Métodos de análisis para redes dinámicas.

Transcripción

1 1 Métodos de análisis para redes dinámicas. Los diferentes métodos generales de análisis de redes permiten generar sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden en términos de los voltajes en los condensadores y las corrientes en los inductores. Para esto basta plantear los sistemas de ecuaciones en algún conjunto de variables independientes, y luego expresar en términos de las variables de las componentes dinámicas. Se ilustra la metodología empleando el método de mallas y luego el método mixto. Método de mallas. Analizar la siguiente red, aplicando método de mallas a la red de la Figura 1. a b i f (t) v f (t) i c C R kic L c d Figura 1. Diagrama de la red. Solución. Se identifican las corrientes de mallas:

2 2 Ejemplos a b v i i f (t) v f (t) i 1 v C i c i 2 i 3 C R ki c L v ic c d Figura 2. Mallas. La red es dinámica de segundo orden por lo cual las variables de interés son el voltaje en el condensador, y la corriente en el inductor. Ecuaciones: LVK en mallas: di2 vi = vf vc; L + R( i2 i3) = vc; vic = R( i3 i2); Ecuaciones de equilibrio: dvc C = i1 i2; i1 = if ; i3 = k( i1 i2) Hasta aquí la formulación del problema empleando la teoría de redes. Se ha logrado un sistema de 6 ecuaciones independientes en 6 incógnitas. Lo que resta es resolver el sistema, y éste es un problema matemático. Un método para papel y lápiz: Deben eliminarse todas las variables, que no sean las de interés. Se reemplazan las ecuaciones de equilibrio en las de mallas, resultando un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden: di = dv = 2 L R( i2 ( k( if i2)) vc C C if i2

3 Teoría de Redes Eléctricas 3 En caso de redes no planas la formulación es similar. Pero debe usarse en forma explícita LCK. Podría discutirse si es mejor exponer un método de análisis en lugar de varios. Algunos opinan que el método nodal podría ser suficiente, ya que el de mallas no puede emplearse en redes no planas. Pero el nodal se tiene que resolver: el tratamiento de fuentes de tensión, el caso transitorio y la introducción de elementos no lineales controlados por corrientes. Sin embargo, el método que mejor se adapta a todo tipo de situaciones es el método mixto. Consiste en escoger como variables independientes, las corrientes de cuerdas y los voltajes de ramas. La adecuada elección del árbol permite la formulación dinámica de la red, en forma de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Método mixto. Analizar la siguiente red, aplicando método mixto a la red de la Figura 3. a b if(t) v f (t) i c C R kic L c d Figura 3. Diagrama de la red. Solución. Se identifican las variables, empleando un árbol.

4 4 Ejemplos a 3 b c 2 d Figura 4. Árbol y variables. La red es dinámica de segundo orden por lo cual las variables de interés son el voltaje en el condensador, y la corriente en el inductor. Ecuaciones: LCK. Corrientes de ramas en función de corrientes de cuerdas: i = i ; i = i i ; i = i i LVK. Voltajes de cuerdas en función de voltajes de ramas. v = v v ; v = v v ; v = v Ecuaciones de equilibrio: dv1 di2 v5 i = C ; v = L ; v = vf; i = if; i = ; i = ki R Hasta aquí la formulación del problema empleando la teoría de redes. Se ha logrado un sistema de 12 ecuaciones independientes en 12 incógnitas. Lo que resta es resolver el sistema, y éste es un problema matemático. Un método para papel y lápiz: Deben eliminarse todas las variables, que no sean las de interés. Se reemplazan las ecuaciones de equilibrio en LCK y LVK:

5 Teoría de Redes Eléctricas 5 dv v dv i = i ; C = i i ; = i kc R di2 v4 = v1 vf ; L = v5 v1; v6 = v f 2 f 2 Se elimina v 5 resultando las ecuaciones de estado: dv1 C = i2 if ; di2 L = v1 R(1 + k) i2 + Rkif ; Que son las mismas obtenidas en el método de mallas, salvo que i 2 debe reemplazarse por i 2. Las ecuaciones que quedan, permiten calcular el resto de las variables. v5 dv1 i3 = if; v4 = v1 vf; v6 = v5; = i2 kc R Se ha logrado un modelo matemático que describe la conducta dinámica de la red, y resta resolver el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden en las variables de interés (variables de estado). Solución Maple. Empleando el procesador matemático Maple: > restart; LCK > lck:={i3=14, i1=i2-i4,i5=-i2-i6}: LVK: > lvk:={v4=v1-v3,v2=v5-v1,v6=v5}: Ecuaciones de equilibrio: > eq:={i4=ift,v3=vf,i1=c*dv1,v2=l*di2,v5=r*i5,i6=k*i1}: > ecs:= lck union lvk union eq: > ec1:=eliminate(ecs,{i1, i3, i4, i5, i6, v2, v3, v4, v5, v6}): > ec2:=solve(ec1[2], {DV1,DI2}):

6 6 Ejemplos >ecestado:=subs(v1=v1(t),i2=i2(t),dv1=diff(v1(t),t),di2 =diff(i2(t),t),ec2): > solresto:=subs(v1=v1(t),i2=i2(t),dv1=diff(v1(t),t),di2=di ff(i2(t), t),ec1[1]): > varestado:={v1(t), i2(t)}: estadoinicial:={v1(0)=2, i2(0)=1}: > estado1:=dsolve(estadoinicial union ecestado, varestado); Resultan las soluciones en forma simbólica: estado1 := i2() t C 1 = 4 ( RkC + RC R2 k 2 C R 2 kc 2 + R 2 C 2 4 LC ) e ( RkC+ RC R2 k 2 C R 2 kc 2 + R 2 C 2 4 LC ) t 2 LC ( 2 ift L + R 2 C ift + 2 RC + R 2 k C ift + 2 RkC + R 2 k 2 C R 2 kc 2 + R 2 C 2 4 L C R ift + 2 R 2 k 2 C R 2 kc 2 + R 2 C 2 4 LC+ 2 L) ( LC R 2 k 2 C R 2 kc 2 + R 2 C LC) + 4 ( RkC+ RC + R 2 k 2 C R 2 kc 2 + R 2 C 2 4 LC) e ( RkC+ RC + R2 k 2 C R 2 kc 2 + R 2 C 2 4 LC ) t 2 LC ( 2 ift L + R 2 C ift + 2 RC + R 2 k C ift + 2 RkC R 2 k 2 C R 2 kc 2 + R 2 C 2 4 L C R ift e 2 R 2 k 2 C R 2 kc 2 + R 2 C 2 4 LC+ 2 L ) ( LC R 2 k 2 C R 2 kc 2 + R 2 C 2 4 LC) 1 + ift, v1( t ) = 2 t ( RkC + RC C ( R2 Ck R 2 Ck + R 2 C 4 L) ) 2 LC ( 2 ift L + R 2 Cift + 2 RC + R 2 k Cift + 2 RkC + R 2 k 2 C R 2 kc 2 + R 2 C 2 4 L C R ift + 2 R 2 k 2 C R 2 kc 2 + R 2 C 2 4 LC + 2 L)

7 Teoría de Redes Eléctricas 7 e R 2 k 2 C R 2 kc 2 + R 2 C 2 4 LC 1 2 t ( RkC + RC + C ( R2 Ck R 2 Ck + R 2 C 4 L) ) 2 LC ( 2 ift L + R 2 Cift + 2 RC + R 2 k C ift + 2 RkC R 2 k 2 C R 2 kc 2 + R 2 C 2 4 L C R ift 2 R 2 k 2 C R 2 kc 2 + R 2 C 2 4 LC+ 2 L) R 2 k 2 C R 2 kc 2 + R 2 C 2 4 L C R ift Si se desea efectuar cálculos numéricos, se asigna valores a los datos. Se emplea una fuente continua y una sinusoidal, para ilustrar lo general de la solución. > datos:={r=1, L=1, C=1, vf=2, ift=5*cos(2*t),k=3}: > estado:=dsolve(estadoinicial union eval(ecestado, datos), varestado); Ahora se tienen soluciones específicas. estado :={ i2() t = 2e ( 2t+ t 3) e( 2t+ t 3) e ( 2t t 3) e( 2t t 3) sin2t ( ) cos( 2 t), v1( t) = e ( 2 t+ t 3 ) cos( 2 t) sin( 2 t) } e ( ) 2 t t Si se desean formas numéricas, se evalúa con flotantes: > assign(estado): > evalf(i2(t)); e ( t) e ( t) sin( 2. t ) cos( 2. t ) Si se desea visualizar las soluciones: > plot({i2(t),v1(t)},t=0..10);

8 8 Ejemplos Figura 5. Formas de ondas. Simulación SPICE. 1 2 If(t) Vf V C C i c 4 L R F1=ki c 0 3 Figura 6. Diagrama de la red. Netlist. Con: v f (t)=2, i f (t)=5cos(2t), R=1, C=1, L= 1, v C (0)=2, i L (0)=1, k=3. El estímulo SIN (<ioff> <iampl> <freq> <td> <df> <phase>), puede programarse para generar el estímulo sinusoidal, empleando: ω = 2π f = 2 1 f = = π

9 Teoría de Redes Eléctricas 9 Como la excitación es coseno, al seno se le suman 90 grados de desfase. Con offset cero ioff=0, sin retardo td=0, y sin amortiguamiento exponencial df=0) Resulta: SIN(0, 5, , 0, 0, 90) Para la fuente de corriente controlada por corriente F1, se define una fuente de tensión continua de 0 volts, Vc, que se emplea para definir la corriente de control. Análisis transitorio * R C IC=2 L IC=1 Vf If 1 0 SIN(0, 5, , 0, 0, 90) F1 2 3 Vc 3 Vc 2 4 DC 0.TRAN 0s 10s 0 0.1s.probe.end Formas de ondas. El modo transitorio de análisis genera la solución como series de puntos, con los que pueden dibujarse las formas de ondas.

10 10 Ejemplos Referencia. Figura 7. Variables de estado, en el tiempo. Leopoldo Silva Bijit, Redes Eléctricas, Pearson Prentice Hall, Apéndices 1 y 2.