ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO

Transcripción

1 ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO LIBERTADOR GENERAL SAN MARTÍN MATEMATICA 4 to AÑO Números complejos 018 1

2 NÚMEROS COMPLEJOS Lee, piensa, resuelve Vamos a recorrer de nuevo un camino que ya conoces: el de la gestación de los distintos tipos de números. Imagina que sólo conociéramos los números naturales, N: 1,,,... Sin salir de este conjunto resuelve las ecuaciones: x + 5 = 1 ; x = 1 ; x + 7 = 19 Has podido resolverlas, verdad? Las soluciones, 7, 4 y 6 respectivamente son, también, números naturales. Intenta ahora resolver, sin salir de N, x + 1 = 5. No podrás, pues x = 5-1 no se puede efectuar con números naturales. Por eso inventamos los enteros, Z. Imagina, ahora, que sólo conoces los enteros. Puedes resolver x + 1 = 5, pero no puedes resolver x = 7. Tal como antes, necesitamos nuevos números e inventamos los racionales, Q. Sigue imaginando; ahora, que sólo conoces los racionales. Ecuaciones de la forma x - 4 = -17 ; x - 6x + 8 = O ; x + x - 1 = O sí se pueden resolver. Hazlo. 7 Las soluciones son: en la primera; y 4 en la segunda; -1 y - en la tercera. Todas ellas son números racionales., No puedes resolver, sin embargo x - = O, pues \,Í no es un número racional. Por eso inventamos los números reales, R. :: Ya no necesitas imaginar nada. Hasta ahora sólo conoces los números reales. La ecuación x - = O se puede resolver porque \,Í sí es un número real. También puedes resolver otras muchas. Sin embargo, la sencilla ecuación x + 1 = O, así como otras menos sencillas, no podemos resolverla porque no es un número real.

3 Necesidad de nuevos números! Qué modificaciones hemos de hacer en el campo numérico 1 para que las ecuaciones de segundo grado tengan siempre sol iución? 1 L J En qué consiste el problema? Cada ampliación del campo numérico supuso la introducción de nuevos números que hicieran posible operaciones que hasta entonces carecían de sentido: Los algebristas de los siglos XV y XVI, al encontrarse con ecuaciones de segundo grado del Upo i- - 4x + 1 = O aplicaban la fórmula de resolución_ X= -b ± ytj - 4ac a correspondiente a la ecuación general al- + bx + c = O y obtenían X= 4 ± \Í-6 Tal como hasta ahora hemos hecho nosotros, decían: no es posible extraer la raíz cuadrada de un número negativo. Por tanto la ecuación no tiene solución. Pero más tarde empezaron a operar con estas expresiones como si fueran reales. Hacían 4±\ Y6 4±\/6 \1=1 =4±6\1=1 =+\1=1 - y seguían manejando \i=1 como si de un número real se tratara, con intención de ver hasta dónde se podía llegar por ese camino. La necesidad de restar - 8, por ejemplo, impuso la creación de los números negativos, pasando así de N a Z. El tener que dividir entre 8, por ejemplo, justificó la invención de las fracciones, pasando así de Z a Q. La necesidad de expresar ciertas medidas justificó la admisión de los irracionales en el campo numérico, que pasó de Q a R. Ahora chocamos con la imposibilidad de extraer raíces cuadradas de números negativos, que aparecen al resolver algunas ecuaciones de segundo grado. Qué nuevos números hemos de admitir como válidos para que esto pueda hacerse? Veámoslo poco a poco. Un primer número para empezar Tal como hacían los primeros algebristas que se enfrentaron con este problema, intentamos resolver ecuaciones de segundo grado de las que decíamos que no tienen solución. Empecemos por la más sencilla: x+1=0 x = -1 x = ±\Í-1 No hay ningún número real, 'hi positivo ni negativo, cuyo cuadrado sea un número negativo. Por tanto \Í-1 no tiene, hasta ahora, sentido. Pero empecemos a actuar como si lo tuviera. Para abreviar le pondremos un nombre: i i = \Í-1 = -1

4 Detrás de i surgen otros muchos nuevos números -i 7 K (números reales) -7i + i i -5 o Y Y5 - i 1 + Y ysi i 4 Estos nuevos números no son reales. Resolvamos una nueva ecuación, también muy sencilla: x + 4 = O x = -4 x = ± y-4 = ± \Í4 V = ± i Tenemos que admitir como números de nuestra nueva colección, todos los de la forma (número real) i. Por ejemplo: 11 i, -i, -7i, -z \/Si,... Resolvamos ahora la ecuación x - 4x + 1 = O. Aplicar la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado: 4 ± y16-5 X= ± \1-6 4 ± 6i = ± i 4 ± \Í6. \f-1 Obtenemos dos so. luciones: + i y - i. Debemos, pues, ampliar nuestra nueva colección de números a todos los de la forma (número real) + (número real) i. Por ejemplo: + i; - i; i ; 4 VS - i ; etc. e (complejos) Definiciones A los números de la forma a + bi donde a y b son reales, e i = Ft se les llama números complejos. 1 + Y5 7 i -i + -7i 11 -i 1 -+-i 4 ysi Números complejos son tanto los reales como los imaginarios.... a se llama parte real En un numero complejo a + bz, { b. 11 rt... z se ama pa e 1magmar1a Observa que si b = O, el número complejo sólo tiene parte real. Por tanto los números reales forman parte de los números complejos., -5, 1 4 y \1 son reales y, por tanto, complejos. Si b f O, el número complejo sí tiene parte imaginaria. A estos números se les llama imaginarios ( + i, -5, + Vi, i, i, son números complejos imaginarios). Al número i se le llama unidad imaginaria. A los números complejos de la forma bi se les llama imaginarios puros. La parte real es O. i, -Si, Vi, - i son imaginarios puros.

5 Empleando nuestros nuevos números, resolvamos x - 7x + 1 = O. 7 ± y'49-5 X= ± \Í- 7 ± Vi 7 V. ----=-±-- 7 ± y'. F1 La ecuación tiene dos soluciones, son números imaginarios. 7 V. 7 y'. y Ambas De los siguientes números, indica cuáles son reales, imaginarios y com- 11 piejos: i ; - + 4i ; 7 + V i ; y's ; 4 ; O ; i ; i. Solución: y's, 4 y O son reales. i ' - + 4i ; 7 + V i ; 11 -i i son imaginarios. Todos son números complejos pues, tanto los reales como los imaginarios, son complejos. Resuelve las ecuaciones a) x - x + 4 = O ; b) x - x + 7 = O ; e) x - x + = O. Clasifica los siguientes números complejos en reales e imaginarios y di, para cada uno de ellos, cuál es su parte real y cuál su parte imaginaria: 7+VSi; 4 ---i 5 ' V7 V7 i; o ' -i; 4' V+-i Escribre tres números imaginarios puros, tres números complejos reales y tres números complejos cualesquiera. La ecuación x + 9 = O, tiene raíces reales? Y complejas? Cuáles son? Escribe un número complejo que tenga parte imaginaria. Escribre otro que tenga la misma parte real y la parte imaginaria igual pero cambiada de signo. Te aventuras a multiplicar estos dos números complejos?

6 Operaciones con números complejos Los antiguos algebristas operaron con expresiones en las que aparecía y'-1!al como lo hemos hecho en el apartado anterior. llegando. como nosotros. a números del tipo La suma, la resta, la multiplicación y la división de números complejos, serán siempre otro número complejo? Probamos con la suma y la resta ( + i) + (4-7i) = ( + 4) + ( - 1 7)i = 7 _ 5i (7-5i) - (4-7i) = (7-4) + (-5 + 7)i = + i A la vista de estas operaciones parece fácil sumar y restar números complejos. Resuelve tú (5 - i) + (4 + i) - ( + i). Probamos con la multiplicación ( + i) (4-7i) = (4-7i) + i (4-7i) = = 1-1i + 8i - 14i = (como i = -1) Leibniz en el siglo XVII, decía que y'-1 es una especie de anfibio en/re el ser y la nada. =1-1i+8i+14= = (1 + 14) + (-1 + 8)i = 6-1i También la multiplicación parece fácil. Sólo hay que operar como si se tratara de números reales y tener eñ cuenta que i = -1. Resuelve tú (5 + 7i) ( - 4i). División: un primer intento Acabamos de ver que ( + i) (4-7i) = 6-1i Por tanto deberá ser Fue en 1777 cuando Eüler le dio al monstruo y'-1 el nombre de i (por imaginario). Los números de la forma a + bi no presentan sorpresas cuando los operamos con números reales. pues el resultado sigue siendo un número complejo. Pero, LUmo se comporta1d11 l'uando los operemos con ellos mismos'/ Necesitaremos recurrir a otros nuevos números para poder expresar algunos resultados de operar números complejos entre sí? 6-1i + i = 4-7i Qué podríamos hacer para llegar a este resultado? En principio no parece nada fácil. Una ayuda: los números + i y - i tienen la misma parte real y opuesta su parte imaginaria. Se dice que son conjugados. Vamos a multiplicarlos: ( + i). ( _ i) = 9 _ r + r _ 4 = 9 _ 4. (-1) = 1 El resultado es un número real! Encuentra tú el conjugado de 5 + 7i y multiplícalo por éste.

7 Intentamos de nuevo la división 6-1i + i Si multiplicamos dividendo y divisor por - i, el resultado no se altera y, además, el denominador pasa a ser un número real: - i es el conjugado del divisor. 6-1i + i (6-1i) ( - i) ( + i) ( - i) i - 9i i - 9i + 6i i ----=4-7i 1 Hemos obtenido el resultado esperado. 4 + i - i Efectúa tú las divisiones 5 + 7i ' 4 - Si Para calcular un cociente de números complejos, hay que multiplicar dividendo y divisor por el conjugado de este último. Potenciación Elevar a una potencia es multiplicar varias veces. Es especialmente interesante prestar atención a las sucesivas potencias de la unidad imaginaria, i: = -1; =. i 1 = (-1)i = -i; i 4 =. i = ( -1 ). ( -1 ) = 1 ; i 5 = i 4 i = 1 i = i. Al ser i 4 igual a la unidad, observamos que las potencias vuelven a repetirse, es decir, i 5 = i, i 6 = i... Así i 1 º = i 4 i 4 i = 1 1 (-1) = -1. Para calcular, por ejemplo, i 1º dividimos 10 entre 4; como el cociente es 5 y el resto, tendremos: 10 = 45+ = 4 5. i = (i 4 )5. = 15. (-1) = -1 En general n = 4c i' = 1 i' = i' siendo e el cociente de dividir n entre 4 y r, el resto. i 4 ' valdrá siempre 1. Resultados obtenidos Hemos sumado, restado, multiplicado y dividido números complejos y siempre se ha obtenido otro número complejo. No parece que hagan falta nuevos números para conseguir lo que se pretendía.

8 Vamos a generalizar los resultados: No hace falta aprender de memoria estas fórmulas. Recuerda el proceso. Al multiplicar, hazlo como si fueran reales y, cuando aparezca i, sustitúyelo por -1. Definiciones Suma: Resta: (a + bi) + (e+ di) = (a + e) + (b + d) i (a + bi) - (e + di) = (a - e) + (b - d) i Multiplicación: (a + bi) (e+ di) = ae + adi + béi + bdi = = ae - bd + adi + bei = (ae - bd) +(ad+ be) i Conjugado: el conjugado de un complejo a + bi, es otro de la forma a - bi. El producto de un número complejo por su conjugado es siempre un número real: (a + bi) (a - bi) = a -_ytf(+ b i = =a +b Para dividir, recuerda que hay que multiplicar numerador y denominador por el conjuga(lo del denominador. a+ bi División: para dividir multiplicamos numerador y e+ di' denominador por el conjugado del denominador a+ bi e+ di ( a + bi) ( e - di) ac + bd + bei - adi ( e + di) ( e - di) e + d ae+ bd be- ad e +d e +d Podríamos pensar que, si para resolver todas las ecuaciones de la forma ai + bx + e= O con a, b, e reales hemos tenido que introducir i = \/'=1, entonces, para resolver todas las ecuaciones ax'+bi+cx+d=o habrá que introducir algún otro número extraño. Pues no. Gauss demostró, a fines del siglo XVIII, que cualquier ecuación de este tipo tiene todas sus soluciones de la forma a + bi siendo a y b reales. Por tanto bastan los complejos para resolver una ecuación de cualquier grado. Y aún hay más Aunque aquí no aprendamos a calcularlas, sí diremos que todo número complejo tiene dos raíces cuadradas (que son también números complej9s), tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, etc. Al empezar, pretendíamos que todas las ecuaciones de segundo grado tuvieran solución. Con los números complejos se consigue, pero se consigue aún mucho más: también las ecuaciones de tercer grado tienen, con seguridad, tres soluciones que son números complejos; las de cuarto grado, cuatro; etc. Quién nos iba a decir, al empezar, que el monstruo \/'=1 iba a producir resultados tan redondos! Y lo curioso es que, para ello, sólo ha hecho falta dejarlo moverse a su aire.

9 7. Efectúa las siguientes operaciones: a) ( + 4i) + ( - i) - (-4 + 7i) 1 b) (5-4i) -(- + i) +. (6-4i) e) \Í-16 + y-5 - \16 - \Í-49 + \Í-1 d) (4 + i) (5 - i) e) ( + 4i) (6 - i) f) (1 -i) g) ( - i). Efectúa las siguientes operaciones: ( + Si) ; 7-4. ( + i) ; ( - 11 i) Sabemos que i = -1. Por tanto i =f. i = -1. i = -i; i 4 = i ) = = (-1) == 1. Teniendo esto en cuenta, calcula i 5, i 6, i 7, i 8, i 9, i 6, i 7. Sabiendo que z 1 = -4 + i; z = - - i y z = i, calcula: a) Z 1 - Z + Z b) Z 1 + Í -(z - Z ) e) z/ d) z/ e) z/ f) z1 z Z 1 Calcula x para que el número (x - i) sea imaginario puro. 1 Divide: i -i - Si 4 + i - i - + Si 5 + i 1 + 7i - - i y + 4i 1 Efectúa y simplifica: i(-i+1) -1 + i (-i) (4 - i) 1 - Si 1 Calcula: (1 + i) 4 ; (1 - i) 4 ; (-1 + i) 4 + (-1 -i) 4 Observa que los resultados son siempre -4. Por lo tanto 1 + i, 1 - i, -1 + i, y -1 - i son las raíces cuartas de -4, es decir, son las 4 raíces o soluciones de la ecuación x4 + 4 = O. 1 Comprueba: + i y - - i son las raíces cuadradas de 5 + 1i. 1 Si calculamos las raíces de x - 4x + 1 = O obtenemos + i y - i. Comprobemos la primera de ellas: ( + i) - 4 ( + i) + 1 = i - 8-1i + 1 = O Comprueba tú la otra raíz.

10 Representación geométrica de los números complejos Cómo representar los números complejos? Una buena idea Dejemos la recta real donde está y situemos otro eje para representar los números imaginarios puros ; i A pesar de los buenos resultados que algebraicamente producían los números complejos. gran parte de los matemálicos se mostraban recelosos ante estos extraños seres. Sólo cuando se les supo dar una representación geométrica adecuada lueron totalmente aceptados. Esto ocurrió a finales del siglo XVIII por obra de un matemático danés, y reinventado por Gauss unos años después. o , -i Ahora los restantes números complejos se representarán a partir de sus dos componentes, así: -1 + i i - +-i ' , \ -1 i -i i, : o Recordemos que los demás conjuntos numéricos. se fueron representando sobre la recta. la cual iban llenando más y más hasta ocuparla totalmente con los números reales. Dónde se representarán los números imaginarios? Desde luego en la recta no, pues ya está llena., y'.i Cada número complejo (a + bi) viene dado por una flecha. Su longitud, ya + b, se llama módulo del número complejo. De esta forma suma, producto, cociente, raíces,... tienen interpretaciones geométricas sencillas y prácticas. Nosotros nos conformaremos con ver la representación de la suma de dos números complejos.

11 Representación de la suma de complejos Sumamos, gráficamente, a + bi y e + di b+d (a + e) + (b + d) i :a+ e e a b a + bi /: :a Representación del conjugado -b a-bi El conjugado de a + bi es a - bi es simétrica respecto del eje horizontal. Juego su representación 1 Representa gráficamente los números complejos: - i, 5, -7i, + 4i, - - 4i, -, -1 + i y 4i. 1 Suma los números complejos siguientes y representa gráficamente la suma: ( + i) + (5 - i); (- + 4i) + (-6 - i) 1 Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de los números complejos siguientes: - 4i, + i, 4, i, - - i, - + i Calcula gráficamente la suma de los números complejos: a) + i y - i; b) i y - - i Demuestra que tanto si se suman como si se multiplican dos complejos conjugados, el resultado carece de parte UTiaginaria y, por tanto, se le podría identificar con un número real. Si z = a + bi y i = a - bi demuestra que z i = lzi siendo lzl = Ya + b

12 Ejercicios del tema Efectúa (4 + i) (4 + i) - ( + i) ( - 4i). 4 Expresa y representa gráficamente los complejos opuestos y los conjugados de: - i, -1 + Si, 6 - i, - - i, -1 5 Resuelve las ecuaciones: x - 4x + 5 =O; x + x + 4 = o ; x - 4x. + Sx = O 6 Calcula ( + i) ( - i) ( + i) 1 - i 7 Calcula los números reales x e y sabiendo que: (x + i) + (5 + yi) = 6 + Si 8 Representa los números complejos: + 4i, 1 - i, -, - + i, -5 - i, i 9 Suma numérica y gráficamente los números complejos z 1 y z siendo: Z 1 = - + i Z = 4 + i 0 a) Representa gráficamente el número complejo + i. b) Gíralo 9(J' alrededor del origen. Cuál es el nuevo número complejo? e) Multiplica ( + i)i Qué observas? 1 Para resolver las siguientes ecuaciones, despeja el número complejo z y calcula su valor: a) ( + i) z = 0 -i b) z --= 1 - Si +i e) z z -i --+ = +i -i d) z z - i -:- + = -4i l 1 + i Calcula: s ' l. a+ i Determina el valor de a para que el módulo del cociente. sea. 1 - z

13 4 a) Representa gráficamente el número complejo - + i. b) Gíralo 9rY alrededor del origen. Cuál es el nuevo número complejo? e) Multiplica (- + i) i. Qué observas? d) Comprueba que del resultado de multiplicar un número complejo por i se obtiene otro número complejo que es el resultado de girar 9rY el anterior. [s I Despeja z y calcula su valor en cada una de la igualdades: z a) + i = - 4i -i b)-- = 4 + i z e) (-1 + i) z = 4 + i 6 I Calcula los números reales x e y de modo que + xi - -- =y+ i 1 + i! 7 I Calcula: 7 l, i 105, 1 + i + i + i i 0 8 Representa gráficamente las raíces de las ecuaciones: a) x. + 4 = O b) X + x + 5 = 0 c) x - 6x + 5 = O 91 Escribe una ecuación cuyas raíces sean 1 + i y 1 - i. (Recuerda que las raíces x, y X de la ecuación de segundo grado ax + bx + e = O verifican que x, + x = - b y a Comprueba que -..!_ + V i es solución de la ecuación x - 1 = O - ; - V: i (Ayuda: Sustituye la x por estos números y haz operaciones). y también t.!! Cuáles son todas las soluciones de x O?, 4] Determina el valor de x para que el producto: ( - Si) ( + xi) a) sea un número real b) sea imaginario puro.!4, Cómo debe ser un número complejo para que su cuadrado sea: a) imaginario puro; b) un número real positivo; e) un número real negativo?