OPTIMIZACIÓN DINÁMICA

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "OPTIMIZACIÓN DINÁMICA"

Magdalena Rivas Martin
hace 7 años
Vistas:

1 OPTIMIZACIÓN DINÁMICA Francisco Alvarez González TEMA 1 Programación Dinámica: Formulación del problema. 1. Qué es un problema dinámico? 2. Tiempo, estado y control. 3. Formulación general.

2 1.1. Qué es un problema dinámico? Tiempo. En lo sucesivo, consideramos tiempo discreto, denotado por k, siendo: k = 0,1,..., N con N finito. Cada unidad de tiempo es un período. Ejemplo 1. Supongamos un monopolio, sin amenazas de entrada, que elige qué cantidad produce en cada período durante los períodos 0,1,..,N-1, sea q(k) en el período k. En cada período su coste de producción es C(q) y se enfrenta a una función inversa de demanda p=d(q,k). Por ejemplo, sea: α D ( qk, ) = β q 1+ k Es decir, la demanda disminuye simplemente con el paso del tiempo. La empresa desea maximizar la suma de su beneficio a lo largo de los períodos 0,1,,N-1. En cada período, el beneficio de la empresa es: π ( qk, ) = D( qk, ) q C( q) Por tanto, la función a maximizar cambia en cada periodo, sin embargo: En cada período, su decisión presente no afecta a su beneficio futuro Ejemplo 2. Un departamento universitario recibe al comienzo de cada año período- una dotación presupuestaria, sea a(k) en el período k. El departamento debe decidir cuanto gasta en cada una de sus dos actividades, docencia e investigación, sean dichos gastos u 1 (k) y u 2 (k) respectivamente en el período k. La utilidad o satisfacción del departamento es medible por la función: U( u1, u2) = ( 1 β) ln ( u1) + βln ( u2) La asignación que recibe el departamento es independiente de sus decisiones y no se pueden traspasar saldos (positivos o negativos) entre períodos. El departamento desea maximizar la suma de su utilidad a lo largo de los períodos 0,1,,N. El problema en el período k es: max U u, u sa..: u + u a k { ( 1 2) } 1 2 ( ) De nuevo, el problema a resolver cambia período a período, sin embargo: En cada período, su decisión presente no afecta a su utilidad futura

3 Ejemplo 1 (revisado): efecto saturación. Supongamos de nuevo el ejemplo 1 anterior, pero ahora la demanda de un período disminuye, además de con el tiempo (k), con la cantidad producida en los períodos pasados. Concretamente, para k>0, definimos: k 1 ( ): q( i) x k = con x(0):=0, de modo que la anterior función de demanda pasa a ser en cada período: α D ( qxk,, ) = β q 1+ k + x Ahora, la decisión de un período afecta al beneficio futuro en tanto que contrae la demanda de todos los períodos futuros. Este es un problema dinámico. Ejemplo 2 (revisado). Supongamos de nuevo el ejemplo 2 anterior, pero ahora el saldo negativo se traspasa entre períodos, es decir, si en el período k el departamento gasta menos de a(k), lo que sobra lo pierde, pero si gasta más, el exceso de gasto se reduce de la asignación del período k+1. Ahora, la decisión de un período puede afectar a la utilidad de los períodos futuros (afectará o no dependiendo de que decisión se tome). Este es un problema dinámico. Ejemplo 3: recursos naturales no renovables. Una compañía tiene la licencia de explotación de un yacimiento petrolífero durante los períodos 0,1,,N. La empresa debe decidir cuanto petróleo extraer en cada período. Supongamos (de forma poco realista!!) que en cada período el beneficio de extracción depende únicamente de la cantidad extraída en dicho período, con independencia de las cantidades extraídas en períodos pasados o de cuánto quede aún en el yacimiento. La compañía desea maximizar el beneficio total durante los N+1 períodos que tiene la licencia. Es un problema dinámico? Dicho de otra forma, las decisiones de la compañía en cada período afectan a su beneficio futuro? La respuesta es afirmativa en tanto supongamos que la cantidad de petróleo en el yacimiento no es ilimitada, lo que quiere decir que la cantidad extraída hoy afecta significativamente a la cantidad disponible para el futuro. Además, si la cantidad de recurso (petróleo) no es ilimitada, es relevante el hecho de que el petróleo (supongámoslo aún no siendo del todo cierto!!) no se crea, es decir, es no renovable. i= 0

4 1.2. Tiempo, estado y control Tomemos de nuevo el ejemplo 1 revisado anterior. Hagamos dos consideraciones. En primer lugar, la inversa de demanda, y por tanto el beneficio, en el período k depende de q, x y k, de modo que debemos escribir π(q(k),x(k),k) en lugar de π(q(k),k). En segundo lugar, para todo k 0 podemos escribir: x( k+ 1) = x( k) + q( k) con x(0)=0 dado. El problema puede expresarse de la siguiente forma. Elegir la secuencia q[0,n]:={q(0),q(1),,q(n-1)} que maximiza: N 1 k = 0 π ( q( k), x( k), k) sujeto a la anterior ecuación dinámica para x. Diremos que: La cantidad producida en los períodos pasados, x, es la variable de estado. La variable de elección, q, es la variable de control. La secuencia que la empresa elige es una política. Para el problema planteado, una política es factible si cada elemento de dicha secuencia (la producción en cada período) es no negativa. La función en este caso a maximizar- es el funcional objetivo. Notemos que el funcional es una función del conjunto de políticas factibles (secuencias de N+1 elementos) en R. Una política factible es óptima si ninguna otra política factible da lugar a un mayor valor del funcional objetivo.

5 1.3. Formulación general. De modo más general, un problema de programación dinámica determinístico en tiempo discreto y horizonte finito tiene la siguiente formulación: sujeto a: N 1 max g ( u( k), x( k), k) + S x( N), N k = 0 { u( 0 ), u( 1 ),..., u( N 1) } ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0) dado ( ) ( ) ( ) x k+ 1 = f x k, u k, k, k = 0,1,..., N 1 x u k U k, k = 0,1,..., N 1 Línea temporal: u(0) u(1) u(k) u(n-1) x(0) x(1) x(2) x(k) x(k+1) x(n-1) x(n) Debemos notar que: El problema es determinístico porque no intervienen variables aleatorias. El horizonte, N, se supone finito. Además: Principio de causalidad: x(k) junto con {u(k),...,u(k+h-1)} determinan completamente x(k+h), para todo h>0. El funcional objetivo es aditivamente separable por períodos. Permitimos la existencia una evaluación final del estado, el término S(x(N),N), que denominamos valor residual. En cada período, la restricción que define el control factible puede ser distinto y, de hecho, puede depender del estado. No necesariamente todos los elementos deben estar en todos los problemas. P. ej: en el caso del monopolio anterior no hay valor residual. Otro ejemplo: problemas autónomos (el tiempo no afecta directamente a f, ni a g, ni a S).

Documentos relacionados

OPTIMIZACIÓN DINÁMICA

OPTIMIZACIÓN DINÁMICA Francisco Alvarez González [email protected] TEMA 6 Algunas aplicaciones del principio del máximo de Pontryagin 1. Modelo de Ramsey en horizonte finito sin descuento.. Recursos