Academia PITÁGORAS. Academia PITÁGORAS MATEMÁTICA

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1 MATEMÁTICA 0. Sean a y b números reales positivos tal que. Indique la alternativa a % b ' correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado. I. a es irracional si y solo si b es irracional. II. ab = si y solo si a + b = III. a < implica que b < A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FVV 0. Halle la suma de los dígitos del radicando, donde la diferencia de los dígitos del residuo es, además se tiene la siguiente información: donde cada indica un dígito. A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 0. Un comerciante adquiere tipos de té: corriente, superior y extra en cantidades de 0, 0 y "x" kilogramos respectivamente, a los precios (en soles por kg) de 8, 0 y 6, en ese orden. Para la venta a sus clientes mezcla los tres tipos de té, cuyo precio medio es S/.,00. Calcule la diferencia entre el precio de venta y el precio medio que permite obtener una utilidad de S/. 60,00. A) B) C) D) E) 0. Se tiene un grupo de 7 hombres y mujeres. Si se va a elegir una comisión de personas, determine la probabilidad de que la comisión esté integrada al menos por hombre. A) B) C) D) E) Indique cuántos de los números 0, 0,, 0, 0 7 son pares. A) B) C) D) E) 06. Halle el valor de a y n si se cumple [ (n) ] = aa (n), n < Dé como respuesta a + n. A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 07. Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F), según el orden dado. I. (œ a, b 0 ù): Si a > b >, entonces n j ak > j b k, n 0 Z + k' n k' II. (œ a, b 0 ù)(œ c 0 Z): Si a > b, entonces ac > bc III. (œ a, b 0 Z): a + b $ ab A) VVV B) VVF C) VFV D) FFF E) VFF 08. Halle la suma de las cifras del menor número entero positivo N, sabiendo que admite sólo dos divisores primos, el número de divisores simples y compuestos es 6 y la suma de ellos es. A) B) C) D) E) 9 x% 09. Sea f(x) =, x > /. Halle la x& función inversa de f denotada por f*, e indique su dominio y rango. x% A) f*(x) =, x& Dom(f*) = <; >, Ran(f*) = <-; > x& B) f*(x) =, x& Dom(f*) = <; >, Ran(f*) = ; x% C) f*(x) =, x& Dom(f*) = <; >, Ran(f*) = ; x% D) f*(x) =, x& Dom(f*) = ú\{}, Ran(f*) = ; x% E) f*(x) =, x% Dom(f*) = <; >, Ran(f*) = ; 0. Sea f una función cuya regla de correspondencia es f(x) = Log / (- x ). Halle el rango de la función f. A) <-, +> B) <0; +> C) [-; ] D) [-; +> E) [; +>. Resuelva la ecuación: ( iz + + z+ i ) z + i = 0, z 0 Dé como respuesta la suma de los módulos de las raíces. A) B) C) 6 D) 8 E) 0. Sea f: ú! ú una función lineal no constante, S un conjunto que se muestra en la figura y sea p 0 S. Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. mínf(x) = f(p) x0s II. III. mínf(x) < f(p) x0s máxf(x) = f(p) x0s IV. máxf(x) > f(p) x0s A) FFFF B) VFVF C) FVFV D) VVFF E) VFFV. Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que A = 0, pero A 0. Al respecto, se tiene las siguientes afirmaciones. I. A + A es matriz que no tiene inversa. II. I-A, I matriz identidad, es una matriz que no tiene inversa. III. I + A es una matriz que tiene inversa.

2 Indique las afirmaciones correctas. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) I y III 0 0. Sean f y g funciones reales de variable real definidas como: x x & & f(x)' / x y g(x) ' & x & x & & x Entonces la cantidad de valores de x para los cuales f(x) = g(x) es: A) 0 B) C) D) E). Sean A = a una matriz, y b c una matriz triangular inferior S de términos positivos tal que S S T = A. A) <-, > B) &, 7 C) <-; > D), 7 E) &, 7 8. Luego de resolver la inecuación: ( - x - - x ) ( x - + x - ) # x - obtenga la suma de los enteros que no pertenecen a su conjunto solución. A) B) C) 6 D) 7 E) 8 9. Sean {a n }, {b n } y {c n } sucesiones tales que: a n (&) n a n (&) n b n = y c n =. c n b n A) Z = 00x + 90x x + x # 800 x + x # 000 x, x 0 ù B) Z = 90x + 00x x + x # 800 x + x # 000 x, x 0 ù C) Z = 800x + 90x x + x # 800 x + x # 000 x, x 0 ù D) Z = x + x x + x # 90 x + x # 00 x, x 0 ù. Dada una circunferencia de radio u y centro en el punto (; ), determine la longitud (en u) de la porción de la tangente trazada del origen de c o o r d e n a d a s X Y a d i c h a circunferencia. A) B) 7 C) 9 D) E). En la figura mostrada, AC y BD se cortan en el punto "O". Sabiendo que AB + BC + CD + DA = 0. Determine el intervalo de mayor longitud, al cual pertenece K = AC%BD 0 Calcule K = traza(s) a%b%b A) / B) C) / D) E) 6. Determine el conjunto S = x0ú: x%& x& <0 x& A) <, > B) [, > C) [, ] D) <-, > E) [-, > 7. Indique el conjunto solución de la inecuación: - < x& x% < Determine el valor de: E = j (a n + b n - b n- + c n ) n' Sabiendo que: j a n = n' A) - B) 0 C) / D) E) 0. Se desea producir anillos de dos tipos A y B. Para cada unidad de anillo de tipo A se empleará gr de oro y gr de plata, y para el de tipo B se empleará gr de oro y gr de plata. Se venderán a S/. 00 y S/. 90 respectivamente cada unidad. Si se cuenta en almacén con 800 gr de oro y 000 gr de plata cuál será la función objetivo y las restricciones del problema de programación lineal que permita maximizar la ganancia? E) Z = x + x x + x # 800 x + x # 000 x, x 0 ù. Recortando las esquinas de una hoja de cartón de forma cuadrada, se construye un prisma (sin tapa) de base cuadrada. Si el lado del cartón mide R cm, determine (en cm ) el volumen de dicho prisma. Sabiendo que la base del prisma mide "x" cm. A) x(r-x) x B) (R-x) x C) (R-x) D) x (R-x) E) x (R-x) A) B) C) ; ; ; D) <; > E) <; >. En la siguiente figura: Calcule mëabc en términos de α y β.

3 α%β α%β A) 90 - B) 90 - α%β C) D) α + β α%β E) Dada la siguiente figura MN = u, NP=7 u, O el centro de la circunferencia. Calcule el volumen (en u ) del cilindro recto. A) 8π B) 90π C) 80π D) 00π E) 0π 6. Calcule a qué distancia del centro de una esfera de radio r = ( + ) m se debe seccionar con un plano para que la diferencia de las áreas de los casquetes esféricos determinados sea igual al área de la sección que divide a la esfera en dichos casquetes. A) 0,6 m B) 0,8 m C) m D), m E), m 7. Se tiene un rectángulo cuyos lados miden m, m y una recta en el espacio paralela al plano del rectángulo. Desde dos puntos de la recta se trazan perpendiculares a dicho plano, los pies de estas perpendiculares están en una diagonal del rectángulo. Halle el ángulo de la recta con la otra diagonal del rectángulo. A) arc cos(/) B) arc cos(/) C) arc cos(6/) D) arc cos(7/) E) arc cos(9/) 8. Se tienen polígonos regulares cuyas sumas de ángulos internos difieren en 60 y cuyos ángulos centrales difieren en. El número de lados del polígono más pequeño es: A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 9. En la figura, si β = α + θ, AB = RC. Entonces se cumple: A) β + θ = 90 B) α + θ = 90 C) β + θ = 80 D) α + β = 80 E) α + β = En un trapecio ABCD (BC//AD) se tiene que AB = cm, BC = 6 cm, CD = 7 cm y AD = 0 cm. Un segmento limitado por los lados no paralelos, determina dos trapecios. Calcule la longitud de dicho segmento, en cm, si las regiones limitadas por los trapecios mencionados tienen igual perímetro. A) 6/ B) 6/ C) 6/ D) 6 E) 7. Según el gráfico AM = u, AC = u y AB = u. Calcular BC (en u). A) B) 7 C) D) 6 E) 7. En cuánto excede la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras de un dodecaedro regular, a la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras de su poliedro conjugado. A) 600 B) 880 C) 600 D) 880 E) 600. Determine el conjunto solución de la inecuación arc sen(x) -arc tan(x)<0 A) <-; 0] B) <-; > C) <0; > D) [0; ] E) <-; ]. Una araña se encuentra ubicada en el vértice superior de una caja, de dimensiones m, m y m. En el otro extremo de la diagonal de la caja está una mosca. La araña se dirige a la mosca recorriendo una distancia mínima sobre la superficie de la caja. Calcule el menor ángulo que forma la ruta de la araña sobre la tapa con una arista de la caja. A) arc tan(/) B) arc tan(/) C) arc tan(/) D) arc tan(/6) E) arc tan(6/7). Determine la medida de un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por el punto de intersección de las rectas L : y + x - 6=0 y L : x + y + 6=0 A) B) 60 C) 0 D) E) 6. En la figura mostrada, para qué valor de θ el área sombreada es mínima? A) π/ B) π/8 C) π/6 D) π/ E) π/ 7. Halle las coordenadas del punto P que pertenece a la elipse de la figura: 6

4 A) & B), C) & D), E) &, &, &, 8. En la circunferencia trigonométrica de la figura mostrada, el ángulo θ está en posición normal. Determine el área de la región triangular SOB. 9. Simplifique: K = (Cot60 %Tan7 )(Cot60 %Tan ) A) B) C) D) 6 E) 0. La distribución diaria de luz solar durante el año en Lima está dada por una función de la forma f(t) = ASen(ω(t-α)) + β horas donde "t" es el número de días transcurridos del año. El día más largo tiene h de luz, el día más corto 0 h, y se sabe que el de febrero hubo h de luz. Cuál de las siguientes funciones describe explícitamente f(τ)? 0. Tenemos: a % '; a, b 0 ú+ b I. a es irracional si y solo si b es irracional. ( ) Sea a irracional, supongamos que b sea racional, entonces b podemos despejar a =, pero b& al ser b racional resulta que a sería racional ( }) Por lo tanto b tiene que ser irracional (}) Si b es irracional, se repite dualmente el paso anterior. Por lo tanto (I) es verdadera RESOLUCIÓN 0. Reconstruyendo la operación: A) %Senθ &Senθ B) &Senθ %Senθ C) D) E) &Senθ %Senθ %Senθ &Senθ %Cosθ &Senθ π A) Sen + 6 (τ&) π B) Sen + 66 (τ&) π C) Sen + 6 (τ&) π D) Sen + 6 (τ&) π E) Sen + 66 (τ&) II. ab = si y solo si a + b = Del dato: a+b= ab a % b ' de donde resulta que a+b=øab= Por lo tanto (II) es verdadera III. Si a < implica b < consideremos a = <, tenemos: % = b = ã b Por lo tanto (III) es falsa Suma de cifras del radicando: = 7 0. De los datos: También: PESO 0 kg 0 kg x kg PRECIO S/. 8 S/. 0 S/. 6 P m ' 0(8)%0(0)%6x ' 0%0%x De donde: x = 60 kg Peso total: = 0 kg Si queremos una utilidad de S/. 60, en kg se debe ganar: 7 8

5 60 = soles 0 entonces P V = S/. 6 Nos piden: ˆ P V - P m = 6 - = S/. suma 0! = (impar) cifras suma 0 7! = (par) cifras Entonces, solo hay números pares. x% 09. Tenemos: f(x) =, x > x& Despejando x: y% x = y& x% f*(x) = y = x& 0. 7 hombres mujeres TOTAL Piden la probabilidad que la comisión de personas (integrada al menos hombre) Entonces, calculamos los casos favorables: H M w H M w H Luego, el total de casos: C ' 6 Finalmente: ˆ P' Por paridad de un número, para una base impar solo será necesario sumar sus cifras. suma 0! = 8 (par) cifras suma 0! = 7 (impar) cifras suma! = (impar) cifras 06. o er orden: = =... n = n + Para que termine en en base n, n debe ser divisor de ( < n < ), entonces n es 6 u 8: i. n = 6; 6 6 = 6 (cumple) ii. n = 8; 8 8 = 8 (no cumple) a = ; n = 6 Piden: a + n = I. Verdadera (œ a, b 0 ù): Si a > b >, entonces: n ' k' n a k > ' b k, n0z % k' Pongamos: II. Falsa (œ a, b 0 ù)(œ c 0 Z): si a > b Y ac > bc Consideremos a =, b =, c = -, se tiene ac = (-) < ()(-) = bc III. Verdadera (œ a, b 0 Z): a + b $ ab Sabemos que ( a - b ) $0, de donde: a + b $ a b Y a + b $ ab 08. El número tiene solo dos divisores primos y 6 divisores en total, entonces: La suma de sus divisores es : SD N = a & a& b & b& ' de donde: a = ; b = (única) N = = 0 Suma de cifras: + 0 = Calculemos Dom(f*) = Ran(f) x% f(x) = = + x& x& x > x > - x - > 0 Inv. > 0 x& > 0 + x& f(x) = + > x& Ran(f) = Dom (f*) = ]; +[ Por consiguiente: x% f*(x) = ; Dom(f*) = ]; +[ x& 0. f(x) = Log (- x ) consideremos; según el dominio de f: 0 < - x # Log (Z) f(x) = Log (- x ) $ - Ran(f) = [-; +[ 9 0

6 . Tenemos: ( iz + + z+i ) z+ i = 0, z 0 Pongamos: III. máx f(x) = f(p) es falsa x 0 S IV. máx f(x) > f(p) es verdadera x 0 S. Sean: x f(x) = / x ' x 0 x &x% iz + + z + i = 0 w z+ i = 0 (z = i v z = i) w (z = -i) Por lo tanto; las raíces son: z = i, z = -i Suma de módulos = + = 6. Tenemos: f: ú! ú función lineal no constante y p 0 int (S). A 0 K n n tal que: A = 0 v A 0 I. A + A no tiene inversa Como A = 0, entonces si tomamos determinante, resulta que: A = 0 A = 0 A = 0 Ahora A + A = A(I + A), tomando determinante: A+A = A I+A = 0 ÆÈÇ 0 Por lo tanto A + A no tiene inversa Así la proposición (I) es verdadera. II. I - A no tiene inversa Pongamos: I = I-A = (I - A)(I + A + A + A ) ÆÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÈÅÅÅÅÅÅÅÅÅÇ inversa de (I-A) Por lo tanto (II) es falsa x & & g(x) = / & x & ' x 0& & x &x&. A = La condición es: f(x) = g(x) x - x + = x - x - a b c Y x 0 Φ ' S.S T A = S.S T Y A T = (S.S T ) T = (S T ) T. (S T ) A T = S.S T Y A = A T Rpta. A Según el gráfico S es una región acotada y como f es función lineal (continua), entonces f(s) admite un mínimo y máximo en algunos de los vértices de S. Luego respondamos: I. mín f(x) = f(p) es falsa x 0 S II. mín f(x) < f(p) es verdadera x 0 S III. I + A sí tiene inversa Pongamos: I = I - A = (I-A )(I+A ) ÆÈÇ inversa de I + A Por lo tanto (III) es verdadera Rpta. E A = = Y a = b = c = m 0 0 m n q n p 0 q r s m, n, p, q, r, s 0 ú + = m Y m = 0 p r 0 0 s x%& x& 6. S = x0ú/ < 0 x& (A) x + $ 0 v x - $ 0 v x - 0 x $ -/ v x $ v x Y x 0 [; +> - {} (B)

7 8. - x = x - - x = x - x% x& < 0 Finalmente: [; +> - {} <-; > = [; > Se observa: a + x + a = R a = R&x Rpta. E x& 7. - < x% < x& - < < - x% & & 7 < &7 x% < & < 7 x% < 7 7 < x% 7 < < x + < <x< 7 7 ˆ x 0 ; Y C.S = <-; -] c [; +> Enteros que no pertenecen al C.S 9. b n = a n - (-) n c n c n = a n - (-) n b n a + a + a = 0. Sean las cantidades x v x de anillos para A y B, respectivamente. x + x # 800 x + x # 000 ˆ Z = 00x + 90x Rpta. A V = x.x. ˆ V = R&x x (R-x). Corrección: El lado de la base es x.

8 . Graficando: Propiedad: p < x+y < p 0 < x+y < < x%y 0 < 0 0 < K < ˆ K 0 <; >. LBS: a = (R-x)(R+x) a = R - x Rx = R - x x + Rx = R x + Rx + R = R ÆÅÅÅÅÅÅÅÅÅÈÅÅÅÅÅÅÅÅÅÇ (x+r) = R. APN ~ 7 R ' R R = R = NMO Reemplazando: x = R( - ) x = (+ )( -) ˆ x = Calcular: OT OC = % = 6 Por el teorema de Pitágoras = OC CT + OT 6 = 9 + OT ˆ OT = 7 6. Nos piden: V = πr () V = π ˆ V = 0π Rpta. E 7.. Dato: a+b+c+d = 0 = p sea AC = x; BD = y xv xv Se obs. L // L ˆ x = α + β Dato: πr(r+x)-πr(r-x)=πa πrx = πa Rx = a //AC x es el ángulo entre y BD el ángulo entre AC y BD x = 7 7 Cos7 = ˆ x = ArcCos 7 6

9 8. Números de lados de los polígonos: x; y Dato : 80(x-)-80(y-) = 60 ˆ x - y = Dato : 60 y & 60 x ' 7(x - y) = xy Resolviendo: x = 6 y =... (menor) Rpta. E Por Tales: BM CN ' 7 Por dato:! BM'k CN'7k. Observación: ABC: No existe. ()(80)() - 0(80) 80(6-0) = (80)(6). 9. Datos: β = α + θ AB = RC = a Por Prop.: x' (0)(/)%6(7/) (/)%(7/) ˆ x' 6 ˆ ' DO. - ' ICO. = 880. ArcSenx < ArcTanx ANM: ˆ x = ArcTan(/) Rpta. A Se traza: BR = RQ = R ABR RQC (LAL)! mëqcr = mëbar = θ En BRQ: ˆ β + θ = 80. D f : - # x # v x 0 ú - # x # Graficando:. Tenemos: L : y + x - 6 = 0 L : x + y + 6 = 0 De L v L obtenemos: P(-6; 6) 0. En la figura: se traza CD ABC ~ MBA x '! x = 6 ˆ C.S: <0; > Tan(θ) = -6/6 Tanθ = - θ = 7 8

10 Tenemos: Por Reso. ËEBA = ËBCD = θ v mëabc = 90 Luego : AB = Secθ BC = Cscθ Calculando: Secθ.Cscθ S ABC =... (Identidad Trigo.) Tanθ%Cotθ S ABC =... (θ: Agudo) Tanθ + Cotθ $ Tanθ = Cotθ ˆ θ = π/ i. En la elipse: a = b = Centro: (-; ) ii. En P, semejanza: P(-k; k) iii. E: (x%) % (y&) ' 9 Luego el punto P le pertenece a la E. Reemplazamos: Y k = (&k%) Coordenada en P: % (k&) 9 ˆ & ; ' Rpta. A * S SOB = b. b & Senθ * PQB~ SOB! =, % Senθ Senθ<0 b = %Senθ & Senθ ˆ S = 9. Simplificar: % Senθ & Senθ K = (Cot60 %Tan7 )(Cot60 %Tan ) K = (Tan0 %Tan7 )(Tan0 %Tan ) K'. Sen(%7) Cos0Cos7. Sen(0%) Cos0Cos Sen7 K'. Cos0Cos7. Sen(6) Cos0Cos K =.Sec 0 Y K = Rpta. A Y Periodo: T ' 6 Y T'6' π ω ω = π 6 Y y máx : horas (día más largo) Y y mín : 0 horas (día más corto) Entonces: * A = &0 ' * B = %0 ' Reemplazando: f(t) = Sen π (t&α) % 6 Por dato: f(t) =, para el de febrero, entonces t = (días transcurridos) Tabulando en f(t): α = π f(t) = Sen + 6 (t&) 9 0