Índice. 1 Números reales y proporcionalidad. 2 Sucesiones y ecuaciones. 3 Las fuerzas y los movimientos. Funciones

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1 EL SER HUMANO, UN ORGANISMO PLURICELULAR Índice pág. pág. pág. 0 pág. 8 pág. 8 pág. 7 Números reales y proporcionalidad Sucesiones y ecuaciones Las fuerzas y los movimientos. Funciones Materia, átomos, elementos y compuestos. Cambios químicos Estadística y probabilidad 6 Cuerpos geométricos y transformaciones geométricas pág. 9 7 Electricidad

2 Números realesl y proporcionalidad LOS NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS El conjunto de los números naturales N = {0,,,, } Operaciones: Suma y resta: Si tienen el mismo signo, se suman y se deja el signo que tienen. Si tienen distinto signo, se restan y se pone el signo del mayor en valor absoluto. Multiplicación y división: Para multiplicar (dividir) números enteros, multiplicamos (dividimos) los números y el signo se establece utilizando la regla de signos. + ( 6 + ) = + ( ) = + + = 8 Calcula: + (9 ) ( 7 + 6) = + ( ) ( ) = + = ( + 6) ( + ) = ( ) ( 6) = = Completa las siguientes operaciones: 7 : 6 7 : 9 6 : : = 6 : = + = + = 0 Opera: ( ) ( + ) ( ) + ( + ) = 8: 9 = 60 9 = ( ) ( ) ( ) = + e) (+) ( ) = + ( ) ( ) = + f) ( ) ( ) = (+6) (+) = + g) (+) ( 8) = +0 d) ( ) (+) = h) ( ) (+0) = Realiza las siguientes operaciones: 8 : 7 ( + 6 : ) ( ) = 7 7 = + = 6 6 : ( + ) = ( 0) = 6 8 : ( ) ( ) ( 9 0) = 8 : ( 8) + 9 = + 9 =

3 Realiza las siguientes sumas: ( ) + ( ) = e) (+) + ( 6) = (+) + (+) = +6 f) ( ) + ( ) = ( ) + (+) = g) ( ) + (+) = + d) (+) + ( ) = + h) (+) + ( ) = 6 Opera: ( ) ( ) = + e) (+) ( ) = + ( ) ( ) = + f) ( ) ( ) = (+6) (+) = + g) (+) ( 8) = +0 d) ( ) (+) = h) ( ) (+0) = 7 Resuelve como en el ejemplo: + = + = + d) + + = = 8 + = e) = = + f) 8 + = + 8 Opera: = d) = = 9 e) = = f) = Opera: ( ) ( ) : ( ) = 0 ( 0) : (+) (+) = 0 (+) : ( 9) ( ) = 0 d) ( ) (+) ( 6) : ( ) = 8 e) (+) ( 0) : (+60) ( 6) = +6 f) (+) ( ) : (+) : ( ) = + g) ( ) : ( ) : ( ) (+) ( ) = 8 h) (+) ( ) (+0) : ( ) ( ) = 7 i) (+) : ( ) ( ) ( ) = 60

4 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES Suma y resta: Para sumar o restar dos fracciones que tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se conserva el mismo denominador. Para sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador, las reducimos a denominador común y después sumamos o restamos los numeradores. Multiplicación: El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. División: Para dividir una fracción entre otra fracción multiplicamos la primera fracción por la inversa de la segunda fracción. Potenciación: La potencia de una fracción se obtiene elevando denominador y numerador a dicha potencia. 0 Calcula las siguientes operaciones: 7 + = = = + = = = = = = + = d) + = = + = Calcula: ( 8) + ( ) = = = ( ) + ( ) + ( ) + + = = : = 6 ( ) + ( ) = = = 0 Calcula y simplifica el resultado. 8 + : = + = + = + 8 = =

5 Calcula los productos: = 8 = = e) = = = = = 7 f) = = = = = g) ( ) = = 7 d) = = f) = = Calcula los cocientes: : = = e) : = = : 8 = = f) 7 : = 7 = 8 : = g) = : = = d) : 0 = h) : 6 = = = = = 6 6 Halla el valor de las siguientes expresiones: = = : = = = Calcula: = 0 = = = = : = = = + : 90

6 NOTACIÓN CIENTÍFICA Para que un número esté expresado correctamente en notación científica debe ser de la forma: n a, bcd... 0, donde n es un número entero Operaciones: Para sumar y restar números expresados en notación científica necesitamos que todos estén expresados con el mismo orden de magnitud. Para multiplicar y dividir números expresados en notación científica simplemente tenemos que operar las potencias de 0 por un lado y el resto de la expresión por otro. Para expresar cantidades en notación científica desplazamos la coma decimal hasta que solo nos quede una cifra entera, y el número de lugares que hayamos desplazado la coma lo indicamos en la potencia de diez, positiva si la desplazamos a la izquierda y negativa si es a la derecha = = Expresa las siguientes cantidades en notación científica: La velocidad de la luz km/s = 0 km/s Siete billones y medio. Cuatro millonésimas. d) Veinticinco diezmilésimas Calcula las siguientes sumas y restas con notación científica = = = = d) = = 77 0 = = = Realiza las siguientes operaciones: = 0 = 0 0 ( ) : ( 0 ) = : 0 = d) ( ) ( ) = = 0 : ( ) : ( ) ( ) ( ) = = 0 :

7 PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos magnitudes son directamente proporcionales si las dos aumentan o disminuyen simultáneamente de manera proporcional. Nº billetes de autobús 0 Precio Si me cambian por dólares ($), cuántos dólares me darán por 0? Se puede resolver de dos maneras diferentes, y el resultado es el mismo: Reducción a la unidad Por me dan: : = $ Por 0 me darán: 0 = 70 $ Regla de tres Por me dan $ Por 0 me darán x $ x = 0 = 70 $ 0 Completa la tabla con la cantidad necesaria de cada ingrediente para preparar una tarta según para cuántas personas: Nº de personas 6 0 Pasta para tarta / kg /8 kg / kg kg y / kg Limones 8 0 Yemas de huevo Azúcar 0 g 60 g 0 g 80 g 600 g Leche condensada (cuch.) 6 0 Mantequilla 0 g 60 g 0 g 80 g 600 g Almendras en polvo 60 g 0 g 0 g 0 g 00 g Si mi vecina ha pagado 0 por kg de plátanos y 0 por kg de melocotones, cuánto pagaré por kg de plátanos y kg de melocotones? 0 : = 0 : = 8 ; 8 = = 8 Un despertador que funciona con pilas gasta pilas en.800 h. Cuántas horas funcionará con un paquete de 8 pilas? pilas.800 h 8 pilas x x = 9.00 h O también, pila dura.00 h 8 pilas durarán.00 8 = 9.00 h 7

8 PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una de ellas, la otra disminuye de manera proporcional. Sardinas por lata Latas 0 0 Cuantas más sardinas haya en cada lata menor será el número de latas necesario. Dos grifos llenan una piscina en h. Cuánto tardarían en llenarla grifos idénticos a los anteriores? Se puede resolver de dos maneras diferentes, y el resultado es el mismo: Reducción a la unidad grifo tarda: = 6 h grifos tardarán 6 : = h Regla de tres grifos tardan h grifos tardarán x h x = Indica si las siguientes magnitudes son o no inversamente proporcionales: La velocidad de un corredor y el tiempo en el que recorre 0 km Sí El número de trabajadores en una obra y el tiempo que tardan en acabarla Sí La velocidad de un corredor y los kilómetros recorridos en 7 min No d) El número de hojas del cuaderno y el número de ejercicios del cuaderno No Un ordenador que trabaja a GHz ejecuta un programa en 6 centésimas de segundo. Cuánto tardará en ejecutarlo un programa que trabaja a 8 GHz? Ghz 6 centésimas 8 Ghz x x = centésimas Tres amigos quieren hacer un viaje en barco de vela. Hacen todos los preparativos y compran comida para días. En el último momento se apunta otro amigo. Cuántos días les durarán las provisiones? personas días personas x x = 9 días 8

9 PORCENTAJES El porcentaje o tanto por ciento es una fracción de denominador. En ocasiones se puede simplificar % = = 67% = Los porcentajes también pueden expresarse en forma de número decimal. Para calcularlos hay que multiplicar la cantidad total por el número decimal asociado al porcentaje. 0 0% de = = = 6 % de 00 = 0, 00 = 70 70% de = = = 8 6 Calcula los siguientes porcentajes, indicando primero la fracción que los representa: % de 00 = = de 00 = 0 e) % de = 7 7% de 00 = 0 0% de 00 = 0 d) 0% de 0 = = de 00 = 0 = de 00 = 60 = de 0 = 6 0 f) 0% de 8 = g) % de 0 = h) 0% de 70 = 0 0 = de 8 = = de 0 = 6 = de 70 = En un incendio se ha quemado la cuarta parte de un pinar de.70 ha. Cuál ha sido la superficie arrasada? A qué porcentaje corresponde?.70 : = Ha = = % 8 De las preguntas de un examen, Juan no sabe responder al 0%, así que resuelve el resto. Cuántas preguntas responde? 0% de = ; responde preguntas 9 En una clase de alumnos, han aprobado la asignatura de Matemáticas. Qué porcentaje representan los aprobados respecto del total? = 0 8; 0 8 = 8% 9

10 AUMENTOS Y DESCUENTOS PORCENTUALES Descuentos porcentuales Una bicicleta que cuesta 60 tiene un % de descuento. Cuál es su precio final? Podemos resolverlo de dos formas: Calculamos el % de 60 y se lo restamos Si el descuento es de %, habrá que a l total: pagar = 9% de 60 : 60 = 60 9 = 7 60 = 7 Aumentos porcentuales El precio de un ordenador sin el 6% de IVA es de 700. Cuánto cuesta en realidad? Podemos resolverlo de dos formas: Calculamos el 6% de 700 y se lo añadimos Si el aumento es de 6%, habrá que a l total: pagar 6% de 700 : = = = 8 0 El aumento de las emisiones de CO en la Unión Europea entre 000 y 00 ha sido del %. Si en el año 000 se emitieron.69 millones de toneladas, cuáles fueron las emisiones de CO en el 00? % de.69 = =.76 8 millones de toneladas o también 0% de.69 =.76 8 millones de toneladas En 006, una familia media española gastó.00 en alimentación. Cuánto ha pagado en 007 por los mismos productos si la cesta de la compra subió un 0%? =. 60 Un tonel lleno de vino pesa 6 kg. Si el peso del recipiente representa un % del peso total, calcula el peso del vino. 6 = = 6 kg 0

11 PORCENTAJE Y REGLA DE TRES En un edificio viven 0 familias, de las cuales tiene un perro. Qué porcentaje de familias tienen perro? tienen perro 0 familias tendrán perro familias x x = = 0% de las familias tienen perro 0 En el edificio solo 6 familias tienen un perro. Si el porcentaje de familias con perro en este edificio es del 8%, cuántos habitantes tiene el edificio? x = De familias tienen perro 8 De x familias tienen perro 6 6 = 7 familias hay en el edificio 8 Para hacer 80 l de zumo de naranja industrial se mezcla el extracto de naranja con 60 l de agua. Qué porcentaje de agua hay en dicha bebida? En l de bebida, cuántos litros hay de agua? x = 7% x 7% de = De una caja de 0 disquetes, el % ha salido defectuoso. Cuántos disquetes han salido defectuosos? 0 x x = De los 8 alumnos de una clase de º de ESO, han aprobado la asignatura de Matemáticas. Qué porcentaje ha suspendido? 8 x = 7 aprobados de cada x Ha suspendido el %.. 6 Si durante la noche duermes 9 h, qué porcentaje de horas en el día has pasado durmiendo? Y si ves la televisión durante h, qué porcentaje del día estás sentado delante del televisor? 9 x x = 7 % x x = %

12 INTERÉS BANCARIO Una entidad bancaria ofrece un 7% de interés anual por un depósito a años. Cuál será la ganancia si se ingresan.000? Cuál será el capital final? I = interés =? C = capital inicial =.000 t = tiempo = años r = rédito = 7% Sustituimos cada variable por su valor: C t r I = = =. 680 C = = Qué beneficio producen en años al %? I C t r = = = 80 8 Una persona hace un préstamo de.000 y a los años le devuelven su dinero más en concepto de intereses. Cuál ha sido el tanto por ciento de interés?. 000 r = r = = Cuánto tiempo habrá que colocar un capital de.000 al % de su interés para obtener un beneficio igual al 0% del capital? = t = t = = 0 Qué capital colocado al 6% de interés produce un beneficio de 00 en años? 00 C 6 00 = C = = Se coloca un capital de.000 en una entidad bancaria. Cuál es el capital total retirado al cabo de años si el interés es del 6 % y las comisiones cobradas son un 0 % de los beneficios? I = = de %. 00 = =.00 ' = 98,7

13 RADICALES Para sumar y restar radicales seguimos los siguientes pasos: ) Descomponemos en factores los radicandos. ) Extraemos los factores que sea posible. ) Sumamos o restamos solo los radicales que tengan el mismo índice y el mismo radicando x y z = x y z = x y xyz Extrae fuera de la raíz los términos que puedas: a b ab a 6a b 7 = = 8 x y = x y = x y y = x y 6y x = x Realiza las siguientes sumas y restas: = + = = = = = 6 d) = = 7 Realiza las siguientes operaciones con radicales: = + = + = = + 7 = + 7 = + 7