Tema 1: Estadística Descriptiva

Transcripción

1 Estadística 4 Tema : Estadística Descriptiva Definición Población es cualquier conjunto de datos, objetivo de nuestro interés que caracteriza un fenómeno que nos interesa Definición 2 Muestra es un subconjunto de una población determinada Interesan aquellas muestras que representan fielmente a la población En ocasiones se utilizan las palabras población y muestra para representar los objetos que se someten a medición Definición La Estadística Descriptiva es la rama de la Estadística dedicada a la recogida, recopilación y reducción de unos datos a unas pocas medidas descriptivas y gráficos, permitiendo conocer las características existentes en la población o conjunto de datos Definición 4 La Inferencia Estadística tiene por objeto obtener conocimientos sobre ciertas poblaciones a partir de las observaciones relativas a una muestra Su instrumento matemático es el Cálculo de Probabilidades Variables estadísticas Se va a trabajar con conjuntos de datos asociados al carácter o característica objeto de estudio, que denominaremos variable estadística y se representará por una letra mayúscula: X, Y, Z,A partir de ahora nos referiremos a los conjuntos de datos como variables Como en esta parte se va a tratar de describir y analizar estas variables, debemos distinguir los distintos tipos de variables que hay, lo cual nos va a permitir utilizar las herramientas estadísticas apropiadas Tipos de variables Las variables estadísticas pueden ser de dos tipos: Variables cualitativas o atributos: describen cualidades y no toman valores numéricos Ejemplos: Provincias españolas, países de la U E, nivel de estudios, meses del año, clasificar una pieza como aceptable o defectuosa, 2 Variables cuantitativas: toman valores numéricos A su vez pueden ser: Discretas: Sólo toman un número finito o infinito numerable de valores distintos (generalmente números naturales o enteros) Ejemplos: número de compras de un producto en un mes, el año de fabricación de un vehículo, número de entradas de cine vendidas en un intervalo de tiempo, resultado de lanzar un dado, número de hijos,

2 Estadística 5 Continuas: Toman valores en un intervalo de IR Generalmente corresponden a medir magnitudes continuas, por ejemplo, peso, altura, temperatura, intensidad de corriente, el tiempo entre dos llamadas telefónicas, el tiempo de servicio o de operación de una máquina, etc Una característica esencial de este tipo de variables es que sus valores nunca son observables con exactitud, sino que dependen (las observaciones) de la precisión del instrumento de medida Se va a suponer que el orden en que se recogen los datos es irrelevante Cuando los datos se observan con una pauta fija (cada hora, semana, etc), constituyen una serie temporal, y su análisis requiere otras técnicas especiales, que tengan en cuenta que el orden de los datos influye A los distintos resultados que pueden presentar las variables estadísticas los denominaremos modalidades Ejemplo: Si la característica es el gusto, puede presentar cuatro modalidades: dulce, amargo, salado y ácido Si es el sexo: hombre y mujer 2 Presentación de datos La forma más elemental de presentar los datos es por medio de una matriz en la que aparecen en la primera columna los individuos, representados de alguna forma (en muchas ocasiones se suele prescindir de esta columna) y en las restantes columnas las observaciones de las distintas variables (o características) en estudio para cada uno de los individuos Se la conoce como matriz de datos (Presentación típica de hoja de cálculo) Ejemplo: edad especialidad sexo Individuo 2 Estructuras mujer Individuo 2 9 Construcción de Maqu hombre Individuo 9 Construcción de Maqu hombre Individuo 4 8 Estructuras mujer Individuo 5 20 Construcción de Maqu hombre ormalmente se reserva el nombre de matriz de datos a la obtenida de la anterior, eliminando la primera columna Cuando se estudia una sola variable, otra forma usual de presentar los datos es por medio de una matriz en la que cada valor corresponde a un individuo de la población Ejemplo: Edades de 40 individuos encuestados:

3 Estadística 6 Agrupación en clases En ocasiones, y con objeto de facilitar la toma o presentación de datos cuantitativos, estos se agrupan en intervalos o clases Por ejemplo, es más sencillo anotar cuántos individuos hay en una muestra con una estatura entre 70 y 80, que anotar exactamente la estatura de todos o obstante, siempre se producirá una pérdida de información al agrupar los datos en intervalos, y dado que el uso de ordenadores y programas de cálculo suelen ser corriente, se suelen tratar los datos sin agrupar salvo para algunos resúmenes gráficos, cuando el número de valores distintos que toma una variable discreta sea grande, o cuando ésta sea continua La primera cuestión que se nos plantea es elegir el número de clases y la longitud de cada clase Si es posible, es recomendable que todas las clases tengan la misma longitud En cuanto al número de clases, en general, se recomienda utilizar entre 5 y 20 ó 25 clases, de forma que ninguna contenga menos de 5 datos Existen distintos criterios, para determinar un número adecuado de clases, todos ellos en función del número de datos osotros utilizaremos para obtener una aproximación al número de clases k a utilizar la fórmula de Sturges donde k es el entero más próximo a + 0 log 0 siendo el número de datos o individuos Existen otros criterios, por ejemplo tomar k el entero más próximo a En general, el número de clases debe ser suficientemente grande para que no se pierda excesiva información, pero no tanto que se pierda la simplicidad de la representación Las clases o intervalos en que se agrupen los datos deben cumplir: Ser disjuntas: un dato no puede estar en dos clases a la vez Ser exhaustivas: es decir, abarcar todo el rango de posibles valores de la variable Estar ordenadas de menor a mayor En general, la forma de las clases que utilizaremos será: (L 0,L ], (L,L 2 ], (L k,l k ] Elementos asociados a las clases o intervalos: Límites: L i,l i (límite inferior y límite superior, respectivamente) Amplitud de la clase: b i = L i L i Marca de la clase: c i = L i+l i 2 Observación La marca de clase se considera el valor representativo de todos los valores de su intervalo Por ello, deben elegirse los intervalos de forma que la marca sí sea un valor representativo Puede ocurrir que la marca de clase tenga más cifras decimales que los datos (es decir, que no corresponda a un valor realmente observable) y lo mismo puede ocurrir con los límites de clase A veces, el primer y último intervalo, tienen respectivamente, el extremo inferior y superior indeterminados, con objeto de incluir observaciones poco frecuentes Ejemplo de agrupación en clases: Edades de 40 individuos encuestados:

4 Estadística 7 Agrupación en clases: Clases o de datos (0,5] 7 (5,20] 8 (20,25] 6 (25,0] 5 (0,5] 8 (5,40] 6 En este caso el número de clases es 6, los límites son 0, 5, 20, 25, 0, 5 y 40; la amplitud es en todas las clases es 5 y las marcas son, respectivamente: 25, 75, 225, 275, 25 y 75 2 Distribuciones univariantes A partir de ahora, vamos a considerar que tenemos datos correspondientes a una sola variable estadística, que denominaremos X (Se corresponderá a tratar con una de las columnas de la matriz de datos ya vista) Definición 5 Elementos que utilizaremos para resumir la información que ofrecen nuestros datos: Se denomina frecuencia total al número total de individuos observados o número total de datos, Se denomina frecuencia absoluta de la modalidad M i (valor x i o intervalo I i ), al número de individuos o número de datos que presentan esta modalidad, n i Se denomina frecuencia relativa de la modalidad M i (valor x i o intervalo I i ), al cociente f i = n i Si la variable considerada es cuantitativa, se pueden definir además: Se denomina frecuencia absoluta acumulada hasta la modalidad M i, (valor x i o intervalo I i ) al número de individuos o número de datos, i, que presentan una modalidad menor o igual que ésta; se define como i = n +n 2 + +n i = i j= n j Se denomina frecuencia relativa acumulada hasta la modalidad M i, (valor x i o intervalo I i ) al cociente: F i = i o F i = f +f 2 + +f i = i j= f j Definición 6 Se dice que se ha dado la distribución de frecuencias (absolutas, relativas, absolutas acumuladas o relativas acumuladas) de la variable estadística X si se dan las distintas modalidades de la variable y las correspondientes frecuencias (absolutas, relativas, absolutas acumuladas o relativas acumuladas, respectivamente) de cada modalidad En ese caso, hablaremos de datos agrupados por frecuencias

5 Estadística 8 La forma de dar estos valores es por medio de tablas, en las que aparecen una primera columna con las distintas modalidades de la variable (ordenadas de menor a mayor, si la variable es cuantitativa) y columnas correspondientes a las frecuencias absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas (estas dos últimas cuando tengan sentido) M i n i f i i F i M n f F M 2 n 2 f 2 2 F 2 M k n k f k k = F k = Propiedades Propiedades de las tablas: - - k n i = k f i = - k = - F k = - Las frecuencias relativas y las frecuencias relativas acumuladas pueden interpretarse como porcentajes (tantos por ciento) de la siguiente forma: f i 00% es el tanto por ciento de datos o individuos que están en la modalidad M i F i 00% es el tanto por ciento de datos o individuos que están en las modalidades M,M 2,M i Tablas para datos agrupados: Cuando los datos aparecen agrupados por clases, se habla de frecuencias absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas de cada clase En este caso, las tablas de frecuencias tienen la forma: En el ejemplo anterior: (L i L i ] c i n i f i i F i (L 0,L ] c n f F (L,L 2 ] c 2 n 2 f 2 2 F 2 (L k,l k ] c k n k f k k F k (L i L i ] c i n i f i i F i (0, 5] (5, 20] (20, 25] (25, 0] (0, 5] (5, 40] Seobserva cómo en este caso, la marca declase puedeno ser unvalor posibledela variable, peroconserva su significado de valor representativo de todos los datos del intervalo

6 Estadística 9 Observación 2 Al escribir una tabla es conveniente tener en cuenta los siguientes convenios para evitar ambigüedades: Indicar la unidad de medida de cada variable Indicar con un 0 los valores con frecuencia 0 (Evitar las rayas, cuya interpretación es de falta de información sobre la frecuencia del valor) Escribir todos los datos con igual número de decimales Representación gráfica de variables estadísticas unidimensionales La representación gráfica de una distribución de frecuencias va a depender del tipo de variable considerada Representación gráfica de variables cualitativas y de variables cuantitativas con pocos valores distintos Para ilustrar las principales representaciones gráficas, vamos a utilizar los datos del tipo de vehículos: Diagrama de barras TIPO frecuencias deportivo 4 furgoneta 9 gran turismo monovolumen 6 pequeño 2 tamaño medio Esta representación gráfica consiste en construir tantos rectángulos como modalidades presente la variable cualitativa en estudio, todos ellos con base de igual amplitud (la que sea) y la altura se toma proporcional a la frecuencia absoluta o relativa (según cuál estemos representando), obteniendo rectángulos con áreas proporcionales a las frecuencias que se quieran representar Diagrama de Pareto Es un diagrama de barras en el que los rectángulos se presentan en orden decreciente de altura Se utilizan para variables cualitativas y son muy frecuentes en control de calidad y procesos, donde las alturas de los rectángulos a menudo representan frecuencias de problemas en el proceso de producción Como los rectángulos están dispuestos en orden decreciente por altura, resulta fácil identificar las cuestiones con el mayor número de problemas

7 Estadística 0 Diagrama de sectores Esta representación consiste en dividir un círculo en tantos sectores circulares como modalidades presente la variable cualitativa, donde cada sector circular tendrá un área proporcional a la frecuencia absoluta (o relativa) 2 Representación gráfica de variables cuantitativas que toman muchos valores distintos Histograma Es la representación gráfica más frecuente y se realiza a partir de una agrupación de los datos en intervalos Consiste en un conjunto de rectángulos construidos de la siguiente forma: - Tiene como eje horizontal una escala de valores de la variable que se mide Se marcan los límites de las clases sobre la escala - Como eje vertical, tiene una escala de alturas SobrecadaclaseseelevaunrectángulotalquesuáreaA i = base altura = (L i L i )h i seaproporcional a la frecuencia absoluta (o relativa) de la clase, es decir, λn i ; entonces, despejando tenemos que la altura es h i = λn i L i L i Ejemplo: En el ejemplo de las edades de 40 individuos:

8 Estadística Ejemplo: El siguiente ejemplo corresponde a clases no equiespaciadas: Si la distribución de la variable es: (L i L i ] c i n i (5, 5] 25 (5, 65] 5 4 un histograma correcto tendría un primer rectángulo de altura 2λ y un segundo rectángulo de altura 4 λ, dónde λ es un número real positivo cualquiera Por ejemplo, para λ = 6, el histograma sería: Polígono de frecuencias acumuladas Se construye de la siguiente forma: -Tiene como eje horizontal una escala de valores de la variable que se mide Sobre él se marcan los límites de las clases - La escala vertical es una escala de frecuencias acumuladas (absolutas o relativas) En este plano, partiendo desde el punto sobre el eje OX que corresponde al límite inferior del primer intervalo, se sitúan los pares formados por el límite superior de clase y la correspondiente frecuencia acumuladadelaclaseylos puntosseunenpormediodesegmentos, dandolugaraunagráficacreciente, que termina en una meseta de altura, si se utilizan frecuencias acumuladas absolutas, o altura 00 si se utilizan porcentajes acumulados Esta gráfica se conoce como ojiva de frecuencias

9 Estadística 2 Diagrama de tallo-hojas (Stem and leaf) Se trata de un procedimiento semi-gráfico de presentar la información de variables cuantitativas, útil cuando el número de datos es pequeño(menor que 50), aunque con los ordenadores es posible utilizarlo con más datos Los pasos para su construcción son: Expresar los datos en unidades convenientes, redondearlos a dos o tres cifras significativas y ordenarlos de menor a mayor 2 Colocarlos en una tabla con dos columnas separadas por una línea como sigue: - Para los datos con dos dígitos, escribir a la izquierda de la línea los dígitos de las decenas (que forman el tallo) y a la derecha los de las unidades (que forman las hojas) - Para datos con tres dígitos, el tallo estará formado por las centenas y decenas, escritos a la izquierda, y las hojas serán las unidades Cada tallo define una clase y se escribe una sola vez; el número de hojas representa la frecuencia de la clase correspondiente al tallo Ejemplo: Para el ejemplo de las edades, el diagrama de tallo-hojas sería: () Los valores que aparecen a la izquierda se llaman profundidades e indican las frecuencias acumuladas, comenzando por arriba (de menor a mayor) y por abajo (de mayor a menor), hasta llegar al tallo en el que se encuentra el valor que ocupa la posición central; en este tallo, el valor aparece entre paréntesis e indica solo la frecuencia de ese tallo Observación Para facilitar la construcción del diagrama, para una cantidad numerosa de datos, puede ser conveniente escribir en primer lugar un diagrama desordenado anotando los tallos y las hojas sin ordenar de menor a mayor, y a partir de esta primera aproximación, construir el diagrama

10 Estadística A veces conviene subdividir los tallos para obtener mayor claridad, colocando por una parte las hojas del 0 al 4 y por otra las hojas de 5 a 9, en otros casos, las hojas 0 y, las 2 y, las 4 y 5, las 6 y 7 y, por último, las 8 y 9; por ejemplo: (6) Puede observarse que si se gira el diagrama, se obtiene una apariencia similar a la del histograma correspondiente 4 Medidas características de una distribución unidimensional Vamos a definir en esta sección algunos valores numéricos que proporcionan información sobre cómo se distribuye un conjunto de datos homogéneo Estas medidas además, permiten comparar distribuciones y en la tercera parte de la asignatura nos serán de utilidad para obtener conclusiones sobre la población cuando se trabaja con una muestra Algunos de estos valores dependen de la posición de los datos, cuando se ha ordenado estos de menor a mayor; denotaremos por x (i) el dato que ocupa el lugar i-ésimo una vez ordenados los datos de esta forma 4 Medidas de posición o localización Proporcionan uno o varios valores en torno a los cuales tienden a agruparse los datos Entre ellas destacaremos las medidas de tendencia central Medidas de tendencia central Vamos a estudiar tres: media aritmética, mediana y moda Media o media aritmética Definición 7 Si x,,x son los datos directos de la variable, se define la media como: Observación 4 Si los datos vienen dados por medio de una tabla de frecuencias: x = x i entonces x i n i f i x n f x 2 n 2 f 2 x k n k f k k x i n i k x = = x i f i

11 Estadística 4 Propiedades 2 (a) La media es el valor que equilibra las desviaciones positivas y negativas de los datos directos respecto a su valor: (x i x) = 0 En ese sentido, se la puede considerar como centro de gravedad o centro geométrico de los datos (b) Utiliza toda la información contenida en los datos (pues utiliza todos los datos) Mediana Definición 8 Llamaremos mediana y la denotaremos por M e al valor numérico que verifica que ordenados los datos de menor a mayor, el 50% son menores o iguales que este valor y el 50% son mayores o iguales Cálculo de la mediana: Para calcular la mediana de un conjunto de datos, en primer lugar hay que ordenarlos de menor a mayor Si el número de datos,, es par, el valor mediana es x (/2)+x ((/2)+) 2, mientras que si el número de datos es impar, el valor mediana es x ((+)/2), supuestos los datos ordenados de menor a mayor Moda Definición 9 La moda, se define como el valor o los valores más frecuentes de la variable, es decir, a los que corresponde la mayor frecuencia Cuando los datos están agrupados por clases, no puede determinarse qué valor es la moda; en este caso llamaremos clase modal a aquella a la que corresponde la mayor altura en el histograma (que no tiene porqué coincidir con la clase de mayor frecuencia) Comparación entre las medidas de tendencia central Como ya hemos señalado al definirla, la media es una medida que utiliza toda la información disponible, pues tiene en cuenta el valor de todos los datos En cambio, la mediana es, en ese sentido, menos informativa, pues sólo tiene en cuenta la posición y no el valor Por esa misma razón, la media es muy sensible a valores extremos Por ello, un error en los datos puede modificarla por completo Ejemplo: Para los datos 0, 5, 2, 50, la media es 24, desplazada hacia el valor 50 que es un valor extremo Si los datos correctos hubiesen sido 0, 5, 2, 20, la media sería 65 Sin embargo, la mediana queda menos afectada por ese dato extremo: en el primer caso sería 8 y en el segundo, 75 Observación 5 A veces, el conjunto de datos está dividido en subgrupos, por ejemplo, los individuos de una clase divididos en hombres y mujeres, y se conoce la media de una característica en cada subgrupo A partir de esta información se puede obtener la media del conjunto total de datos: si x, x 2,, x s son las medias en s subgrupos (disjuntos) con n,n 2,,n s individuos cada uno, la media total será: x = n x +n 2 x 2 ++n s x s n +n 2 ++n s

12 Estadística 5 2 Otras medidas de posición: Percentiles Definición 0 Para cada valor p (0,), se denomina p-percentil y se denota por q p, al valor de la variable que divide a la distribución de frecuencias en dos partes, de forma que al menos el 00p% de los datos son menores o iguales que q p Cálculo de los percentiles: x ([p]+) q p = x (p) +x (p+) 2 donde [p] denota la parte entera de p si p no es entero si p es entero, Definición Se denominan cuartiles a los percentiles que dividen a la distribución en 4 partes iguales, es decir, - el 025-percentil, llamado primer cuartil, y denotado por Q - el 05-percentil, que es la mediana Se denota, también, por Q 2 - el 075-percentil, llamado tercer cuartil, y denotado por Q Definición 2 Se denominan deciles a los percentiles que dividen a la distribución en 0 partes i iguales Se denotan por d,d 2,,d 9, siendo d i el 0-percentil, i =,2,,9 Observación 6 A veces solo disponemos de la información de los datos agrupados en clases y no el valor de los datos, en esos casos se calculan valores aproximados de los percentiles, tomando como valor q p el valor del eje X en el que el polígono de frecuencias relativas acumuladas tiene por altura p: Si F,F 2,,F k son las frecuencias relativas acumuladas de las clases en que se agrupan los datos, existe i {,2,k} con F i p < F i ( Se considera F 0 = 0) El p-percentil será: 42 Medidas de dispersión q p = L i + p F i b i f i Estas medidas indican lo próximos o alejados que están los datos, bien entre sí, o respecto a alguna medida de centralización Rango o recorrido Definición Si x (),x (2),,x (k) son los datos, ordenados de menor a mayor, se denomina recorrido a x (k) x (), es decir, a la diferencia entre el mayor y el menor dato El recorrido es fácil de calcular, lo que hace que sea una medida muy utilizada, por ejemplo en control de calidad Además tiene idénticas unidades que la variable Sin embargo, presenta el inconveniente de ser una medida muy sensible a valores extremos

13 Estadística 6 Varianza Definición 4 Se define la varianza de los datos directos x,x 2,,x, y se denota por s 2, al valor: s 2 = (x i x) 2 ( = x 2 i ) x 2 Observación 7 Si los datos vienen dados por medio de una tabla de frecuencias, entonces s 2 = k (x i x) 2 n i k = (x i x) 2 f i La varianza tiene en cuenta todos los datos, es fácil de calcular, pero no tiene las mismas unidades que la variable; este inconveniente se salva considerando su raíz cuadrada, que se denomina desviación típica Observación 8 Por razones que veremos más adelante, en muchos casos se utiliza otra medida, llamada cuasivarianza, y que a la hora de hacer inferencias, tiene mejores propiedades que la varianza Se define la cuasivarianza de los datos directos x,x 2,,x, y se denota por s 2 c al valor: s 2 c = (x i x) 2 otar que s 2 = ( )s 2 c, y que si es grande, la diferencia entre ambas medidas (varianza y cuasivarianza) es pequeña Observación 9 En muchos programas de software estadístico, se llama varianza a la cuasivarianza (entre ellos el programa de Statgraphics) Desviación típica Definición 5 Se define la desviación típica o estándar de los datos directos x,x 2,,x, y se denota por s, al valor: s = (x i x) 2 Observación 0 Si los datos vienen dados por medio de una tabla de frecuencias, entonces s = k (x i x) 2 n i = k (x i x) 2 f i Observación Se define también la cuasidesviación típica como: s c = (x i x) 2

14 Estadística 7 La desviación estándar se expresa en las mismas unidades que la variable, dando una idea más precisa de la variabilidad respecto de la media, como veremos en el teorema siguiente Teorema (Desigualdad de Chebychev) Sea X una variable estadística y k IR con k Entonces, en el intervalo [ x ks, x+ks] se halla más del ( k 2 )00% de las observaciones (Expresándolo de otra forma: la frecuencia relativa del intervalo [ x ks, x+ks] es mayor que ( k 2 )) Demostración: Vamos a denotar por f r la frecuencia relativa de un conjunto de datos y por x,x 2,,x los valores directos de la variable X Sean A = {x i : x i x > ks} y A 2 = {x i : x i x ks} A partir de la definición de varianza, se obtienen las siguientes desigualdades: s 2 (x i x) 2 = = (x i x)2 x i A + (x i x)2 x i A 2 (x i x)2 x i A > (ks)2 = (ks)2 f r (A ) x i A Despejando, f r (A ) < k 2 Como f r (A )+f r (A 2 ) =, se tiene que f r (A 2 ) = f r ({x i : x i x ks}) > k 2 y teniendo en cuenta la interpretación de la frecuencia relativa como tanto por ciento, se obtiene el resultado Observación 2 Tomando k = 2, en el intervalo [ x 2s, x+2s] se encuentra como mínimo el 75% de los datos Tomando k =, en el intervalo [ x s, x+s] se encuentra como mínimo el 89% de los datos Rango intercuartílico Definición 6 Se define el rango intercuartílico, y se denota por IQR, a: IQR = Q Q El rango intercuartílico es una medida de dispersión utilizada en relación con la mediana e indica la dispersión del 50% central de los datos

15 Estadística 8 4 Medidas de posición y de variación utilizadas para comparar conjuntos de datos Valores o puntuaciones z Los valores z indican la posición relativa de un dato, respecto del conjunto Definición 7 Se define el valor z del dato x i como el valor x i x s os indica cuántas desviaciones típicas se aleja el dato respecto del valor de la media Coeficiente de variación Definición 8 Para datos todos positivos o todos negativos, se define el coeficiente de variación de Pearson de la variable estadística X como: CV = s x Es una medida adimensional de la variabilidad relativa, pues considera la variabilidad de los datos en relación al tamaño de su media ( no es lo mismo una variabilidad de 200 euros en ganacias del orden de 000 euros, que en ganancias del orden de millón) Por ello, es la medida adecuada para comparar la variabilidad de dos conjuntos de datos distintos Se puede interpretar el CV como el promedio del error de medida 44 Otras características observables de una distribución de datos Asimetría Diremos que una distribución es simétrica si al considerar la representación gráfica de la distribución de frecuencias y trazar una perpendicular al eje de abcisas por x ocurre lo siguiente: Hay el mismo número de valores a ambos lados de la perpendicular, equidistantes de x dos a dos y tales que cada par de valores equidistantes a x tienen la misma frecuencia En este caso, la mediana coincide con x Las medidas de asimetría existentes son válidas para las denominadas distribuciones con forma de campana o campaniformes (distribuciones unimodales simétricas o con cierta asimetría) y para las distribuciones en forma de U Indicar que las distribuciones en forma de campana son las más usuales Cuando la distribución de los datos es campaniforme, las distribuciones asimétricas se clasifican en distribuciones asimétricas con cola a la derecha y distribuciones asimétricas con cola a la izquierda; el valor de x Me proporciona información del tipo de asimetría: asimetría a la derecha simétrica asimetría a la izquierda

16 Estadística 9 2 Apuntamiento o curtosis Llamamos curtosis o apuntamiento al grado de concentración de los datos alrededor de la media Las medidas de curtosis se aplican a distribuciones campaniformes y para estudiarlas es necesario definir previamente una distribución tipo, que vamos a tomar como modelo de referencia Esta distribución va a ser la llamada distribución normal, que corresponde a fenómenos muy corrientes en la naturaleza y cuya representación gráfica es una campana de Gauss, dada por la fórmula: f(x) = σ 2π e (x µ) 2 2 σ 2, donde µ y σ son respectivamente la media y la desviación típica A esta distribución se le llama normal porquese presenta en numerosos casos, e implica que la mayoría de los valores de la variable están cerca de la media, y aquellos que se encuentran muy distanciados de ella, a ambos lados, son poco numerosos Tomando esta distribución como referencia diremos que una distribución puede ser más apuntada que la normal, es decir, leptocúrtica o menos apuntada, es decir, platicúrtica A la distribución normal, desde el punto de vista de la curtosis, se le llama mesocúrtica platicúrtica mesocúrtica leptocúrtica En definitiva, aquí lo que se estudia es la deformación, en sentido vertical, respecto de la normal, de una distribución 5 Diagramas de caja o Box-Plot Este tipo de diagramas son una representación semigráfica de la distribución, que permite observar las características principales de la distribución y detectar posibles valores atípicos Son especialmente útiles para comparar la distribución de una variable en distintas poblaciones Se ha pospuesto su estudio hasta ahora pues para su construcción son necesarias algunas de las medidas características de la distribución, definidas en el apartado anterior Construcción del Box-Plot Los pasos para su construcción son: Ordenar los datos de menor a mayor y obtener los cuartiles Q, Q 2 y Q Se obtienen también otros dos valores, llamados límite inferior (LI) y límite superior (LS), dados por: LI = Q 5IQR LS = Q +5IQR

17 Estadística 20 2 A continuación se sitúan en un eje graduado estos 5 valores y tomando como base el segmento [Q,Q ] se dibuja un rectángulo con altura arbitraria; en él se indica la posición de la mediana, mediante una línea vertical que divida al rectángulo 4 Desde el centro de los lados verticales del rectángulo se dibujan sendas líneas hasta el menor dato mayor o igual que LI y el mayor dato menor o igual que LS (es decir, los datos más extremos del intervalo [LI, LS]) 5 Los datos que queden fuera del intervalo [LI, LS] se marcan con un punto o un asterisco, a la altura de las dos líneas dibujadas Se denominan datos atípicos y se clasifican en próximos y lejanos, según estén en [Q IQR, Q +IQR] o aún más alejados Ejemplo: Para los datos de la edad, los cinco valores son: Q = 7, Q =, M e = 24, LI = 65 y LS = 45, y el gráfico: Ejemplo: distancia de frenado en metros, en automóviles conducidos sobre una pista húmeda (mismo automóvil y velocidad en todos los casos) Para los datos de la distancia de frenado, los cinco valores son: Q = 59, Q = 92, M e = 7, LI = 095 y LS = 445, y el gráfico:

18 Estadística 2 Observación El Box-Plot permite ver fácilmente características como asimetría, apuntamiento, variabilidad y puesto que se basa en la mediana y los cuartiles, medidas poco influenciables por datos extremos, proporciona en general una imagen adecuada de la distribución También permite hacer comparaciones entre conjuntos distintos de datos, o subgrupos Los datos siguientes corresponden al tiempo en segundos en pasar de 0 a 00 Km/h en un conjunto de vehículos subdivididos en cuanto al tipo de vehículo Es fácil observar en el gráfico, por ejemplo, que las furgonetas son las que presentan menor variabilidad y los de tamaño pequeño son los de mayor variación 6 Datos atípicos en distribuciones univariantes Son datos que se alejan del conjunto global de datos, por ser inusualmente grandes o pequeños Pueden ser datos reales, como una puntuación de 0 en un examen en el que la mayoría de las puntuaciones están entre y 6, o la estatura de un individuo que mide 2m 0cm, en una clase de individuos con estaturas normales También en ocasiones, aparecen como consecuencia de haber registrado de forma incorrecta un dato o existe un criterio único para determinar qué datos son o no atípicos; dos de los criterios más usuales son: El proporcionado por el diagrama de caja: considerar como atípicos todos los datos fuera del intervalo [LI, LS] En el ejemplo de la distancia de frenado, sería el dato 0,5 El criterio de s: considerar como atípico todo dato que se aleje más de s de la media de los datos (recordar que según la desigualdad de Chebysev, al menos el 8889% de los datos está en el intervalo [ x s, x+s]) En el ejemplo de la distancia de frenado, con este criterio no existirían datos atípicos 7 Transformaciones de una variable El objetivo de la descripción de datos es obtener una visión lo más clara posible de los datos, por ello, en muchas ocasiones será necesario hacer traslaciones o cambios de escala para obtener datos lo más simples y manejables posible En otras ocasiones, como los principales métodos estadísticos son aplicables sólo a distribuciones simétricas, nos interesará transformar unos datos asimétricos en otros que no lo sean tanto Vamos a distinguir entre dos tipos de transformaciones: Transformaciones lineales: SondeltipoY=aX+b, con a,b IR; a 0, esdecir, traslaciones ycambios deescala; portanto, producen cambios en cuanto a posición y dispersión, pero no varían la forma de la distribución: si x,,x son los datos directos de la variable X, sus transformados serán los datos y,,y, con y i = ax i +b

19 Estadística 22 Propiedades En efecto: ȳ = a x+b ȳ = = a y i = x i ax i +b = +b = a x+b 2 s 2 Y = a2 s 2 X En efecto: s 2 Y = (y i ȳ) 2 = (ax i +b (a x+b)) 2 = = a 2 (x i x) 2 = a 2 s 2 X s Y = a s X 4 M e (Y) = am e (X)+b En efecto, si a > 0, los datos conservan su orden y por tanto, la mediana de la variable X se transforma en la mediana de la variable Y Si a < 0, entonces los datos invierten su orden, pero entonces, la transformada de la mediana sigue dejando un 50% de los datos a cada lado 5 Si a > 0 entonces Q (Y) = aq (X) + b y Q (Y) = aq (X) + b Si a < 0 entonces Q (Y) = aq (X)+b y Q (Y) = aq (X)+b (Se razona de igual forma que en la propiedad anterior) 6 Moda(Y) = amoda(x) +b 7 IQR(Y) = a IQR(X) Transformaciones no lineales Las transformaciones no lineales más usuales son: Y =X 2, Y = X, Y =lnx e Y = X Producen, además de cambios en la posición y dispersión, cambios en la forma Se utilizan principalmente para promover simetría 8 Estadística Descriptiva Bivariante Se va a estudiar la situación en la que los datos representan observaciones, correspondientes a dos variables o caracteres, efectuadas en los individuos de una determinada población Su estudio conjunto nos va a permitir determinar las relaciones entre ellas Ambas variables pueden ser cuantitativas, una cualitativa y la otra cuantitativa, o las dos cualitativas Vamos a denotar por X e Y las variables estadísticas objeto de estudio; A, A 2,, A l serán las modalidades de la variable X, B, B 2,, B k las modalidades de la variable Y El par (x i,y i ) denotará, en general, el valor de las variables X e Y sobre el elemento i-ésimo de la población

20 Estadística 2 8 Tablas de doble entrada Una primera forma de resumir la información contenida en los datos es por medio de tablas de frecuencias Definición 9 de datos, i Se denomina frecuencia total al número total de individuos observados o número total ii Se denomina frecuencia absoluta del par (A i,b j ), al número de individuos, n ij, de entre los, que poseen la modalidad A i de X, y la modalidad B j de Y a la vez iii Se denomina frecuencia relativa del par (A i,b j ), al cociente f ij = n ij Definición 20 Se dice que se ha dado la distribución conjunta de las variables estadísticas X e Y si se dan las modalidades de las variables y las correspondientes frecuencias (absolutas o relativas) con que aparece cada par La forma de dar estos valores es por medio de tablas en las que aparecen las distintas modalidades de las variables (ordenadas de menor a mayor, si la variable es cuantitativa) En la tabla pueden aparecer frecuencias relativas en lugar de absolutas y en ocasiones, se indican ambas X\Y B B 2 B k A n n 2 n k A 2 n 2 n 22 n 2k A l n l n l2 n lk Si las dos variables X e Y son cualitativas, la tabla correspondiente recibe el nombre de tabla de contingencia Propiedades 4 l k n ij = j= 2 l k f ij = j= Ejemplo: Distribución de alumnos de 2 o de ITI por titulación y sexo:

21 Estadística 24 Titulación\Sexo Hombre Mujer Eléctrico Electrónico Mecánico Químico Distribuciones marginales A partir de una distribución conjunta de dos variables es posible estudiar la distribución de cada una de las variables aisladamente (es decir, independientemente de los valores que tome la otra variable) Los valores de las frecuencias para las variables X e Y se obtienen a partir de la tabla conjunta, anotando en los márgenes de la tabla la suma de los valores de cada fila y de cada columna: X\Y B B 2 B k A n n 2 n k n A 2 n 2 n 22 n 2k n 2 A l n l n l2 n lk n l n n 2 n k Propiedades 5 Las frecuencias relativas y absolutas, respectivamente, de la modalidad A i de la variable X son: k k f i = f ij n i = j= n ij j= 2 Las frecuencias relativas y absolutas, respectivamente, de la modalidad B j de la variable Y son: l f j = f ij l n j = n ij Observación 4 Las distribuciones marginales de X e Y son distribuciones univariantes; en este sentido, puede aplicárseles todo lo estudiado en el tema anterior En particular, si son variables cuantitativas, tendrán asociada media, varianza, etc Ejemplo: Distribución de alumnos de 2 o de ITI por titulación y sexo:

22 Estadística 25 La distribución marginal de Titulación es: Titulación\Sexo Hombre Mujer Eléctrico Electrónico Mecánico Químico Titulación Eléctrico Electrónico Mecánico Químico Frecuencia Frecuencia relativa Y la de Sexo: Sexo Hombre Mujer Frecuencia Frecuencia relativa 8 Distribuciones condicionadas Definición 2 Se define la distribución condicionada de Y cuando X=A i (respectivamente, de X condicionada ab j ), que se denota por Y/(X = A i ) (respectivamente X/(Y = B j )) como la distribución de la variable Y (respectivamente X) sobre los elementos de la población que tienen la característica A i (respectivamente, B j ) Observación 5 Un aspecto importante de las distribuciones condicionadas es que la población objeto de estudio no es la misma que la de partida Los valores de las frecuencias para la variables Y/(X = A i ) y X/(Y = B j ) se obtienen a partir de la tabla conjunta: Las frecuencias absolutas de la variable Y cuando X = A i son las de la línea correspondiente a A i Las frecuencias relativas de la variable Y cuando X = A i son: f j/i = fij f i (también se representan por f(b j /(X = A i ))) En efecto, f j/i = n ij n i = n ij/ n i / = f ij f i Las frecuencias absolutas de la variable X cuando Y = B j son las de la columna correspondiente a B j Las frecuencias relativas de la variable X cuando Y =B j son: f i/j = f ij f j (también se representan por f(a i /(Y = B j )))

23 Estadística 26 Ejemplo: La distribución condicionada de Titulación a Mujer es: Titulación/(Mujer) Eléctrico Electrónico Mecánico Químico Frecuencia Frecuencia relativa Y la de Sexo a Mecánico: Sexo/(Mecánico) Hombre Mujer Frecuencia Frecuencia relativa Proposición Dadas las distribuciones condicionadas de la variable X a cada modalidad de la variable Y, y dada la distribución marginal de Y (respectivamente, de Y a cada modalidad de X, y la marginal de X), queda determinada la distribución conjunta de (X,Y) En efecto, basta observar que f ij = f i/j f j = f j/i f i Definición 22 Se dice que las variables estadísticas X e Y son estadísticamente independientes si se verifica: f i/j = f i para i =,2,,l, j =,2,,k Se dice que dos modalidades A i y B j son estadísticamente independientes si se verifica: f i/j = f i La definición anterior significa que la distribución de la variable X no depende de los valores que tome la variable Y, y recíprocamente Proposición 2 Las siguientes condiciones son equivalentes: Las variables estadísticas X e Y son independientes, 2 f ij = f i f j, para i =,2,,l, j =,2,,k f j/i = f j para i =,2,,l, j =,2,,k Ejemplo: Variables no independientes: X\Y B B 2 B A 0 0 A A 0 0 Variables independientes: X/Y B B 2 B A 9 A 2 9 A

24 Estadística 27 9 Representaciones gráficas de las distribuciones bidimensionales de frecuencias Las distribuciones marginales y condicionadas son distribuciones unidimensionales, como ya se ha indicado y, por tanto, sus representaciones gráficas se ajustarán a las vistas en la sección de distribuciones unidimensionales de frecuencias Se van a considerar sólo representaciones gráficas de distribuciones bidimensionales: Diagrama de Mosaico Sobre el eje Y se representan las modalidades de una de las variables y sobre cada una se levanta un rectángulo con área proporcional a la frecuencia marginal de la modalidad Cada rectángulo se subdivide en subrectángulos de base proporcional a la frecuencia condicionada de cada valor de la otra variable a esta modalidad De esa manera se da también una imagen gráfica de la distribución conjunta de ambas variables (proporcionada por el área de cada subrectángulo) En el ejemplo de la distribución de alumnos por titulación y sexo: Diagramas de barras Se utiliza para representar la distribución cuando ambas variables tienen pocas modalidades Consiste en dibujar para cada par (A i,b j ) una barra de longitud proporcional a la frecuencia (relativa o absoluta) Las barras se pueden disponer de diversas formas Damos dos ejemplos: Histograma tridimensional Se utiliza para representar la distribución cuando ambas variables son continuas y agrupadas en intervalos Consiste en representar las clases de cada variable en un plano y levantar sobre cada rectángulo un paralelepípedo de volumen proporcional a la frecuencia relativa o absoluta Si los rectángulos base de todas las clases son iguales, los paralelepípedos que se levantan, y que tienen que verificar que su volumen sea proporcional a la frecuencia de la clase, tendrán como altura un valor proporcional a las frecuencias (relativas o absolutas)

25 Estadística 28 Diagrama de dispersión o nube de puntos Se utiliza para variables cuantitativas sin agrupar en clases y en las que no existen pares de valores repetidos Consiste en representar cada par de puntos (x i,y j ) en un plano Permite obtener también una representación gráfica de las distribuciones marginales de X e Y, si se proyectan los puntos sobre cada eje (se obtiene así el diagrama de puntos para cada variable) En el siguiente gráfico están representados, para una población de cereales de uso común en el desayuno, el contenido de carbohidratos y de calorías para 00gr de producto: 0 Dependencia lineal Una de las formas de dependencia de más interés entre variables continuas es la dependencia lineal, por varias razones: En muchos problemas prácticos la relación entre las variables es lineal Aún cuando la relación no sea lineal, frecuentemente es linealizable, mediante transformaciones Si el rango de valores es pequeño, la aproximación lineal puede ser válida Vamos a introducir a continuación medidas de la relación lineal entre las variables: Covarianza Definición 2 Sea (X,Y) una distribución bidimensional, se define la covarianza de (X,Y) y se representa por Cov(X,Y) ó s XY como: l k Cov(X,Y) = (x i x)(y j ȳ)f ij j= Observación 6 La fórmula anterior es válida cuando se tiene la distribución de frecuencias de (X,Y) Si lo que se tiene son los pares de datos en la forma (x i,y i ) i =,2,, la expresión anterior queda de la forma: (x i x)(y i ȳ) Cov(X,Y) =

26 Estadística 29 Si los datos están agrupados en frecuencias absolutas, entonces Cov(X,Y) = l,k i,j= (x i x)(y j ȳ)n ij Vamos a ver una forma de expresar la covarianza, útil a la hora de hacer cálculos: Usando la expresión anterior y desarrollando: = Cov(X,Y) = (x i x)(y i ȳ) = (x i y i x i ȳ xy i + xȳ) = ( ) x i y i ȳ x i x y i + xȳ = x i y i ȳ x xȳ + xȳ = x i y i ȳ x Observación 7 El valor de la covarianza proporciona información sobre la posible relación lineal entre dos variables; cuando los datos parecen disponerse entorno a una recta de pendiente positiva, la covarianza es positiva; si parecen disponerse en torno a una recta de pendiente negativa, la covarianza es negativa; si no parece haber relación lineal, la covarianza es próxima a cero: Propiedades 6 Sean X e Y dos variables estadísticas Si X e Y son independientes, entonces Cov(X,Y) = 0 (El recíproco no es en general cierto) En efecto, si X e Y son independientes, para cada i,j se tiene que f ij = f i f j y por tanto, l k l k Cov(X,Y) = x i y i f ij xȳ = x i y i f i f j xȳ = j= j=

27 Estadística 0 ( ) l k = x i f i y j f j xȳ = 0 j= 2 Si a,b,c,d IR, y U = ax +b, V = cy +d, entonces Cov(U,V) = accov(x,y) Ejemplo: Cov(U,V) = Cov(aX+b,cY+d) = = (ax i +b (a x+b))(cy i +d (cȳ +d)) = (ax i a x)(cy i cȳ) = accov(x,y) Las variables X e Y cuya distribución viene dada por la siguiente tabla conjunta, tienen Cov(X,Y) = 0, pero no son independientes, es fácil observar que Y = X 2 2 Coeficiente de correlación X\Y Uno de los principales inconvenientes de la covarianza es que depende de las unidades de medida de las variables El coeficiente de correlación es una medida adimensional Definición 24 Se define el coeficiente de correlación lineal entre dos variables X e Y y se denota por r, como: r = Cov(X,Y) s X s Y Propiedades 7 Es un coeficiente adimensional 2 El valor de r no varía si multiplicamos X por a e Y por b con a y b números reales del mismo signo r 4 r = si, y sólo si, existe relación lineal exacta entre las variables, es decir, si existen a,b IR tales que y i = ax i +b, i =,, Además, si a > 0, es r= y si a < 0 es r = 4 Si X e Y son estadísticamente independientes, entonces r = 0 Observación 8 De las propiedades anteriores se deduce que si r es próximo a ± se puede sospechar la existencia de relación lineal entre las variables y que si r es próximo a 0, se puede sospechar la inexistencia de tal relación En cualquier caso, el coeficiente de correlación es una medida resumen de la estructura de un diagrama de dispersión, y por tanto siempre conviene dibujar el diagrama que es el que contiene toda la información