GYMNÁZIUM BUDĚJOVICKÁ. MATEMÁTICAS. INECUACIONES Y SUS SISTEMAS. TEORÍA.

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1 GYNÁZIU BUDĚJOVICKÁ ATEÁTICAS INECUACIONES Y SUS SISTEAS TEORÍA ÍNDICE: Introducción a las inecuaciones Notación Transformaciones de una inecuación Inecuaciones y tablas de signos Inecuaciones y cambios de variable 5 Sistemas de inecuaciones con una incógnita Inecuaciones polinómicas Inecuaciones racionales Inecuaciones con valores absolutos 5 Inecuaciones irracionales

2 - INTRODUCCIÓN A LAS INECUACIONES ALGEBRAICAS - NOTACIÓN Una desigualdad es una comparación entre dos epresiones numéricas Los signos de comparación son, aunque esencialmente son de dos tipos Se leen de izquierda a derecha A < B A es menor que B A B A es menor o igual que B A B A es mayor que B A B A es mayor o igual que B El signo tiene una parte picuda y pequeña que indica el menor de los miembros La otra parte abierta y mayor indica que ese miembro es el mayor de los dos Las desigualdades pueden ser verdaderas (también llamada "cierta") si lo que indica la desigualdad es cierto, o falsas, si lo que indica la desigualdad es mentira Así, < 7 se lee tres menor que diecisiete y la desigualdad es verdadera, pues es, en efecto, menor que 7 Cuando una desigualdad tiene el signo igual incorporado, es decir, ó, éstas son ciertas si se cumple la igualdad o la desigualdad (cualquiera de las dos) Así, tanto 7 como 5 5 son desigualdades ciertas Una inecuación es una desigualdad que contiene algún número desconocido, al que se llama incógnita y se representa mediante alguna letra Las soluciones son aquellos valores del conjunto de números donde buscamos (normalmente R) que al ser sustituidos en la incógnita, convierten la inecuación en una desigualdad verdadera En general, las soluciones de las inecuaciones son intervalos o unión de intervalos, aunque pueden ser únicamente un número finito de números o incluso no tener solución alguna - TRANSFORACIONES DE UNA INECUACIÓN Las transformaciones que se pueden aplicar a una desigualdad están íntimamente relacionadas con la monotonía, es decir, con el crecimiento y el decrecimiento de las funciones que queremos aplicar como transformación Recordemos primero las nociones de crecimiento y decrecimiento Decimos que una función T ( ) es creciente en un intervalo ( a, b) si, para cada pareja de número que tomemos en el intervalo, ( a b), N, con < N, la transformación mantiene el sentido de la desigualdad, es decir, ( ) T ( N) T < Análogamente, decimos que una función T ( ) es decreciente en un intervalo ( b) de número que tomemos en el intervalo, N ( a, b) a, si, para cada pareja, con < N, la transformación cambia el sentido de la desigualdad, es decir, ( ) T ( N) T Gráficamente, una función creciente sube cuando es recorrida de izquierda hacia la derecha y es decreciente cuando baja Pero hay que tener muy en cuenta las discontinuidades, es decir, hay la función tiene que ser creciente / decreciente en todo el intervalo que estemos considerando

3 Veamos ahora cómo aplicamos funciones/transformaciones concretas a cambiar las inecuaciones según nos interese Sumar / restar un número cualquiera ( ) = + k k R T, Es creciente En efecto, si pensamos en la forma habitual de escribir esta trasformación, T ( ) + k = donde k R es un número fijo, entonces su gráfica es una recta de pendiente, que es positiva y, por tanto, creciente ultiplicar / dividir por un número Si el número a es positivo, ( ) = a a 0 T,, la función es creciente En efecto, ( ) a de pendiente a, luego positiva T =, donde a 0, a R, es una recta T = a, a, la función es Si el número a es negativo, ( ) < 0 decreciente En efecto, ( ) a T =, donde a < 0, representa una recta de pendiente a < 0 negativa y la transformación es, por tanto, decreciente Elevar al cuadrado T ( ) = Depende de dónde estemos En (,0) (, 0 es creciente, es decir, si < N < 0, entonces es decreciente y en N Si 0 < < N, entonces < N pero si tomamos < N < 0 entonces puede pasar que T mantenga el sentido de la desigualdad o que lo cambie y por tanto no se puede hacer nada Cuando estemos intentando resolver una inecuación y cada etremo tenga un signo distinto, entonces podemos probar a partir la inecuación por el 0 y trabajar con dos inecuaciones Hacer el inverso T ( ) = Es decreciente en (,0) y en (, decir, si 0, pero no en los dos juntos, es 0 < < N entonces 0 < N < Si < N < 0 entonces < 0, pero N < si < 0 < N entonces el signo de la desigualdad se mantiene, pues < 0 <, N aunque en valor absoluto no se sabe qué puede pasar Como con el cuadrado, sólo se utilizará para epresiones que sean ambas positivas o ambas negativas Si cada miembro tiene un signo distinto y estamos intentando resolver una inecuación, entonces podemos probar a partir la inecuación por el 0 y trabajar con dos inecuaciones

4 Comentario: El gran problema no es que haya más de una posibilidad en la transformación (a veces crece y a veces decrece), sino que dependiendo del valor de la variable se pueda tener una situación u otra con el valor numérico de cada miembro: < N < 0, 0 < < N ó < 0 < N y por tanto no podemos aplicar la transformación cuyo crecimiento no es siempre igual Ejemplo : Dadas las siguientes desigualdades, realizar en cada una la transformación indicada a) < 9, 5 b) 7 <, c) ( ), d) < 5, e) < 5, a) La transformación T ( ) = 5 es creciente (pensar en la recta de la función f ( ) = 5 positiva, ) Por tanto, restar 5 mantiene el sentido de la desigualdad < 9, 5 <, que tiene pendiente b) La transformación T ( ) = es decreciente en ( ; 0) y creciente en ( 0 ;, como muestra la función ( ) Como queremos aplicarla en 7 <, no podemos hacerlo Simplemente es una transformación no permitida c) La transformación T ( ) = es decreciente, como muestra la función f ( ) pendiente negativa, Así que al aplicar la transformación, la desigualdad cambia de sentido ( ), 8 < d) La transformación T ( ) = es creciente La gráfica de la función ( ) aplicar la transformación, la desigualdad mantiene el sentido < 5, 6 < 0 e) La transformación T ( ) = es decreciente en ( ; 0) f = =, cuya gráfica es una recta de f = tiene pendiente positiva Por tanto al, por tanto al aplicarla, la desigualdad cambia de sentido < 5, 5 - TABLAS DE SIGNOS Una tabla de signos es escribir, en una tabla, el signo de una o más epresiones algebraicas Entenderemos por "el signo" de una epresión algebraica, al signo de su valor numérico cuando la variable está en el intervalo correspondiente Un ejemplo sería:

5 Qué es cada cosa en una tabla de signos? Los signos + y que aparecen en la tabla son los signos que toman las epresiones de la izquierda cuando la variable,, toma valores en el intervalo que indica arriba, por ejemplo, si nos fijamos en el intervalo ( ) ;, justo bajo la flecha, y tomamos un valor de en ese intervalo, por ejemplo =, entonces, los valores numéricos de las epresiones de la izquierda tienen los signos que indica la primera columna: ( ) 0 ( ) + = = = 5 6 = = 6 0 = = ( ) = = + = < 0 ( ) + = + = = = y esto sucede así para todo ( ; ) debido a un concepto matemático llamado continuidad y un famoso teorema de un matemático checo llamado Bolzano La utilización que hagamos de la tabla de signos dependerá de cuál fuera nuestro problema inicial Veremos unos cuantos ejemplo al final de este capítulo Veamos pues cómo se elabora una tabla de signos: Las epresiones deben ser sólo epresiones lineales y cuadráticas Las de grado mayor tienen demasiadas variantes y es más trabajoso hallar su signo Sí se permiten epresiones lineales o cuadráticas que, a su vez, estén elevadas a potencias mayores Hallaremos los puntos donde las epresiones son 0 Dibujamos un punto cerrado (negro) cuando el número sí puede ser solución y abierto (blanco) si el número no se permite como solución o no está en el dominio de la función general a estudiar 5

6 Una epresión lineal a + b tiene por gráfica una recta que crece / si a 0 y decrece \ si a < 0, cambiando de signo, justo en el punto donde es 0 pendiente positiva, m 0 pendiente negativa, m < 0 Una epresión cuadrática a + b + c tiene por gráfica una parábola curvada hacia arriba si a 0 y está curvada hacia abajo si a < 0 Además, puede tener dos raíces, una o ninguna Si tiene dos raíces, hay cambio de signo en cada una de ellas Si tiene una raíz, ésta es doble y no hay cambio de signo, pero en la raíz es 0 Si no tiene ninguna raíz, el polinomio es siempre del mismo signo (en todo R) coeficiente de positivo: 0 a coeficiente de negativo: a < 0 Si aparece una epresión polinómica de grado o más, entonces debemos factorizarla como producto de polinomios de grado ó Éstos polinomios de grado ó pueden estar elevados a alguna potencia No hay que Ejemplo: confundir, por tanto, una epresión cúbica (de grado ) como + + que está desarrollada, con otra de grado uno o dos, elevada al cubo ( 5), es decir, sin desarrollar Las que están desarrolladas, hay que factorizarlas Las que están sin desarrollar, se puede elevar el signo de la base a lo que indique el eponente, utilizando la regla del producto La epresión original,, representa una recta de pendiente positiva por lo que antes del la epresión toma valores negativos y, si ( ; la epresión es positiva En la segunda tabla vemos que, al ser el eponente par, todos los signos tornan a positivos En la tercera tabla, al ser el eponente impar, los signos originales se mantienen 6

7 - CABIOS DE VARIABLE Una de las técnicas generales de resolución de una ecuación es el cambio de variable Hay muchas veces que sólo es posible resolverla con ésta técnica, pues son de grado mayor que y ninguna de sus raíces se puede hallar con el método de Ruffini Otra razón muy importante para utilizar adecuadamente el cambio de variable es que al trabajar las ecuaciones e inecuaciones no algebraicas (trigonométricas, eponenciales, logarítmicas, combinatorias, etc), el cambio de variable es una herramienta sumamente importante Es pues indispensable saber trabajar las inecuaciones con los cambios de variable Para deshacer un cambio de variable en el transcurso de resolver una inecuación hay, básicamente, dos opciones Opción : Utilizar el cambio de variable para factorizar la epresión en la variable original, y resolver la inecuación correspondiente Opción : Resolver la inecuación dando la respuesta en la nueva variable Deshacer en cada intervalo la nueva variable, que se transforma en una nueva inecuación o en un sistema de dos inecuaciones Estos se resuelven o se utilizan transformaciones, según su complejidad 5- SISTEAS DE INECUACIONES CON UNA VARIABLE Cuando el sistema esté formado únicamente por inecuaciones de una incógnita la solución será la intersección de cada una de las soluciones de las inecuaciones que lo forman Para ver mejor cuál es la intersección, se puede poner cada solución sobre la recta y tomar aquellas parte de la recta que esté en todas las soluciones (en eso consiste la intersección) También se puede hacer con una tabla de signos, pero es menos recomendable Hay dos ejemplos resueltos al final del siguiente capítulo 7

8 - INECUACIONES POLINÓICAS Las inecuaciones polinómicas son las más sencillas Hay tres técnicas fundamentales para resolver una ecuación polinómica, a saber, hallar todas y cada una de sus raíces utilizando técnicas generales de factorización (sacar factor común, Ruffini, fórmula cuadrática, etc) Cuando sepamos todas las raíces o podamos factorizar el polinomio como producto de polinomios de grado ó, entonces podremos elaborar una tabla de signos para resolver la inecuación descomponer el polinomio en producto de dos o más polinomios de grado menor utilizando que A B = 0 A = 0 B = 0 Cuando descompongamos una ecuación en un conjunto de ecuaciones, pasaremos de tener una inecuación a un sistema de inecuaciones o incluso a varios sistemas de inecuaciones En general, mucho más fácil que resolver uno o más sistemas es elaborar una tabla de signos con cada una de las epresiones que vayamos obteniendo al descomponer la inecuación original utilizar un cambio de variable Cuando utilicemos un cambio de variable, habrá que utilizar una transformación para deshacer el cambio y hallar la solución en la variable original Ejemplo : (Polinomio de grado con Ruffini, directo) Resolver la siguiente inecuación, donde R : Como el polinomio no es de ninguna forma especial, lo más lógico es escribir todos los términos en un mismo miembro y comparar el polinomio con 0 para poder hacer una tabla de signos: Necesitamos factorizar el polinomio Para ello utilizamos Ruffini dos veces Como el ± ± 8 polinomio de segundo grado + no tiene raíces reales, pues =, entonces la inecuación queda ( + ) ( ) ( + ) 0 información que ya tenemos sobre las raíces Teniendo en cuenta que la ecuación pide que el resultado del producto sea " 0", es decir, negativo o 0, entonces la solución de la inecuación es ; Elaboramos una tabla de signos, teniendo en cuenta la Ejemplo : (Inecuación ya factorizada) Resolver en R la inecuación ( 7 + ) ( 6 + 5) < 0 Esta inecuación es realmente muy sencilla de resolver El polinomio está factorizado y comparado con 0 Además, cada factor es ya un polinomio de grado, así pues podemos elaborar una tabla de signos directamente Hallemos las raíces de cada uno de los dos factores 7 9 7± 5 7± = 0 = ± = = y por tanto las raíces son y ± ± 89 ± = 0 = = = y sus raíces son y 5 8

9 Así, la tabla de signos correspondiente es: y, teniendo en cuenta que la inecuación requiere que el producto sea " < 0", es decir negativo, pero no 0, la solución es: 5 ( ; ) ( ; ) Ejemplo : (Inecuación polinómica con coeficientes simétricos) Resolver con + 0 R, la inecuación: Tenemos aquí una inecuación polinómica cuyos coeficientes son simétricos En este caso sabemos que, conocida una raíz del polinomio, = a, entonces su inverso, =, también es raíz Los únicos números reales que son inversos de sí a mismos son y El coeficiente líder (o el término independiente, ya que son iguales) proporciona alguna idea de cómo podrían ser las raíces Al ser =, podemos tener muchas posibilidades Y esto sólo contando con las combinaciones básicas Realmente hay infinitas posibilidades, lo que hace este método muy complejo, salvo cuando está preparado Procedemos de forma habitual: Sacar factor común: en este caso no es posible Si el polinomio es de grado impar, entonces ó tiene que ser una raíz: El polinomio es de grado par, así que no obtenemos información por aquí Buscamos alguna raíz entera, utilizando Ruffini: En este caso, observamos que no puede ser raíz porque la suma de los coeficientes no es 0 Como al cambiar de signo los coeficientes de y de siguiente intento es =, que sí es raíz, la suma tampoco es 0, entonces tampoco es raíz El Como la ecuación es de coeficientes simétricos, automáticamente sabemos que = también es raíz Por tanto podemos hallar el polinomio que "queda" cuando quitamos estas dos raíces, dividiendo Como ya hemos dividido por con el Ruffini, podemos dividir por Ahora bien, como los coeficientes de nuestro polinomio original no tiene fracciones, podemos dividir en vez de por, por ( ) =, que tiene la misma raíz Así pues, al dividir, queda y resto 0 Esto nos sirve de comprobación por dos cosas Primero porque salió de resto 0, es decir, efectivamente = es raíz del polinomio Y segundo que el cociente sigue teniendo los coeficientes simétricos, lo que hace pensar que la división está bien hecha Escribimos el polinomio original factorizado y queda + 0 ( ) ( ) ( ) 0 9

10 Ahora estamos en condiciones de elaborar una tabla de signos, porque todos los factores del polinomio son de grado ó Sólo decir que las raíces del polinomio de grado son, ± ± = ± + + = = =, = = y Donde podemos ver que el producto es positivo o cero en: ( ; ; ; Ejemplo 5: (Inecuación resuelta con un cambio de variable) Resolver la inecuación + 0, con R Tenemos una inecuación polinómica donde, el grado de la variable aumenta de dos en dos, es decir, se pueden realizar un cambio de variable z + z z = Esto nos deja una inecuación de segundo grado en z, a saber, 0 ± + 8 ± 9 ± 7 z + z = 0 z = = =, cuyas raíces son = Ahora tenemos dos opciones z y z = Opción : (Utilizar las raíces para factorizar el polinomio original, es decir, en ) z ( z + ) ( z ) 0 ( + ) ( ) 0 + z 0 y se resuelve con una tabla de signos ( ; ) ( ; Opción : (Resolver la inecuación en z y deshacer la solución en z a solución en ) La solución de + z 0 ( ; ) U ( z es ( ; ) ( ; U Vamos a deshacer el cambio, pero en la solución directamente z ; significa z < ó < z, deshaciendo el cambio, tenemos, < ó Queremos hacer una raíz cuadrada en las desigualdades, pero para hacer < necesitamos que ambos miembros sean positivos Así, nos damos cuenta de que la primera desigualdad no se cumple nunca y en la segunda tenemos < < < y esto es lo mismo que < ó <, es decir, ( ; ) ( ; Aunque esto puede parecer muy difícil, no es tan difícil Si miramos las gráficas de lo que está pasando y de nos damos cuenta de qué es 0

11 Aquí podemos ver la gráfica de La inecuación comparada con la altura < nos dice que la altura de la gráfica mayor que la altura Esto ocurre para los valores de en ( ; ) ( ; debe ser Si preferimos pensar la inecuación < gráficamente, tenemos que comparar las gráficas de con la altura De la misma forma que antes, la inecuación < nos da que debe pertenecer al conjunto ( ; ) ( ; Finalmente, si queremos "deshacer" analíticamente o gráficamente el valor absoluto, hay que pensar cómo funciona éste El valor absoluto depende de que lo que haya dentro sea positivo o negativo Así, cuando 0, la inecuación < se transforma en <, es decir, el valor absoluto no hace nada Ahora bien, habrá que tomar de esta nueva inecuación, sólo l aparte donde 0, que en este caso es todo, es decir, ( ; Por el contrario, cuando 0, la inecuación < se transforma en <, que multiplicamos por y, teniendo en cuenta el cambio de sentido, queda < Nuevamente, hay que tomar sólo la parte que está en 0 da ( ; ) ( ;, pero en este caso vuelve a ser todo Así queda ( ) ; Todo junto nos

12 Ejemplo 6: (Inecuación con cambio de variable) Resolver, con R, la inecuación ( + ) ( + ) 6 En este ejemplo, el polinomio parece factorizado, pero no lo está, pues está comparado con 6 y no con 0 Aún así, hay una cosa mala y una cosa muy buena de esta epresión La mala es que el polinomio es de grado y obtener sus raíces siempre puede ser complicado La parte buena es que la variable siempre aparece de la misma forma " cambio de variable z = + que nos deja la inecuación en una inecuación polinómica de grado ( + ) ( + ) 6 Cambio de variable z = + ( z ) ( z ) 6 z z z z ± + ± = ± z z = z = = y las raíces de z z son z = y z = Opción : (Factorizar completamente el polinomio original y resolver la inecuación) ( z + ) ( z ) 0 = + = + + = 0 ± ± z = = = + = + = 0 ± + 6 ± 7 z = = Queremos resolver la inecuación ( + + ) ( + ) 0 Elaboramos una tabla de signos y obtenemos ( ) ( ; ; + y por tanto no hay raíces ", lo que permite un Opción : (Resolver la inecuación en z y deshacer el cambio de variable en la solución) Como la inecuación z z 0 representa una parábola de coeficiente líder positivo, la curvatura es hacia la parte positiva del eje OY y como los cortes con el eje OX son en Para deshacer el cambio de variable, tenemos Si ( ) z < + < + + < 0 y, la parábola es positiva en ( ; ) ( ; z ± ± z ; Como = =, el polinomio + + no tiene raíces Así que es siempre positivo (coeficiente líder positivo) Entonces la solución de + + < 0 es φ, es decir, esa primera parte de la solución en z no tiene solución en Si ( < z < ± + 6 ± 7 z ; Las raíces de + son = = Así que la inecuación + 0 ; tiene solución ( ) ( ; Observación: Aunque hemos podido hacer el ejercicio sin problemas, hay que comentar que los intervalos que no tienen el infinito, sino dos números, producen una inecuación con dos desigualdades a la vez, es decir, un sistema de inecuaciones Ese sistema es fácil de resolver con transformaciones si está en un único "sitio", pero si la aparece en varios "sitios" y no es posible reagruparla, entonces no se podrá resolver con transformaciones y habrá que resolver el sistema directamente

13 Por ejemplo si hubiéramos tenido la inecuación contraria, es decir, ( + ) ( + ) < 6 hubiera sido z ( ; ) ( ) z ; Para deshacer la variable, hubiéramos tenido "problemas" En efecto, < z < < < + + < + <, entonces la solución Pero como podemos ver, la no es fácilmente agrupable para que sólo aparezca una vez y poder realizar transformaciones Así que sólo se podrá hacer resolviendo un sistema Ejemplo 7: (Sistema de inecuaciones) Resolver, con R, el sistema de inecuaciones < 0 0 Hay que resolver cada una de las tres inecuaciones Cada una de ellas está ya comparada con 0 así que se puede elaborar su correspondiente tabla de signos Luego, ponemos en una recta las tres soluciones y, la solución del sistema es la parte de la recta que está en todas las soluciones ( ) ; Todo esto también se puede hacer con una única tabla de signos, pero sólo es recomendable si las inecuaciones son muy sencillas, como en este ejemplo Pero si hay productos, fracciones o epresiones más complicadas en alguna de las inecuaciones, es mejor resolverlas una a una y hacer la intersección de las soluciones Vemos en esta tabla conjunta, que la columna que satisface las tres inecuaciones simultáneamente es la primera Además, no es un valor válido para la segunda, por lo que no es solución del sistema Ejemplo 8: (Sistema de inecuaciones) Resolver, con R, la inecuación + < Aunque parece una única inecuación, al haber dos signos, esa inecuación es realmente un sistema: + + < Como todo sistema con una incógnita, resolvemos cada inecuación y hacemos la intersección de las soluciones De nuevo, al ser cada inecuación sencilla, podemos hacerlo en una única tabla, pero no es recomendable ± 9 Las raíces del polinomio son ± = =, = y = Como el coeficiente líder, el de parábola es positiva en ( ; ;, es positivo, la

14 Análogamente, la otra inecuación es + < + < 0 Sus raíces son = De nuevo, es una parábola con curvatura positiva así pues, la inecuación es cierta en ( ;) La intersección de ambas soluciones es ( ; ; ), como se puede ver en el dibujo ± 9 ( ) ± 5 = =, = y ( ; ; )

15 - INECUACIONES RACIONALES Las inecuaciones racionales se suelen resolver: Comparando una única fracción con 0 y elaborando una tabla de signos Esta será la técnica general ultiplicando toda la inecuación para quitar los denominadores Si hay epresiones con la variable que pueden cambiar de signo, hay que tener en cuenta esto, pues el sentido de la desigualdad puede cambiar Haremos algún ejemplo, para ver cómo funciona, pero en general será mejor comparar con 0 Intentar aplicar la transformación ( ) miembros son negativos o los dos son positivos T = Habría que tener en cuenta que sólo se puede aplicar si los dos Ejemplo 9: Resolver la inecuación NO se quitan denominadores!!!, donde R Se compara con 0 (ya está hecho) y se unen todas las fracciones en una sola Pero NO multiplicando toda la inecuación, sino cada fracción por la parte correspondiente, para tener un denominador común, el mínimo común múltiplo Restricciones: + 0 y ( + ) ( ) + 0 Los valores = y = no respetan las restricciones Como la inecuación tiene un signo, el 0 está permitido, así que el numerador puede ser 0, es decir, puede ser y 0 ( ; ( ; 0 ( ; Ejemplo 0: Resolver, en R, la inecuación ( 0 6) ( 0 6) ( 0 6) ( 0 6) + : NO se multiplica, sino que se busca el mcm y se unen las fracciones Tenemos que mcm = ( + ) ( ) ( + ) ( ) = ( + ) ( ) = ( 0 6) ( + ) ( ) ( ) + ( + ) ( 0 6) ( + ) ( ) 0, pues 5

16 Ahora que ya es una única fracción y está comparada con 0, vamos a factorizar el numerador y el denominador en factores de grado ó El denominador ya está listo, pero el numerador tiene sumas y restas Como no hay nada que indique otra cosa, multiplicaremos todo y factorizaremos con normalidad (factor común, Ruffini, etc) ( + ) ( ) Finalmente la epresión ya está preparada Tenemos: ( + ) ( ) 0 ( ) ( + ) ( ) Una epresión de grado : " ± ", cuyas raíces son = ± = y por tanto siempre está por 0 0 encima del eje OX, pues el coeficiente de es positivo Una epresión de grado, o una de grado pero elevado al cuadrado: " " ó ( ) 0 Pero es más fácil verlo como una parábola, es decir, de grado Esta es muy fácil y está siempre por encima del eje OX, salvo en = 0, que es 0 Dos epresiones de grado : " + " y " + " Estas epresiones son rectas La primera tiene pendiente positiva,, y corta al eje OX en La segunda tiene pendiente negativa,, y corta al eje OX en Observamos en la tabla de signos que los valores y no están permitidos pues anulan las epresiones del denominador y, sin embargo, al ser la inecuación del tipo, el valor 0 sí está permitido pues anula el numerador ( ; ) { 0} ( ; Ejemplo : (resolución de una inecuación, multiplicando) Resolver, con R, la inecuación Comentario: Este ejemplo es, más que para entender el método, para darse cuenta de la diferencia de dificultad entre comparar con 0 y quitar los denominadores En mi opinión, cuantas más formas distintas de hacer un mismo ejercicio sepamos, mejor, pues esos métodos se podrán utilizar en otras circunstancias y, además, hacer una misma cosa de formas distintas hará que entendamos esa cosa mejor, pero en este caso, recomiendo resolver las inecuaciones con fracciones comparándolas con 0 Restricciones: + 0 y Si 0 ( ), es decir, si ( ; ) ( ; mantiene el sentido La inecuación queda: ( ) + ( ) + ( + ) Es una parábola con coeficiente líder, de y = 0, luego + 0, entonces multiplicamos por una cantidad positiva y la desigualdad, positivo, así que se curva hacia arriba Corta al eje OX en los puntos =, es decir es positiva para ( ; 0; Pero sólo podemos quedarnos con la parte 6

17 de la solución que sea válida donde la inecuación es correcta, es decir, en ( ; ) ( ; de los dos conjuntos es ( ; ( ; Si < 0, es decir, si ( ; ) sentido La inecuación queda: ( ) + ( ) + ( + ) Así que la intersección, entonces multiplicamos por una cantidad negativa y la desigualdad cambia el Es una parábola con coeficiente líder, de, positivo, así que se curva hacia arriba Corta al eje OX en los puntos = y = 0, luego + 0, es decir es negativa para ; 0 solución que sea válida donde la inecuación es correcta, es decir, en ( ; ) conjuntos es ( ; 0 La solución final es la unión de ambos casos ( ; ( ; 0 ( ; Pero sólo podemos quedarnos con la parte de la Así que la intersección de los dos Observación: Estas intersecciones de intervalos se suelen "ver" mejor cuando uno las dibuja en una recta Dibujamos la solución de la inecuación y los valores de del caso que estemos estudiando Hay que tomar la parte de la solución que esté dentro de nuestro caso, es decir, a intersección 7

18 - INECUACIONES CON VALORES ABSOLUTOS En una inecuación con valores absolutos, se elabora primero una tabla de signos para quitar los valores absolutos, quedando una inecuación en cada uno de los intervalos de la tabla Se resuelve cada una, quedándonos con la parte de la solución que esté dentro del intervalo donde estemos trabajando (donde la inecuación sin los valores absolutos tenga validez) Un caso particular de las inecuaciones con valor absoluto es cuando el valor absoluto afecta a todo un miembro En ese caso, el valor absoluto se puede quitar con una tabla de signos, como el caso general, o bien utilizando las propiedades de la función valor absoluto k cuando k ó cuando k k Ejemplo : Resolver con incógnita R la inecuación < Tenemos que elaborar una tabla de signos donde estén y, para quitar los valores absolutos y decidir qué inecuación queda en cada intervalo Es muy IPORTANTE darse cuenta de que en esta tabla de signos no hay que multiplicar los signos ni nada parecido Sólo hay que ver cuántas epresiones hay dentro de un valor absoluto y cuántas combinaciones de signos ofrecen, pero SIN multiplicar esos signos Así pues hay tres casos, a saber, menos-menos, másmenos y más-más Si ( ; 0 entonces 0, 0 y la inecuación queda ( + ) < + < < < + 0 < y esta inecuación tiene como solución todo R, pues cualquier R sustituida en la inecuación la convierte en 0 < que es verdadera Ahora hay que quedarse con la parte de la solución que está en el intervalo de trabajo, esto es con ( ; 0 Si 0; entonces 0, 0 y la inecuación queda ( + ) < + < < < + < : 8

19 < La solución de esta inecuación es ( ; ) decir, en 0; y, por tanto, la solución en este trozo es 0; ) pero sólo nos quedamos con la parte que está en nuestro intervalo de trabajo, es Si ; entonces 0, 0 y la inecuación queda ( ) < + < + < < + < : < y la solución de la inecuación es ( ; trabajo, es decir, en ; De nuevo, sólo debemos quedarnos con la parte que está en el intervalo de y, por tanto, la solución de este tramo es ( ; + ) La solución final es la unión de todas las soluciones, es decir, ( 0 0; ) ( ; pero esto es realmente { } ; R Observamos que la razón por la que no está en la solución es porque en este punto se obtiene la igualdad, que la inecuación no la permite { } R Ejemplo : Resolver con incógnita R la inecuación (quitando el valor absoluto con una tabla de signos) La restricción es 0 Elaboramos una tabla de signos para ver el signo de la epresión de dentro del valor absoluto En estas tablas para quitar los valores absolutos SÓLO hay que tener en cuenta las distintas combinaciones de cada epresión que esté dentro de un valor absoluto Así, aquí sólo hay una epresión con valor absoluto, signos posibles Así pues, hay dos casos, que toma dos Si ( ; ( ; entonces la fracción es positiva, 0, y la inecuación queda 0 ( ) Elaboramos una nueva tabla de signos y vemos que su solución es ( ; de trabajo Que está totalmente dentro de nuestro intervalo 9

20 0 Si ) ; entonces la fracción es negativa, 0, y la inecuación queda ( ) Elaboramos una tabla de signos y vemos que su solución es ( ) ;, que está completamente dentro de nuestro intervalo de trabajo ( ) ( ) + ; ; Ejemplo : Resolver con incógnita R la inecuación (cambiando a un sistema de inecuaciones) La restricción sigue sendo 0 Como el valor absoluto debe ser mayor que, tenemos que ó cuya solución es ( ) + ; cuya solución es ( ) ; ( ) ( ) + ; ;

21 5- INECUACIONES IRRACIONALES En una inecuación con raíces, lo primero es tener en cuenta las posibles restricciones por las raíces o las fracciones, si las hubiera Lo más general es tener raíces cuadradas En este caso necesitaríamos elevar al cuadrado Como sabemos, para poder elevar al cuadrado una desigualdad, necesitamos que los dos miembros sean del mismo signo Entonces habrá que estudiar el signo de cada miembro por separado y separarlos en varios casos Aunque muchas veces algunos casos son triviales (muy fáciles) de resolver Ejemplo 5: Resolver, con incógnita R, la inecuación + < + Las restricciones son únicamente por la raíz: + 0 Ya sabemos resolver estas inecuaciones de forma rápida y que su solución es ; Queremos elevar al cuadrado Antes habrá que asegurarse del signo de cada miembro El miembro de la derecha es + que siempre es positivo (es la raíz cuadrada positiva) El miembro de la izquierda es +, que es positivo en ; y negativo en ( ; (se puede hacer con una tabla de signos, pero es muy sencillo y lo hacemos directamente o a través de la recta y = + ) Teniendo en cuenta las restricciones, tenemos: Si ; entonces + es negativo y + es positivo No podemos elevar al cuadrado, pero da igual, porque la inecuación + < + se cumple siempre Así que ; es parte de la solución Si ; entonces + es positivo y + también Ahora podemos elevar al cuadrado + < + ( + ) < ( + ) + + < < 0 Las raíces de + 0 son = 5 y La curvatura positiva de la parábola nos da solución de la inecuación ( 5; ) = Es importante que NO hay que comprobar estas soluciones, porque sabemos que, antes de elevar al cuadrado, las dos eran positivas y, por tanto, sabemos que eran iguales La parte de la solución que está dentro de nuestro intervalo de trabajo, ; es ; ) ; ) Ejemplo 6: Resolver con incógnita R la inecuación + < Las restricciones son únicamente por la raíz, + 0 ;

22 El miembro de la izquierda, la raíz +, es siempre positivo El miembro de la derecha puede cambiar de signo De hecho, es negativo en ( ; y positivo en ; como podemos observar de la gráfica de la recta y = Si ;, entonces es negativo y + positivo Por tanto la inecuación + < se convierte en una desigualdad falsa para todos esos valores de y no hay solución en este trozo Si ;, entonces es positivo y + también Podemos elevar al cuadrado y resolver la inecuación Como en ( 0 ; la transformación ( ) T = es creciente, la desigualdad mantiene su sentido + < ( + ) < ( ) + < + 0 < ± 9+ ± Las raíces del polinomio son = = Como la curvatura de la parábola es positiva, ésta + queda por debajo del eje en ( ) ; Sólo debemos quedarnos con la parte de la solución que esté en el trozo ; 9 < < 6 < < 0 0 y < < 6 < < 6 < + 7 < Luego la situación con respecto al intervalo ; es que nos quedamos con ; ) + ; ) + Ejemplo 7: Resolver, con incógnita R, la inecuación < 0 Aquí mezclamos raíces y valores absolutos Podemos elegir entre º Restricciones y º quitar el valor absoluto ó º Quitar el valor absoluto y º hacer las restricciones, de cada trozo Yo he preferido hacer las restricciones lo primero y después quitar el valor absoluto La restricción es 0 ; Para quitar el valor absoluto tenemos que distinguir dos casos, según vemos en la tabla de signos: Si ; 0 entonces 0 la inecuación queda < 0 + < < + El miembro de la derecha es siempre positivo por ser la raíz cuadrada positiva de + El miembro de la izquierda puede cambiar de signo Pero como ; 0, aquí es 0 y, por tanto, sólo habría "problemas" en = 0 ya que el miembro

23 de la izquierda se anula y habría que comprobar qué pasa con el de la derecha (ya que la desigualdad es < y no ) Si = 0 entonces queda 0 < lo que es claramente cierto Así, todo ; 0 es solución Si 0; entonces 0 y la inecuación queda < 0 < 0 + < El miembro de la derecha es siempre positivo y para 0;, el miembro de la izquierda también Así que podemos elevar al cuadrado Además sabemos que el sentido de la desigualdad se va a mantener, pues ( ) ( ; 0 T = es creciente en < ( ) < < + ± + ± 5 + < 0 Las raíces de + son = = La epresión parte de esta solución que está en el intervalo 0; es 0; ), ya que + < 5 < 9 < 5 < < + 5 < < + 5 ; ) 5 < es negativa en ( ) ; La Ejemplo 8: Resolver, con incógnita R, la inecuación + Lo primero es hallar las restricciones Tenemos por las raíces cuadradas que + 0, 0 y 0 Como son varias simultáneamente, vamos a resolverlas con una tabla de signos Vemos que las tres restricciones se cumplen en ; Para resolver la inecuación, necesitamos ahora estudiar el signo de cada miembro y poder así elevar al cuadrado El miembro de la derecha, es claramente positivo El miembro de la izquierda o es tan fácil (o al menos no lo parece) Hay que estudiar el signo de + Para esto habría que resolver la desigualdad + 0 y tomar la parte que esté dentro de nuestra restricción Afortunadamente, es muy fácil En efecto, Como los dos miembros son raíces, son positivos y, por tanto, podemos elevar al cuadrado

24 Lo que siempre es verdad Así que el miembro de la izquierda siempre es positivo Siempre que tenga sentido, es decir, en ; Por tanto, podemos elevar al cuadrado en nuestra inecuación Además, como ambos miembros están en 0 ; y en este trozo la transformación ( ) T = es creciente, entonces la inecuación mantiene su sentido Podemos elevar al cuadrado porque ahora los dos miembros están en ( ; 0 Pero como aquí la transformación T ( ) = es decreciente, la ( + ) ( ) 9 < 9 inecuación cambiará de sentido 8 ± ± 00 8± < 0 Es una inecuación polinómica cuyas raíces del polinomio son = = =, = y 7 = La solución de esta inecuación polinómica es ( 7 ; ) Hay que quedarse con la parte de la solución que esté dentro de la restricción, es decir, dentro de ; Hemos elevado al cuadrado, pero como siempre en las inecuaciones, no hace falta comprobarlo porque sabemos que ambos miembros eran del mismo signo y no había problemas ; ) Ejemplo 9: Resolver, con incógnita R, la inecuación Tenemos una inecuación irracional con una raíz cúbica Por tanto no hay ninguna restricción al respecto La transformación T ( ) = es siempre creciente y, también lo es su transformación inversa ( ) T = La inecuación mantiene el sentido por ser ( ) T = creciente en R ( + ) Resolvemos hallando las raíces por Ruffini y factorizando el polinomio Las raíces del polinomio son = y = Vemos una tabla de signos para resolver la inecuación y tenemos que ( ; donde el intervalo es abierto porque la desigualdad es estricta,, ( ; Observación: Aunque hemos seguido un procedimiento general, alguien podría haber observado que el segundo miembro, no sólo se puede factorizar, sino que su factorización está muy relacionada con la epresión del primer miembro Así,

25 ( + + ) + ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) Querríamos dividir por ( +) ( + ) ( + ) ( +) + y la solución es ( ; Esto se puede hacer si + 0 En caso de ser 0, tendríamos 0 0 lo que no es solución Además, como ( +) es positivo para todo, la inecuación mantiene su sentido Si no se quiere dividir, se puede comparar todo a 0 y sacar factor común ( +) y elaborar una tabla de signos 5