ejemplo 6 Resolver el sistema: ecuación 1 ecuación 2 Aunque pudiera despejar la x, elijo despejar la y por ilustración al alumno: De ecuación (1): De ecuación (2): (Se multiplicó por -1) Igualamos: Multiplicamos por el m.c.m. = 6 Lo cual nos da: Al sustituir x = 2 en la ecuación (1) despejada: Solución: 87

88 IV. Solución por sustitución: El procedimiento es el siguiente: 1. Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones. 2. Sustituimos la ecuación que representa su valor en la otra ecuación. 3. Resolvemos la nueva ecuación con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada. 4. Sustituimos el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resolvemos la ecuación resultante. Ejemplo 7 Resuelve: x + y = 23 (1 x y = 7 (2 Despejamos el valor de y en la ecuación 1: y = 23 x (3 El valor de y obtenido en la ecuación 3 se sustituye en la ecuación 2: x (23 x) = 7 x 23 + x = 7 Sustituimos x = 15 en ecuación (3) 2x = x = 30 x = 15 Solución: 88

89 Ejemplo 8 Resolver por sustitución el sistema: De la primera ecuación, y la sustituimos en la segunda ecuación: Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por 2, obtenemos Sustituyendo en resulta: Solución: y 89

90 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON MÁS DE DOS INCÓGNITAS Para resolver estos sistemas se pueden escoger cualquiera de los métodos vistos anteriormente. Ejemplo 9 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas: 2x 6y 5z = -11. (1 10x + 9y 3z = 50 (2 4x 8y + z = 15. (3 Elijo eliminar a (y) de las ecuaciones 1 y 2, multiplicamos la ecuación 1 por 9 y la ecuación 2 por 6 y sumamos ambas expresiones: + 18x 54y 45z = x + 54y 18z = x - 63z = (4 Ahora multiplicamos la ecuación 2 por 8 y la ecuación 3 por 9 y las sumamos: 80x + 72y 24z = x 72y + 9z = x - 15z = 535. (5 Ahora hagamos simultáneas las ecuaciones 4 y 5. Eliminemos a z multiplicando la ecuación 4 por (- 15) y la ecuación 5 por 63 y luego sumemos: -1170x + 945z = x 945z = x = x por lo tanto

91 Sustituimos en 5: Sustituimos en 1: 116(5) 15z = 535 2(5) 6y 5(3) = z = y 15 = z = y -5 = z = y = z = 45-6y = -6 z = 3 y = 1 Solución: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS POR DETERMINANTES (Regla de Cramer) Antes de entrar a la resolución de ecuaciones simultáneas por determinantes, veamos que es un determinante y como se resuelve. Determinante de segundo orden. Es la ordenación cuadricular de 4 números y se desarrolla de la manera siguiente. Calcula el valor del siguiente determinante: 91

92 Determinante del tercer orden. Es una ordenación cuadricular de números, que consta de 3 columnas y 3 renglones. El desarrollo de un determinante de tercer orden es el siguiente: (Se repiten las dos primeras columnas) Calcula el valor del siguiente determinante: El determinante vale 92

93 Veamos ahora la aplicación de los determinantes a la resolución de sistemas de ecuaciones simultáneas. El procedimiento es el siguiente: 1. Se ordenan las ecuaciones de tal modo que las constantes aparezcan en el miembro de la derecha y las variables en el de la izquierda. 2. Calculamos el valor del determinante formado por la ordenación cuadricular de los coeficientes de las incógnitas; a dicho determinante le llamaremos (delta). 3. En el determinante sustituimos la primer columna (correspondiente a los coeficientes de la primer incógnita por la columna de las constantes de las ecuaciones y calculamos el valor de este nuevo determinante al cual le llamaremos x (delta equis). Si sustituimos la segunda columna en delta por la columna de las constantes, entonces tendremos a y (delta ye) y así sucesivamente Aplicando la siguiente formula (regla de Cramer), Nota: Si en lugar de x, y, z las incógnitas tuvieran otras literales, únicamente haremos las modificaciones pertinentes. Ejemplo 10 Resuelve por determinantes el sistema siguiente: 2X + 3Y = 8 3X - Y = 1 93

94 x x y y X = 1 Y = 2 Ejemplo 11 determinantes: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas por 2x 6y 5z = -11. (1 10x + 9y 3z = 50 (2 4x 8y + z = 15. (3 Nota: El alumno debe verificar el valor de los determinantes Por lo tanto, la solución es: 94

95 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES QUE CONTIENEN SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN Y FRACCIONES Cuando alguna o ambas ecuaciones contienen símbolos de agrupación, se aplica la ley distributiva para eliminarlos. Se escriben ecuaciones equivalentes de la forma y, luego, se resuelve. Ejemplo 12 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: y Solución: Se simplifican ambas ecuaciones separadamente:. Ec. (1) Ec. (2) Resolvemos ahora el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2) Ec. (1) multiplicada por Sustituyendo en la ecuación (1) tenemos, El resultado es 95

96 Ejemplo 13 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones ; Solución: Multiplicamos la primera ecuación por 4, y la segunda por 12, lo cuál da: Sustituyendo en cualquier ecuación da: 96

97 Ejercicios Nombre A resolver ecuaciones lineales en dos y tres variables No. 1 Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas Orden Responsabilidad Manera didáctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas EJERCICIOS I. Resuelve por método gráfico los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas: 1. x x y y x x y y x x y y x 2 y 7 3x y x y 4 x 3y 2 II. Resuelve por el método de eliminación por suma o resta los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas: 6. x y 2 2x y x y 6 3x y 1 8. x x 2y 6 3y x 7 y 10 8x 13y x y 3 3x 2y 8 x 3y x 5y x 7 y 26 5x y x 2 y 3 7x 3y x 3 y 6 3x 5y 19 97

98 III. Resuelve por método de eliminación por igualación los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas: x y 1 3x y x x 2y 2 3y x x y 5 4y x 5 y 2 5x 3y y 11x 67 2x 5y x 7 y 2 7x 8y x 3 y 5 3x 2y x 3 y 5 3x 4y 18 IV. Resuelve por el método de eliminación por sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas: x y 0 2x y 5 x 4y x 4y y x 7 5x 3y 3 2x 26. x 3y 2 3x 5y x 6 y 17 3x y x y 37 2x 3y 31x 13y x y y 6 x 2y 4y 3 V. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los métodos de eliminación: 30. x y z 12 2x 2y 2z 3 x 3y z x 4y 2z 0 3x 5y 3z 4 x 7 y 2z x y 2z 9 4x 3y z 19 x 2y z x y z x y z y z x x y z 34. 2x z y 9 5x 2y z x y z 14 x y 6 z y x (4 z) VI. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas por el método de determinantes x y 4 3x 4y x y 5 2x 3y x 3 y 2 x y 4 0 3x 2y 4z x y 5z 2 2x 3y Z 6 98

99 VII. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los métodos que usted quiera VIII. Aquí tienes más ecuaciones para que practiques por el método que gustes:

100 Solución a los ejercicios impares anteriores: 1. x 3, y 1; 3. x 3, y 2; 5. x 1, y 1; 7. x 1, y 2; 9. x 4, y x 2, y 0 ; 13. x 1, y 1; 15. x 1, y 4 ; 17. x 2, y 3; 19. x 5, y 6; 21. x 1, y 3 ; 23. x 1, y 3; 25. x 2, y 1; 27. x 5, y 3 ; 29. x 3, y 0 ; 31. x 1, y 2, z 3; 33. x 4, y 2, z x 10, y 5, z 1; 37. x 2, y 1 ; 39. x 1, y 3, z ; 43. ; 45. ; 47. ; ; ;

101 Saberes Nombre Instrucciones para el alumno Saberes a adquirir Problemas en palabras que dan lugar a un sistema No. 2 de ecuaciones lineales Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno adquirirá la Mediante habilidad para Manera didáctica exposición y resolver unos de lograrlos tareas problemas cotidianos empleando una ecuación lineal en dos o tres variables. PROBLEMAS QUE DAN LUGAR A UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS O MÁS INCÓGNITAS Muchos problemas con enunciado contienen más de una cantidad desconocida; con frecuencia la ecuación que se plantea en la resolución del problema resulta ser más sencilla si se introduce más de una incógnita. Sin embargo, antes de que el problema esté completamente resuelto, el número de ecuaciones originadas tiene que se igual al número de incógnitas empleadas. 1. Un arrendatario recibió $ 1,200 de alquiler de dos residencias en 1 año; el precio del alquiler de una de ellas era de $10 por mes más que la otra. Cuánto recibió el arrendatario por mes por cada una si la casa más cara estuvo desocupada 2 meses? Solución: Sea, el alquiler mensual de la casa más cara, el alquiler mensual de la otra, entonces ecuación (1) 101

102 ya que una tenía un costo de $10 por mes más que la otra. Además, ya que la primera casa fue alquilada durante 10 meses y la otra por 12 meses, se sabe que es la cantidad total recibida. De aquí que, ecuación (2) Ahora, se tienen las ecuaciones (1) y (2) con las incógnitas y ; se resolverán simultáneamente por eliminación de y. El resultado es como sigue: ecuación (1) por 12 Sustituyendo 60 por x en ecuación (1) da: De este modo Por tanto, la renta mensual fue de $60 y $50, respectivamente. 2. Un comerciante de tabaco mezcló un grado de tabaco que vale $1.40 por libra con otro que vale $1.80 por libra a fin de obtener 50 libras de una mezcla que vendió a $1.56 por libra. Qué peso de cada calidad fue empleado? Solución: Sea, el número de libras del de $1.40 empleado el número de libras del de $1.80 empleado Entonces ecuación (1) Ya que había 50 libras en la mezcla. Asimismo, es el valor en dólares con la primera calidad, tenemos que es el valor en dólares con la segunda calidad y también es el valor en dólares de la mezcla. Por tanto, ecuación (2) 102

103 Ya que (1) y (2) son las ecuaciones requeridas, podemos resolverlas como sigue: ecuación (1) por Sustituyendo 20 por en la ecuación (1), se obtiene Por lo tanto, el comerciante utilizó 30 libras de $1.40 y 20 libras de $1.80 en la mezcla. 3. El doble de un número supera en 9 al triple de otro, mientras que 12 veces el segundo excede en 12 unidades al séptuplo del primero. Hallar ambos. Solución: Primer número Segundo número ecuación (1) ecuación (2) Resolviendo el sistema tenemos que, ecuación (1) por Al sustituir x por 48 en cualquier ecuación resulta Los números son 48 y

104 4. Catalina invirtió parte de su dinero al 8% y el resto al 12%. El ingreso obtenido por ambas inversiones totalizó $2,240. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso hubiera totalizado $2,760. Qué cantidad de dinero había en cada inversión? Solución: Inversiones originales Inversiones intercambiadas x al 8% ; y al 12% x al 12% ; y al 8%.. (1)..(2) Al resolver las ecuaciones (1) y (2) tenemos, ecuación (1) por ecuación (2) por 3 5x = 85,000 x = 17,000 Sustituyendo x por 17,000, se obtiene Las inversiones son $17,000 y $9,

105 5. Si la base de un rectángulo disminuye 2 pulgadas y la altura aumenta 2, su área se incrementa en 16 pulgadas cuadradas. Si la base aumenta 5 pulgadas y la altura disminuye 3, el área aumenta 15 pulgadas cuadradas. Encontrar el área del rectángulo original. Solución: Sea la altura del rectángulo en pulgadas = x Sea la base del rectángulo en pulgadas = y Primero: Segundo: ec. (2) ec. (1) Resolviendo las ecuaciones obtenidas, ec. (1) por 3 Sustituyendo x por 30 obtenemos y = 40 Por consiguiente, el área del rectángulo original 105

106 6. Si una solución de glicerina al 40% se agrega a otra al 60%, la mezcla resulta al 54%. Si hubiera 10 partes más de la solución al 60%, la mezcla sería al 55% de glicerina. Cuántas partes de cada solución se tienen? Solución: Primero: Sean 40% 60% 54% que al dividirla entre 2 Ecuación 1 Segundo: Sean 40% 60% 55% Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 tenemos: Ecuación 2 x (-3) Sumando resulta Al sustituir por 15, obtenemos Las partes correspondientes a las soluciones de glicerina son 15 y

107 7. Una caja registradora contiene $50 en monedas de 5 centavos, de diez centavos y 25 centavos. En total son 802 monedas, siendo 10 veces mayor el número de las de 5 centavos que el de las de 10 centavos. Encontrar cuantas monedas hay de cada valor. Número de monedas de = x Número de monedas de Número de monedas de = y = z Condiciones:.05x +.1y +.25z = 50. Ecuación (1) x + y + z = 802 Ecuación (2) x = 10y Ecuación (3) En esta ocasión decidimos resolver el sistema por determinantes: x Por lo tanto, x x Sustituimos en 3: 10y = 700 y = 70 Sustituimos en 2: (700) + (70) + z = 802 z = monedas de 70 monedas de 32 monedas de 107

108 Ejercicios Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas A resolver problemas cotidianos que dan lugar a un No. 2 sistema de ecuaciones lineales. Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden Manera Responsabilidad didáctica de Ejercicios y tareas sobre el lograrlas tema Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas I. RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS USANDO UN SISTEMA LINEAL EN DOS VARIABLES. 1. El doble de un número supera en 9 al triple de otro, mientras que 12 veces el segundo excede En 12 unidades al séptuplo del primero. Hallar ambos. 2. El doble de un número es 4 unidades menor que otro, mientras que el quíntuplo del primero es 3 unidades menor que el doble del segundo. Halle los dos números. 3. El triple de un número supera en 1 a otro, mientras que el quíntuplo del primero es 4 unidades menor que el doble del segundo.. Encuentre ambos números. 4. Marcos invirtió parte de su dinero al 12% y el resto al 15%. El ingreso por ambas inversiones totalizó $3000. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso habría totalizado $2940. Qué cantidad tenía en cada inversión? 5. El precio del boleto de avión México-Guadalajara es de $850 para adulto y de $500 para niño. Si se vendieron un total de 50 boletos y se obruvieron ingresos por $36,900, cuántos adultos y cuántos niños viajaron en el avión? 108

109 6. El restaurante Los Comales paga a sus camateros $500 a la semana más las propinas que promedian $100 por mesa. El restaurante Las Cacerolas paga $1,000 a la semana pero las propinas promedian sólo $50 por mesa. Cuántas mesas tendría que atender un mesero de modo que su salario semanal fuera el mismo en ambos restaurantes? 7. Una notaria cobra $3500 por elaborar un título de propiedad y $2000 por el acta constitutiva de una empresa. En un mes realizó un total de 22 operaciones que representaron un ingreso de $53,000 por estos conceptos, pero en sus registros no se anotó cuántos títulos de propiedad y cuántas actas constitutivas se elaboraron y ahora se requiere conocer esos datos; Obténlos a partir de la información requerida. 8. Si 6 libras de naranjas y 5 libras de manzanas cuestan $4.19 dólares, mientras que 5 libras de naranjas y 7 de manzanas cuestan $4.88 dólares, determina el presio por libra de cada fruta. 9. Si 5 libras de almendras y 4 de nueces cuestan $30.30 dólares, mientras que 8 libras de almendras y 6 de nueces cuestan $47.20 dólares, determinar el precio por libra de cada producto. 10. Si 12 libras de papas y 6 de arroz cuestan $7.32 dólares, mientras que 9 libras de papas y 13 de arroz cuestan $9.23 dólares, cuál es el precio por libra de cada producto? 11. Si 10 paquetes de maíz y 7 de chícharos cuestan $12.53, mientras que 7 de maíz y 9 de chícharos cuestan $12.52 dólares, halle el precio por paquete de cada producto. 12. Si la longitud de un lote rectangular disminuye 10 pies y la ancura aumenta 10, el área del lote se incrementa en 400 pies cusdrados. Si la longitud aumenta 10 pies y la anchura disminuye 5, el área del lote permanece constante. Halle el área del lote original. 13. Si la base de un rectángulo aumenta 2 pulgadas y la altura disminuye 2, el área disminuye 16 pulgadas cuadradas. Si la base disminuye 1 pulgada y la altura aumenta 2, el área se incrementa en 20 pulgadas cuadradas. Determine el área original del rectángulo. 14. Un ganadero ha vendido 60 terneras y 240 ovejas a un comprador por $17,160 dólares, y con los mismos precios ha vendido 40 terneras y 180 ovejas 109

110 por $12,240. Encuentre los precios por cabeza de cada una de las especies de animales vendidos. 15. Un hombre tiene dos inversiones, una que le deja anualmente un interés de 3% y otra de 4%. El ingreso anual total causado por las inversiones es $170. Si se intercambiaran las razones de interés, el interés total anual sería de $180. Encuentre el monto de cada inversión. 16. Si una aleación de plata al 8% se combinara con otra al 20%, la mezcla contendría 10.4% de plata. Si hubiera 10 libras menos de la aleación al 8% y 10 más de la aleación al 20%, la mezcla resultaría al 12.8% de plata. Cuántas libras de cada aleación se tienen. 17. Si una solución de ácido al 20% se agrega a otra al 50%, resulta una mezcla al 38%. Si hubiera 10 galones más de la solución al 50%, la nueva mezcla resultaría al 40% de ácido. Cuántos galones se tiene de cada solución? 18. Una empresa constructora cobra $350 por elaborar un plano y $600 por un diseño. En un año registró haber efectuado 420 operaciones que representaron un ingreso de $207,000, cuántos planos elaboró? 19. El precio de entrada a un espectáculo es $40 por adulto y $10 por niño. Si se vendieron en total 450 boletos y se obtienen ganancias por $9000, cuántos niños entraron al espectáculo? II. RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS USANDO UN SISTEMA LINEAL EN TRES VARIABLES. 20. Encuentre tres números tales que la suma del primero y segundo es 67, la suma del primero y tercero es 80, y la suma del segundo y el tercero es La suma de tres ángulos de un triángulo es. La suma de dos de los ángulos es igual al tercer ángulo y la diferencia de los dos ángulos es igual a 2/3 del tercer ángulo. Encuentre los ángulos. 22. Un hombre realiza tres inversiones de un total de $24,000 con razones de interés de 6%, 7% y 8% anual. El ingreso tatal anual es de $720 y el ingreso de la inversión al 7% es $40 menos que el ingreso combinado de las otras dos inversiones. Encuentre el monto total de cada inversión. 110

111 23. La biblioteca de una escuela gastó $895 en la compra de 40 libros en total, correspopndientes al las asignaturas de matemáticas, geografía e inglés. En la Librería Cristal los precios son: $28 cada libro de matemáticas, $25 de geografía y $15 el de inglés. Si los hubiera comprado en la Librería Quijote habría gastado $915 en la adquisición del mismo número de libros, pero a un precio de $31 cada libro de matemáticas, $24 de geografía y $14 el de inglés. Cuántos libros de matemáticas, geografía e inglés se adquirieron? 24. Armando ha pagado en el supermercado un total de 1560 pesos por 240 litros de leche, 60 kg de azúcar y 120 litros de aceite. Calcula el precio de cada artículo, sabiendo que 10 litros de aceite cuestan el triple de 10 litros de leche y que 10 kg de azúcar cuestan igual que 40 litros de aceite más 40 litros de leche. 25. En la caja fuerte del abuelo hay 50,000 pesos en billetes de $50, $100 y $200. En total son 802 billetes, siendo 10 veces mayor el número de los de cincuenta que los de cien pesos. Ayuda a mi abuelo a descifrar cuántos billetes hay en cada denominación. Respuesta a los problemas impares anteriores: 1) Los números son 48 y 29; 3) 6 y 17; 5) 34 adultos, 16 niños; 7) 6 titulos de propiedad, 16 actas contitutivas; 9) Almendras a $3.50, nueces a $3.20; 11) Maiz a 63, chícharos a 89 ; 13) 160 pulgadas cuadradas; 15) $3000 al 3%, $2000 al 4%; 17) 20 galones, 30 galones, 19) 300 niños; 21) ; 23) 15 de matemáticas, 10 de geografía y 15 de inglés; 25) 690 de $50, 69 de $100, 43 de $200 pesos. 111

112 Competencia 3 ECUACIONES CUADRÁTICAS Métodos de solución de una ecuación cuadrática. Ecuaciones que se reducen a una ecuación cuadrática. Problemas en palabras que se resuelven con una ecuación cuadrática. Saberes 1. Métodos de solución de una ecuación cuadrática o de segundo grado Métodos de solución: Gráfico Factorización Completando el trinomio cuadrado perfecto Fórmula General Ecuaciones con radicales Ecuaciones reducibles a una de segundo grado Ecuaciones que dan lugar a ecuaciones cuadráticas 2. Problemas en palabras que dan lugar a una ecuación cuadrática. Ejercicios 1. A resolver ecuaciones en forma cuadráticas 2. A resolver problemas en palabras por medio de ecuaciones de segundo grado 112

113 Saberes Nombre Instrucciones para el alumno Saberes a adquirir Métodos de solución de una Ecuación Cuadrática o No. 1 de Segundo Grado Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno adquirirá la Mediante habilidad para Manera didáctica exposición y resolver una de lograrlos tareas ecuación cuadrática por cualquier método. ECUACIONES CUADRÁTICAS. Definición Una ecuación con una sola incógnita es de segundo grado o cuadrática cuando después de reducida a su más simple expresión, el más alto grado de la incógnita es 2. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Toda ecuación de segundo grado con una incógnita puede reducirse en forma general: ax 2 + bx + c = 0 En donde a es el coeficiente de la incógnita al cuadrado, b es el coeficiente de la incógnita a la primera potencia y c es el término independiente. Ecuación cuadrática completa Una ecuación de segundo grado es completa cuando consta de 3 términos: uno en que aparece la incógnita al cuadrado, en otro en que aparece la incógnita a la primera potencia y en un término independiente. 113

114 Ecuación cuadrática incompleta: Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando carece del término independiente o del término con la incógnita a la primera potencia. Cuadráticas puras y cuadráticas mixtas Es cuadrática pura ax 2 + c = 0 Son cuadráticas mixtas ax 2 + bx = 0 ax 2 + bx + c = 0 RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS PURAS En todas las cuadráticas puras, la incógnita es igual a más menos la raíz cuadrada del cociente del término independiente cambiado de signo entre el coeficiente de x 2. Ejemplo 1: Resuelve la siguiente ecuación: 8x 2-5x = 0 5x 2 2x = x = 5x (se multiplicó la ecuación anterior por 4) 3x 2-48 = 0 La solución es ; 114

115 RESOLUCIÓN DE LAS CUADRÁTICAS MIXTAS INCOMPLETA La ecuación de segundo grado en que falta el término independiente tiene una raíz nula (igual a cero), y la otra es igual al cociente formado por el coeficiente del término en x con signo contrario entre el coeficiente de x 2. ax 2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 Esta es otra solución Esta es una solución Ejemplo 2: Resuelve la siguiente ecuación: x 2 9x = 0 Igualamos cada factor a cero x(x 9) = 0 RESOLUCIÓN DE LAS CUADRÁTICAS MIXTAS COMPLETAS. Métodos para resolver cuadráticas mixtas incompletas Método Gráfico Factorización Completando el cuadrado Por Fórmula General 115

116 Resolución de cuadráticas mixtas completas por el método gráfico Procedimiento: 1. Igualamos la cuadrática a una nueva variable (y) 2. Tabulamos: dando valores a x calculamos los valores que adopta y. 3. Graficamos. 4. Los valores de x para los cuales y vale cero, serán las raíces solución de la ecuación. Ejemplo 3: Resolver por el método gráfico 1. Sea 2. Se hace una tabla de valores de que corresponden a los valores asignados de conforme se muestra en la siguiente tabla: 3. Usar los pares de valores que aparecen en la tabla como coordenadas de los puntos en el sistema de coordenadas rectangulares. 4. Dibujar la curva a través de estos puntos. La gráfica resultante es una parábola. Ver la figura. Las soluciones o raíces de la ecuación son los puntos en donde a la ecuación original y, ya que esto conduce. En la tabla podemos ver que las raíces son: 116

117 Resolución de cuadráticas mixtas completas por factorización Procedimiento: 1. Factorizamos la ecuación. 2. Igualamos cada sector a cero y resolviendo para la incógnita en cada caso obtenemos las raíces de la ecuación. Ejemplo 4: Podemos comprobar el resultado de la ecuación anterior, resolviéndola por factorización. Ejemplo 5: Resuelve la siguiente ecuación: 2x 2 5x 3 0 (x 3) (2x + 1) = 0 x 1 3 x 3 = 0 x x + 1 = 0 117

118 Resolución de cuadráticas mixtas completando el cuadro Ejemplo 6: Resuelve la siguiente ecuación: x 2 + 6x 16 = 0 1. Cambiar el término independiente al segundo miembro: x 2 + 6x = Agregar a cada miembro de la ecuación la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado (la mitad de 6 es 3, que el cuadrado de 9, por lo tanto, x 2 + 6x + 9 = x 2 + 6x + 9 = Como el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto, lo sustituimos por un binomio al cuadrado: 2 ( x 3) Sacamos raíz cuadrado a ambos lados de la ecuación, y obtenemos: Por lo tanto las raíces son: 118

119 Ejemplo 7: Resuelve la siguiente ecuación: 2x 2 + 9x 5 = 0 En este caso, primero dividimos la ecuación entre 2 para que el coeficiente de x 2 sea la unidad. 1. Cambiar el término independiente al segundo miembro: 2. Agregar a cada miembro de la ecuación la mitad del coeficiente de x elevado al cudrado: (la mitad de es que al elevarlo al cuadrado da 3. Como el lado izquierdo de la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto, lo sustituimos por un binomio al cuadrado: 4. Sacamos raíz cuadrado a ambos lados de la ecuación, y obtenemos Por lo tanto las raíces son: 119

120 120 Resolución de cuadráticas mixtas completas por formula general Deducción de la formula general. La formula general se deduce al resolver la ecuación literal. 2 0 ax bx c Por el método de completar cuadrado: a ac b a b x a ac b a b x a ac b a b x a b ac a b x a b a c a b x a b x a c x a b x a c x a b x Fórmula general a ac b b x 2 4 2

121 La naturaleza de las raíces puede deducirse a partir del valor numérico del radicando (b 2-4ac), también llamado discriminante, de acuerdo con las siguientes reglas: 1. Si (b 2-2 4ac) > 0. y además cuadrado perfecto, b 4ac Es racional: las raíces son reales, desiguales y racionales. 2. Si b 2 2-4ac)> 0, ser cuadrado perfecto, b 4ac Es irracional; las raíces son reales, desiguales e irracionales 3. Si (b 2-4ac) = 0, las raíces son reales e iguales y cada raíz vale b/2a. 4. Si (b 2 2 4ac) < 0, entonces b 4ac complejas. es imaginario: las raíces son Ejemplo 8: x 2 8x + 15 = 0 X = b 2 b 2a 4ac h X = ( 8) ( 8) 2(1) 2 4(1)(15) x x x x x

122 Ejemplo 9: Resolver la ecuación cuadrática siguiente: 5x 2 24x -5 = 0 x ( 24) ( 24) 2(5) 2 4(5)( 5) x x x ECUACIONES QUE COMPRENDEN RADICALES DE SEGUNDO ORDEN Ejemplo 10: Resuelve la siguiente ecuación 2x 2 2x 1 2x 3 0 Cambiamos el segundo miembro de la ecuación a los términos que no tienen radical. 2x 2 2x 1= 2x -3 Elevamos ambos miembros al cuadrado: 2x 2-2x +1 = (2x -3) 2 2x 2-2x +1 = 4x 2-12x +9 2x 2-2x +1-4x 2 +12x -9 = 0-2x 2 +10x -8 = 0 122

123 Multiplicando por -1 y dividiendo entre 2 x 2-5x +4 = 0 (x-4)(x-1) = 0 x -4 = 0 x = 4 x-1=0 x = 1 Muy importante! Los valores obtenidos no significan que sean las soluciones pedidas. Tenemos que comprobar estos valores sustituyéndolos en la ecuación original, debido a que se pudieron ver introducido raíces extrañas. Comprobación: Al sustituir el valor de x = 4 en la ecuación original nos da: 2 2(4) 2(4) 1 2(4) Podemos ver que si se cumple la igualdad, por lo tanto x = 4 si es solución. Al sustituir el valor de x = 1 en la ecuación original nos da: 2 2(1) 2(1) 1 2(1) Podemos ver que obtenemos un absurdo, por lo tanto x = 1 no es solución. 123

124 ECUACIONES REDUCIBLES A UNA DE SEGUNDO GRADO Ejemplo 11: Resuelve 3x 4 = 2x Hacemos la sustitución z = x 2 quedando: 3z 2 = 2z + 1 3z 2-2z 1 = 0 z = ( 2) ( 2) 2 2(3) 4(3)( 1) z 2 = 3 1 Pero, x 2 = z, por lo tanto: Son cuatro soluciones. Ejemplo 12: Resuelve 8x 6 = 19x Sustitución: x 3 = z 8z 2 = 19z +27 8z 2-19z 27 = 0 124

125 Pero como tenemos: ; sacando raíz cúbica a ambos lados da: primera solución solución sacando raíz cúbica a ambos lados da: segunda ECUACIONES QUE DAN LUGAR A ECUACIONES CUADRÁTICAS Cuando una ecuación contiene fracciones puede escribirse en una forma más simple si ambos miembros de la ecuación se multiplican por el mínimo común denominador (m.c.d.) de las fracciones presentes en la ecuación. Si una ecuación se multiplica por un polinomio en la variable, la ecuación resultante podría no ser equivalente a la original. Esto significa que la ecuación resultante puede poseer raíces que no satisfacen la ecuación original. Los valores obtenidos para la variable que satisfagan la ecuación original, son las raíces de esta. En otras palabras tenemos que comprobar los resultados obtenidos sustituyendo en la ecuación original. EJEMPLO 13. Resolver la ecuación. Solución: Se multiplican ambos miembros de la ecuación por esto es, y también, esto es, 125

126 Al comprobar en la ecuación original, Para Para Por lo tanto el conjunto solución es: EJEMPLO 14. Resolver Solución: Primeramente factorizamos los denominadores Se multiplican ambos miembros por y nos queda, Que al hacer las operaciones y simplificar Se dividió la ecuación anterior 5, es decir o bien, es decir El conjunto solución es: La comprobación se deja como ejercicio. 126

127 Ejercicios Nombre A resolver ecuaciones en forma cuadrática No. 1 Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas Orden Responsabilidad Manera didáctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas I. Resuelve para x las siguientes ecuaciones por el método de factorización:

128 II. Resuelva para las siguientes ecuaciones completando el cuadrado:

129 Respuesta a los ejercicios impares anteriores: 1) 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15) 17) 19) 21) 23) 25) 27) 29) 31) 33) III. Resuelve las siguientes ecuaciones mediante la fórmula cuadrática:

130 Respuestas a los problemas impares anteriores: 1) 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15) Se racionalizó el denominador 17) Se racionalizó 19) Se racionalizó 21) 23) 25) 27) 29) 31) 33) 35) 37) 39) 41) 43) 45) 47) 49) 51) 53) 55) 57) 59) IV. Contesta cada una de las siguientes preguntas: 1. Si el área del triángulo siguiente es, Cuál valor de? 130

131 2. Si se sabe que el perímetro del triángulo mostrado es de 74 unidades, cuál de las opciones es un valor de que satisface la condición del problema? A) B) C) D) 3. Si la resta de las áreas de los rectángulos es de, cuánto vale? V. Resuelva las siguientes ecuaciones. Verifique el resultado

132 Solución a los problemas de número impar: 1) ; 3) ; 5) 4; 7) No hay solución; 9) ; 13. ; 15. tiene solo dos soluciones reales. VI. Resuelva las siguientes ecuaciones que dan lugar a una ecuación cuadrática:

133 Respuesta a los ejercicios con número impar:

134 Saberes Nombre Instrucciones para el alumno Saberes a adquirir Problemas en palabras que dan lugar a una No. 2 ecuación cuadrática Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno adquirirá la Mediante habilidad para Manera didáctica exposición y plantear un de lograrlos tareas problema cotidiano que lleve a su solución por medio de una ecuación cuadrática. Ejemplo 1. La suma de dos números naturales es 48 y la diferencia de sus cuadrados supera en 36 al producto de los números. Encontrar ambos números. Solución: Primer número Segundo número Planteamiento: esto es, O bien, es decir, Los números son 30 y. Se elimina -78 porque no es un número natural. 134

135 Ejemplo 2. La diferencia de dos números naturales es 8 y la diferencia de sus recíprocos es. Hallar los números. Solución Primer número Segundo número Planteamiento: Nota:, esto es,, o sea, Los números son 14 y Se elimina, puesto que no es número natural Ejemplo 3. Una persona realizó un trabajo por dólares. El trabajo le llevó 4 horas más de lo que suponía y entonces ganó $2.40 menos por hora de lo previsto. En cuanto tiempo se suponía que llevaría a cabo ese trabajo? Solución: Sea horas el tiempo esperado para efectuar el trabajo. Razonamiento: La tarifa horaria que esperaba recibir, menos $2.40 es igual a la tarifa horaria real que ganó la persona. 135

136 Planteamiento: es decir, O bien o sea, El tiempo esperado para realizar el trabajo es 16 horas. Se elimina porque carece de sentido. Ejemplo 4. La base de un rectángulo mide 4 pies más que el doble de su altura. El área del rectángulo es de 448 pies cuadrados. Encontrar las dimensiones del rectángulo. Solución: Altura Base Planteamiento: esto es, O bien, es decir, La altura del rectángulo es 14 pies y su base es pies. 136

137 Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas Resuelve los siguientes problemas en palabras que llevan al planteamiento de una ecuación de segundo grado para su solución. El producto de dos números naturales consecutivos supera en 2 al séxtuplo del siguiente número consecutivo. Encuentre los dos primeros números. 1. El producto de dos números pares consecutivos es 10 unidades menor que 13 veces el siguiente número par. Halle los dos números. 2. La suma de dos números es 21 y de sus cuadrados es 225. Obtenga los dos números. 3. La suma de dos números es 25 y la de sus cuadrados es 317. Encuentre los números. 4. La diferencia de dos números naturales es 8 y la suma de sus cuadrados es 194. Halle los números. 5. La diferencia de dos números naturales es 9 y la suma de sus cuadrados es 305. Obtenga los números. 6. La suma de dos números naturales es 17. La diferencia de sus cuadrados supera en 19 al producto de los números. Determine dichos números 7. La suma de dos números es 28 y la de sus cuadrados es 16 menos que el triple del producto de los números. Halle los números. 8. La suma de dos números es 14 y la de sus recíprocos es. Obtenga los números. Ejercicios A resolver problemas con palabras por medio de No. 2 ecuaciones de segundo grado Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden Manera Responsabilidad didáctica de Ejercicios y tareas sobre el lograrlas tema Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas 137

138 9. La diferencia de dos números naturales es 4 y la suma de sus recíprocos es. Obtenga los números. 10. La diferencia de dos números naturales es 6 y la de sus recíprocos es. Halle los números. 11. Una excursión geológica costó $120 dólares. Si hubieran ido 3 estudiantes más, el costo por estudiante habría sido $2 dólares menos. Cuántos estudiantes fueron a la excursión? 12. Una excursión a esquiar costó $300 dólares. Si hubieran sido 3 miembros menos en el club, el costó por persona habría sido $5 dólares más. Cuántos miembros hay en el club? 13. Un hombre pintó su casa por $800 dólares. El trabajo le llevó 20 horas menos de lo que se suponía y entonces ganó $2 dólares más por hora de lo previsto. En cuanto tiempo se suponía que pintaría la casa? 14. Una persona realizó un trabajo por $90 dólares. Empleó 3 horas más de lo que se suponía y entonces gano $5 dólares menos por hora de lo que esperaba. En cuanto tiempo se suponía que llevaría a cabo el trabajo? 15. La base de un rectángulo mide 4 pies más que su altura y el área es de 192 pies cuadrados. Encuentre las dimensiones del rectángulo. 16. La base de un rectángulo mide 3 pies más que el doble de su altura y el área es de 189 pies cuadrados. Halle las dimensiones del ractángulo. 17. Un hombre desea construir una caja metálica abierta. Las caja debe tener una base cuadrada, los lados de 9 pulgadas de altura y una capacidad de 5,184 pulgadas cúbicas. Determine el tamaño de la pieza cuadrada de metal que debe comprar para construir la caja. 18. Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada uno de los otros lados opuestos se disminuye 2 pies, el área del rectángulo resultante supera en 32 pies cuadrados al área del rectángulo original. Encuentre la longitus del área del cuadrado. 19. Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se incrementa 5 pulgadas más que el doble del lado del cuadrado, y cada uno de los otros lados opuestos se disminuye en 7 pulgadas, el área del rectángulo resultante supera en 55 pulgadas cuadradas al área del cuadrado inicial. Halle la longitus del lado del cuadrado. Respuesta a los problemas de número impar: 1) 7;8 3) 9;12 5) 5;13 7) 6;11 9) 6;8 11) 12;18 13) 15 miembros 15) 6 hrs. 17) a = 9 pies, b = 21 pies 19) 8 pies 138

139 ANEXO A P R E N D I E N D O A D E S P E J AR I. Resuélvase las ecuaciones siguientes para la variable indicada. 1) Despéjese a 2) Despéjese r 139

140 3) Despéjese b 4) Despéjese s 5) Despéjese r 140

141 6) Despéjese r 7) De la ecuación de la constante universal de los gases (R); despejar la presión (P): 141

142 8) De la formula de fuerza gravitacional (F), despejar masa m 9) De la fórmula de distancia (d), despejar aceleración (a): 10) De la fórmula de fuerza recuperadora de un Movimiento Armónico Simple (MAR), despejar T: Simplificando: 142

143 EJERCICIOS a) De la fórmula de aceleración (a), despejar v b) De la ecuación de dilatación lineal; Longitud final es igual a longitud inicial mas el coeficiente de dilatación térmica (α) por el diferencial de temperatura ; despejar la temperatura final : c) De la ley de Coulomb, despejar la distancia r: d) De la relación de resistencia en paralelo, despejar la resistencia e) El área de un cilindro está dada por. Resuelva para h y r. f) El nivel de energía de un objeto es. Resuelva para la variable m. g) La fórmula que mida la velocidad de oscilación de una masa en un resorte es: Donde k, es la constante del resorte. A es la amplitud o desplazamiento máximo de la masa, x es la distancia a la masa que se mueve. Despejar A. h) La fórmula, aparece en el estudio de la mecánica de fluidos. Despeje para la variable r y. 143

144 Competencia 4 Explicar los conceptos básicos de la Geometría Euclidiana. Utilizar los distintos tipos de líneas, rectas, ángulos y pares de ángulos para la resolución de problemas prácticos. Saberes 1. Conceptos básicos de la Geometría Euclidiana. 2. Tipos de líneas y ángulos. 3. Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal o secante. Ejemplos 1. Como obtener el valor de ángulos dadas ciertas condiciones. 2. Como encontrar ángulos entre rectas paralelas. Ejercicios 1. Poniendo letras y números en su lugar. 2. Ángulos por todas partes 3. Ángulos entre paralelas. 144

145 ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE Emplea el lenguaje de la notación matemática para representar la simbología de un punto, líneas rectas, semirrectas, segmentos de recta, rectas perpendiculares y paralelas y ángulos. Argumenta la naturaleza de las matemáticas como una herramienta para interpretar un axioma, postulado, lema, teorema, corolario, razonamiento deductivo e inductivo. Maneja los conceptos y valores de los ángulos agudos, obtusos, rectos, llanos, ángulos complementarios y suplementarios. Domina el algoritmo para convertir de grados a radianes y viceversa. Aplica principios algebraicos y aritméticos para encontrar distintos tipos de ángulos en situaciones diversas. Elije la estrategia aritmética o algebraica más conveniente, para la resolución de un problema dado en donde intervienen ángulos formados por rectas paralelas. Domina los conceptos fundamentales de la Geometría Euclidiana, así como aplica principios algebraicos y aritméticos para resolver problemas de geometría plana en diversas situaciones. 145

146 Saberes Nombre Conceptos básicos de la geometría Euclidiana No. 1 Instrucciones para el Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor alumno Saberes a adquirir Conceptos de punto, línea, superficie, plano, proposición, axioma, postulado, definición, lema, teorema corolario, razonamiento deductivo e inductivo. Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas Punto. El concepto de punto es difícil de definir. Nos lo podemos imaginar como la huella que dejaría la punta infinitamente afilada de un lápiz. Hay que imaginarlo tan pequeño que carezca de dimensiones; es decir, que no posea longitud, ni ancho, ni fondo. Los puntos se designan con una letra mayúscula y se representan con un círculo pequeño o una cruz, como se puede observar en las siguientes figuras: A Se lee punto A B Se lee punto B Línea. Es un concepto matemático que tiene distintas acepciones. Podemos definirla como la "huella" que deja el desplazamiento de un punto, como el borde o límite de una superficie o como la intersección de dos superficies. La línea posee solo una dimensión: la longitud. Línea recta Línea curva Superficie. Para la geometría, la superficie es una extensión en la que solo se consideran dos dimensiones, el ancho y el largo. Por lo tanto se dice que la superficie es una variedad bidimensional. Algunos ejemplos pueden ser una sombra, la cara de un cuerpo geométrico (la pantalla de la televisión) o las paredes de una habitación (Véanse las figuras). Superficies 146

147 Plano. El plano, en geometría, es una superficie plana que contiene infinitos puntos y rectas (o sea que se le pueden trazar un infinito de rectas por los puntos que lo forman), es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta. Se dice que un plano se extiende hacia el infinito. PROPOSICIÓN, AXIOMA, POSTULADO, DEFINICIÓN, LEMA, TEOREMA Y COROLARIO Proposición matemática. Es un enunciado verdadero. Las proposiciones matemáticas se clasifican en axiomas, postulados, teoremas, corolarios y lemas. Axioma. Es una proposición de la cual hemos aceptado que su significado es verdadero, sin necesidad de demostrarse. Ejemplos: 1) Toda cantidad puede reemplazarse por su igual. 2) Si a cantidades iguales se agregan o se quitan cantidades iguales, los resultados son iguales. 3) El todo es igual a la suma de sus partes. Postulado. En la actualidad se utilizan de manera indistinta las proposiciones, axiomas y postulados, cuyo significado hemos aceptado que es verdadero, sin embargo, es conveniente señalar que en matemáticas el axioma tiene aplicación general mientras que el postulado se aplica de manera particular, es decir, el axioma: el todo es mayor que cualquiera de sus partes, se puede aplicar en matemáticas de manera general; mientras el postulado: dos puntos determinan una recta y solo una, tiene aplicación en matemáticas de manera particular, en este caso en geometría. Ejemplos: 1. La recta es la distancia más corta entre dos puntos. 2. Toda figura puede hacerse cambiar de posición sin alterar su forma y dimensiones. 3. El punto medio de un segmento de recta es único. Definición. Es una proposición que implica casi siempre una descripción o convención de algo. Ejemplos: 1. Ángulos opuestos por el vértice son aquellos en que los lados de uno son prolongaciones de los lados del otro, 2. Paralelogramo es el cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos. 3. Dos ángulos que suman son complementarios. 147

148 Lema. Es una proposición que se establece y demuestra previo a la demostración de un teorema. Se puede decir que un lema es un teorema a partir del cual se facilita la demostración de otros teoremas. Teorema. Es una proposición sujeta a demostración, la cual se apoya en axiomas y lemas para su desarrollo. Ejemplos: 1. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. 2. La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a dos rectos, es decir. 3. Los lados opuestos por un paralelogramo son iguales. 4. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él. Corolario. Es una proposición cuya validez se desprende de la validez de un teorema y, donde su demostración requiere un ligero razonamiento y en ocasiones ninguno. Del teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a, se obtiene: Corolario 1: La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a. Corolario 2: Si dos ángulos de un triángulo son respectivamente iguales a dos ángulos del otro, el tercer ángulo de uno es igual al tercer ángulo del otro. Razonamiento deductivo. Para realizar la demostración de proposiciones geométricas se utiliza el método deductivo, el cual consiste en el encadenamiento de conocimientos que se suponen que son verdaderos (axiomas y postulados) de tal manera que se obtengan nuevos conocimientos. El razonamiento deductivo, aplicado a la demostración del conocimiento matemático, es una herramienta muy importante, ya que la aceptación de una proposición como verdadera no puede basarse en la experimentación, pues ésta depende de las condiciones particulares en las que se realice; tampoco se puede basar en la observación, a causa de que la vista resulta engañosa; ni en la medición, porque el resultado de ella está ligado a la pericia de quien mide y a la precisión del instrumento utilizado. 148

149 A continuación se presenta un esquema de los elementos que integran la demostración geométrica: TEOREMA DEMOSTRACION GEOMETRICA FIGURA HIPOTESIS TESIS RAZONAMIENTO CONCLUSION Ilustra la Supuestos que proposición se aceptan que se desea como demostrar. verdaderos y que sirven como base para el razonamiento. Razonamiento inductivo Es lo que se desea demostrar. Conjunto de afirmaciones y razones ordenadas lógicamente y que relacionando la hipótesis con la tesis, permiten la deducción de lo que se quiere demostrar. Tesis o proposición deducida mediante razonamiento. El razonamiento es el proceso mediante el cual se sacan conclusiones a partir de la información. En ocasiones, la gente saca conclusiones basadas en sus propias observaciones. Al observar varias veces que una acción produce el mismo resultado, se concluye, en general, que esa acción tendrá siempre el mismo resultado. A esta clase de razonamiento se le llama razonamiento inductivo. Y a la conclusión que se saca del razonamiento inductivo se le llama generalización. Ejemplo: Supóngase que alguien cortó, de una hoja de papel, tres triángulos diferentes: Las esquinas de cada triángulo se cortaron y colocaron juntas tal como se muestran a continuación: Qué se observa acerca de la suma de las medidas de los ángulos?, Es cierto para todos los triángulos? Por lo tanto la generalización será: La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, siempre da

150 Ejercicios Nombre Poniendo letras y números en su lugar No. 1 Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu profesor. Actitudes a formar Responsabilidad Manera didáctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias genéricas a Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. desarrollar Manera didácticas Participación activa cuando surjan las respuestas ó dudas. de lograrlas 1. Examinar las proposiciones siguientes e identificar con una A si es axioma, una P si es postulado, una D si es definición o una T si es teorema: Si a cantidades iguales se suman cantidades iguales los resultados son iguales. ( ) Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. ( ) El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. ( ) Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido. ( ) Todo número es igual a sí mismo. ( ) Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales. ( ) Dos ángulos que suman son suplementarios. ( ) Dado un segmento, hay un punto y sólo uno que lo divide en dos partes iguales. ( ) En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales. ( ) Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos-internos son iguales. ( ) Mediatriz de un segmento es la perpendicular trazada en su punto medio. ( ) Ángulo central es aquel que tiene su vértice en el centro del círculo. ( ) 2. Indicar de que teorema es consecuencia inmediata cada corolario (un teorema puede tener más de un corolario). Teorema: a) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a. ( ) b) Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido. ( ) c) En todo triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. ( ) Corolario: 1. Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto, ni más de un obtuso. 2. Todo triángulo equilátero tiene sus tres ángulos iguales. 3. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman. 4. Dos triángulos rectángulos son iguales si tienen respectivamente iguales sus catetos. 150

151 Saberes Nombre Tipos de líneas y ángulos No. 2 Instrucciones para el Analiza la información que se presenta en este apartado, y aplica tus alumno principios aritméticos y algebraicos para representar ideas. Saberes a adquirir Tipos de líneas: Manera didáctica de Revisando la Rectas, semirrectas, lograrlos información, segmentos de recta, realizando tareas y rectas paralelas, participando perpendiculares y activamente en el oblicuas. grupo. RECTA. La línea recta se representa con una figura como la siguiente: A B El símbolo se lee recta AB. Las puntas de flecha indican que la figura se puede prolongar en ambos sentidos tanto como se quiera. La línea recta también se puede designar con una sola letra minúscula. m El símbolo se lee recta m SEMIRRECTA O RAYO. Una semirrecta se representa con una figura como la siguiente: O A El símbolo se lee rayo OA La figura indica que el rayo tiene su rigen en O, pasa por A en línea recta y se prolonga indefinidamente como indica la flecha. SEGMENTO DE RECTA. Un segmento de recta, o simplemente, un segmento se representa con una figura como la siguiente: m El símbolo se lee segmento AB". También se lee segmento m 151

152 TIPOS DE LÍNEAS. Según la posición de una recta con respecto a otra, dos rectas pueden ser: perpendiculares, paralelas y oblicuas. Rectas perpendiculares. Si dos rectas al cruzarse formas ángulos rectos, se dice que son perpendiculares entre sí. C A B D Las rectas perpendiculares se representan de la siguiente manera AB CD. Rectas paralelas. Dos líneas rectas son paralelas, si se prolongan indefinidamente y nunca se cruzan. Las rectas paralelas se representan por un par de rayas verticales. A B Se lee AB paralela a CD C D Rectas oblicuas. Dos rectas que se cruzan sin formar ángulos rectos se llaman oblicuas, como se muestra en la figura: 152

153 ÁNGULOS Definición de ángulo: Se denomina ángulo a la abertura comprendida entre dos semirrectas o rayos que parten de un punto común llamado vértice y las semirrectas o rayos reciben el nombre de lados del ángulo. Nomenclatura del ángulo: Para nombrar un ángulo se puede utilizar cualquiera de las formas siguientes: Formas de notación: a) o se lee ángulo a b) B o se lee ángulo B c) ABC se lee ángulo ABC d) CBA se lee ángulo CBA e) Cuando dos o más ángulos tienen el mismo vértice, el uso de una sola letra mayúscula para referirse a uno de ellos crea confusión, por ello, debe utilizarse la notación con tres letras mayúsculas, en la cual la letra del vértice va en medio. Ejemplo: En esta figura, es mejor denotar los tres ángulos posibles de la siguiente manera: ABC ABD DBC 153

154 Ángulo Agudo Ángulo Recto Ángulo Obtuso Es aquél cuya magnitud es menor que 90º Es aquél cuya magnitud es igual a 90º Es aquél cuya magnitud es mayor que 90º Ángulo Nulo Ángulo Llano Ángulo Cóncavo Ángulo Perigonal Es aquél cuya magnitud es igual a 0º Es aquél cuya magnitud es igual a 180º Es aquél cuya magnitud es mayor que 180º pero menor que 360º Es aquél cuya magnitud es igual a 360º Bisectriz de un ángulo: Es la semirrecta que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos partes iguales. La semirrecta VP es la bisectriz del ángulo MVN 154

155 PAREJA DE ÁNGULOS Ángulos adyacentes Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice. BAC es adyacente con DAC Ángulos opuestos por el vértice - Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. 1 = 2 y 3 = 4 Ángulos complementarios - Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90. El BAC es adyacente al DAC y viceversa. Ángulos suplementarios - Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180. El BAC es adyacente al DAC y viceversa. 155

156 UNIDADES DE MEDIDA DE LOS ÁNGULOS. Medidas de ángulos. La magnitud de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la apertura o separación que hay entre ellos, es decir, que dependen de la amplitud o separación que hay entre las dos rectas que lo forman. Medir un ángulo, es comparar su amplitud con la de otro al que se considera como patrón, los cuales utilizan como unidades de medición los grados sexagesimales ó los radianes. Sistema sexagesimal Este es el sistema más común, creado por los sumerios, basándose éstos en los 360 días del año, es decir que su unidad se obtiene al dividir la circunferencias en 360 partes iguales, cada una de las cuales, recibe el nombre de GRADOS. Esta circunferencia esta dividida en 360 partes ó 360 grados. Un grado entonces, es equivalente en fracción a quebrado a 1/360 de la circunferencia total, es decir, que un grado es igual a una de las 360 partes en las que se divide una circunferencia. Donde el grado se divide a su vez, en 60 minutos y éste en 60 segundos, representándose de la siguiente forma: Grados ( ), minuto ( ), segundo ( ) (1 minuto = 60 segundos) 156

157 Sistema circular. La unidad utilizada en este sistema es el radián. Donde un radián, es el ángulo cuyas lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. A r r 0 1 radián r B Longitud del arco AB es igual al radio (r ) de la circunferencia, AOB = 1 radian. Relación entre grados y radianes Se sabe que el radio ( r ) cabe veces alrededor de la circunferencia, entonces, tenemos que: (ya que 1 radio = 1 radián; ) En conclusión, la fórmula que relaciona grados con radianes es:. Dividiendo todo entre 2 obtenemos una relación equivqlente: 157

158 Ejemplos Nombre Como obtener el valor de ángulos dadas ciertas condiciones No. 1 Instrucciones para el alumno 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre ángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema formar Orden de lograrlas Competencias genéricas a desarrollar Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. lograrlas 1. Cambiar las siguientes cantidades dadas en grados, a radianes: (Para cambiar de grados a radianes, se multiplica el ángulo por el factor ). a) b) Solución: a) b) Nota: Si no sabes usar bien tu calculadora, pregúntale a tu profesor. 2. Transformas las siguientes cantidades dadas en radianes, a grados: (Para cambiar de radianes a grados, se multiplica por el factor ) a) b) Solución: a) b) 158

159 3. Encontrar el complemento y suplemento de Recuerda que ; y a) El complemento es: b) El suplemento es : Si dos ángulos se representan por A y B, plantear la ecuación de cada problema y después hallar sus valores. Los ángulos son suplementarios y uno es 15 grados menor que el doble del otro. Datos Planteo Operaciones solución A = A 5. Hallar el valor de en la siguiente figura: Solución: Para resolver este problema se plantean un par de ecuaciones. Hay muchas opciones para plantearlas; A continuación se toma una de estas opciones: (son ángulos opuestos por el vértice) (son ángulos opuestos por el vértice) Podemos expresar estas ecuaciones de la siguiente manera: ; Que al resolverlas por suma y resta tenemos; 159

160 Ejercicios Nombre Ángulos por todas partes No. 2 Instrucciones Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de para el alumno conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden Responsabilidad Manera didáctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias genéricas a Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. desarrollar Manera didácticas de Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas lograrlas 1. Observa el mapa con atención y contesta las preguntas indicadas: 1. Cuáles vialidades son paralelas a la calle Avinguda 308? 2. Cuáles vialidades son perpendiculares a la calle Avinguda 308? 3. Cuál vialidad es oblicua a la calle Avinguda 308? 160

161 4. Si te toparas con un turista en la intersección de Avinguda 313 y Avinguda 302, cómo le dirías para que llegara a un Burger King que se localiza en la intersección de Doctor Fleming y Arcadi Balaguer? 2. Llenar las siguientes tablas: Grados Radianes Transformación de grados a radianes Radianes Transformación de radianes a grados Grados 3. Hallar el ángulo desconocido que falta 4. La figura muestra una entrada vista desde arriba. Si abres la puerta de forma tal que la medida del sea igual a, Cuántos grados más deberías abrir la puerta para que el ángulo entre la pared y la puerta sea de. 161

162 5. Hallar el valor del en cada una de las siguientes figuras: A. B. C. 6. Indicar que clase de ángulo es: a) El complemento de un ángulo agudo. b) El suplemento de un ángulo obtuso. c) El suplemento de un ángulo recto. 7. Hallar dos ángulos complementarios tales que: a) Uno sea el doble que el otro. b) Uno sea 20 mayor que el otro. c) Uno sea 10 menor que el triple del otro. d) Uno sea 5 menor que el cuádruplo del otro. e) Uno sea 6 mayor que el doble del otro. 8. Hallar dos ángulos suplementarios tales que: a) Uno es el cuádruplo del otro. b) Uno sea 20 mayor que el triple del otro. c) Uno sea 60 menor que el doble del otro. d) Uno sea 36 mayor que el doble del otro. e) Uno sea 10 mayor que las 2/3 partes del otro 162

163 9. IDENTIFICAR ÁNGULOS. Afirma si los dos ángulos que se muestran son complementarios, suplementarios o ninguno de los dos. A. C. B. D. 10. Hallar el valor de en cada una de las siguientes figuras: A. B. C. D. 163

164 E. F Completa la siguiente tabla: 164

165 Saberes Nombre Instrucciones para el alumno Saberes a adquirir Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una No. 3 transversal o secante. Lee y analiza la información que se te presenta y aclara cualquier duda con tu profesor Ángulos alternos Manera didáctica de internos y externos, lograrlos opuestos por el Mediante exposición y vértice, tareas. correspondientes y colaterales internos y externos. Pares de ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal (secante) Dos paralelas cortadas por una transversal forman ocho ángulos, cuatro llamados internos por estar situados dentro de las paralelas y cuatro llamados externos por estar fura de ellas. En la figura son ángulos: Internos: 3, 4, 5 y 6 Externos: 1, 2, 7 y 8 Se llaman ángulos correspondientes a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (uno interno y otro externo). 165

166 Los ángulos correspondientes tienen la propiedad de ser congruentes, es decir, sus medidas son iguales, lo cual se demuestra en el teorema correspondiente. En la figura anterior son pares de ángulos correspondientes: El es correspondiente con el ; El es correspondiente con el ; El es correspondiente con el ; El es correspondiente con el ; Se llaman ángulos alternos-internos a dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos) y dentro de las paralelas (internos). En la figura anterior son ángulos alternos internos: Con base en la propiedad (demostrable) de que los ángulos correspondientes son iguales, se puede deducir que los ángulos alternos-internos son iguales. Como por ser correspondientes y por otra parte por ser opuestos por el vértice, se deduce que por propiedad transitiva de la igualdad. Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que:. Se llaman ángulos alternos-externos a dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos) y fuera de las paralelas (externos). En la figura son ángulos alternos-externos: Los ángulos alternos-externos son iguales. Como por ser correspondientes, y por otra parte por ser opuestos por el vértice, se deduce que por la propiedad transitiva de la igualdad. Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que Se llaman ángulos colaterales-internos a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y dentro de las paralelas (internos). En la figura son ángulos colaterales-internos: 166

167 Los ángulos colaterales-internos tienen la propiedad de ser suplementarios. Como por ser correspondientes, y por otra parte análogo al anterior se deduce que por formar un ángulo llano, se deduce que Porque toda cantidad puede ser substituida por si igual. Con un razonamiento Se llaman ángulos colaterales-externos a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y fuera de las paralelas (externos). En la figura son ángulos colaterales-externos: Los ángulos colaterales-externos tienen la propiedad de ser suplementarios. Como por ser correspondientes, y por otra parte por formar un ángulo llano, se deduce que =180 porque toda cantidad pude ser substituida por su igual. Ejemplos Nombre Como encontrar ángulos entre rectas paralelas No. 2 Instrucciones 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre ángulos entre paralelas. para el alumno 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a formar orden Manera didáctica de lograrlas Exposición y preguntas sobre el tema Competencias genéricas a Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. desarrollar Manera didácticas de lograrlas Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. 167

168 Ejemplo 1.Encuentre la medida de los ángulos indicados con letras minúsculas en la figura. Suponga que las líneas horizontales son paralelas. Justifique su respuesta. (Ángulos alternos-internos) Forman un ángulo llano. Ejemplo 2. Hallar el valor de, y establecer las relaciones establecidas. (Ángulos alternos internos) (Ángulos alternos internos) (La 1ra. ecuación por 2) Sustituir el valor encontrado de en una ecuación cualquiera:. 168

169 Ejercicios Nombre Ángulos entre paralelas No. 3 Instrucciones Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de para el alumno conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden Responsabilidad Manera didáctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias genéricas a Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. desarrollar Manera didácticas de Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas lograrlas 1. Pon en línea en blanco si los pares de ángulos que se muestran son correspondientes, alternos-internos, alternos-externos, colaterales-internos y colaterales-externos 2. Hallar los ángulos que se te piden en la siguiente figura, suponga que. 169

170 3. En la figura de la izquierda, hallar los valores de los ángulos señalados con letras minúsculas, si Las líneas oblicuas son paralelas. 4. Hallar los valores de y según sea el caso, en cada una de las siguientes figuras. Considere que las rectas son paralelas. a) c) b) d) 5. En las siguientes figuras. Hallar el valor de x. En este ejercicio es bisectriz del AOC. 170

171 Competencia 5 EL TRIÁNGULO Explicar la definición y clasificación de los triángulos. Utilizar los teoremas del ángulo interior y ángulo exterior. Aplicación del Teorema de Tales. Aplicación de Triángulos semejantes. Aplicación del Teorema de Pitágoras. Saberes 1. Generalidades de los Triángulos 2. Teoremas de importancia en los Triángulos Ejemplos 1. Como calcular ángulos faltantes de triángulos e identificar triángulos congruentes. 2. Aprendamos a utilizar la semejanza entre triángulos y apliquemos los teoremas de Tales y Pitágoras. Ejercicios 1. A encontrar ángulos y lados faltantes en los triángulos 2. A usar el Teorema de Tales, los Triángulos Semejantes y Teorema de Pitágoras 171

172 Emplea sus conocimientos para definir y clasificar a los triángulos. Argumenta la naturaleza de las matemáticas como una herramienta para calcular el valor de los ángulos interiores y exteriores de los triángulos. Maneja los conceptos de triángulos congruentes para identificarlos en distintos contextos. Domina el algoritmo para resolver problemas en donde se aplica el teorema de tales. Aplica principios algebraicos y ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA aritméticos para resolver problemas cotidianos, en donde se aplican los conocimientos sobre triángulos semejantes. Elije la estrategia aritmética o algebraica para resolver problemas cotidianos en donde se usa el Teorema de Pitágoras. RESULTADOS DE APRENDIZAJE Domina los conceptos fundamentales, así como aplica principios y teoremas fundamentales sobre los triángulos. Saberes Nombre Generalidades de los Triángulos No. 1 Instrucciones para el alumno Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu profesor. Saberes a adquirir Definición, notación y clasificación de los triángulos. Teoremas del ángulo interior y exterior de los triángulos. Criterios de congruencia entre triángulos. Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas. 172

173 TRIÁNGULOS Definición y notación: El triángulo es un polígono de tres LADOS, que viene determinado por tres puntos no colineales llamados VÉRTICES. Los vértices se pueden denotar por letras mayúsculas: A, B y C. Los lados son los segmentos que unen dos vértices del triángulo y se denotan con la misma letra que el vértice opuesto. Es decir: El lado a es el segmento que une los vértices B y C, el lado b es el segmento que une los vértices A y C y el lado c que es el segmento que une los vértices A y B. (Figura 1) Figura 1 Figura 2 173

174 Ángulos interiores: son aquellos formados por cada par de lados consecutivos del triángulo. Se denominan por las tres letras mayúsculas de los vértices o por una letra griega ubicada entre los lados del ángulo. (Figura 1) Ángulos exteriores: son los ángulos formados por un lado del triángulo y la prolongación de otro hacia la región exterior. (Figura 2) Notación de triángulos Los triángulos se nombran por sus tres letras de sus vértices anteponiendo un símbolo en forma de triángulo. Ejemplo: En la figura anterior el triángulo se denota como ABC. Clasificación de los triángulos Los triángulos se clasifican según sus lados y sus ángulos. Según sus lados Según sus ángulos equilátero tres lados iguales acutángulo tres ángulos agudos isósceles Por lo menos dos lados iguales rectángulo un ángulo recto escaleno tres lados desiguales obtusángulo un ángulo obtuso Además, a los triángulos en general que no son rectángulos se les llama oblicuángulos. Por la medida de sus lados: 174

175 Por la medida de sus ángulos (Ángulo recto) Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a. M N Hipótesis son ángulos interiores de un triángulo. Tesis Trazo auxiliar: Trazar por, Plan: Al trazar por uno de sus vértices del triángulo la paralela al lado opuesto, se obtiene un ángulo llano del cual se demuestra que sus partes son iguales a los ángulos del triángulo dado. RAZONAMIENTO Afirmación Razón Por construcción Por ser alternos internos Por formar un ángulo llano Substituyendo ( 2 ) en ( 3 ). 175

176 Teorema: Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes con él. Criterios de congruencia entre triángulos Primer criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales, son iguales. ( l. a. l. l. a. l.) Segundo criterio: Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales, son iguales. ( a. l. a. al.. a.) 176

177 Tercer criterio: Dos triángulos que tienen sus tres lados respectivamente iguales, son iguales. ( l. l. l. l. l. l.) Cuarto criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al lado mayor respectivamente iguales, son iguales. 177

178 Ejemplos Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas Como calcular ángulos faltantes de triángulos e identificar No. 1 triángulos congruentes. 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. 1. Hallar los valores de los ángulos faltantes en las siguientes figuras a) b) A B C 180 En el ABC : A B C C 180 A C A C 95 (usando el ) ( y es un ángulo exterior) 178

179 2. Determinar que triángulos son congruentes y señalar en cada caso el postulado correspondiente. a) b) c) Soluciones: a) I II b) I III c) II III l. a. l l. a. l a. l. a. a. l. a. l. l. l. l. l. l. En el III el ángulo de 60 En el II el lado de 28 En el I sus lados no está comprendido entre los no está comprendido entre tienen medidas dife- lados de 8 y 12. los ángulos de 40 y 85 rentes a las de los triángulos II y III. 179

180 Ejercicios Nombre A encontrar ángulos y lados faltantes en los triángulos No. 1 Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden y responsabilidad Manera didáctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas lograrlas 1. Mide los lados de los siguientes triángulos y escribe el nombre de cada uno de ellos. Triángulo Triángulo Triángulo 180

181 2. Une según corresponda. Triángulo isósceles. Tiene sus 3 lados de igual medida. Triángulo equilátero. Tiene 2 de sus lados de igual medida. Triángulo escaleno. Tiene sus 3 lados de diferente medida. 3. Une según corresponda. Triángulo acutángulo. Tiene 3 ángulos agudos agudos. Triángulo obtusángulo. Tiene un ángulo de 90 grados Triángulo rectángulo. Tiene un ángulo mayor de 90 grados 181

182 4. COMBINAR TRIÁNGULOS. En los ejercicios siguientes, combina la descripción del triángulo con su nombre específico: 1. Longitudes de los lados: 2cm, 3cm, 4 cm A. Equilátero 2. Longitudes de los lados: 3cm, 2cm, 3cm B. Escaleno 3. Longitudes de los lados: 4cm, 4cm, 4cm C. Obtusángulo 4. Medidas de los ángulos: D. Equiángulo 5. Medidas de los ángulos: E. Isósceles 6. Medidas de los ángulos: F. Rectángulo

183 4. Hallar los valores de x e y en cada inciso de las siguientes figuras: a) b) Nota: ABC es equilátero. D Identificar en cada inciso los triángulos que son congruentes y dar el postulado de congruencia que lo Justifica. a) b) 183

184 c) 6. En las siguientes figuras I II, hallar x e y. 184

185 Saberes Nombre Teoremas importantes de los Triángulos No. 2 Instrucciones para el alumno Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu profesor. Saberes a adquirir Teorema de tales Condiciones para que dos triángulos sean semejantes, y aplicaciones. Teorema de Pitágoras y aplicaciones Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas. El Teorema de Tales establece que: Sí un sistema de rectas paralelas que cortan a dos transversales, determinan en ellos segmentos correspondientes proporcionales. Aplicado a los triángulos establece que: Toda paralela a un lado de un triángulo, divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales. A Q B La figura muestra al teorema de Tales Demostración: X n Y (1) AB II XY II PR (Rectas paralelas entre sí) (2) QP y QR son transversales P R (3) Por el teorema de Tales: 185

186 La figura anterior muestra el teorema de Tales de Mileto Demostración: (1) AB II XY II PR (Rectas paralelas entre sí) (2) QP y QR son transversales (3) Por el teorema de Tales: SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Relación entre dos figuras geométricas que tienen la misma forma, aunque distinto tamaño. Entre los elementos (puntos, rectas, ángulos, ) de esas dos figuras se establece una relación por la que cada elemento f le corresponde otro de f. Dos figuras semejantes f y f cumplen con las siguientes relaciones métricas: AB BC AC A' B ' B ' C ' A' C ' K Proporcionalidad de Segmentos: entre dos figuras semejantes, los pares de segmentos correspondientes son proporcionales. Si A, B, C son puntos de f y A, B, C los correspondientes puntos de f entonces se cumple que: AB BC AC A' B ' B ' C ' A' C ' K La razón de proporcionalidad K se llama razón de semejanza. Por ejemplo, entre dos figuras semejantes cuya razón de semejanza es 2, cada segmento de la primera es de longitud doble que el correspondiente segmento de la segunda. 186

187 TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Ejemplos Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas Aprendamos a utilizar la semejanza entre triángulos y apliquemos No. 2 los teoremas de Tales y Pitágoras. 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. Ejemplo 1 Aplique el Teorema de Tales para hallar el valor de x. Solución: por lo tanto 187

188 Ejemplo 2: Cálculo de la altura de un árbol usando la longitud de su sombra, por medio de triángulos semejantes: En cualquier día soleado, se puede medir la altura de un árbol usando solo su sombra siguiendo el siguiente procedimiento: Se entierra una vara o pértiga a un lado del árbol a medir y se toman las siguientes medidas; la longitud de la sombra BC, la altura de la vara ab y la sombra que proyecta la pértiga bc, dejando como incógnita la longitud AB que es la altura del árbol. A continuación se hace la siguiente proporción, 2x 11 20x x 11 AB BC ab bc, que al despejar AB nos queda ( ab)( BC) AB bc Supongamos que se midieron las distancias BC = 12 m, ab = 1.5 m y bc = 2 m, la altura del árbol sería, (1.5)(12) AB 9 metros 2 Ejemplo 3. Hallar el valor de x e y en la figura por medio de triángulos semejantes: 24 y y 3 3(240) y

189 Ejemplo 4: Calcular el valor del cateto que falta en el triángulo rectángulo siguiente: =c Si es la hipotenusa, entonces tenemos: Despejando tenemos: Sustituyendo datos y sacando raíz a ambos lados, = a Ejemplo 5: Calcular el lado de un rombo cuyas diagonales miden 32 mm y 24 mm. Puede observarse que se forman cuatro triángulos rectángulos iguales, cuyos catetos son la mitad de cada diagonal. Por lo tanto, la hipotenusa del triángulo es el lado del rombo. 189

190 Ejercicios Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas A usar el Teorema de Tales, los triángulos Semejantes y el Teorema No. 2 de Pitágoras Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden y Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema responsabilidad de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas Ejercicio 1: Encuentre el valor de x en cada caso, aplicando el Teorema de Tales. Ejercicio 2: En cada uno de los siguientes ejercicios, cada par de triángulos son semejantes. Calcular el valor que representan las letras: 190

191 Ejercicio 3: Ambrosio va a pintar un muro del que conoce la dimensión de su base pero le falta la altura porque no cuenta, por el momento, con una escalera para medirla. Cómo podría Ambrosio conocer la altura del muro y con ello poder calcular el área que va a pintar? Una forma de calcular la altura del muro, con mucha mayor precisión, es utilizando la geometría, por medio de las razones semejantes. Observe usted lo que hace Ambrosio: 191

192 La sombra que da el Sol cuando pasa por el muro a las 11 a.m. mide 16 m. La sombra de Ambrosio, también a las 11 a.m., es de 3.0 m y él sabe que mide 1.75 m. Con esta información él podrá calcular la altura del muro, ya que si usted observa los dos dibujos, en cada uno de ellos hay un triángulo rectángulo semejante. Entonces, cuánto vale la altura del muro? Ejercicio 4: Martín necesita medir el ancho del río que pasa cerca de su propiedad, pero no puede llegar al otro lado. Cómo podría medir el ancho del río? Para resolver su problema, Martín le pide a unos amigos que le ayuden a hacer las siguientes mediciones y observaciones: 192

193 Observemos que sucede si obtuvieron los siguientes datos: Cuál será entonces el ancho del río? TEOREMA DE PITÁGORAS Ejercicio 5. Para evitar que un poste de luz se rompa, Rocío debe colocar un cable de acero desde su punta hasta el piso como se muestra en el dibujo. El poste mide de altura 4m y el cable en el piso debe estar separado 3m de la base del poste. Rocío debe comprar el cable de acero a la medida adecuada, pues no le debe faltar ni sobrar. Qué debe hacer Rocío para saber cuánto comprar de cable? 193

194 TEOREMA DE PITÁGORAS Ejercicio 6: A qué distancia de la pared se encuentra la escalera de la siguiente figura? Ejercicio 7: Calcula la distancia que debe recorrer un teleférico, sabiendo que debe salir de la estación de servicio y llegar a la cima de la montaña, cuya altura es de 650m, como se muestra en la figura. 194

195 Ejercicio 8: Antonio tiene un terreno rectangular cuyas medidas son 23m de largo por 41m de ancho, por el cual debe atravesar un cable de teléfono para establecer comunicación de la bodega ubicada en la parte final del terreno, empleando la mínima cantidad posible de cable de teléfono. Qué medida deberá tener el cable? Ejercicio 9: Cuánto debe medir la varilla de soporte que se emplea para construir el soporte del papalote que se muestra en la figura? 195

196 Ejercicio 10: Cuando se descubrió la pirámide Keops de Egipto, fácilmente pudieron medir cuánto medía cada lado de su base (233 m) y la longitud de su pendiente ( m), pero la altura no la midieron físicamente, sino que la calcularon. Cómo calcularía usted la altura de la gran pirámide? Ejercicio 11: Calcula los centímetros de cuerda que se necesitan para formar las letras N, Z y X dadas las siguientes dimensiones: 196

197 Competencia 6 POLÍGONOS, LA CIRCUNFERENCIA,ÁREA Y VOLUMEN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS Explicar la definición y clasificación de los polígonos. Calcular los ángulos interiores, ángulos exteriores y número de diagonales de los polígonos. Conocer las rectas y ángulos notables de la circunferencia Aplicación de las fórmulas para calcular el área de los polígonos en diferentes contextos. Aplicación de las fórmulas para calcular el volumen de los cuerpos sólidos en diferentes contextos. Saberes 1. Generalidades de los polígonos 2. Circunferencia y círculo 3. Área y volumen de figuras geométricas Ejemplos 1. Ejercitando nuestro cerebro con los polígonos 2. Practicando con las circunferencias 3. Practicando con áreas y volúmenes 197

198 Ejercicios 1. Miscelánea de ejercicios con polígonos 2. Miscelánea de ejercicios con circunferencias 3. A calcular áreas y volúmenes ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE Emplea el lenguaje de la notación matemática para representar y clasificar a los polígonos. Argumenta la naturaleza de las matemáticas como una herramienta para interpretar los ángulos interiores y exteriores de los polígonos. Maneja y aplica los conceptos de rectas y ángulos notables de la circunferencia. Domina el algoritmo para calcular el número de diagonales en los polígonos. Elije la estrategia aritmética o algebraica más conveniente, para calcular áreas y volúmenes de las figuras más comunes en la geometría plana Domina los conceptos fundamentales de los polígonos y circunferencia para calcular sus ángulos interiores, ángulos exteriores y diagonales en distintos contextos. Calcula áreas y volúmenes de las figuras más comunes en la geometría. 198

199 Saberes Nombre Generalidades de los Polígonos No. 1 Instrucciones para el alumno Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu profesor. Saberes a adquirir Definición, notación y clasificación de polígonos. Clasificación de los cuadriláteros. Ángulos interiores y exteriores de polígonos. Diagonales en los polígonos. Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas. Definición Etimológicamente la palabra polígono proviene de las raíces POLI que significa muchos y GONOS que significa ángulos, por lo tanto en un TRAZO QUE TIENE MUCHOS LADOS. También se define como las figuras planas formadas por la unión de tres o más segmentos que forman una línea quebrada cerrada llamada línea poligonal. LÍNEAS POLIGONALES: existen dos tipos de líneas, la quebrada que no forma polígonos, y la cerrada que es la que forma los polígonos. 199

200 CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS Se han establecido tres distintas clasificaciones de los polígonos: 1.- Por la amplitud de sus ángulos, los polígonos pueden ser clasificados como: A) CONVEXOS: son aquellos cuyos ángulos son todos menores de 180º y solo pueden ser cortados por dos puntos mediante una recta secante. B) CONCAVOS: Son los que tienen uno o varios ángulos mayores de 180º y pueden ser cortados en más de dos puntos por una recta secante. 2.- Por la medida de sus lados y sus ángulos pueden clasificarse en: A) Regulares: son aquellos que tienen sus lados y ángulos iguales, es decir, que son equiláteros y equiángulos. Los principales elementos de un polígono regular son: Centro (C ): Punto interior que está a la misma distancia de cada vértice. Radio (r ): Es el segmento que va del centro a cada vértice Apotema (a ): Distancia del centro al punto medio de un lado. 200

201 Ángulo interior de un polígono regular: Es el formado por dos lados consecutivos. Ángulo exterior de un polígono regular: Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo. La suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo es de Angulo central: Es el formado por dos radios consecutivos. Si n es el número de lados, entonces el ángulo central será. Ángulo central La figura muestra un ángulo central B) Irregulares: los que tienen a lo menos un lado con distinta medida o sus ángulos son diferentes. 201

202 NOMBRE DE LOS POLÍGONOS REGULARES DE ACUERDO AL NÚMERO DE LADOS Nombre Lados Forma Ángulo interior Triángulo (o trígono) 3 60 Cuadrilátero (o tetrágono) 4 90 Pentágono Hexágono Heptágono (o Septágono) Octágono Nonágono (or eneágono) Decágono Endecágono (or undecágono) Dodecágono Tridecágono Tetradecágono Pentadecágono Hexadecágono Heptadecágono Octadecágono Eneadecágono Icoságono Triacontágono Tetracontágono Pentacontágono Hexacontágono Heptacontágono Octacontágono Eneacontágono

203 Hectágono Chiliágono 1, Miriágono 10, Megágono 1,000,000 ~180 Googológono ~180 n-ágono n (n-2) 180 / n Clasificación de los cuadriláteros convexos 203

204 Ángulos interiores de un polígono La suma de ángulos interiores (AI) de un polígono convexo de n lados es igual al número de lados del polígono menos dos (n -2) por 180. De lo anterior se obtiene el siguiente corolario: En un polígono regular de n lados, cada uno de sus ángulos interiores se obtiene al dividir AI (suma de los ángulos interiores) entre n (número de lados), esto es: Diagonales en los polígonos El número de diagonales d que se pueden trazar desde un mismo vértice de un polífono convexo de n lados es igual al número de lados menos tres. El número total de diagonales D que pueden trazarse desde todos los vértices de un polígono convexo de n lados es igual a la mitad del producto del número de lados por el número de lados disminuido en tres. 204

205 Ejemplos Nombre Ejercitando nuestro cerebro con los polígonos No. 1 Instrucciones 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. para el alumno 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a formar Orden Manera didáctica de lograrlas Exposición y preguntas sobre el tema Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de lograrlas Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. 1. Calcula la suma de los ángulos interiores de un polígono de 15 lados. Sustituyendo 2. Calcular la medida del ángulo central de un pentágono regular. Solución: n = 5, medida del ángulo central = 3. Calcular la medida del ángulo interior de un pentágono regular. Solución: n = 5, 205

206 4. Calcular el número de lados de un polígono regular cuyo ángulo interior mide. Eneágono 5. Calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un Hexágono. n=6 6. En qué polígono se cumple que el número de lados es igual al número de diagonales? Solución: Sea n = numero de lados; El número total de diagonales será también n Que al sustituir queda: Reordenando términos nos queda: Factorizando: que nos conduce a El polígono pedido es n = 5, que es un Pentágono. 206

207 Ejercicios Nombre Miscelánea de ejercicios con polígonos No. 1 Instrucciones Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de para el alumno conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden y responsabilidad Manera didáctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. genéricas a desarrollar 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas lograrlas 1. Consulte los conocimientos estudiados para llenar la tabla siguiente: 207

208 2. Consulta la clasificación de los polígonos para llenar la siguiente tabla: 3. Consulte los conocimientos estudiados para llenar la tabla siguiente: = suma de ángulos interiores = suma de ángulos exteriores 208

209 4. Cuál de los siguientes polígonos es convexo y cuál no es convexo? 5. SELECCIÓN MÚLTIPLE a) La medida de un ángulo exterior de un polígono regular de ocho lados es: A) 360 B) 8 C) 45 D) 90 E) 180 b) Si la medida de un ángulo exterior de un polígono regular es 30 entonces, el número de lados es: A) 36 B) 24 C) 3 D) 12 E) 10 c) Si la medida de un ángulo exterior de un polígono regular es 36 entonces, el ángulo interior mide: A) 90 B) 72 C) 36 D) 44 E) 144 d) En el heptágono regular, la medida de cada ángulo interior es: A) 120 B) 128,57 C) 900 D) 60 E) 180 e) La fórmula que permite calcular la medida de un ángulo interior de un polígono regular de n lados es: A) n B) n 2 C) n n D) n E) 2 n f) La medida de cada ángulo exterior en un polígono regular de trece lados es: A) 27,69 B) 13 C) 90 D) 130 E)

210 6. Actividades de aplicación. P1.- El ángulo exterior de un polígono mide 85 o. Cuánto medirá el ángulo interior correspondiente? P2.- Calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono. Si fuera regular, Cuánto mediría cada uno? P3.- Cuánto mide el ángulo interior de un hexágono regular? P4.- Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 1260 o? P5.- Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior mide 45 o? P6.- Puede haber un polígono regular cuyo ángulo exterior mida 75 o? Y con un ángulo interior de igual medida? P7.- Cuánto vale la suma del ángulo interior y del ángulo exterior de un decágono regular? P8.- Cuánto vale el ángulo interior de un polígono regular de doce lados? P9.- Cuánto vale el ángulo exterior de un pentágono regular? P10.- El ángulo interior de un polígono regular mide 156 o. Cuántos lados tiene el polígono? P11.- El ángulo exterior de un polígono regular vale 20 o. Cuántos lados tiene el polígono? Cuántos lados posee el polígono cuyos ángulos interiores suman 2520 o? 7. Recordando el valor de la suma de los ángulos interiores de un triángulo, encuentra el valor de los ángulos señalados con letras minúsculas. 210

211 Saberes Nombre Circunferencia y círculo No. 2 Instrucciones para el alumno Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu profesor. Saberes a adquirir Líneas y ángulos notables de la circunferencia Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas. LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a igual distancia de otro punto interior fijo llamado centro. El círculo es la superficie del plano limitada por una circunferencia. Como se puede observar, la circunferencia es una línea y por lo tanto solo tiene longitud, mientras que el círculo es una superficie y por lo tanto tiene área. La circunferencia o círculo se representan con el símbolo contexto., la diferencia se obtienen del 211

212 Líneas Notables AB Cuerda CD Diámetro Secante Tangente OI Radio Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos (partes). Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia en un punto. Este punto único se llama punto de tangencia o de contacto. Radio: Es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. AC arco AC; BC arco BC; ACB arco ACB; CAB arco CAB Arco: Es una parte de la circunferencia. Un arco se representa así: y se lee arco. Semicircunferencia: Es un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia. Arco menor: Es aquel que mide menos que una semicircunferencia. Arco mayor: Es aquel que mide más que una semicircunferencia. En la figura anterior AC y ABC son respectivamente, un arco menor y un arco mayor. El uso de las tres letras, en el segundo caso, es indispensable para distinguir los dos arcos. El arco ACB es una semicircunferencia. En lo sucesivo la palabra arco se referirá a un arco menor, a menos que se especifique lo contrario. 212

213 ÁNGULOS NOTABLES 1. La medida de un ángulo central es igual a la del arco comprendido entre sus lados. (Ver figura arriba) 2. Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad de la del arco comprendido entre sus lados. (Ver figura arriba) 3. Todo ángulo formado por dos cuerdas que se cortan (ángulo interior) tiene por medida la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados. (Ver figura arriba) 4. Todo ángulo formado por dos secantes que se cortan fuera de la circunferencia (ángulo exterior) tiene por medida la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados. (Ver figura arriba) 213

214 Ejemplos Nombre Practicando con las circunferencias No. 1 Instrucciones para el alumno 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a formar Orden Manera didáctica de lograrlas Exposición y preguntas sobre el tema Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de lograrlas Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. Hallar los ángulos que se piden en las siguientes figuras: Dato: Dato: Dato: Soluciones: 1. x AB, por lo tanto, AB = x BC DE BC ABC AB BC 70 Por lo tanto y x AC BD y y Por lo tanto y =

215 Ejercicios Nombre Miscelánea de ejercicios con circunferencias No. 2 Instrucciones Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de para el alumno conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden y responsabilidad Manera didáctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas lograrlas 1. Dar el nombre a cada una de las siguientes líneas: a) AB es: b) CD es: c) OE es: d) OF es: e) EF es: 2. Dar el nombre que corresponde a cada uno de los siguientes ángulos: 215

216 3. Si ABC es un triángulo inscrito, como se ilustra, hallar : a) A si arco a = 100 y arco c 200 b) A si AB BC y a 100 c) A si AC es un diámetro y a 100 d) B si ABC = 235 e) B si a = 75 y c = 2 b 4. Si AB y CD son cuerdas que se cortan en E. como se ilustra, hallar: a) x si AC = 90 y BD = 70 b) x si AC y BD miden 60 cada uno. c) x si AC + BD = 210 d) x si BC + AD = 150 e) AC + BD si x 85 f) AC + BD si x 100 g) BC si x 60 y AD = 160 h) BC si y 72 y AD = 2 BC 5. Si AB y AC son secantes que se cortan en A, como se lustra, hallar: a) A si c = 90 y a = 40 b) A si c a = 82 c) A si c = a + 40 d) a si c = 135 y A 40 e) c si a =

217 Saberes Nombre Áreas y volúmenes de figuras geométricas No. 2 Instrucciones para el alumno Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu profesor. Saberes a adquirir Áreas de figuras planas Volúmenes de sólidos Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas. Definición de Área y Volumen. Qué es un área. ÁREAS Y VOLÚMENES Una unidad cuadrada es la superficie que encierra un cuadrado cuyo lado es 1 unidad (de longitud). 1 cm 1 centímetro cuadrado ( 1 cm Se llama área de una figura plana, por ejemplo, un polígono, al número de unidades cuadradas que contiene su superficie. Como quiera que un rectángulo de 5 unidades de longitud y 4 unidades de anchura se puede dividir en 20 cuadrados unidad, su área es de 20 unidades cuadradas. 4 Volúmenes. Unidad cúbica es un cubo que tiene por arista la unidad de longitud. Por ejemplo, la pulgada cúbica es un cubo cuya arista mide una pulgada. 5 1 cm 1 centímetro cúbico 1 cm 1 cm 217

218 Se llama volumen de un cuerpo al número de unidades cúbicas que éste puede contener. Por ejemplo, una caja cuadrada que tiene 3 unidades de longitud, 3 de anchura y 3 de de altura, ocupa un volumen de 27 unidades cúbicas, o sea, que tiene una capacidad o espacio suficiente para contener 27 cubos de una unidad de longitud por arista En las fórmulas relativas a volúmenes, éstos se expresan en unidades cúbicas, y éstas deben ser de la misma denominación que la utilizada para medir las dimensiones. Por ejemplo, si en la caja anterior, la unidad para medir tanto la anchura, la altura y la longitud hubieran sido metros, el volumen sería 3 27m. Perímetros y áreas de las figuras más comunes Figura Perímetro Área Triángulo = semiperímetro Cuadrado 218

219 Rectángulo Paralelogramo cualquiera Rombo Trapecio Polígono regular cualquiera 219

220 Fórmulas alternativas para encontrar áreas de polígonos regulares comunes, considerando la medida de el lado. ( l lado) Pentágono: 2 A 1.721l ; Hexágono : A l ; Eptágono: A 3.634l 2 Octágono: A l ; Eneágono: A l ; decágono: A 7.694l 2 Sector circular Polígono cualquiera El perímetro se obtiene Sumando cada lado. El área se obtiene triangulando el polígono y sumando las áreas de dichos triángulos. 220

221 ÁREAS LATERALES, ÁREAS TOTALES Y VOLÚMENES DE LAS FIGURAS MÁS COMUNES Área Volumen Cubo a a a Paralepípedo rectángulo c b a Prisma recto cualquiera El volumen de un prisma recto cualquiera, es igual al producto del área de su base por su altura. Pirámide regular cualquiera El volumen de una pirámide regular cualquiera, es igual a 1/3 del producto del área de la base por su altura 221

222 Cilindro circular recto Cono circular recto Esfera 222

223 Ejemplos Nombre Practicando con áreas y volúmenes No. 1 Instrucciones para el alumno 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Actitudes a formar Orden Manera didáctica de lograrlas Exposición y preguntas sobre el tema Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de lograrlas Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros. EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁREAS 1) Hallar el área del siguiente triángulo: Solución: A bh 2 (11)(7) cm 2 2) Hallar el área de un triángulo rectángulo si los catetos son iguales y la hipotenusa vale 16. Solución: X = 16 Por Pitágoras Área: Base = x Altura = x x 2 x 2 (16) 2 2 bh ( x)( x) x 128 x 256 A x

224 3) Hallar la altura de un triángulo si el área es igual a 25 y el lado a la cual pertenece la altura dada es igual a 5 bh A Solución: 2 que al despejar h nos da h 2A b 2(25) ) Hallar el área de un cuadrado si el perímetro es igual a 10. Solución: Perímetro = 4l 10 Área: 10 2 El lado será l 2. 5 A l (2.5) ) Si el área de un cuadrado es 81, hallar la longitud de la diagonal. Solución: 2 A l La diagonal forma triángulos rectángulos cuyos catetos valen l Usando Pitágoras l 2 l 2 (diagonal) 2 l 9 d 2 (9) 2 (9) 2 6) En un paralelogramo, hallar la altura si el área es igual a 21 y la base supera en cuatro unidades a la altura. Solución: Sea h x bh A b x 4 x (x 4) 21 x 2 4x 21 0 ( x 7)( x 3) 0 x 7 ; x 3 La altura es h 3 y la base x

225 7) Hallar el área de un trapecio isósceles CDEF, si = B = 22, = b = 12 y a = 13 Solución: D E = 10 Por Pitágoras: C G F El área del trapecio será: unidades cuadradas 8) Hallar el área de un rombo si una de las diagonales es 10, y el lado es 13. Solución: Si suponemos que la diagonal d = 10, entonces la mitad de esta diagonal es 5. Puede entonces observar que se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es, que al aplicar Pitágoras da: D = la otra diagonal Obteniendo raíz a ambos lados queda La diagonal completa será D = 24 Por lo tanto el área del rombo será unidades cuadradas 225

226 9) Hallar el área de un triángulo equilátero si la altura es igual a 6. a Por qué h 3? 2 En la figura, se toma a uno de los triángulos formados por la altura h y se aplica Pitágoras: a 2 a 2 2 h 2 a 2 2 a 4 h 2 3 a 4 2 h 2 a Al obtener la raíz a ambos lados da h 3. En este 2 ejemplo, como h 6 se obtiene el lado a de la siguiente manera: 6 a 2 3 que al despejar a se obtiene Por lo tanto el área será 10) Calcular el área sombreada de la siguiente figura. Cada punto lleno representa el centro de un arco de circunferencia o el centro de un círculo. Paso 1: En el triángulo rectángulo, la medida de los catetos será da,., que al resolver Paso 2: El área de ese triángulo es: Paso 3: Área del sector circular Paso 4: El área del segmento circular, no sombreado, es la resta del sector circular y el triángulo: Paso 5: El área sombreada será la resta de la media circunferencia menos el segmento circular no sombreado: 226

227 EJEMPLOS RESUELTOS DE VOLUMEN 1) Hallar el volumen de la siguiente figura. Considere que r 8 cm. Solución: 2 r altura del cilindro circular recto; 3 r = altura del cono. La figura está formada por un cilindro circular recto y un cono. Paso1: El volumen del cilindro circular recto es: V r 2 h 2 3 ( 8cm) (16cm) cm Paso 2: El volumen del cono será: V 1 3 r 2 h (8cm) (24cm) cm 3 Paso 3: El volumen total de la figura es: V T cm 3 2) Hallar el volumen de una pirámide regular de base pentagonal de altura 20 cm si la longitud del lado de la base pentagonal es igual a 6 cm. Paso 1: Área de la base pentagonal A l 1.721(6 cm) cm Paso 2: Fórmula del volumen V 1 2 b A h 3 1 (61.926cm 3 )(20cm) V cm 3 227

228 Ejercicios Nombre A calcular áreas y volúmenes No. 3 Instrucciones Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de para el alumno conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden y responsabilidad Manera didáctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias genéricas a desarrollar 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Manera didácticas de Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas lograrlas EJERCICIOS DE ÁREAS 1) Hallar el lado de un cuadrado si: a) El perímetro es igual a 44, b) La diagonal es igual a 8. 2) Si el área de un cuadrado es 81, hallar: a) El lado, b) El perímetro, c) La diagonal. 3) Hallar el área de un triángulo rectángulo si: a) Los catetos miden 5 y 6 ;b) los catetos son iguales y c) la hipotenusa mide 16. 4) Hallar el área de: a) Un triángulos cuyos lados son iguales a 5, 12 y 13; b) Un triángulo isósceles cuya base es 30 y cuyos lados iguales miden 17. 5) Hallar el área de un triángulo equilátero si: a) Un lado es igual a 10; b) El perímetro es igual a 36; c) La altura es igual a ) Hallar El área del trapecio isósceles CDEF, si b = 17, a = 10 y h = 6. D E C G F 228

229 7) Dado un trapecio isósceles, hallar las bases, si los lados iguales miden 5, la altura 3 y el área 39. 8) Hallar el área de un rombo si: a) Las diagonales son 8 y 9 c) El perímetro es 40 y una de las diagonales es 12 b) Las diagonales son 11 y 7 d) El perímetro es 32 y la diagonal menor es igual al lado. 9) Hallar el área de un octágono de 4 cm de lado y apotema cm. 10) En las siguientes figuras, encontrar el área de la región sombreada. El punto resaltado representa el centro de una circunferencia o de un círculo. 11) a) La figura ABC es un equilátero. AB BC CA 10cm. P, M y N son los puntos medios de los lados. Calcule el área de la parte sombreada de la figura. b) El ABCD es un cuadrado OA 4 cm. Calcule el área de la parte sombreada de la figura. a) b) 229

230 EJERCICIOS DE VOLÚMENES 12) Calcular el volumen de las siguientes figuras: a) b) c) 3 m 13) Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista 14) Calcular la diagonal de un paralepípedo rectángulo de 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de alto. 230

231 15) Calcular el volumen de las siguientes figuras: a) c) c) l 6 cm, w 4cm y h 8 cm d) Prisma recto 231