UNIDAD Nro I: Números Reales

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2 UNIDAD Nro I: Números Reales Números Naturales Números Enteros Números Racionales Números Irracionales Números Reales Los Números Naturales son aquellos números exactos y además son sólo positivos. Pueden incluir o no al Cero. Los Números Enteros es una ampliación del conjunto anterior ya que comprende también los números exactos negativos. Los Números Racionales se forman de una parte entera y una parte no entera a la que se llama fracción o decimal. Los números Racionales son todos aquellos números con o sin parte no entera, siempre y cuando se puedan expresar como una fracción. Los Números Irracionales se conforman por números con infinitos decimales no periódicos y NO se los puede expresar como fracción. ;;;4;5;6;7;8;9;... 9; 7; 4; ; ;0;;;6;8;9; 7 ; ; ; ;0; ; ;; ;4; π ; ; 5; ; ; ; ; ;0; ; ;; ; Los Números Reales incluyen TODOS los conjuntos mencionados anteriormente. ; ;4; π Todos estos conjuntos pueden ser representados sobre una recta numéric 7 Números Racionales Expresiones Decimales: Exactas: número finito de cifras decimales Periódicas Puras: a continuación de la coma presenta una o varias cifras decimales que se repiten periódicamente (período) Impuras o Mixtas: entre la coma y el período presenta una o varias cifras que no se repiten (constituyen el anteperíodo) 0,55;,6;,5; 0,000; ) ) ) 0,5;,;,9;... ) ) ) 0, 5;,5;9,54; Página de 7

3 Pasaje de Expresiones Decimales a Fracciones: Expresiones Decimales Exactas,5, Numerador: se coloca la expresión decimal sin la com Denominador: se coloca un por la parte entera y un 0 por cada parte decimal. Expresiones Decimales Periódicas Puras 0,5 ) 5 9 0, )) 99 Numerador: se coloca la expresión decimal sin la com Denominador: se coloca un 9 por cada cifra dentro del período Expresiones Decimales Periódicas Mixtas 0,4 )) ,57 )) Numerador: se genera una resta entre la expresión decimal sin la coma y el anteperíodo (si posee parte entera, esta también se resta). Denominador: se coloca un 9 por cada cifra dentro del período y un 0 por cada cifra del anteperíodo (siempre hablando de cifras decimales). Página de 7

4 Operaciones básicas en Racionales: Suma y Resta Averiguar el Mínimo Común Múltiplo (MCM), ese será el denominador. Para el numerador dividimos el MCM por el denominador de cada término y lo multiplicamos por su numerador La mecánica para sumar y restar fracciones es la misma, lo que cambia es el signo. Multiplicación y División La multiplicación es directa (numerador con numerador y denominador con denominador) La División es cruzada o una multiplicación indirecta 6 7 : Regla de Signos Al multiplicar o dividir números positivos y negativos se debe recordar: + Por o dividido + Es + + Por o dividido - Es - - Por o dividido - Es + - Por o dividido + Es - Página de 7

5 Potencia Cuando un número racional es elevado a una potencia, esta potencia afecta tanto al numerador como el denominador Lo mismo pasa con la radicación de números racionales Propiedades.. : : Distributiva ( ) ab a b ( ) a b a b Producto de potencias de igual base Cociente de potencias de igual base a. a. a a + + ( ) a : a a ( ) Potencia de potencia ( ) a a (.) - Potenciación: Regla de Signos Base Exponente Potencia positiva par positiva positiva impar positiva negativa par positiva negativa impar negativa Página 4 de 7

6 Radicación - Propiedades Distributiva ab. b a: b a: b Raíz de raíz a (.) a - Radicación: Regla de Signos Índice Radicando Raíz impar positivo un solo resultado (positivo) impar negativo un solo resultado (negativo) par positivo dos resultados de igual valor y diferente signo (positivo y negativo) par negativo no tiene solución en Números Reales Operaciones complejas en Racionales: paréntesis, corchetes y llaves Separación en términos La separación en términos está dada por los signo + y - Luego se resuelve término por término: Página 5 de 7

7 Por último, se puede trabajar de dos maneras diferentes: Sumar y restar según el orden Agrupando positivos y negativos Paréntesis, corchetes y llaves: regla se signos Por lo general, se sacan primero los paréntesis, luego corchetes y por último llaves. Para ello se debe tener en cuenta: Si delante se encuentra un signo +, los signos se mantienen. Si delante se encuentra un signo -, los signos se invierten. De esta manera podemos ver el siguiente ejercicio: Donde primero sacamos los paréntesis : Luego sacamos los corchetes : Y sacamos las llaves : Por último se resuelven los cálculos agrupando positivos y negativos: O bien puede escribirse así: Obteniendo: Página 6 de 7

8 Nota: Otra manera de hacer estos cálculos, es ir resolviendo las operaciones dentro de los paréntesis, y lo mismo con corchetes y llaves. o Propiedad Distributiva Dentro de operaciones complejas con paréntesis, corchetes y llaves podemos encontrarnos una multiplicación delante o detrás de los mismos. En este caso se aplica la Propiedad Distributiva, multiplicando cada término dentro del paréntesis, de la siguiente manera: UNIDAD Nro I: EJERCITACIÓN ) Resolver y clasificar según el conjunto numérico al que pertenecen:. + ( 4).5+ :( ) b..( ) + ( ): 4.0 c. 0 [ (4 ):+ 8] f. g. ) 0,75 + 0, 4 :.( 5) d. ( ) + 8:( ) e. 0 6 ( 8) h. ( ) 4 : Página 7 de 7

9 ) Calcular el valor de las potencias: 8 c. 4 b. 4 5 d. ( 8) ) Pasar de decimal a fracción: 5,75 b. 8,04 ) c. 64, ) d. 8,0 )) e. 0,76 ) f. 4,4 UNIDAD Nro II: Ecuaciones Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Ecuaciones de Primer Grado Se dice que una ecuación algebraica es de primer grado cuando la incógnita está elevada a la potencia, es decir que su exponente es (x¹ x). De esta manera, al resolver la ecuación obtendremos un solo resultado. La manera de resolver una ecuación de primer grado es despejar. Despejar significa dejar a la X sola de un lado del igual y pasar todo dato para el otro lado. Si dentro de la ecuación hubiera dos o más términos que incluyeran X, primero se deben unificar en uno solo. Lo mismo ocurre con los datos (si hubiera operaciones disponibles siempre es recomendable realizarlas primero). Página 8 de 7

10 o Reglas básicas para pasar términos. - Lo que está sumando pasa restando - Lo que está restando pasa sumando - Lo que está multiplicando pasa dividiendo - Lo que está dividiendo pasa multiplicando - Las potencias pasan como raíces - Las raíces pasan como potencias Nota: es importante en las ecuaciones recordar la separación en términos y el respetar el uso de paréntesis, corchetes y llaves. Ya teniendo esto en cuenta, se procede a resolver la ecuación: Separando en términos Resolviendo las operaciones posibles Unificando datos e incógnitas Y despejando según corresponda Para así, lograr el resultado Ecuaciones de Segundo Grado Se dice que una ecuación algebraica es de segundo grado cuando la incógnita está elevada a la potencia, es decir que su exponente es (x²). De esta manera, al resolver la ecuación obtendremos dos resultados. A diferencia de la Ecuación de Primer Grado, sólo despejando no obtendremos los resultados. Página 9 de 7

11 La manera de resolver este tipo de ecuación es agrupar los datos y cada incógnita por su grado (X¹ y X² de forma separada). Una vez logrado esto, se debe igualar a cero, para obtener: Siendo a, b y c los números que acompañarán dichos términos. Por último, para obtener los valores de X y X se debe aplicar la siguiente fórmula: Utilizaremos el siguiente ejemplo: De esta manera determinamos que: a - b 4 c -4 Reemplazamos en la fórmula: Y resolvemos Página 0 de 7

12 Sistema de Ecuaciones Se denomina así a un conjunto de una o más Ecuaciones. Una característica es que poseen la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas. Para poder resolver el sistema existen cinco métodos de resolución, nosotros utilizaremos solo dos: Sustitución e Igualación. Método de Sustitución - Despejar una incógnita (X óy) en una de las ecuaciones (cualquiera de las dos). - Sustituir la incógnita dentro de la otra ecuación. - Resolver la ecuación de primer grado obtenid - Reemplazar el valor obtenido en una de las ecuaciones (cualquiera de las dos). A modo de Ejemplo: Despejamos x en la primera ecuación Sustituimos la x en la segunda ecuación Resolvemos y y y y y+ y 7 7 y y Reemplazamos el valor obtenido de y en la segunda ecuación Página de 7

13 Método de Igualación - Despejar una incógnita (X óy) en las DOS ecuaciones. - Igualar las dos incógnitas despejadas. - Resolver la ecuación de primer grado obtenid - Reemplazar el valor obtenido en una de las ecuaciones (cualquiera de las dos). A modo de Ejemplo: Despejamos y en ambas ecuaciones Igualamos las incógnitas Resolvemos Reemplazamos el valor obtenido de x en la primera ecuación UNIDAD Nro II: EJERCITACIÓN ) Ecuaciones de Primer Grado. Hallar el valor de la incógnita: x+ 5 7 c. x+ 5 b..(x+ ) 5:( 5) x d. 4x+ 6.( x+ ) 4.( x+ ) Página de 7

14 ) Ecuaciones de Segundo Grado. Hallar el valor de las incógnitas: x x c. 4x + x 9 9 b. x x x+ 6. x 6 8 4x d. ( ) ( ) ) Sistemas de Ecuaciones. Hallar el valor de x e y utilizando el Método de Sustitución: x 5 y 9 x+ 4y b. 4 x+ y 0 7x y 4) Sistemas de Ecuaciones. Hallar el valor de x e y utilizando el Método de Igualación: 4 x y 6 6x+ y 0 b. 5 x y x 5y UNIDAD Nro III: Números Irracionales El conjunto de números irracionales tienen infinitas cifras decimales no periódicas, siendo esto un gran inconveniente para poder operar. Sin embargo, existe la opción de trabajar con los radicales utilizando las propiedades de la potenciación y de la radicación. Simplificación de radicales Los índices de las raíces se pueden simplificar con los exponentes de los radicandos, siempre y cuando sean divisibles por el mismo número. Extracción de factores fuera del radical Para extraer factores de la raíz se debe dividir el exponente del radicando por el índice de la raíz, de la siguiente manera: Página de 7

15 Operaciones básicas en Irracionales (Suma, Resta, Multiplicación y División) Suma y Resta Para sumar o restar radicales, éstos deben ser semejantes (mismo índice y radicando) ( ) o Multiplicación y División Cuando los radicales tienen el mismo índice se procede a multiplicar o dividir solo sus radicandos a. a a. a a a En caso de no poseer el mismo índice se debe calcular el mínimo común índice entre ambos radicales. Una vez obtenido el mínimo común índice, se procede a dividirlo por los índices de los radicales originales y ese valor multiplicarlo por la potencia de cada uno de sus radicandos. UNIDAD Nro III: EJERCITACIÓN ) Simplificar radicales: b x y c. d. 5 x y 0 z x y z ) Extraer factores fuera de las raíces: 4 5bm b. abc c. 5z y x x 0 6 Página 4 de 7

16 UNIDAD Nro IV: Expresiones Algebraicas Llamamos así a toda expresión en la que se incluyen y combinan de cualquier forma: Operaciones matemáticas, números y variables o partes literales. Ejemplos: x + 5 (x + ) + ² Monomio: Es una expresión algebraica entera que consta de UN solo término (mono: uno; nomio: término). Ejemplos: x² 6 -m³n Polinomio: Son sumatorias indefinidas de al menos un monomio (sumas y restas). Cantidad de términos de un polinomio: P(x) X + P (x) es un polinomio de términos o monomios. Se lo llama Binomio Q(x) 4x³ - 5x² + x Q(x) es un polinomio de 4 términos o monomios. Se lo llama Cuatrinomio. Grado de un polinomio y polinomios incompletos: el grado de un polinomio de una variable es el exponente más alto al que está elevada la variable. Un polinomio está incompleto cuando no están todos los exponentes (desde el 0 hasta el más alto). P(x) X 5 Q(x) x³ + 4 Grado Completo Grado Incompleto S(x) 5x³ - x² + x + 9 Grado Completo Factoreo de Polinomios: 5 Casos Factorizar un polinomio significa expresar al polinomio como el PRODUCTO de dos o varios monomios, binomios, trinomios, etc. Cómo factorizar un polinomio? Hay SEIS maneras básicas de factorizar un polinomio. En esta guía sólo trabajaremos las siguientes cinco: Caso: Factor Común Debe haber algo en común en TODOS los términos del polinomio. Este algo en común puede ser un dato (número) o variable (letra). P(x) 6x³ + 8x² - x +4 Cada término del polinomio tiene en común un dato (múltiplos de ) P(x). (8x³ + 4x² - + ) De esta manera queda el polinomio factorizado. Q(x) x³ + x² - x Cada término del polinomio tiene en común una variable (letra x ) Q(x) x. (x² + x ) De esta manera queda el polinomio factorizado. Página 5 de 7

17 Nota: tendremos casos donde el factor común esté dado por variables y datos en conjunto. Caso: Factor Común en Grupos Como primera medida a tener en cuenta, el polinomio debe tener un número par de términos (con un mínimo de 4 términos). El método es similar al Caso, en verdad es como separar el polinomio en dos partes y luego aplicar en cada una de ellas el factor común. Para partir el polinomio en dos se debe tener en cuenta que en cada parte se debe poder aplicar factor común. Por último, se deben unir estas dos partes, para ello se vuelve a realizar Factor Común. Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto En primer lugar se debe recordar la fórmula del Cuadrado de un Binomio: (a + b)² a² +.b + b² Este caso de factorización consiste en asegurar que un polinomio de términos sea equivalente a un binomio elevado al cuadrado, y luego escribir el polinomio como un Binomio al Cuadrado. Como primera medida a tener en cuenta, el polinomio debe tener tres términos (ni más ni menos). Y dos de esos términos deben ser el cuadrado de algo. Para entenderlo mejor usaremos un ejemplo: x 5 bases del Binomio ( a y b ) Habiendo corroborado esos dos términos, nos queda un tercero. Volviendo a la fórmula, podemos ver que dicho término se da de la multiplicación de las bases:.b.x.5 0x Al verificarse, entonces decimos que: R(X) 9x² + 0x + 5 (x + 5)² Página 6 de 7

18 4 Caso: Cuatrinomio Cubo Perfecto En primer lugar se debe recordar la fórmula del Cubo de un Binomio: (a + b)³ a³ +.a².b +.b² +b³ Este caso consiste en asegurar que un polinomio de 4 términos sea equivalente a un binomio elevado al cubo, y luego escribir el polinomio como un Binomio al Cubo. Como primera medida a tener en cuenta, el polinomio debe tener cuatro términos (ni más ni menos). Y dos de esos términos deben ser el cubo de algo. Para entenderlo mejor usaremos un ejemplo: ³ ³ x bases del Binomio ( a y b ) Habiendo corroborado esos dos términos, nos quedan dos más. Volviendo a la fórmula, podemos ver que dichos términos se dan de la multiplicación de las bases:.a².b.x². 6x².b².x.² x Al verificarse, entonces decimos que: Q(x) x³ + 6x² + x + 8 (x + )³ 5 Caso: Diferencia de Cuadrados Este caso es el más fácil de reconocer, ya que las condiciones son que el polinomio tenga dos términos, que cada término esté elevado al cuadrado; y que ambos términos estén separados por una rest Para resolver este tipo de casos se debe encontrar las bases de cada término. Luego se debe escribir el polinomio como la suma de las bases, multiplicado por la resta de las mismas. Bases: 4x² x 9 Página 7 de 7

19 UNIDAD Nro IV: EJERCITACIÓN ) Factor Común. Resolver: 4 x 8x 4 c. 4 4mn + 6mn 4n b. x x x 5 7 d. 4 8x y 5x y ) Factor común en grupos. Resolver: a x+ b x+ a + b c. 6 4 x + x x b. + + y z 7x xy xz 7 d. x x x ) Trinomio, cuadrado perfecto: Resolver x x+ 4 4 c. x x+ 4 9 b. x + x d. 0 5 x x + 4) Cuatrinomio, cubo perfecto: Resolver x x x + c. x 9x + 7x 7 b. 7x + 54x 6x+ 8 d. x x x ) 5 Caso de Factoreo: Resolver x 4 c. 4 64x b m d. 4a + b Página 8 de 7

20 6) Factorear los siguientes polinomios aplicando el caso que corresponda: ax 6ay 5x 0y d. 4 ab + 4b + 6ab b. 4 a e m 5mn + 5mn 7n c. 4 9m + mn + 4n UNIDAD Nro V: Número Real Conjuntos Numéricos Conjunto: es una agrupación de objetos; personas; animales; o, en el caso de Matemática; números que comparten una propiedad en común. Existen dos maneras de definir un conjunto: - Por extensión: Nombrando, uno por uno, a todos los elementos del conjunto. - Por comprensión: Diciendo las propiedades, pautas o condiciones que deben cumplir dichos elementos. Entonces, si tenemos un conjunto formado por los números,,, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Y llamamos a este conjunto A. Se define: - Por extensión: A {; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9} - Por comprensión: A {x/x Є N, x < 0} Para entender qué significan estos símbolos, debemos tener en cuenta el siguiente cuadro: x/ x: Todos los valores de x tal que : Unión N: Es el Conjunto de los números naturales : Intersección : Pertenece a : Está incluido en : Es mayor que : Es menor que : Es mayor o igual que : Es menor o igual que : y : o Página 9 de 7

21 Para graficar un conjunto la manera más utilizada es el Diagrama de Venn. Se dibuja una curva cerrada con los números dentro, cada número acompañado de un pequeño punto. Inclusión e Intersección de Conjuntos Entre dos o más conjuntos se puede dar que compartan algunos o todos los números, a esto lo llamamos inclusión e intersección de conjuntos, diferenciándolos de la siguiente forma: - Inclusión:, donde el conjunto B está incluido dentro del conjunto A A {; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9} B {; ; } - Intersección:, donde el conjunto B y el conjunto A compartan números. En otras palabras, que se dé la condición: {x/x ЄA xєb} A {; ; ; 4; 5; 6} B {5; 6; 7; 8; 9} {5; 6} Unión de Conjuntos La unión de conjuntos es el resultado de juntar dos o más conjuntos. Por ejemplo:, donde: A {; ; ; 4; 5; 6} B {5; 6; 7; 8; 9} {; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Página 0 de 7

22 Intervalos Los intervalos numéricos están dados por inecuaciones. donde se utilizan los siguientes símbolos mencionados anteriormente: Existen tres maneras de mostrar un intervalo: - Gráfico: se dibuja una recta numérica y se delimita el intervalo - Lenguaje simbólico: utilizando los símbolos < > - < x < - Intervalo: Utilizando paréntesis () o corchetes [] según corresponda (- ; ) Nota: Debemos tener en cuenta que para los signos > < corresponde utilizar los paréntesis () ya que no se incluye al número; mientras que para corresponden los corchetes [] ya que el número se encuentra incluido dentro del intervalo. De esta manera podemos mencionar la clasificación de intervalos en: o Abierto: valores de los extremos no están incluidos dentro del intervalo. o Cerrado: valores de los extremos están incluidos dentro del intervalo. o Semi-abierto: un valor de los extremos está incluido dentro del intervalo y el otro no. Página de 7

23 o Finito: intervalos con principio y fin. o Infinito: intervalos donde solo se conoce el principio o el fin. Módulo, valor absoluto. En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). De esta manera podemos decir: x x si x 0 -x si x < 0 A modo de ejemplo podemos dar: - - (-) o Propiedades - x k - k x k x - x - x k x k y x -k x 5 x 5 y x -5 Página de 7

24 UNIDAD Nro V: EJERCITACIÓN ) Representar los siguientes intervalos en la recta numéric (-;5) (;0) b. (-5;8) [;9] c. (-8;0] (;] d. (;6) [5;0) e. [-6;) [0;+ ) f. (7;5] [-;0) ) Demostrar los intervalos del punto ) en lenguaje simbólico. ) Clasificarlos. UNIDAD Nro VI: Funciones Ejes Cartesianos Par de rectas numéricas perpendiculares que se cruzan en un punto 0 de ambas rectas. Este punto se llama de origen y se simboliza con el 0. La recta horizontal se llama eje x mientras que la vertical, eje y. Los ejes dividen el plano en cuatro partes o cuadrantes. Si queremos graficar un punto P en el plano cartesiano, debemos tener en cuenta que dicho punto es un par ordenado, donde la primera parte corresponde al eje x y la segunda al eje y. Página de 7

25 P ( ; -) P (-5 ; 6) Estudio de Funciones Teniendo dos conjuntos A y B, distintos de cero y donde para cada elemento x Є A existe un único elemento de y Є B, podemos decir que f(x) y; donde f(x) es función. Definición de función f es una función de A en B si, y sólo si, es un subconjunto de A X B que satisface las siguientes condiciones de existencia y unicidad: a A, b B/( a b) f (existencia) ( a b) f Aa ( c) f b c (unicidad) Página 4 de 7

26 Presentación de funciones principales Función Lineal: f(x) y mx + b ejemplo: y x - Función Exponencial: Cuadrática f(x) y ax² + bx + c ejemplos: y x² + ; y x² ; y x² + x - Cúbica f(x) y x³ Función Racional: f(x) y n/x ejemplo: y /x ; y / (x + ) Página 5 de 7

27 Función Radical: Cuadrada f(x) y x ejemplos: y x ; y ( x) Cúbica f(x) y ³ x Ejemplos: y ³ x ; y ³ (x + ) Función Logarítmica: f(x) y log x ejemplo: y log x Función Exponencial: f(x) y n ejemplo: y Función Módulo: f(x) y x ejemplo: y x Página 6 de 7

28 Dominio e Imagen o Dominio: El conjunto de los valores de x del conjunto A para los que corresponde algún valor de y del conjunto B se llama dominio de la función. o Codominio: El conjunto de los valores del conjunto B (que provienen o no de algún valor x) que puede o no pertenecer al dominio de la función. En el caso que pertenezca al dominio de la función se lo llama imagen de la función. No siempre el Dominio de una función son todos los Reales. No siempre la imagen f (x) Codominio Por tal motivo, debe definirse previamente el Dominio y el Codiminio para luego evaluar cómo se comporta una función (o relación) f(x) y x Dom f(x) R Codominio Im(fx) Nota: no todas las funciones tienen Dominio e Imagen en todos los Reales, existen excepciones (funciones racionales, funciones radicales (índice par), funciones logarítmicas, entre otras). Funciones Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva o Función Inyectiva: Una función f(x) es inyectiva siempre que y Є A y ; dando así f( ) f( ). Por lo tanto, si en un gráfico trazamos una línea horizontal y el mismo se corta en dos puntos, la función no es inyectiv Página 7 de 7

29 o Función Sobreyectiva: Una función f(x) es sobreyectiva si toda y Є B tiene al menos un elemento x del conjunto A. En otras palabras, cuando el Codominio Im f(x). Si todo elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio, entonces la función es sobreyectiv o Función Biyectiva: Una función f(x) es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Función Inversa Toda función biyectiva tiene función invers Si tomamos, por ejemplo la siguiente función: f(x) y x Su tabla de valores será X Y Mientras que la función inversa tiene los valores invertidos X Y La fórmula de la función inversa se obtiene despejando la variable x. Página 8 de 7

30 y x y + x - (y + ) : x Una vez despejada x pasamos a renombrar las variables (la x pasa a llamarse y y viceversa). y (x + ) : f ¹(x) y (x + ) : Al reemplazar los valores de x por la tabla verificamos que coinciden, por lo tanto es la función invers Al graficarse veremos como se cortan en algún punto ambas funciones. Función Lineal f(x) mx + b Toda función lineal tiene como gráfica una rect m indica la pendiente y b la ordenada al origen. Ejemplo: f(x) y x + Para poder graficar una función lineal se debe colocar primero la ordenada al origen (sobre el eje y) y luego desplazarse tantos espacios como indique la pendiente, teniendo en cuenta: m / el numerador indica desplazamiento vertical (+ hacia arriba y hacia abajo) el denominador indica desplazamiento horizontal (siempre hacia la derecha) Página 9 de 7

31 Otra manera de graficar es realizando una tabla de valores y luego graficarlos. X Y Para calcular una función f(x) que pasa por dos puntos P y P se utiliza la siguiente fórmula: Donde P ( ; ) y P ( ; ) Entonces si tenemos que calcular la función f(x) que pasa por los puntos P (;4) y P (-5;0) Primero se debe reemplazar los valores de los puntos dados en la fórmula: Y luego resolver despejando y de manera que quede la función f(x) y mx + b -6 (y 4) -4 (x ) -6y + 4-4x + 4-6y -4x y (-4x 0) :(-6) y 4/6x + 0/6 y /x + 0/ Página 0 de 7

32 UNIDAD Nro VI: EJERCITACIÓN ) Graficar los siguientes puntos en el mismo par de ejes cartesianos (x;y): (-;5) b. (;-) c. (-;-4) d. (;) ) Graficar las siguientes funciones: f( ) x x f. f( x) x b. f x + ( x) g. f( ) x x c. f ( ) x x h. f x ( x) d. f( x) x 4 i. f( x) x e. f( x) x j. f x ( x) ) Determinar Dominio e Imagen de las funciones del punto ). 4) Clasificar las funciones del punto ) en Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiv 5) Encontrar la función inversa de las funciones del punto ) (en el caso de no ser Biyectivas, acotar dominio e imagen). Graficar las funciones inversas que sean Biyectivas. 6) Función lineal: Determinar la recta que pasa por los siguientes puntos: P (; 4) P ( 5;0) b. P (4;0) P (6; 8) c. P (4; ) P ( ;) d. P (;5) P (;8) 7) Graficar las siguientes funciones y determine pendiente y ordenada: f( ) x+ x b. f( x) x c. f( ) x+ x d. f( x) x+ Página de 7

33 UNIDAD Nro VII: Logaritmos Se llama logaritmo en base b de un número positivo a, a aquel valor c que hay que exponenciar b para que nos devuelva el valor a. Así es como ya que Propiedades de los logaritmos o El logaritmo de un producto: es la suma de los logaritmos o El logaritmo de un cociente: es la resta de los logaritmos log (5.) log 5 + log log (5/) log 5 log o El logaritmo de una potencia: la potencia pasa a multiplicar como constante al logaritmo log 0³. log 0 En este caso debemos recordar que la radicación es una forma indirecta de la potencia ya que x x¹ ². Entonces Cambio de base log log ¹ ² /. log Si quiero pasar un logaritmo de una base a otra, genero una división entre el logaritmo original (con la nueva base c ) y un segundo logaritmo donde coloco la base anterior. Página de 7

34 UNIDAD Nro VII: EJERCITACIÓN ) Aplicando propiedades, resolver: log545 log59 c. log9 8.8 b. log 4 9 d. log 4 8 ) Reducir a un solo logaritmo aplicando propiedades log 4+ log 5 log a+ b+ + c b. log07 log0 log0 log05 log0 + c. log a ( log b log c) + + y d. log5 logx log4 log ) Utilizando cambio de base, resolver los siguientes ejercicios sabiendo que: log log0 b. log 5 c. log5 Página de 7

35 ) APÉNDICE: GUÍA ADICIONAL Unidad Nro I ) Resolver: ( 4) b. ( ) : 8: + : 4 ) Calcular el valor de las potencias: 5 c. 9 4 b ) Pasar de decimal a fracción: 6,05 b., 08 d. ( 7) ) c.,5 )) d., Unidad Nro II ) Ecuaciones de Primer Grado. Hallar el valor de la incógnita: 4x 0x x 54 x 6 b. ( x ) 9 ) Ecuaciones de Segundo Grado. Hallar el valor de las incógnitas: x x + 0 b. x+ 5x 6x x + x ) Sistemas de Ecuaciones. Hallar el valor de x e y utilizando el Método de Sustitución: 4 x y 8x+ y,5 b. y+ x x y Página 4 de 7

36 4) Sistemas de Ecuaciones. Hallar el valor de x e y utilizando el Método de Igualación: 4 x+ y 0 6y x 5 b. x+ y 7 7x y Unidad Nro III ) Simplificar radicales y extraer factores fuera de las raíces cuando sea posible: b. 4 75ab x y c. d. bac 8 6x 4 5 6a x Unidad Nro IV ) Factor Común. Resolver: 5 5x y+ 0x y + xy b mn+ mn 5 5 ) Factor común en grupos. Resolver: ax ay+ 5a+ bx by+ 5b b. 6amx 8amy+ x y ) Trinomio, cuadrado perfecto: Resolver a 4ab+ 4b b. 9x 4x 6 + 4) Cuatrinomio, cubo perfecto: Resolver x x x b. x x x + 5) 5 Caso de Factoreo: Resolver 4 m 9n b x 6) Factorear los siguientes polinomios aplicando el caso que corresponda: b. a + 9ac+ 7ac + 7c 5 7 abc bc + ab 9 c. d p p p x + x + x Página 5 de 7

37 Unidad Nro V ) Representar los siguientes intervalos en la recta numéric (-;5) (;0) b. (-5;8) [;9] c. (-8;0] (;] d. (;6) [5;0) e. [-6;) [0;+ ) f. (7;5] [-;0) ) Demostrar los intervalos del punto ) en lenguaje simbólico. ) Clasificarlos. Unidad Nro VI ) Graficar los siguientes puntos en el mismo par de ejes cartesianos (x;y): (6;-) b. (5;-) c. (-;0) d. (;-4) ) Graficar las siguientes funciones: f( x) x e. f( x) x b. f( ) x+ x c. f ( ) x x d. f( x) x 4 f. g. h. f x f f ( x) + ( x) ( x) x x ) Determinar Dominio e Imagen de las funciones del punto ). 4) Clasificar las funciones del punto ) en Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiv 5) Encontrar la función inversa de las funciones del punto ) (en el caso de no ser Biyectivas, acotar dominio e imagen). Graficar las funciones inversas que sean Biyectivas. 6) Función lineal: Determinar la recta que pasa por los siguientes puntos: P (4;) P ( 5;) b. P (4;0) P (; 4) c. P (;) P (; ) d. P (;) P (;6) Página 6 de 7

38 7) Graficar las siguientes funciones y determine pendiente y ordenada: f( ) x f x b. ( x) x+ 5 c. f( ) 5x+ f x d. ( x) x 4 Unidad Nro VII ) Aplicando propiedades, resolver: log 00. a 0 4 b b. log a x y ) Reducir a un solo logaritmo aplicando propiedades log + log 5+ log log b. log0 log5 c. log5+ log6 Página 7 de 7