Apuntes para el Curso de

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1 Apunte para el Curo de Control Digital Referencia r(t) G c () Algoritmo de Control Convertidor D/A K a Actuador Entrada u(t) G() Planta Salida controlada y(t) Convertidor A/D Salida medida y(t) K CC oommppuut taaddoor raa Tarjeta de adquiición y control Senor Facultad de Ingeniería Eléctrica FIE-UMSNH Elaboró: Joé Juan Rincón Paaye Enero-5

2 Contenido.- Introducción..- Introducción..- Eboo hitórico del control por computadora.3.- Evolución de la teoría de control digital.4.- Porqué una teoría de control por computadora?.4..- Caracterítica propia de lo itema muetreado Dependencia del tiempo Armónico de alto orden Tiempo de etablecimiento finito.4..- Proceo inherentemente muetreado..- El proceo de muetreo..- Introducción..- Decripción del proceo de muetreo y definicione...- Muetreo periódico y no periódico...- Periodo de muetreo y frecuencia de muetreo.3.- Introducción al teorema fundamental del muetreo.3..- El Teorema de Nyquit-Shannon y u demotración.3..- Obervacione obre el Teorema del muetreo.4.- La inverión del Muetreo (Recontrucción de eñale muetreada).4.- El recontructor de Shannon.4..- El retenedor de orden cero El retenedor de orden uno El retenedor poligonal.5.- Confuión de frecuencia o Aliaing.5..- Tre propiedade fundamentale de la eñale inuoidale muetreada.5..- Frecuencia normaliada de inuoide muetreada Prefiltrado antialiaing 3.- Modelado de itema de control en tiempo dicreto 3..- Modelado dede el punto de vita de la computadora 3..- Obtención de modelo dicreto a partir de modelo continuo Modelo dicreto invariante al ecalón para un itema continuo de primer orden El operador corrimiento Diagrama de imulación Aproximación de la derivada por diferencia finita Aproximación de la integral (Regla trapeoidal o de Tutin) Modelo dicreto de itema continuo de orden mayor a uno La Tranformada Z Definicione de la tranformada Z (bilateral y unilateral) Propiedade de la tranformada Z Linealidad Corrimiento en el tiempo Tranformada de la convolución Teorema del valor final Tabla de Tranformada Z La función de Tranferencia de pulo Polo y cero de funcione de tranferencia de pulo Modelado dede el punto de vita del proceo Obtención de G() a partir de G() Dicretiación de funcione de tranferencia en lao abierto uando tabla de tranformada Ejemplo. Sitema de primer orden Ejemplo. Sitema de egundo orden reducible mediante fraccione parciale Ejemplo. Sitema de egundo orden no reducible mediante fraccione parciale Ejemplo. Sitema de orden uperior Reducción de bloque en cacada Función de tranferencia de pulo de un itema de control digital de una planta continua 4.- Análii de itema de control en tiempo dicreto 4..- Introducción 4..- Cálculo de la repueta de un DSLIT Solución de la ecuacione de diferencia mediante iteración numérica Ejemplo. Sitema de primer orden Solución de la ecuación de diferencia lineal mediante tranformada Z La Tranformada Z invera Cálculo directo de la integral de contorno compleja Cálculo por expanión en erie de potencia Cálculo por expanión en fraccione parciale Cao de polo ditinto (reale y complejo) Cao de polo repetido Ejemplo de cálculo de la repueta de un itema dicreto mediante tranformada Z Sitema de primer orden en lao abierto Sitema de egundo orden el lao abierto (Suceión de Fibonacci) Cálculo de la repueta de un DSLIT por convolución con l arepueta al impulo unitario Decompoición de una eñal dicreta como uma de impulo Repueta de un DSLIT ante entrada arbitraria: La Convolución Repueta al impulo de itema cauale Análii de etabilidad de DSLIT Repueta al impulo y etabilidad Etabilidad y polo de una función de tranferencia de pulo Análii de etabilidad baada en lo polo Criterio de Routh modificado Dieño de controladore etabiliante Criterio de Joury Criterio de Schur-Cohn Lugar de la raíce 5.- Dieño de itema de control en tiempo dicreto 5..- Introducción 5..- Tralación del dieño analógico Diferente aproximacione Controladore P.I.D. digitale Efecto Wind-up y u eliminación Regla de Takahahi-Chan-Aulander Dieño en el dominio digital. Bibliografía.- Computer Controlled Sytem. Atrom, Wittenmark.- Digital Control Sytem. B. J. Kuo

3 Capítulo. Introducción Capítulo Introducción En la actualidad cai todo lo controle automático de uo indutrial, domético automotri u otro tipo e implementan en forma digital, la mayoría en bae a microcontroladore. Eto hace neceario entender que tipo coa ocurren cuando un itema fíico de naturalea continua, como on la mayoría de lo proceo indutriale, e controla mediante un itema digital como e la computadora...- Introducción En la figura. e muetra un diagrama de bloque típico de un itema de control baado en una computadora digital. En ete diagrama e aprecia que la alida y( t ) del proceo que e deea controlar e una función que depende en forma continua del tiempo, in embargo, u información y( k ) olo e dipone en alguno intante dicreto de tiempo denominado intante de muetreo, e decir, k e una variable que toma valore dicreto k,,,3,..., y por lo tanto y( k ) e una variable muetreada. Reloj y(t) A / D y(k) u(k) u(t) Algoritmo D / A Proceo Continuo Salida Continua y(t) Computadora Figura.. Equema típico de control por computadora En forma imilar la entrada del proceo u( t ) no puede er actualiada en forma continua por la computadora ino que típicamente e mantiene contante entre cada intante de muetreo. La manera en que e determina en tiempo en el que ocurren lo intante de muetreo puede er uniforme o no-uniforme. En eta nota olamente e trata el cao de muetreo uniforme en el cual lo intante de muetreo etán dado por t kt (.) donde T e el período de muetreo que e mantiene contante. En ete cao k Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE

4 Capítulo. Introducción y( k ) y( kt ), u( k ) u( kt ) (.) El equema típico de control por computadora contiene tanto variable continua como variable muetreada o dicreta. Eta mecla puede er complicada, in embargo, en ocaione e uficiente con decribir lo que ocurre olamente en lo intante de muetreo, en ete cao olo interean lo valore de la eñale en lo intante de muetreo y e pueden coniderar toda ella dicreta, a ete tipo de itema e le llama itema de tiempo dicreto. Lo itema dicreto trabajan con ecuencia de valore dicreto y la manera natural de modelarlo e mediante ecuacione de diferencia...- Eboo Hitórico del control por computadora La idea del control por computadora urgió alrededor de 95. El primer interé fue uarlo en el control de miile y la navegación aérea, in embargo, la computadora de aquella época no eran adecuada para eta aplicacione. La primera incorporación de una computadora digital al control de proceo indutriale e dearrolla a mediado de lo 5 con un equema de control uperviorio como el motrado en la Figura.. En ete equema la computadora no participa directamente en el lao de control, ino que olamente puede monitorear la variable medible o modificar lo et point o eñale de referencia enviada a lo controladore analógico conectado al proceo.... variable medible Computadora Conola del operador Referencia... Planta Controladore analógico Figura.. Equema de control uperviorio. El uo de la computadora digitale en el control de proceo ha paado por vario periodo que podrían claificare como igue: Periodo Pionero (fine de lo 5 ) Período del Control Digital Directo (inicio de lo 6 ) Periodo de la minicomputadora (fine de lo 6 ) Periodo de la microcomputadora (inicio de lo 7 ) Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE

5 Capítulo. Introducción Uo Generaliado del control por computadora (98 hata nuetro día) Control ditribuido (99) Periodo Pionero (fine de lo 5 ): La primera intalacione computadora en el control de proceo contemplaron a la computadora como elemento uperviore que realiaban la funcione de un operador humano: uperviión de la variable medible y ajute de la referencia a lo controladore que eguían iendo analógico. De 956 a 959: Se realia el primer trabajo erio implantado en la unidad de polimeriación de la refinería de Port Arthur Texa de la Texaco Oil Co. (Port Arthur Texa): Control uperviorio para 6 flujo, 7 temperatura, 3 preione y 3 concentracione, el dearrollo lo realió la compañía aeroepacial Thomon Ramo Woodridge. La funcione eenciale que realiaba el controlador eran: minimiar la preión del reactor, determinar la ditribución óptima entre lo flujo de alimentación de 5 reactore, controlar el flujo de agua caliente hacia el interior del reactor, baado en la medicione de actividad catalítica y en determinar la recirculación óptima. Periodo del Control Digital Directo (inicio de lo 6 ) En el equema uperviorio no e utilia la capacidad de cálculo de la computadora para ejecutar etrategia de control en tiempo real, ino olamente para determinar ajute de lo et point (entrada de referencia) de lo controladore para optimiar o coordinar alguna etrategia global. Sin embargo, la computadora tiene la capacidad para deempeñare en un lao de control como e muetra en la figura.3 y de eta manera reemplaar lo controladore analógico conectado al proceo. El término Control Digital Directo e acuñó para dar énfai al hecho de que la computadora controlaba el proceo directamente in un controlador analógico de por medio. La tecnología digital pronto motró u confiabilidad y flexibilidad y en 96 (Imperial Chemical Indutrie en Inglaterra) e implanta el primer itema que reemplaa todo lo controladore analógico de un proceo: medía 4 variable y controlaba 9 válvula. La ventaja económica y la flexibilidad pronto generaliaron ete enfoque. Variable manipulable Planta Variable medible Puerto D/A (Salida) Computadora Puerto A/D (Entrada) Conola del operador Figura.3. Equema de una computadora en control digital directo. Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 3

6 Capítulo. Introducción Periodo de la minicomputadora (fine de lo 6 ) Lo avance en la tecnología de circuito integrado permitió el dearrollo de computadora cada ve má pequeña, má rápida y má poderoa, a fine de lo 6 e acuñó el término minicomputadora para la computadora baada en la nueva tecnología que eran muy adecuada para lo requerimiento del control de proceo indutriale. Una minicomputadora típica tenía una longitud de palabra de 6 bit, una memoria de 64 a 8 Kbyte, podía realiar una uma en µ y una multiplicación en 7 µ, in embargo, eguían iendo itema muy cotoo en 975 un mainframe típico de minicomputadora cotaba alrededor de die mil dólare, con lo cual un itema completo para aplicacione de control acendía hata uno cien mil dólare en total. Periodo de la microcomputadora (inicio de lo 7 ) Con el dearrollo del microproceador en 97 el coto y el tamaño de la computadora e abatió aún má. En 98 la tarjeta principal de una computadora con el mimo poder que una minicomputadora de 975 cotaba uno quiniento dólare. Eto trajo como conecuencia prácticamente la deaparición de lo controladore analógico y u reemplao por controladore digitale compacto de un olo lao baado en microcontrolador. En la figura.4 e muetra el apecto fíico de un controlador analógico y un controlador digital de un olo lao, ambo implementan controladore tipo P.I.D. (a) Figura.4. Apecto fíico de un controlador indutrial de un olo lao (a) Analógico. (b) Digital. A partir de lo año 9 lo microproceadore e podían adquirir por uno poco dólare, eto trajo un profundo impacto en la aplicacione del control por computadora, al grado de que actualmente prácticamente todo lo controladore etán baado en computadora. Ademá, la indutria maiva como la automotri impularon el dearrollo de computadora de propóito epecial en un olo circuito integrado llamada microcontroladore, la cuale incluyen en un olo chip ademá de la CPU, memoria y puerto de entrada/alida, convertidore analógico/digital y digital/analógico, timer, y otro dipoitivo neceario para una gran gama de aplicacione en el control de proceo. En la figura.5 e muetran controladore digitale Yokogawa de un olo lao, lo cuale implementan la accione cláica de control P, PI, PD, PID, en forma digital, enriquecida con algoritmo digitale de autointoniación, ademá de la pretacione que aporta la Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 4 (b)

7 Capítulo. Introducción interface viual que aporta una pantalla LCD en color que puede conmutar a diferente modo y preentacione como la motrada Figura.5. Controladore digitale actuale de un olo lao de control. Primer itema de Control Ditribuído: en 975 (TDC de Honeywell) El microcontrolador hio económicamente poible dieñar computadora epecialiada en cada parte del proceo, de manera que en un tiempo ya e tenían computadora interactuando y compartiendo la diferente labore de control, uperviión, monitoreo, almacenamiento, toda ella intercomunicada mediante una red de área local también baada en computadora. Ete equema mejoró notablemente la robute del itema global, la diponibilidad de lo componente, aí como el la velocidad al realiar proceamiento en paralelo baado en múltiple computadora. A ete equema e le denominó control ditribuido (ver figura.6). El primer equema de ete tipo fue comercialiado por Honeywell en 975 y e denominó el TDC. Computadora Superviora Conola del operador Interfa de Comunicación µcc en DDC µcc en DDC... µcc en DDC... Senore/ Actuadore Senore/ Actuadore Senore/ Actuadore Planta Computadora En D.D.C. Figura.6. Equema de control jerárquico o ditribuido. Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 5

8 Capítulo. Introducción En la actualidad la compañía de automatiación dieñan prácticamente todo u equipo penado como una piea de un itema de control ditribuido, por ejemplo, en la figura.7 e muetra el diagrama de un itema de control ditribuido actual de la compañía Foxboro. Figura.7. Sitema de control ditribuído actual de la compañía Foxboro..3.- Dearrollo de la Teoría del Control Digital A continuación e enumeran alguno de lo dearrollo má ignificativo de la teoría de control digital y de control en general. 948 Oldenburg y Sartoriu.- Ecuacione de diferencia para SLIT 949 C. Shannon concreta un trabajo previo de Nyquit etableciendo el teorema fundamental del muetreo. 947 Hurewic define una tranformación para eñale dicreta 95 Ragaini y Zadeh (USA) retoman el trabajo de Hurewic y definen la Tranformada Z. Eta e definida también en forma independiente por Typkin (URSS), Jury (USA) y Barker (Inglaterra). Otro enfoque fue dearrollado por Typkin en 95, Barker en 95, y Jury en 956 eta alternativa fue conocida como la Tranformada Z modificada. 96 R. Kalman Introduce la teoría del epacio de etado. Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 6

9 Capítulo. Introducción 957 Bellman y Pontryagin (96). Muetan que el problema del dieño de controladore puede formulare como un Problema de optimiación. 96 Kalman: problema LQR Ecuación de Riccati. Introduce también la teoría de control etocático convirtiendo el controlador LQR en el LQG lo que conlleva má tarde al Filtro de Kalman Método polinomiale para la olución de problema epecífico de control (Kalman 969, Roenbrock 97, Wonham 974, Blomberg & Ylinen 983, Kucera Se dearrollan metodología para la identificación de proceo baada en computadora. Atrom y Eykhoff (97), Ljung (987) paralelamente e dearrollan también metodología para incorporar equema de identificación a lo controladore dieñado, de manera que e obtienen controladore adaptable que por primera ve on viable dado lo avance de la tecnología digital Atrom y Wittenmark (973, 98, 995). 974: El Británico Ebrahim Mandani, demuetra la aplicabilidad de la lógica difua decrita (por Lofti Zadeh año ante) en el campo del control, dearrolla el primer itema de Control con Lógica Difua práctico: La Regulación de un Motor de Vapor eto inaugura lo primero trabajo de técnica de inteligencia artificial aplicada al control: depué vendrían la rede neuronale y lo algoritmo genético. 98 Aparecen lo primero controladore digitale que incorporan herramienta de intoniación automática dearrollada como un producto de la teoría del control adaptable. En 987, aparece el concepto de Fuy Boom", ya que e comercialia una multitud de producto baado en la lógica difua, obretodo en el Japón. 98 a la fecha. George Zame (98). Introduce la técnica de dieño de controladore robuto denominada control H-infinito. Alberto Iidori (985). Retoma la herramienta de la geometría diferencial para el etudio de lo itema no lineale.3..- El futuro del control por computadora El dearrollo que e epera para el futuro próximo e deberá dar en: Conocimiento de lo proceo.- El conocimiento de lo proceo e ve impulado por el uo de la computadora conectada a lo proceo, ya que de eta manera e má fácil la obtención de dato en línea aí como la realiación de experimento y el proceo de lo reultado. Tecnología de la medicione.- Eto e difícil de predecir, in embargo, la combinación de enore de ditinta tecnología con lo modelo matemático del proceo ya aporta nueva Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 7

10 Capítulo. Introducción técnica de diagnótico de falla, ademá del dearrollo de medidore baado en computadora. Tecnología de la computadora.- Aquí e epera un dearrollo continuado de la reducción de la raón coto/deempeño de lo circuito principale y de oporte de la computadora, ademá del dearrollo de oftware y periférico cada ve má poderoo. Teoría del control.- La incorporación de la herramienta teórica dearrollada ha ido gradual (control adaptable, control de modelo predictivo) in embargo aún faltan por incorporare mucho algoritmo y metodología. Dificultade: La implementación de lo nuevo método de control en tiempo real baado en herramienta de oftware acceible..4.- Porqué una teoría de control por computadora? Una manera imple de ver el control digital e coniderarlo como una verión aproximada del control analógico, e decir, podemo uar la teoría de control analógico tradicional para dearrollar controladore analógico y al final hacer una buena aproximación dicreta del controlador obtenido, entonce porqué coniderar una teoría aparte para etudiar lo itema de control por computadora?. Una buena teoría de control debe explicar completamente el equema báico de control por computadora motrado en la figura.. el cual tiende a comportare como un itema analógico conforme la frecuencia del reloj e incrementa má y má. Sin embargo, exiten vario fenómeno propio de ete equema que no pueden ocurrir en un itema puramente analógico Caracterítica propia de lo itema muetreado. La iguiente caracterítica etán preente en lo itema muetreado, in embargo, NO pueden aparecer en lo itema lineale invariante en el tiempo con controladore continuo: Dependencia del tiempo Armónico de alto orden Tranitorio de tiempo finito (tiempo de aentamiento finito) Dependencia del tiempo. Por ejemplo, conideremo la repueta en el tiempo de un itema continuo y uno digital bajo la mima entrada (ecalón unitario) motrada en la figura.8 Continuo: yɺ ( t) + y( t) u( t) Dicreto: y k.3679y k- +.63u k Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 8

11 Capítulo. Introducción. Amplitud e. Step repone Step Repone Amplitude Time (ec) Time (ec) Figura.8. Repueta al ecalón unitario de un itema continuo y un itema dicreto. Y luego veamo qué ocurre i el ecalón e retarda.5 egundo. La repueta de ambo itema e muetra en la figura.9.8 Continuo: yɺ ( t) + y( t) u( t) Dicreto: y k.3679y k- +.63u k Step Repone.8 Step Repone Amplitude.6.4 Amplitude Time (ec) Time (ec) Figura.9. Repueta de lo itema anteriore al ecalón retardado.5 eg. De la figura.9 e puede obervar que mientra la alida del itema continuo cumple con la propiedad de invariancia en el tiempo: En cambio, la alida del itema dicreto produce una alida y(k-) en lugar de la eperada y(k-.5). Armónico de alto orden Si la repueta a u(t) e y(t), entonce la repueta a u(t-.5) e y(t-.5) Para el mimo par de itema del cao anterior, i obtenemo u repueta a una entrada puramente enoidal de.5 hert, con un periodo de muetreo de.9 egundo, obtenemo la repueta motrada en la figura.. Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 9

12 Capítulo. Introducción Continuo: yɺ ( t) + y( t) u( t) Dicreto: y k.3679y k- +.63u k Figura.. Repueta de ambo itema a una eñal enoidal de.5 hert Como puede obervare de la figura., mientra que el itema continuo preenta un etado etacionario completamente enoidal con una frecuencia igual a la de entrada, la alida del itema dicreto e un tren de pulo cuadrado, el cual contiene una gama de frecuencia muy grande, no preente en la entrada. Tranitorio de tiempo finito Conideremo el itema doble integrador ɺɺ y u( t) (.3) Conideremo ademá el controlador analógico por retroalimentación de etado: u( t) k y + k yɺ (.4) Con k k - En la figura. e muetra la repueta del controlador analógico en color aul y la repueta correpondiente de u verión dicretiada (en color rojo) con un periodo de muetreo T.. En la figura. e muetran la accione de control necearia para obtener la repueta de la figura...5 poicion (y) Figura.. Repueta al ecalón unitario del integrador doble con la retro de etado continua y dicretiada Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE

13 Capítulo. Introducción entrada (u) Figura.. Acción de control aplicada al doble integrador con la retro de etado continua y dicretiada La ley de control dicretiada e calcula en lo intante de muetreo implemente como u( kt) k y( kt) + k yɺ ( kt) (.5) y e mantiene contante entre un intante de muetreo y el iguiente, por eta raón la gráfica de u(k) preenta la forma ecalonada típica motrada en la figura.. Utiliando teoría de control digital e demuetra que la ley de control (.5) correponde a un controlador deadbeat, el cual tiene un tiempo de aentamiento finito de n*t donde n (orden del itema) cuando e eligen la ganancia iguiente: 3 k, k T T (.6) La figura.3 muetra la repueta del itema en lao cerrado uando el controlador deadbeat con Teg. poicion (y) Figura.3 repueta del doble integrador con el controlador deadbeat con T entrada (u) Figura.4 Acción de control del deadbeat aplicada al doble integrador. Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE

14 Capítulo. Introducción Como puede apreciare en la figura.3, la alida del itema alcana la referencia en egundo y la acción de control (figura.4) no requiere un efuero muy coniderable comparado con el controlador analógico o el dicretiado del primer cao (figura.) Proceo inherentemente muetreado. Si no fuera uficiente jutificación la exitencia de lo comportamiento propio de lo itema digitale mencionado arriba, exiten también itema que on dicreto de origen, e decir, itema que no on dicretiacione de proceo continuo. Por ejemplo: Algoritmo ejecutado en computadora. (Método numérico): Muetreo gobernado por el reloj de la computadora. Sitema de medición muetreado o Radar: muetra cada revolución de la antena o Intrumento analítico (epectrógrafo, cromatógrafo): Muetra de la utancia proceada fuera de línea o Sitema económico: muetra cada periodo de corte. Electrónica de potencia: muetreo debido al witcheo de lo tiritore Sitema biológico: tranmiión de eñale en el itema nervioo baada en pulo. Motore de combutión interna: etán incroniado por el proceo de exploión repetitiva. Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE

15 Capítulo. Modelado del Proceo de Muetreo Capítulo Modelado del Proceo de Muetreo.. Introducción. El muetreo e la propiedad fundamental de lo itema de control por computadora y e realiado como una parte del proceo de converión de Analógico a Digital. En el contexto de comunicacione electrónica y itema de control, muetrear ignifica reemplaar una eñal continua por u valore numérico o muetra tomado en cierto intante de tiempo denominado intante de muetreo. El proceo invero al muetreo conite en convertir una ecuencia de valore numérico (muetra) a una eñal continua y e denomina inverión del muetreo o recontrucción de eñale. Ete proceo invero e realiado en lo convertidore de digital a analógico...- Decripción del proceo de muetreo y definicione En la figura. e decribe el proceo de muetreo que convierte la eñal analógica f ( t ) en la eñal de tiempo dicreto f ( t k ). f(t) muetreador f(t k ) t k t t t t t 3 t 4 t 5 t t t t 3 t 4 t 5 Figura.. El proceo de muetreo. t k El proceo de muetreo olo dicretia lo valore del tiempo (ecala horiontal) y no lo valore de la eñal (ecala vertical), eto e ólo una parte de lo que ocurre en un convertidor de analógico a digital, ya que en el muetreo olo e convierten en dicreto lo valore del tiempo, por ello a f ( t k ) e le llama eñal de tiempo dicreto. En un convertidor de analógico a digital, también e dicretian lo valore de f ( t k ) al exprearlo con un número finito de bit (a ete proceo e le llama cuantiación). De eta manera, al uar n bit, olo e pueden repreentar n valore de f ( t k ) y el reto de lo valore implemente e redondean al valor má cercano. Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 3

16 Capítulo. Modelado del Proceo de Muetreo En la figura. e muetra la etapa de cuantiación uponiendo que e uan olamente n3 bit y por lo tanto olo e pueden repreentar 8 valore ditinto de f ( t k ). f(t k ) t t t t 3 t 4 t 5 t k cuantiación Código f(t k ) t t t t 3 t 4 t 5 t k Plena ecala Mínima ecala Fig... Proceo de cuantiación y codificación para n3 bit. Depué de la cuantiación e aigna un código binario a cada valor repreentable de la eñal f ( t k ), con eto e dicretia la ecala vertical, obteniéndoe una eñal dicreta en amba ecala (vertical y horiontal). Denotaremo lo intante de muetreo como t, t, t, t 3,... o bien, como t k con k,,,3,... de manera que la verión muetreada de f ( t ) conite en la ecuencia, lita o conjunto de valore ( ) k f t { ( ), ( ), ( ),...} f t f t f t. Muetreo uniforme o periódico.- E el que e coniderará en ete curo y correponde al cao en que lo intante de muetreo on equiditante, e decir, on múltiplo de un intervalo de tiempo contante h. A eta contante h e le llama periodo de muetreo. tk k h En ete cao la ecuencia f ( t k ) e convierte en f t { f (), f ( h), f ( h), f (3 h ),...} ( ) k Taa y Frecuencia de muetreo.- La taa de muetreo (en muetra/eg) e denota por f y e define como el invero del periodo de muetreo, e decir (muetra/eg) h Y la frecuencia de muetreo(en rad/eg) e denota como f π ω π f (rad/eg) h ω y e define como Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 4

17 Capítulo. Modelado del Proceo de Muetreo.3.- Introducción al Teorema Fundamental del Muetreo. Una pregunta fundamental que e deprende del proceo de muetreo e la iguiente Será poible recuperar la información de la eñal analógica f ( t ) a partir de u muetra f ( t k )? El teorema fundamental del muetreo reponde a eta pregunta. Para ganar alguna noción intuitiva repecto a ete teorema obervemo que entre má muetra tomemo por unidad de tiempo (e decir, entre mayor ea la frecuencia de muetreo f ) perderemo meno información de la eñal original, pero la información perdida también depende de que tan rápido cambia dicha eñal original. Para viualiar eta ituación conideremo el muetreo de do eñale muetreada a la mima frecuencia f, pero una eñal con variacione lenta y otra con variacione rápida en la figura (a) Fig..3.- Do eñale muetreada a la mima frecuencia (b) f. a) Señal con variacione lenta. b) Señal con variacione rápida Como puede intuire de la figura.3, e poible que no e pueda recuperar la eñal original del incio (b) a partir de u muetra. Un cao que hace evidente lo que ocurre en la figura.3(b) e el motrado en la figura.4 en donde e muetrean do eñale ditinta: f ( t) + in( πt), f ( ) t. En ete cao e obtienen la mima muetra f ( t k ) para la do eñale, por lo tanto a partir de la pura muetra e impoible aber i la muetra provienen de una eñal o de la otra. f f Fig..4.- Do eñale que producen la mima muetra. Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 5

18 Capítulo. Modelado del Proceo de Muetreo.3..- El Teorema de Nyquit-Shannon. El teorema del muetreo de Nyquit-Shannon, también conocido como teorema del muetreo de Whittaker-Nyquit-Kotelnikov-Shannon, e un teorema fundamental de la teoría de la información, de epecial interé en la telecomunicacione y en el control digital. Ete teorema fue formulado en forma de conjetura por primera ve por Harry Nyquit en 98 (Certain topic in telegraph tranmiion theory), y fue demotrado formalmente por Claude E. Shannon en 949 (Communication in the preence of noie). La iguiente e la verión de Shannon: Una eñal continua f ( t ) que no contiene frecuencia mayore a ω etá dada de manera única por u muetra en punto equiditante {..., f ( h), f ( h), f (), f ( h), f ( h),...} i ω > ω Ademá, la eñal continua f ( t ) e puede calcular a partir de u muetra mediante la iguiente fórmula de interpolación de Shannon. [ ω ] (.) f ( t) f ( kh) Sinc ( t kh) / k Donde la función Sinc e define como in x i x Sinc( x) x i x (.) Demotración: La hipótei de que f ( t ) no contiene frecuencia mayore a ω, ignifica que el epectro (contenido de frecuencia o Tranformada de Fourier) F( ω ) de la eñal e de Ancho de Banda Limitada como e muetra en la figura.5. F( ω ) ω ω ω ω ω Ancho de banda Figura.5.- Epectro de banda limitada F( ω ) e la Tranformada de Fourier de f ( t ), e decir, Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 6

19 Capítulo. Modelado del Proceo de Muetreo O bien, f ( t ) e la Tranformada Invera de Fourier de F( ω ) jωt F( ω) f ( t) e dt (.3) jωt f ( t) F( ω) e dω π (.4) A partir de F( ω ) definimo la función auxiliar iguiente F ( ω) F( ω + kω ) (.5) h k Obérvee que en el cao en que ω > ω, entonce F ( ω ) e implemente una ecuencia periódica de copia de F( ω ) como e muetra en la figura.6(a). F ( ω ) ω ω ω ω ω ω ω ω ω 3ω 3 (a) Cao ω > ω ω F ( ω ) ω ω 3ω ω ω ω ω ω 3 (b) Cao ω < ω ω ω ω Figura.6.- Epectro de la eñal F ( ω) a) Para ω > ω. b) Para ω < ω En el cao en que ω < ω, F ( ω ) e deforma debido a la contribución del tralape de cada copia de F( ω + kω ) con la copia vecina F( ω + ( k + ) ω ) lo cual hace aparecer frecuencia que no etaban en el epectro original como e oberva en la figura.6(b). A continuación upondremo que ocurre el cao de la figura.6(a), e decir, upondremo que ω > ω. Como F ( ω ) e periódica de periodo ω e puede expandir en una erie de Fourier, como igue jkhω F ( ω) C e (.6) Donde lo coeficiente C k etán dado por k k Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 7

20 Capítulo. Modelado del Proceo de Muetreo ω / jkhω C F ( ω) e dω (.7) k ω ω / Aeguramo que C f ( kh), para verificarlo, evaluemo f ( t ) dado por (.4) en t kh k Y como uponemo que ω > ω entonce jωkh f ( kh) F( ω) e dω π ω / jωkh f ( kh) F( ω) e dω π ω / Y como en ete intervalo F( ω) hf ( ω), entonce ω / h jωkh f ( kh) F ( ω) e dω π ω / π Y como ω, obtenemo h f ( kh) ω / jωkh F ( ω) e dω C ω ω / Por lo tanto: Conociendo C f ( kh) podemo calcular de manera única F ( ω ), uando (.6), k Conociendo F ( ω ) podemo calcular de manera única F( ω ) (truncando entre ω ω y ) y conociendo F( ω ) podemo calcular de manera única f ( t ) uando (.4) k Con lo cual queda demotrado el teorema. A continuación demotraremo que la manera de recontruir la eñal original a partir de u muetra e logra mediante la fórmula de interpolación (.) Partiendo de (.4), tenemo que jωt f ( t) F( ω) e dω π ω / π ω / jωt F( ω) e dω Y i ω > ω lo anterior e puede exprear en término de F ( ω ) como ω / h jωt f ( t) F ( ω) e dω π ω / Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 8

21 Capítulo. Modelado del Proceo de Muetreo Sutituyendo la erie de Fourier para F ( ω ) (.6) obtenemo ω / h jkhω jωt f ( t) Cke e dω π ω / k Introduciendo el exponencial a la umatoria Uando la linealidad de la integral ω / h π h π ω / k ω / k ω / f ( kh) e f ( kh) e jω ( t kh) jω ( t kh) dω dω Sacando el factor que no depende de la variable de integración ω h π k ω / jω ( t kh) f ( kh) e d ω / ω Integrando para t kh h f ( kh) e π j( t kh) k ω / jω ( t kh) ω / h e e f ( kh) π j( t kh) k jω ( t kh)/ jω ( t kh)/ Uando la fórmula de Euler [ ω t kh ] h in ( ) / f ( kh) π ( t kh) k π Reacomodando la contante y recordando que ω h in ω ( t kh) / f ( kh) ω ( t kh) / k [ ] Que e la fórmula de interpolación (.) bucada para t kh. El cao t kh ólo implica cambiar el valor de la integral por ω. Obervacione obre el Teorema del Muetreo: ω. A la frecuencia ω N en rad/eg e le denomina Frecuencia de Nyquit y define la máxima frecuencia contenida en la eñal original que puede er recontruida tra el Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 9

22 Capítulo. Modelado del Proceo de Muetreo muetreo. (no confundir con la Taa de muetreo de Nyquit en muetra/eg, la cual e define como FN F y define la máxima taa de muetreo para la cual no e poible recontruir la eñal). La ecuación (.) define la recontrucción de eñale cuya Tranformada de Fourier e nula para frecuencia mayore a ω N 3. La fórmula (.) e no caual, ya que para calcular el valor de la eñal original en un intante dado t requiere la muetra f ( kh ) la cuale aún no han ocurrido para kh > t (i t e el intante preente, kh e futuro i kh > t ) 4. La fórmula (.) e una uma ponderada de la muetra f ( kh ). La función de ponderación e φ( t) inc( ωt / ) (.8) Por lo tanto la fórmula (.) e puede reecribir como f ( t) f ( kh) φ( t kh) (.9) k E importante tener bien preente la forma que tiene la gráfica de la función φ ( t), ya que e una función que aparece comúnmente en el campo del proceamiento digital de eñale. Dicha gráfica e muetra en la figura.7. Función φ(t) h -h -9h -7h -5h -3h -h -h h h 3h 5h 7h 9h h 3h t... Figura.7.- Grafica de la función φ( t) Sinc( ω t / ) De la figura.7 e puede obervar que la amplitud de la función de ponderación φ ( t) e menor del % para t > 3h y menor del 5% para t > 6h, por lo tanto i no eperamo 3 o 6 periodo de muetreo podemo obtener má muetra para evaluar la fórmula diminuyendo el error de recontrucción aproximadamente en un % y 5% repectivamente. Eta etrategia implica agregar retardo a la recontrucción, lo cual no e deeable en itema de control en tiempo real, pero e perfectamente manejable en la recontrucción de eñale en tiempo diferido (eñale almacenada para u proceo poterior). Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE

23 Capítulo. Modelado del Proceo de Muetreo 5. La fórmula (.) garantia una recontrucción perfecta cuando e cumple la condición del teorema del muetreo, e decir, cuando ω <, pero el cálculo de la fórmula (.) requiere coniderar toda la muetra preente, paada y futura de la eñal, e decir, requiere f ( kh ) para k dede hata +, lo cual en general no e poible. En la práctica, la umatoria infinita e trunca a valore finito pero muy grande de k, obteniéndoe una recontrucción aproximada. 6. Por la raón del punto anterior, i e requiere una mejor recontrucción en la práctica e debe exagerar la condición del teorema ω < iendo una recomendación empírica ω ω <<. Tarea No..- Graficar cuatro ciclo de la eñal analógica f ( t) in( πt) +.3co(4 πt) junto con u muetra (ver figura.3). Calcular el periodo de muetreo adecuado h para tener: a) muetra cada ciclo b) muetra cada ciclo c) muetra cada ciclo.- Para la eñal anterior calcula la frecuencia ω a que hace referencia el Teorema del muetreo y para cada incio anterior calcula ω y verifica i e cumplen o no la condicione del Teorema. 3.- Obtener la eñal recontruida uando la fórmula de interpolación de Shannon (.). Graficar la eñal original junto con u muetra y junto con la eñal recontruida para cada incio y explicar i e obtienen lo reultado eperado y i no e aí explicar por qué. ω ω.4.- La Inverión del Muetreo (Recontrucción de Señale). Al proceo invero del muetreo e le denomina recontrucción de eñale, e decir, la recontrucción de eñale conite en la obtención de la eñal continua f ( t ) a partir de la ecuencia de muetra {..., f ( h), f ( h), f (), f ( h), f ( h),...}.4..- El Recontructor de Shannon. La fórmula de interpolación de Shannon (.) e el mejor método de recontrucción en el entido de que logra una recontrucción perfecta cuando e cumplen la condicione del teorema del muetreo y e aplica en la forma ideal en que etá expreada. Sin embargo, como ya e dijo ante, la mayor deventaja de ete recontructor e que e trata de una fórmula no caual y por lo tanto no e recomienda u uo para itema de control en tiempo real. Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE

24 Capítulo. Modelado del Proceo de Muetreo Por eta raón e conveniente diponer de método meno exacto pero cauale como lo que e decriben a continuación En la figura.8a e muetra una recontrucción perfecta de una eñal utiliando la fórmula de interpolación de Shannon. Al diminuir la frecuencia de muetreo comienan a aparecer alguno errore en la recontrucción como e oberva en la figura.8b..5 f(t) original f(kh) f(t) recontruida.5 f(t) original f(kh) f(t) recontruida (a) (b) Fig..8.- Recontrucción con la fórmula de Shannon a) Cao >. b) Cao <. ω ω ω ω.4..- El Retenedor de Orden Cero (Zoh). Ete e el recontructor má utiliado por u encille y conite implemente en congelar el valor de la muetra preente hata que e tiene la iguiente muetra, e decir, f ( t) f ( kh) para kh t < ( k + ) h (.) Por lo tanto, la eñal recontruida toma una forma ecalonada como e puede ver en la figura.9 en la cual e muetra la recontrucción de la mima eñal que en la figura.8..5 f(t) original muetra f(kh) f(t) recontruida Fig..9.- Recontrucción con el retenedor de orden cero. Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE

25 Capítulo. Modelado del Proceo de Muetreo El retenedor de orden cero no olamente e utilia para recontruir eñale. E utiliado también para retener el valor de la muetra a la entrada de lo convertidore analógico a digital mientra e realia la converión. En ete cao el bloque de muetreo y retención van junto como e muetra en la figura. witch analógico - + Muetreador Retenedor de orden cero Fig.. Primera etapa de un convertidor A/D El Retenedor de Orden Uno (Foh). Ete retenedor une la muetra actual con la muetra iguiente mediante una línea recta cuya pendiente e igual a la línea que une la muetra paada con la preente, e decir, [ ] f ( kh) f ( k ) h f ( t) f ( kh) + ( t kh) para kh t < ( k + ) h (.) h En la figura. e muetra la recontrucción de la mima eñal de la figura.9 mediante el retenedor de orden uno. f(t) original f(kh) f(t) recontruida Fig...- Recontrucción con el retenedor de orden uno. Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 3

26 Capítulo. Modelado del Proceo de Muetreo El Retenedor Poligonal Lo pico de error generado por el retenedor de orden uno e deben a que e un extrapolador, ya que predice el comportamiento rectilíneo entre una muetra y la iguiente baado en la recta que une la muetra actual con la anterior. Si en lugar de eta idea uamo un interpolador que una la muetra actual con la iguiente mediante una recta obtenemo el retenedor poligonal iguiente [( + ) ] [ ] f k h f kh f ( t) f ( kh) + ( t kh) para kh t < ( k + ) h (.) h En la figura. e muetra una recontrucción típica utiliando ete retenedor poligonal..5 f(t) original f(kh) f(t) recontruida Fig.. Recontrucción con el retenedor poligonal. Obérvee que la ecuación (.) e no-caual, por lo tanto ete retenedor tampoco puede implementare en tiempo real..5.- Confuión de Frecuencia o Aliaing. Cuando e muetrean eñale periódica e poible que aparecan frecuencia lenta en la eñal muetreada que no etaban preente en la eñal original. Para explicar ete fenómeno repaaremo qué e una eñal periódica y etudiaremo el cao má encillo en el que la eñal periódica contiene una ola frecuencia (eñal inuoidal pura). Una eñal analógica f ( t ) e dice periódica cuando exite una contante poitiva T tal que f ( t) f ( t + nt ) con n, ±, ±,... (.3) Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 4

27 Capítulo. Modelado del Proceo de Muetreo A la contante T má pequeña que cumple lo anterior e le llama el periodo fundamental de f ( t ). Por ejemplo, la eñale inuoidale f ( t) in( t) y g( t) co( t) on periódica y u periodo fundamental e T π radiane, ya que in( t) in( t + nπ ) con n, ±, ±,... (.4) co( t) co( t + nπ ) con n, ±, ±,... (.5) Ejemplo: La inuoide de frecuencia ω (rad/eg) dada por f ( t) in( ωt) e periódica pueto que de acuerdo a (.4) f ( t) in( ωt) in( ωt + nπ ) con n, ±, ±,... E decir, f ( t) π π in( ω( t + n)) f ( t n) con n,,,... ω + ω ± ± π Por lo tanto u periodo fundamental e T ω En forma imilar para el cao de eñale dicreta: Una eñal de tiempo dicreto f ( kh ) e dice periódica cuando exite un entero poitivo N tal que f ( kh) f ( kh + nnh) con n, ±, ±,... (.6) A la contante N má pequeña que cumple lo anterior e le llama el periodo fundamental de f ( kh ). Ahora conideramo el muetreo de una eñal analógica inuoidal f ( t) in( π f t), el cual conite en convertir la eñal f ( t ) a u muetra f ( kh ), e decir, f ( kh) in( π fkh) Seguirá iendo periódica la eñal depué del muetreo?.5..- Tre propiedade fundamentale de la eñale inuoidale muetreada. Para que una eñal de tiempo dicreto f ( kh ) ea periódica debe exitir un entero N tal que f ( kh) f (( k + N) h) para todo entero k (.7) E decir, para el cao de la eñal inuoidal debe exitir un entero N tal que in( π fkh) in( π f ( k + N) h) in(π fkh + π fnh) Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 5

28 Capítulo. Modelado del Proceo de Muetreo Comparando con (.4) obtenemo que fnh ±, ±,... e decir, fnh debe er un entero, lo cual e impoible cuando fh e un número irracional. Propiedad.- La eñal inuoidal muetreada in( π fkh) no neceariamente e periódica. Ejemplo: En cuál de lo iguiente cao la eñal inuoidal muetreada in( π fkh) e periódica? (coniderar h) a) Para f. b) Para f. c) Para f π d) Para f Solución: olamente en lo incio (a) y (b) e cumple que fh e racional por lo tanto olo en eo cao la inuoide e periódica. Propiedad.- La inuoide muetreada cuya frecuencia etán eparada un múltiplo de ω (o bien un múltiplo de f ) on idéntica. En efecto, in(( ω + nω ) kh) in( π ( f + nf ) kh) in(π f kh + π nf kh) in(π f kh + π nk) in( π f kh) in( ω kh) En otra palabra, la inuoide de frecuencia ω, ω + nω, con n, ±, ±,... (o bien, f, f + nf, con n, ±, ±,... ) dan exactamente el mimo reultado depué del muetreo. Por eta raón e dice que la frecuencia ω + nω (.8) on ALIAS de la frecuenciaω o bien, la frecuencia f + nf (.9) on un ALIAS de la frecuencia f. Propiedad 3.- La máxima frecuencia poible de una inuoide muetreada e ω / ω (o bien f / ). N Eto e conecuencia de la propiedad anterior, ya que cualquier frecuencia ω mayor que ω / e puede ecribir como ω ω + nω para algún entero n donde ω puede er poitiva o negativa, pero etá en el rango ω < ω /. Ver la figura.3 Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 6

29 Capítulo. Modelado del Proceo de Muetreo ω ω ω ω + ω 3ω ω ω + nω Fig..3. Expreando una frecuencia ω como x ω ω ω 3ω E decir, cualquier frecuencia ω mayor que ω / e el alia de una frecuencia ω en el rango ω / < ω ω /. En otra palabra, la única inuoide muetreada poible tienen frecuencia en el intervalo fundamental iguiente ω ω f f < ω o bien, < f (.) Ejemplo. Sea la frecuencia ω 75 rad/eg, con ω rad/eg, como ω no cumple con (.), debe er el alia de otra frecuencia que i lo cumpla, ea frecuencia e debe ecribir como (.8), e decir, ω ω + nω, en ete cao ignifica que 75 ω + n() para algún valor de n, ±, ±,..., en ete cao, con n, e obtiene ω 5rad/eg Frecuencia normaliada de inuoide muetreada. Cuando e muetrea la inuoide f ( t) in( ωt) in( π ft) e obtiene la inuoide muetreada f ( kh) in( ωkh) in( π fkh) la cual e puede reecribir como f ( k) in( ˆ ωk) in( π fk ˆ ) (.) ω Donde ˆ ω ωh y ˆ f f fh on la frecuencia normaliada de la eñal F F muetreada (y u unidade on radiane/muetra y ciclo/muetra repectivamente). Obérvee que lo intervalo fundamentale dado por (.) en el cao de frecuencia normaliada e convierten en ˆ π < ˆ ω < π o bien, < f < (.) Ejemplo: Si la iguiente inuoide continua e muetrean uando una frecuencia de muetreo de F Kmuetra / eg : f ( t) co(45 πt), f ( t) co(4 πt), f ( t) co(95 πt). 3 Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 7

30 Capítulo. Modelado del Proceo de Muetreo a) En que eñale e convierten? b) Cuál e la frecuencia en Hert de la eñale analógica? c) Calcular la frecuencia en el intervalo fundamental de la eñale muetreada. d) En qué cao e obtiene un alia de la frecuencia original? Solución: a) Al muetrear lo único que e cambia e t por kh, e obtienen la eñale muetreada iguiente: f ( kh) co(45 π kh), f ( ) co(4 ) kh π kh, f ( ) co(95 ) 3 kh π kh. b) Como f ( t ) co(45 πt ) co( π (5) t ) u frecuencia e de 5 H Como f ( t ) co(4 πt ) co( π (7) t ) u frecuencia e de 7 H Como f 3 ( t ) co(95 πt ) co( π (465) t ) u frecuencia e de 465 H c) Normaliando la frecuencia con F muet / eg, e decir, h. eg / muetra e obtiene f ( k) co(.45 π k), f ( k) co(.4 π k), f ( k) co(9.5 π k). 3 Calculando de qué frecuencia (en el intervalo fundamental) on alia: f ( k) co(.45 π k) co( π (.5) k ). En ete cao f ˆ.5 ciclo/muetra etá en el intervalo fundamental y no e un alia. f ( k) co(.4 π k) co( π (.7) k ) co( π (.3) k ) co( π (.3) k ) por lo tanto, en ete cao f ˆ.3ciclo/muetra. E decir,.7 e un alia de -.3. f ( co(9.5 3 co( π (4.76) ) co( π (5.4) ) co( π (.4) ) por lo tanto, en ete cao f ˆ.4 ciclo/muetra. E decir, -.4 e un alia de 4.76 d) Convertimo a frecuencia en Hert multiplicando por F muet / eg : (.5ciclo/muetra)*(muetra/eg) 5 Hert (no e alia) (-.3ciclo/muetra)*(muetra/eg) -3 Hert (alia) (-.4ciclo /muetra)*(muetra/eg) -4 Hert (alia) Como era de eperare, ólo en el egundo y tercer cao e obtuvieron alia, ya que olo en eo cao e viola la hipótei del teorema fundamental del muetreo. Tarea No. a) Verificar mediante la graficación de la inuoide continua iguiente f( t) co( π Ft ), f( t) co( π Ft ) donde F /8 H y F -7/8 H junto con u muetra a raón de F muetra/eg. (ver figura.4) que amba inuoide producen la mima muetra (y por lo tanto una e el alia de la otra). b) Cuál e la frecuencia de la inuoide dicreta obtenida? Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 8

31 Capítulo. Modelado del Proceo de Muetreo.5 F H F /8 H F -7/8 H Fig..4. Solución del incio (a) de la Tarea No. Ejercicio:.- A qué frecuencia e deberá muetrear la eñal f ( t) in( πt) para que ea un alia de f ( t) in(.4 πt)? Verificarlo graficando la do eñlae junto con u muetra a la frecuencia de muetreo calculada. 3ω.- La eñal modulada f ( t) in(4 ωt)co( ωt) e muetreada con f. Determina π la frecuencia (en Hert) que etarán contenida en la eñal muetreada Prefiltrado Antialiaing Una manera de aegurar que la componente de alta frecuencia de la eñal a muetrear no generen alia al muetreare e evitando que contenga frecuencia mayore a ωn ω /, eto e puede lograr mediante un filtro analógico paa baja previo a la etapa de muetreo (ver figura.5) cuya frecuencia de corte ea ω ωc ωn donde ω e la máxima frecuencia que no interea conervar de la eñal original. f(t) Filtro antialiaing Etapa de muetreo del convertidor A/D Fig..5. Prefiltrado analógico anialiaing. f(k) libre de alia Un filtro paa baja de egundo orden con frecuencia de corte ωc que puede er utiliado con ete fin e muetra en la figura.6. La función de tranferencia de ete filtro e la iguiente Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 9

32 Capítulo. Modelado del Proceo de Muetreo H ( ) ω c + ζωc + ωc Si e elige ζ / e tiene una repueta de frecuencia máximamente plana en la banda de pao. v i (t) R R C R C - + v o (t) Fig..6. Filtro paabaja de egundo orden. 3 Lo capacitore del filtro motrado en la figura.6 e deben elegir como C C y ζ C C para un valor de capacitancia C dado. El diagrama de Bode de Magnitud 3ζ correpondiente a ete filtro e muetra en la figura.7. Magnitud (db) Diagrama de Bode (Magnitud) -8 Fig..7. Repueta de frecuencia de la magnitud de ganancia del filtro paabaja de egundo orden. ω c Frecuencia (rad/eg) Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 3

33 Capítulo 3. Modelado de Sitema de Control Digital Capítulo 3 Modelado de Sitema de Control Digital 3..- Modelado dede el punto de vita de la computadora. Si no ubicamo en el lugar del algoritmo dicreto que e ejecuta en la computadora en el diagrama báico de un lao de control digital directo (ver figura 3.) podemo obervar que dede ete punto de vita, el proceo a controlar e comporta como un itema cuya entrada manipulable e la eñal dicreta u( k ) y cuya repueta e la eñal dicreta y( k ) Reloj y(t) A / D y(k) u(k) u(t) D / A Algorri ittmo dicrretto Proceo Continuo y(t) Computadora Fig. 3.. Algoritmo dicreto controlando un proceo continuo E decir, dede el punto de vita de la computadora, el proceo e comporta como e muetra en la figura 3. Computadora y(k) u(k) u(t) Proceo y(t) y(k) D / A Continuo A / D Algorri ittmo dicrretto Figura 3.. Punto de vita de la computadora O ea que la computadora ve al proceo continuo como i fuera otro itema que procea entrada dicreta y produce alida dicreta y por lo tanto debiera admitir un modelo dicreto Obtención de modelo dicreto a partir de modelo continuo. En eta ección e aborda el problema de obtener una repreentación dicreta adecuada a partir del modelo continuo lineal con coeficiente contante de un proceo dado. Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 3

34 Capítulo 3. Modelado de Sitema de Control Digital El problema de la obtención de un modelo dicreto para un itema continuo iempre implica introducir alguna upoicione obre lo que ocurre entre un intante de muetreo y el iguiente (información que no e tiene) por lo cual ningún modelo dicreto puede repreentar de manera exacta todo lo que ocurre en un itema continuo. Para aclarar ete punto partiremo de un cao particular encillo y a partir de ete cao obtendremo alguna generaliacione Modelo dicreto invariante al ecalón para un itema continuo de primer orden. Supondremo que el proceo continuo e un Sitema Lineal Invariante en el Tiempo (SLIT) de primer orden cuya entrada e u( t ) y cuya alida e y( t ), entonce u modelo etá dado por la iguiente función de tranferencia Y ( ) b Gp ( ) (3.) U ( ) + a Donde Y ( ), U ( ) denotan la Tranformada de Laplace de la alida y la entrada repectivamente y donde a y b on número reale contante. En el cao en que a e poitiva, u único polo p a e negativo y el itema e etable, reulta conveniente ecribir el modelo como igue K Gp ( ) (3.) T + Donde K b / a e la ganancia del itema y T / a e la contante de tiempo del itema La ecuación diferencial correpondiente al modelo (3.) e la iguiente Donde yɺ ( t) denota la derivada de la alida repecto al tiempo. yɺ ( t) + ay( t) bu( t) (3.3) Para obtener un modelo dicreto de (3.3) conideremo que la eñale on muetreada con un periodo de muetreo h y obtengamo una expreión de y(( k + ) h) en función de y( kh ) como e ilutra en la figura 3.3. Eto equivale a reolver la ecuación diferencial (3.3) con la condición inicial y( t ) y( kh) para t kh (3.4) La ecuación (3.3) e una ecuación diferencial lineal de primer orden y u olución general e muy conocida, etá dada por t a( t t ) a( t τ ) t y( t) e y( t ) + e bu( τ ) dτ (3.5) Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 3

35 Capítulo 3. Modelado de Sitema de Control Digital La olución (3.5) no dice cuánto vale y( t ) en cualquier intante i e conoce la condición inicial y( t ) y(t) y(kh) y((k+)h) kh (k+)h (k+)h Fig. 3.3.Evolución de la alida entre intante de muetreo conecutivo. Sutituyendo en (3.5) la condición inicial (3.4) calcularemo el valor de la alida en el intante t ( k + ) h como igue ( k + ) h ah a( kh+ h τ ) y(( k + ) h) e y( kh) + e bu( τ ) dτ (3.6) La integral de la ecuación (3.6) no e puede reolver porque no e abe como evoluciona la entrada u( t ) entre intante de muetreo, a meno que upongamo algo obre u comportamiento. Supoición: Se upondrá que la entrada u( t ) no varía entre intante de muetreo. Eto podría ocurrir en la realidad de varia manera, particularmente en lo iguiente do cao: ) Si la entrada u( t ) e una eñal ecalón. ) Si u( t ) e recontruye a partir de u muetra u( kh ) mediante un retenedor de orden cero. El modelo dicreto que obtendremo e exacto en cada intante de muetreo i e cumple la upoición anterior, debido a eto, a ete modelo e le llama modelo dicreto invariante al ecalón o equivalente dicreto con retenedor de orden cero. kh y((k+)h) t Bajo la upoición anterior la ecuación (3.6) e tranforma en Reolviendo la integral ( k + ) h ah a( kh+ h τ ) y(( k + ) h) e y( kh) + bu( kh) e dτ (3.7) ( k + ) h ah b a( kh+ h τ ) y(( k + ) h) e y( kh) + u( kh) e a Evaluando en lo límite de la integral, obtenemo ah b ah y(( k + ) h) e y( kh) + ( e ) u( kh) (3.8) a kh kh Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 33

36 Capítulo 3. Modelado de Sitema de Control Digital E decir, hemo obtenido el modelo dicreto dado por la ecuación de diferencia lineal de primer orden y( kh + h) α y( kh) + βu( kh) (3.9) Donde ah b ah α e, β ( e ) (3.) a o bien, en término del polo del itema p a ph b ph α e, β ( e ) (3.) p Ejemplo: Obtener el modelo dicreto invariante al ecalón para el itema continuo dado por la iguiente función de tranferencia. Coniderar un periodo de muetreo h Gp ( ) + Solución: En ete cao a b. Sutituyendo en (3.), obtenemo α e, β e ( ) Por lo tanto el modelo dicreto queda y(( k ) h) e + y( kh) + ( e ) u( kh) E decir, aproximadamente y(( k + ) h).3679 y( kh) +.63 u( kh) La imulación de ete cao de itema continuo y u equivalente dicreto e motraron en el capítulo. En la figura 3.4 e muetran nuevamente la repueta de ambo itema a un ecalón unitario. En eta ocaión e enciman la grafica para que e oberve la perfecta coincidencia de ambo modelo en lo intante de muetreo..8 y(t) y(k) Repueta al ecalón unitario.6.4. t Fig Repueta al ecalón unitario del itema de primer orden continuo y u equivalente dicreto El operador corrimiento. Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 34

37 Capítulo 3. Modelado de Sitema de Control Digital Ante de abordar el problema de la obtención de modelo dicreto para itema má generale introducamo una notación que ayudará a implificar la repreentación de lo itema dicreto. Se define el operador corrimiento o adelanto unitario que e denotará como q de manera que para cualquier eñal dicreta x( kh ) qx( kh) x( kh + h) (3.) En forma imilar e define el operador retardo unitario o corrimiento hacia atrá denotado q de manera que qx( kh) x( kh h) (3.3) Ambo operadore e pueden aplicar de manera repetida, por ejemplo q x ( kh ) q ( qx ( kh )) qx ( kh + h ) x ( kh + h ) En forma imilar q 3 x( kh) x(( k + 3) h), o bien, q 3 x( kh) x(( k 3) h), etc Diagrama de imulación. Una de la ventaja del operador retardo e que ete puede implementare fíicamente o imulare en una computadora. Alguno imuladore como Simulink permiten definir una imulación mediante diagrama de bloque. Aí por ejemplo, baándono en el bloque báico de retardo unitario motrado en la figura 3.5 podemo contruir diagrama de imulación de itema dicreto. x(kh) q - x(kh-h) Fig Bloque del operador retardo unitario Ejemplo: El diagrama de imulación para el itema de primer orden dado por la ecuación (3.9) y( kh + h) α y( kh) + βu( kh) e puede obtener obervando lo iguiente: ) Si la alida de un bloque de retardo e y( kh ), la entrada debe er y(( k + ) h) ) Entonce eta entrada puede obtenere de la ecuación original (3.9) Aplicando eta idea e obtiene el diagrama de la figura 3.6. u(kh) β + + x((k+)h) q - x(kh) Fig Diagrama de imulación del itema dicreto de primer orden. Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 35 α

38 Capítulo 3. Modelado de Sitema de Control Digital En Simulink ólo hay alguna diferencia: la apariencia de alguno bloque, la manera en que e define el periodo de muetreo, la manera en que e definen entrada y alida y epecialmente que en lugar del ímbolo q - e ua el ímbolo /. En la figura 3.6 e muetra el diagrama correpondiente en Simulink aí como el reultado de la imulación. Fig Simulación del itema de primer orden dicreto en Simulink. A continuación e preentarán enfoque alternativo aproximado pero má encillo para la obtención de modelo dicreto de itema continuo Aproximación de la derivada por diferencia finita. Una manera cláica de aproximar la derivada de una función y( t ) conociendo do punto de dicha función e mediante la pendiente de la recta que une dicho punto como e muetra en la figura 3.7 y e puede exprear como dy( t) y y( t + t) y( t) yɺ ( t) (3.4) dt t t y(t) Pendiente exacta y(kh+h) y(kh) kh Pendiente aproximada t (k+)h Fig Aproximación de la derivada. y t Aí, i deeamo aproximar la derivada (pendiente de la recta tangente) en t kh, con t h, utituyendo en (3.4) e obtiene Autor: Joé Juan Rincón Paaye. UMSNH-FIE 36