Leyes de los exponentes

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María Josefa Luna Belmonte
hace 6 años
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1 Leyes de los exponentes Aquí están las leyes (las explicaciones están después): Ley x 1 = x Ejemplo 6 1 = 6 x 0 = = 1 x -1 = 1/x 4-1 = 1/4 x m x n = x m+n x 2 x 3 = x 2+3 = x 5 x m /x n = x m-n x 4 /x 2 = x 4-2 = x 2 (x m ) n = x mn (xy) n = x n y n (x/y) n = x n /y n (x 2 ) 3 = x 2 3 = x 6 (xy) 3 = x 3 y 3 (x/y) 2 = x 2 / y 2 x -n = 1/x n x -3 = 1/x 3 Explicaciones de las leyes Las tres primeras leyes (x 1 = x, x 0 = 1 y x -1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo: Ejemplo: potencias de 5... etc ,2

2 ,04... etc... verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye). La ley que dice que x m x n = x m+n En x m x n, cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces. Ejemplo: x 2 x 3 = (xx) (xxx) = xxxxx = x 5 Así que x 2 x 3 = x (2+3) = x 5 La ley que dice que x m /x n = x m-n Como en el ejemplo anterior, cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso"n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces. Ejemplo: x 4-2 = x 4 /x 2 = (xxxx) / (xx) = xx = x 2 (Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.) Esta ley también te muestra por qué x 0 =1 : Ejemplo: x 2 /x 2 = x 2-2 = x 0 =1 La ley que dice que (x m ) n = x mn

3 Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m n veces. Ejemplo: (x 3 ) 4 = (xxx) 4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x 12 Así que (x 3 ) 4 = x 3 4 = x 12 La ley que dice que (xy) n = x n y n Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo: Ejemplo: (xy) 3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x 3 y 3 La ley que dice que (x/y) n = x n /y n Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s Ejemplo: (x/y) 3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x 3 /y 3 La ley que dice que Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n (1/m): Ejemplo: Y eso es todo Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto: siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta página. Ah, una cosa más... Qué pasa si x= 0? Exponente positivo (n>0) 0 n = 0 Exponente negativo (n<0) No definido! (Porque dividimos entre 0) Exponente = 0 El extraño caso de 0 0 Ummm... lee más abajo! Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 0 0 podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado":

4 x 0 = 1, así que = 1 0 n = 0, así que = 0 Cuando dudes = "indeterminado" LAS LEYES DE EXPONENTES SON: 1. LEY DE LA MULTIPLICACION: al multiplicar dos potencias de igual base se copia la base y se suman los exponentes, para tener el exponente del producto. 2. LEY DE LA DIVISION: al dividir dos potencias de igual base, se copia la base y al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor, dando el exponente del cociente. Estas son dos consecuencias importantes de la ley de la división: o PROPIEDAD DE LOS EXPONENTES NEGATIVOS: toda cantidad con un exponente negativo es un número racional, que representa el inverso multiplicativo de un número entero.

5 o PROPIEDAD DEL EXPONENTE 0: al dividir dos cantidades exactamente iguales que tengan idéntico exponente, obtendremos una expresión con exponente cero, que también será equivalente a la unidad. 3. LEY DE LA INVOLUCION, O ELEVAR A UNA POTENCIA: al elevar una potencia a un exponente, se copia la base y se multiplican los exponentes. 4. LEY DE LA EVOLUCION, O DE LA EXTRACCION DE RAICES: al extraer la raíz de una potencia, se copia la base de la cantidad subradical, y al exponente de este subradical se le divide el índice de la raíz. o Esta es una consecuencia natural de la ley de extracción de raíces: una expresión radical cualquiera puede transformarse en una expresión en notación exponencial.

6 RELACIÓN ENTRE ALGUNAS DE LAS LEYES DE EXPONENTES: Una de las propiedades básicas de la notación exponencial es que unas leyes llevan inevitablemente a otras. De la ley de la multiplicación: De la ley de la división:

7 De la propiedad del exponente negativo: De la propiedad de las expresiones radicales:

8 De la propiedad del exponente 0:

9 Leyes de los radicales Leyes de los radicales Ley Potencia de un radical Descripción y ejemplo La potencia pasa a ser exponente del radicando y se convierte en fracción, el índice será el denominador y el exponente el numerados. (ⁿ x)ᵐ=ⁿ xᵐ Producto de radicales con un mismo índice radical El índice se conserva y los radicandos se multiplican. ⁿ x.ⁿ y=ⁿ x.y División de radicales con un mismo índice radical El índice se conserva y los radicandos se dividen. ⁿ x/ⁿ y=ⁿ x/y Raíz de raíces El radicando se conserva y los índices se multiplican. ᵐ ⁿ x=ᵐ ⁿ x Leyes de las Radicales ⁿ (xª) = xª/ⁿ ⁿ ab = ⁿ a ⁿ b ⁿ a ⁿ a/b = ⁿ b

10 ª ⁿ b = ªⁿ b La radicación no es distributiva con respecto a la suma y a la resta (a² + b²) a² + b² La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división (a² * b²) = a² * b² Estas son las Leyes de los Exponentes: ============================= Regla del Producto ➊ Cuando tenemos 2 términos con las misma Base los Exponentes se Suman xª * xⁿ = xª+ⁿ Regla de la División ➋ Cuando tenemos un Cociente con términos de la misma Base los Exponentes se Restan si a > n xª --- = xª ⁿ xⁿ si a = n; el Resultado es (1) si a < n xª = xⁿ...xⁿ ª

11 Regla de la Potencia ➌ Cuando tenemos un Termino elevado a mas de una Potencia, las Potencias se Multiplican (xª)ⁿ = xª*ⁿ Regla ➍ (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ Regla del Exponente Cero ➎ Todo número elevado a la Potencia Cero es uno x⁰ = 1 Regla del Exponente Negativo ➏ Todo número Elevado a una Potencia Negativa se puede representar como su inverso para cambiarle la Potencia de Negativa a Positiva...1 x ⁿ = xⁿ Regla del Radical ➐ Todo Expresión Radical se puede expresar, se puede expresar como un Exponente Fra

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