ESTRATEGIAS DE CÁLCULO MENTAL CON MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES EN EL 2º CICLO DE PRIMARIA. José Ramón Gregorio Guirles (*)

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1 ESTRATEGIAS DE CÁLCULO MENTAL CON MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES EN EL 2º CICLO DE PRIMARIA SIGMA 29 José Ramón Gregorio Guirles (*) En este segundo artículo dedicado a las estrategias de cálculo mental en el 2º ciclo de Primaria, además de lo ya mencionado en el anterior, conviene destacar que lo verdaderamente importante de este trabajo matemático es: que los alumnos trabajen en pareja, discutan, piensen y expresen sus ideas que se haga un buen proceso de puesta en común y de recogida de las conclusiones referidas a cada una de las estrategias (E1, E2, ) En definitiva, que lo esencial es que crezcan en razonamiento numérico y operacional (a través de la reflexión y el debate con los demás), y no tanto que se aprendan de memoria las estrategias mentales que trabajamos (variante débil del trabajo). Además, en el caso de las actividades relacionadas con las estrategias podemos convertir el trabajo en SESIONES DE INVENTAR (IN.1, IN.2, ): una vez entendida la actividad, los alumnos/as inventan por parejas actividades de ese tipo para que luego las resuelva otra pareja. Las sesiones tienen un carácter orientativo y, según el criterio de cada profesor y del grupo de alumnos/as que tenga, pueden ser fácilmente cambiadas de orden, divididas en varias sesiones, simplificadas o ampliadas. A cada alumno/a se le da la ficha de la estrategia o actividad correspondiente a la sesión. Las estrategias se trabajan en parejas. Se les da un tiempo de resolución y debate, y se hace una puesta en común con las ideas que han tenido al respecto. Es interesante que el profesor/a siempre pregunte por el por qué de las respuestas que dan. SESIÓN 1: ACTIVIDADES ESTRATÉGICAS DE CONCEPTUALIZACIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN. CALCULA CON LA CALCULADORA SIN USAR LA TECLA DE LA MULTIPLICACIÓN 2 x 3 = 4 x 2 = 5 x 8 = 10 x 5 = 12 x 15 = 40 x 25 = Inventad otras operaciones de multiplicar sin usar la tecla de la multiplicación. Esta actividad es interesante realizarla al trabajar los conceptos básicos de multiplicación (suma repetida), y se puede hacer con la ayuda de dinero para manipular, visualizar y representar las operaciones. (*) Asesor de Infantil y Primaria del Berritzegune de Sestao. Noviembre ko Azaroa 11

2 José Ramón Gregorio Guirles SESIÓN 2: MULTIPLICAR DESCOMPONIENDO EL NÚMERO (E.1) Distributiva de la multiplicación o multiplicación fraccionada acumulando resultados parciales. Sólo con números de 2 cifras por otro de una. Fíjate cómo se puede hacer 42 x 5: 42 x 5= (40 y 2) x 5= 40 x x 5= = 210 Aplica esta estrategia en las siguientes operaciones: 12 x 2 = 12 x 3 = 14 x 2 = 13 x 3 = 14 x 5 = 18 x 2 = 16 x 2 = 15 x 5 = 12 x 6 = 24 x 8 = Esta estrategia facilita la comprensión del algoritmo de la multiplicación. Además permite conectar esta forma de multiplicar con la historia de los algoritmos (así se multiplicaba en la antigua Grecia). SESIÓN 3: MULTIPLICAR UN NÚMERO POR 10, 100, (E.2) INVESTIGACIÓN: Cuál es el resultado de multiplicar cada número por 10? Y por 100? Y por 1.000? Resuelve con la calculadora. Cuál es la estrategia que podemos seguir para multiplicar fácilmente por 10, 100, sin necesidad de usar la calculadora? Poned otros ejemplos. Número x10 x100 x1.000 Conclusiones (1) SIGMA Nº 29 SIGMA 29 zk.

3 Estrategias de cálculo mental con multiplicaciones y divisiones en el 2º ciclo de primaria Número x10 x100 x1.000 Conclusiones (1) SESIÓN 4: MULTIPLICAR NÚMEROS SENCILLOS QUE TIENEN CEROS (E.3) INVESTIGACIÓN: Cuál es el resultado de hacer estas multiplicaciones? Resuelve con la calculadora. Cuál es la estrategia que podemos seguir para hacer fácilmente estas multiplicaciones sin necesidad de usar la calculadora? Poned otros ejemplos. Operación Resultado Conclusiones (2) 30 x 20 = 50 x 40 = 600 x 30 = 15 x 20 = 40 x 5 = 80 x 70 = SESIÓN 5: MULTIPLICAR UN NÚMERO POR 2, 4, 8 (E.4) INVESTIGACIÓN: Qué pasa si a un número le multiplicamos por 2, 4, 8? Resuelve con la calculadora. Cuál es la estrategia que podemos seguir para multiplicar fácilmente por 2, 4, 8 sin necesidad de usar la calculadora? Poned otros ejemplos. Nº x2 x4 x8 Conclusiones (3) Noviembre ko Azaroa 13

4 José Ramón Gregorio Guirles AMPLIACIÓN: Cómo será la estrategia para multiplicar por 20? Y por 200? SESIÓN 6: MULTIPLICAR UN NÚMERO POR 3 (E.5) INVESTIGACIÓN: Qué pasa si a un número le multiplicamos por 3? Resuelve con la calculadora. Cuál es la estrategia que podemos seguir para multiplicar fácilmente por 3 sin necesidad de usar la calculadora? Poned otros ejemplos. Número x 1 x2 x 3 Conclusiones (4) SESIÓN 7: MULTIPLICAR UN NÚMERO POR 5, 50 (E.6) INVESTIGACIÓN: Qué pasa si a un número le multiplicamos por 5? Y si lo multiplicamos por 50? Resuelve con la calculadora. Cuál es la estrategia que podemos seguir para multiplicar fácilmente por 5 y 50 sin necesidad de usar la calculadora? Poned otros ejemplos. Nº x10 x5 x100 x50 Conclusiones (5) SIGMA Nº 29 SIGMA 29 zk.

5 Estrategias de cálculo mental con multiplicaciones y divisiones en el 2º ciclo de primaria SESIÓN 8: MULTIPLICAR UN NÚMERO POR 25 (E.7) INVESTIGACIÓN: Qué pasa si a un número le multiplicamos por 25? Resuelve con la calculadora. Cuál es la estrategia que podemos seguir para multiplicar fácilmente por 25 sin necesidad de usar la calculadora? Poned otros ejemplos. Número x100 x50 x 25 Conclusiones (6) SESIÓN 9: OTRAS ACTIVIDADES RELACIONADAS CON ESTAS PRIMERAS ESTRATEGIAS (INV.1) Eliminar números en la pizarra (Juego): Se escribe una lista de números y por turno hay que ir eliminado cada uno, diciendo por qué factor hay que multiplicarlo para que de 1.000, , Otra variante es convertirlo en un juego oral: el profesor/a empieza preguntando, el que responde pregunta a otro eligiendo uno de los números que no se han dicho,. Tener en cuenta una secuencia de trabajo de lo más fácil (1, 10, 100,...) a lo más difícil (5, 50, 25,...). Por qué número hay que multiplicarlo para que de 1.000? Por qué número hay que multiplicarlo para que de ? Por qué número hay que multiplicarlo para que de ? Noviembre ko Azaroa 15

6 José Ramón Gregorio Guirles De cuántas maneras distintas podemos conseguir el número mediante multiplicaciones? Sólo podemos utilizar unidades, decenas, centenas, y millares exactos. De cuántas maneras distintas podemos conseguir el número mediante multiplicaciones? Sólo podemos utilizar unidades, decenas, centenas, millares y decenas de millar exactos. De cuántas maneras distintas podemos conseguir el número mediante multiplicaciones? Sólo podemos utilizar unidades, decenas, centenas, millares, decenas y centenas de millar exactos. SESIÓN 10: OTRAS ACTIVIDADES RELACIONADAS CON LAS ESTRATEGIAS ANTERIORES: DESCOMPONER NÚMEROS DE DIFERENTES MANERAS (INV.2) Inventad números en parejas para que los descompongan otras parejas. DESCOMPOSICIÓN NÚMEROS VUESTROS NÚMEROS Partiendo del 10, 100, y de maneras diferentes Descomponer un número en dos factores iguales Descomponer un número con un o factor fijo 100 = 10 x 10 = 20 x 5 = = 200 x 5 = 100 = 10 x = 20 x = 10 x 40 = 10 x... SESIÓN 11: OTRAS ACTIVIDADES RELACIONADAS CON LAS ESTRATEGIAS ANTERIORES (INV.3) Relacionar descomposiciones equivalentes 10 x x x x 5 80 x x x x 100 Inventad por parejas otro ejemplo de relacionar descomposiciones equivalentes. 16 SIGMA Nº 29 SIGMA 29 zk.

7 Estrategias de cálculo mental con multiplicaciones y divisiones en el 2º ciclo de primaria Completar igualdades 35 x = x = 560 x 20 = x = 800 Inventad por parejas otro ejemplo de completar igualdades. SESIÓN 12: DESCOMPONER SIEMPRE QUE SEA POSIBLE, CUALQUIER NÚMERO DE LA TABLA DE MULTIPLICAR EN PRODUCTO DE 2/3/4 FACTORES (E.8) Fíjate cómo se puede descomponer un número en producto de otros 28 = 7 x 4 = 7 x 2 x 2 = 14 x 2 = 28 x 1 24= 4 x 6 = 6 x 4 = 6 x 2 x 2 = 3 x 2 x 2 x 2 = 12 x 2 = 8 x 3 =... Aplica esta estrategia en las siguientes operaciones 15 = 24 = 12 x 2 = 6 x 4 = 3 x 8 = 3 x 2 x 2 x 2 = 50 = 32 = 42 = 100 = 120 = 64 = 150 = 1000 = 88 = 45 = SESIÓN 13: DESCOMPONER Y ASOCIAR PARA MULTIPLICAR MÁS FÁCILMENTE (E.9) Fíjate cómo se puede facilitar una multiplicación descomponiendo los números y asociándolos de forma diferente para multiplicar (flexibilidad para operar con números): 3 x 21= 3 x 3 x 7= 63 Noviembre ko Azaroa 17

8 José Ramón Gregorio Guirles 6 x 45 = 2 x 3 x 45 = 23 x 90 = 70 Aplica la siguiente estrategia a estas operaciones: 8 x 25 = 25 x 12 = 15 x 12 = 16 x 25 = 36 x 12 = 25 x 48 = 18 x 4 = El objetivo es conseguir que a la hora de multiplicar dos números sencillos, puedan jugar fácilmente con dobles y mitades (triples y terceras partes ): en una multiplicación el producto no cambia si a uno de los factores lo duplico y al otro lo dejo en la mitad (25 x 12 = 50 x 6 = 300). SESIÓN 14: OTRAS ACTIVIDADES QUE IMPLICAN CONOCIMIENTOS ESTRATÉGICOS DE MULTIPLICACIONES (INV.4). Comparación de expresiones Di sin operar si el resultado de la operación de la izquierda es MAYOR, MENOR O IGUAL que el resultado de la operación de la derecha. Explica la razón (estrategias que has utilizado). 30 x x x x 9 15 x 16 x 2 2 x 16 x 15 4 x 25 x x x x x x x 10 9 x 2 x 5 x x x x SIGMA Nº 29 SIGMA 29 zk.

9 Estrategias de cálculo mental con multiplicaciones y divisiones en el 2º ciclo de primaria SESIÓN 15: OTRAS ACTIVIDADES QUE IMPLICAN CONOCIMIENTOS ESTRATÉGICOS DE MULTIPLICACIONES (INV.5). Estrategias de aproximación del resultado de la operación (algo más que..., algo menos que...) Para poder estimar el resultado, redondea primero uno o los dos números OPERACIÓN Resultado aproximado 146 x 2 = 39 x 39 = 49 x 2 = 49 x 49 = 99 x 99 = 990 x 990 = SESIÓN 16: ACTIVIDADES ESTRATÉGICAS DE CONCEPTUALIZACIÓN DE LA DIVISIÓN. CALCULA CON LA CALCULADORA SIN USAR LA TECLA DE LA DIVISIÓN 21 : 3 = 100 : 20 = 600 : 120 = 10 : 5 = 200 : 25 = : 125 = Inventad otras operaciones de dividir sin usar la tecla de la división. Esta actividad es interesante realizarla al trabajar los conceptos básicos de división (reparto y resta repetida), y se puede hacer con la ayuda de dinero para manipular, visualizar y representar los repartos. SESIÓN 17: DIVIDIR DESCOMPONIENDO EL NÚMERO (E.10) Distributiva de la división o división fraccionada acumulando resultados parciales. Fíjate cómo se pueden hacer estas divisiones: 604 : 2 = 600 : 2 y 4 : 2 = 300 y 2 = : 5 = 100 : 5 y 5 : 5 = 20 y 1 = 21 Noviembre ko Azaroa 19

10 José Ramón Gregorio Guirles Aplica esta estrategia en las siguientes operaciones: 248 : 2 = 864 : 2 = 468 : 2 = 102 : 2 = 63 : 3 = 396 : 3 = : 5 = Esta estrategia facilita la comprensión del algoritmo de la división. Además permite conectar esta forma de dividir con la historia de los algoritmos (formas primitivas de dividir). SESIÓN 18: DESCOMPONER CUALQUIER NÚMERO DE DOS CIFRAS EN UN PRODUCTO DE DOS FACTORES O DE DOS FACTORES MÁS UNA CIFRA LO MÁS PEQUEÑA POSIBLE, Y CONVERTIRLO EN UNA DIVISIÓN (E.11) Fíjate cómo se puede descomponer cualquier número de dos cifras y cómo se convierte en una división: 24 = 4 x 6 24 : 4 = 6 24 : 6 = 4 47 = 6 x : 6 = 7 resto: 5 47 : 7 = 6 resto 5 MULTIPLICACIÓN DIVISIONES SIGMA Nº 29 SIGMA 29 zk.

11 Estrategias de cálculo mental con multiplicaciones y divisiones en el 2º ciclo de primaria MULTIPLICACIÓN DIVISIONES 47 = 6 x :6 = 7 R = 5 47:7 = 6 R = 5 17 = 7 = 43 = 31 = 37 = 29 = Qué tipo de números son estos? SESIÓN 19: DIVIDIR UN NÚMERO ENTRE 10, 100, (E.12) INVESTIGACIÓN: Cuál es el resultado de dividir cada número entre 10? Y entre 100? Y entre 1.000? Resuelve con la calculadora. Cuál es la estrategia que podemos seguir para dividir fácilmente entre 10, 100, sin utilizar la calculadora? Poned otros ejemplos. Número :10 :100 :1.000 Conclusiones (7) SESIÓN 20: DIVIDIR NÚMEROS SENCILLOS QUE TIENEN CEROS (E.13) INVESTIGACIÓN: Cuál es el resultado de hacer estas divisiones? Resuelve con la calculadora. Cuál es la estrategia que podemos seguir para hacer fácilmente estas divisiones sin utilizar la calculadora? Poned otros ejemplos. Noviembre ko Azaroa 21

12 José Ramón Gregorio Guirles Operación Resultado Conclusiones (8) 40 : : 40 = 600 : 30 = : 20 = 400 : 50 = : 500 = SESIÓN 21: DIVIDIR UN NÚMERO ENTRE 2, 4, 8 (E.14) INVESTIGACIÓN: Qué pasa si a un número le dividimos entre 2, 4, 8? Resuelve con la calculadora. Cuál es la estrategia que podemos seguir para dividir fácilmente entre 2, 4, 8 sin utilizar la calculadora? Poned otros ejemplos. : 2 : 4 : 8 Conclusiones (9) AMPLIACIÓN: Cómo será la estrategia para dividir entre 20? Y entre 200? SESIÓN 22: DIVIDIR UN NÚMERO ENTRE 5, 50 (E.15) INVESTIGACIÓN: Qué pasa si a un número le dividimos entre 5? Y si lo dividimos entre 50? Resuelve con la calculadora. Cuál es la estrategia que podemos seguir para dividir fácilmente entre 5 y 50 sin utilizar la calculadora? Poned otros ejemplos. 22 SIGMA Nº 29 SIGMA 29 zk.

13 Estrategias de cálculo mental con multiplicaciones y divisiones en el 2º ciclo de primaria Nº : 10 : 5 : 100 : 50 Conclusiones (10) SESIÓN 23: DIVIDIR UN NÚMERO ENTRE 25 (E.16) INVESTIGACIÓN: Qué pasa si a un número le dividimos entre 25? Resuelve con la calculadora. Cuál es la estrategia que podemos seguir para dividir fácilmente entre 25 sin utilizar la calculadora? Poned otros ejemplos. Número : 100 : 50 : 25 Conclusiones (11) SESIÓN 24: OTRAS ACTIVIDADES RELACIONADAS CON ESTAS ESTRATEGIAS (INV.6) Eliminar números en la pizarra. Se escribe una lista de números (10, 100, 1.000, ), y por turno hay que ir eliminado cada uno, diciendo por que número hay que dividirlo para conseguir 1, 10, 100, Variante: convertirlo en un juego oral (como en la multiplicación). Tener en cuenta una secuencia de trabajo de lo más fácil (1, 10, 100,...) a lo más difícil (5, 50, 25,...) Por qué número hay que dividirlo para que de 10? Noviembre ko Azaroa 23

14 José Ramón Gregorio Guirles Por qué número hay que dividirlo para que de 100? Por qué número hay que dividirlo para que de 1.000? Conseguir el número a partir de una división Inventad por parejas otros números y cómo conseguirlos a través de una división. Número Operación Vuestros números y operaciones 25 = 25 = 250 : 10 = = 200 = 400 : 2 = = 100 = SESIÓN 25: OTRAS ACTIVIDADES RELACIONADAS CON ESTAS PRIMERAS ESTRATEGIAS (INV.7) Relacionar descomposiciones equivalentes 100 : 5 15 x : : : 20 8 x : : 2 Inventad por parejas otro ejemplo de relacionar descomposiciones equivalentes. Completar igualdades 250 : = 50 : = : 10 = : = 800 Inventad por parejas otro ejemplo de completar igualdades. 24 SIGMA Nº 29 SIGMA 29 zk.

15 Estrategias de cálculo mental con multiplicaciones y divisiones en el 2º ciclo de primaria SESIÓN 26: DESCOMPOSICIONES NUMÉRICAS RELACIONADAS CON LAS DIVISIONES (E.17) Fíjate cómo se puede simplificar una división de dos números, convirtiéndola en otra más fácil (flexibilidad para operar con números): 24 : 6 = Si a 24 y a 6 los dividimos por el mismo número (2), el resultado no cambia 24 : 6 = 12 : 3 = 4 : 1 = 4 (24 : 6 = 48 : 12= ) Aplica esta estrategia: Operación Simplificación 36 : 4 = 72 : 4 = 96 : 8 : 54 : 6 = 100 : 4 = 120 : 12 = 240 : 6 = SESIÓN 27: OTRAS ACTIVIDADES QUE IMPLICAN CONOCIMIENTOS ESTRATÉGICOS DE DIVISIONES (INV.8). COMPARACIÓN DE EXPRESIONES Di sin operar si el resultado de la operación de la izquierda es MAYOR, MENOR O IGUAL que el resultado de la operación de la derecha. Explica la razón. 350 : : : : : : : : : : : : : : 2 40 : : : Noviembre ko Azaroa 25

16 José Ramón Gregorio Guirles SESIÓN 28: OTRAS ACTIVIDADES QUE IMPLICAN CONOCIMIENTOS ESTRATÉGICOS DE DIVISIONES (INV.9). ESTRATEGIAS DE APROXIMACIÓN DEL RESULTADO DE LA OPERACIÓN (ALGO MÁS QUE... ALGO MENOS QUE) Para poder estimar el resultado, redondea primero uno o los dos números OPERACIÓN Resultado aproximado 198 : 2 = 101 : 2 = 75 : 9 = 75 : 11 = 800 : 99 = 800 : 101 = SESIÓN 29: OTRAS ACTIVIDADES QUE IMPLICAN CONOCIMIENTOS ESTRATÉGICOS DE MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES (INV.10) Elegir resultados sin operar: qué estrategia has utilizado? Operación Soluciones 94 x 7 = x 6 = x x 4 = x 5 = x 45 = x 6 = x 7 = Operación Soluciones 108 : 9 = : 20 = SIGMA Nº 29 SIGMA 29 zk.

17 Estrategias de cálculo mental con multiplicaciones y divisiones en el 2º ciclo de primaria Operación Soluciones 410 : 5 = : 50 = : 25 = : 12 = SESIÓN 30: OTRAS ACTIVIDADES QUE IMPLICAN CONOCIMIENTOS ESTRATÉGICOS DE MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES (INV.11) Calcula las operaciones o números desconocidos Número OPERACIÓN Número Igual a Resultado = 8 x = = = = 45 9 = = 90 5 X = = x 3 = 45 Número OPERACIÓN Número Igual a Resultado 21 : 3 = 56 : = 8 : 25 = ,1 = = = 5 : = 50 Noviembre ko Azaroa 27

18 José Ramón Gregorio Guirles NOTAS (1) En la línea de que: x 10 = añadir un 0 15 x 10 = 150 x 100 = añadir dos ceros 15 x 100 = x1.000 = añadir 3 ceros 15 x = (2) En la línea de que se multiplican los números diferentes de cero, y luego se añaden tantos ceros como ceros haya entre los dos números. (3) En la línea de que: x 2 = sumar el número consigo mismo (hacer el doble): 15x2= = 30 x 4 = el doble del doble (2x2) 15x4=30+30= 60 (mentalmente: 30-60) x 8 = hacer el doble 3 veces (2x2x2). o el doble de x4 15x8 = mentalmente (4) En la línea de que x3 equivale a sumar el número y su doble: 15 x 3 = = 45 (5) x5 = hacer la mitad y añadir un 0 (o al revés) 24x5 = mentalmente x50 = hacer la mitad y añadir dos ceros 36 x 50 = mentalmente (6) En la línea de que como 25 es la cuarta parte de 100, entonces x 25 = dividir por 4 ( la mitad de la mitad) y añadir dos ceros 24 x25 = mentalmente (7) En la línea de que: : 10 = quitar un cero : 100 = quitar dos ceros : = quitar tres ceros (8) En la línea de que se quitan tantos ceros del dividendo como ceros haya en en divisor, y luego se hace la división que queda. (9) En la línea de que : 2 = la mitad : 4 = la mitad de la mitad : 8 = la mitad de la mitad de la mitad (10) En la línea de que, como 5 es la mitad de 10: : 5 = quitar un cero y hacer el doble : 50 = quitar dos ceros y hacer el doble (11) En la línea de que como 25 es la cuarta parte de 100, entonces : 25 = quitar dos ceros y multiplicar por 4 (el doble del doble) (800:25= 8, 16, 32) 28 SIGMA Nº 29 SIGMA 29 zk.