Transformada de Laplace

Transcripción

1 CAPÍTULO 6 Transformada de Laplace 6.1 Introducción 1 Lo que en este capítulo llamaremos Transformada de Laplace (de aquí en adelante TL) cae dentro de lo que actualmente se conoce como cálculo operacional. Los métodos del cálculo operacional se utilizan con mucha frecuencia en la ingeniería, la física y las matemáticas. En particular, dentro de la ingeniería eléctrica, mecánica, mecatrónica, entre otras, se le usa para la solución y análisis de diversos problemas. La transformada que discutiremos en este capítulo toma su nombre del matemático Pierre-Simon Laplace quien la definió a finales del siglo XVIII. La transformada de Laplace es en muchos sentidos similar a otros tipos de transformación matemática que permiten llevar un problema a otro ámbito donde su solución resulta más sencilla. Por ejemplo, los logaritmos son utilizados para transformar problemas de multiplicación y división en otros donde sumamos o restamos después, para obtener el producto o división de los números originales, aplicamos la transformación inversa. En este capítulo nuestro principal interés en la transformada de Laplace se enfocará hacia las ecuaciones diferenciales, no obstante, vale la pena señalar que el trabajo pionero del ingeniero electricista Oliver Heaviside se volcó hacia otra buena cantidad de problemas prácticos, tal vez el más notorio de ellos el que se refiere a la propagación de corrientes y voltajes a lo largo de líneas de transmisión. En este sentido de ideas, cabe decir que la transformada de Laplace ofreció métodos de solución más sistemáticos y más sofisticados que aquellos que se venían utilizando apoyados en los métodos clásicos. Ahora bien, la idea fundamental en lo que a nosotros concierne se muestra en el siguiente esquema: Problema: ecuación diferencial con condiciones iniciales dadas L! L 1 Problema tipo algebraico Es decir, si aplicamos la transformada de Laplace (L) a una ecuación diferencial con condiciones iniciales, entonces convertiremos a este problema en otro de tipo algebraico. Resolvemos el problema algebraico, y lo llevamos nuevamente al ámbito de las ecuaciones diferenciales por medio de la transformada inversa 1 canek.azc.uam.mx: 28/ 7/ 28 1

2 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias (L 1 ). Un asunto muy interesante en torno a este tipo de problemas es que existe un resultado sobre TL que permite incorporar de manera natural las condiciones iniciales de las ecuaciones diferenciales. Aunque hay sobre la TL muchas más aplicaciones de las que presentaremos en este libro, ofrecemos a continuación un conjunto de problemas para los cuales los métodos vistos hasta ahora no proporcionan un método adecuado de solución. Sistemas oscilatorios con fuerzas de excitación discontinuas. Ejemplo Consideremos un sistema masa-resorte con m 2 kg, una constante de amortiguamiento que ofrece una resistencia al paso de la masa de 4 N por cada m/s de velocidad y una constante de restitución k 1 N/m. Supóngase que el sistema está inicialmente en reposo y en equilibrio por lo cual x./ x./ y que la masa es impulsada por una fuerza de excitación f.t/ cuya gráfica se muestra en la figura adjunta: una onda cuadrada con amplitud de 1 N y periodo igual a 2. Encontrar la posición de la masa en cualquier instante. f.t/ t 1 Sistemas aclopados que llevan a sistemas de ecuaciones diferenciales. Ejemplo os masas iguales de 1 kg, se encuentran vinculadas mediante tres resortes de masas despreciables y constantes de restitución k, como se muestra en la figura adjunta. El sistema está dispuesto verticalmente y las masas están desprovistas de rozamiento así como de fuerzas de excitación. eterminar la posición de cada masa en cualquier instante si k 3 N/m. k Posición de equilibrio m 1 1 x 1 k Posición de equilibrio x 2 m 2 1 k Ecuaciones integro-diferenciales. Ejemplo Como hemos discutido ampliamente en el capítulo anterior, para un circuito en serie RLC, la aplicación del principio de conservación de la energía nos lleva a una de las leyes de Kirchoff:

3 6.1 Introducción 3 La suma de las caídas de voltaje a través de los elementos de un circuito eléctrico es igual al voltaje aplicado". En símbolos: L d 2 Q dt C R dq C 1 2 dt C Q V.t/; donde la resistencia R se mide en ohms (), la inductancia L en henrys (H), la capacitancia C en farads (F ), y el voltaje aplicado V en volts (V ). Cuando se cierra el interruptor, se genera una corriente eléctrica de I amperes y una carga Q.t/ coulombs, relacionadas en el sentido de que la corriente eléctrica mide la razón de cambio de la carga con respecto al tiempo, es decir, I dq dt. Observemos que tanto Q como I son funciones causales en tanto que el condensador se encuentre sin carga dentro del circuito en el tiempo t. Por otro lado, por el teorema fundamental del cálculo, es posible plantear también que: Q.t/ t I.t/ dt; por lo cual podemos reescribir la ecuación del circuito en serie RLC como: L di dt C RI C 1 t I.t/ V.t/: C Ecuaciones de este tipo son muy importantes en las matemáticas aplicadas, se les llama ecuaciones integro-diferenciales. La teoría de Laplace nos permite resolver este tipo de ecuaciones de manera más concreta: Calcular la corriente en un circuito serie RLC cuyos componente son: una resistencia de 2, un inductor de 1 H, un condensador de 1 F y una fuente de voltaje que entrega t t < 1 V.t/ 2 t 1 t 2 t > 2 volts. R Interruptor V.t/ C L Ecuaciones diferenciales en las que interviene una función impulso. En ingeniería resulta de interés el análisis y la correspondiente solución de sistemas mecánicos, circuitos eléctricos y cargas mecánicas (tal vez sobre vigas) donde se produce alguna fuerza de excitación muy grande" aplicada en un lapso de tiempo muy corto". Casos típicos de estas situaciones son el golpe de bat sobre una pelota, un peso grande concentrado en un punto de una viga" por un intervalo de tiempo corto, una fuerza electromotriz que cambia repentinamente en un intervalo pequeño de tiempo por efecto tal vez, de un rayo, etc. En tales situaciones, a menudo ocurre que el principal efecto de la fuerza depende sólo del valor de la integral p b a f.t/dt;

4 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias cantidad que no es afectada por la forma precisa en que varía f.t/. El número p anterior se llama impulso de la fuerza f.t/ sobre el intervalo Œa; b. Aunque sin una justificación matemática rigurosa (que se ofreció algunas décadas después de la introducción de la delta" por el matemático francés Laurent Schwarz), los ingenieros y físicos utilizaron por muchos años la delta del físico Paul A.M. irac ı.t a/ para modelar éstos y otros problemas. Sin entrar por el momento en los detalles, diremos que esta función junto con la TL nos permiten resolver problemas como el siguiente. Ejemplo Una masa unida a un resorte se libera desde el reposo a dos metros por debajo de la posición de equilibrio, y comienza a vibrar. espués de 5 s, la masa recibe un golpe que ejerce un impulso sobre la masa igual a 8. El sistema queda descrito de la siguiente manera: Hallar la posición de la masa en cualquier instante. d 2 x dt 2 C k m x 8 ı. 5/I x./ 2I x./ : 6.2 La Transformada de Laplace Hacemos una primera consideración. Las funciones en las que estamos interesados estarán relacionadas con sistemas físicos que son no anticipantes, es decir, sistemas en los cuales no ocurre nada interesante si t <. A tales funciones las llamaremos causales y son tales que: f.t/ si t < : icho en otras palabras, sólo estaremos interesados en funciones para las cuales lo relevante del sistema ocurre sólo si t. La transformada de Laplace (TL) de una función causal se define por medio de: Lff.t/g F.s/ e st f.t/dt En todos los valores s 2 R para los cuales la integral impropia anterior converja. Si Lff.t/g F.s/ diremos que f.t/ es la transformada inversa de Laplace de F.s/ lo que denotaremos como: f.t/ L 1 ff.s/g A esta conexión entre f.t/ y F.s/ se le suele escribir como f.t/ $ F.s/: 1. Recordemos que una integral impropia como la anterior se define como un límite de integrales sobre intervalos finitos, es decir, e st f.t/dt lím e st f.t/dt Si el límite existe, el resultado de la integral será en general una función que depende de s. Al escribir una TL no siempre se especifica el rango de valores s para los cuales la integral existe, no obstante, debemos estar preparados para determinarlo en caso de que se requiera. 2. Hemos definido el concepto de TL para funciones causales. En ocasiones a esta transformada también se le llama unilateral.

5 6.3 TL por definición 5 3. Si una función está definida también para valores negativos, entonces se le puede considerar como causal si se le modula por medio de la función de Heaviside o escalón unitario: { t < u.t/ 1 t : El efecto de esta función sobre una función cualquiera se aprecia en: { t < u.t/f.t/ f.t/ t : Es decir, al multiplicar f.t/ por u.t/ la función se convierte en causal. 4. Si estuviéramos interesados en funciones no causales, entonces tendríamos que ampliar la definición a la TL bilateral, ésta es: Lff.t/g F.s/ 1 e st f.t/dt: No obstante, ésta tiene otras implicaciones que caen fuera del alcance e interés de este libro. 6.3 TL por definición Calculemos la TL de la función escalón unitario. H U.s/ u.t/ { t < 1 t e st u.t/dt lím ( ) 1 lím s.e sr 1/ e st dt Observamos ahora que el límite anterior existe sólo si s >. En este caso, lím e sr, en consecuencia, ( ) 1 U.s/. 1/ 1 s s : e esta manera, hemos hallado nuestra primer fórmula de TL, concretamente: u.t/ $ 1 s ; s > : Calculemos la TL de la función f.t/ e at, para t. H Ahora, F.s/ lím 1 a e st e at dt e.a s/t dt lím s lím. e.a s/r 1 / 1 a s/t e.a s R

6 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias Si ahora estudiamos el límite anterior, llegaremos a la conclusión de que éste existirá siempre y cuando a s <. En este caso, lím e.a s/r, por lo tanto: F.s/ 1 a s. 1/ 1 s a ; s > a 1. Al estudiar ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes nos vimos en la necesidad de incorporar números complejos de la forma s a C ib y la correspondiente fórmula de Euler: e acib e a.cos b C i sen b/ Sin entrar en precisiones parece natural señalar pensar que la linealidad de la integral se mantiene en este caso, es decir, que si s a C ib, entonces: F.s/ e st f.t/dt e.acib/t f.t/dt e at Œcos.bt/ C i sen.bt/ f.t/dt e at cos.bt/f.t/dt C i e at sen.bt/f.t/dt 2. Cabe señalar que el ejemplo anterior también es válido si el número a fuera complejo. Si a C iˇ, en la deducción de la fórmula requeriríamos considerar: lím e.a s/r lím eiˇt e. s/r cuando s < Así, la fórmula del ejemplo anterior es válida si la extendemos al caso complejo del número a", en este caso se requiere que Re.a/ < s. Aunque para el siguiente resultado podríamos proceder directamente con la definición, es más sencillo utilizar la nota anterior. Calculemos la TL de las funciones: 1. f.t/ cos.kt/, 2. f.t/ sen.kt/ para t. H Usamos el resultado anterior con a i k, entonces: Lfe ik g e st e ik dt e st.cos.kt/ C i sen.kt//dt e st cos.kt/dt C i e st sen.kt//dt

7 6.4 os resultados importantes 7 También, Lfe ik g 1 s ik 1 ( ) s C ik s ik s C ik s C ik s 2 C k s 2 s 2 C k C i k 2 s 2 C k 2 Por lo tanto: e st cos.kt/dt C i e st s sen.kt//dt s 2 C k C i k 2 s 2 C k 2 e aquí, al igualar las partes reales e imaginarias, determinamos que: 1. cos.kt/ $ s s 2 C k 2 ; s > 2. sen.kt/ $ k s 2 C k 2 ; s > onde, de acuerdo a la nota anterior, la validez de estas fórmulas se logra si Re.ik/ < s. 6.4 os resultados importantes Los resultados anteriores nos podrían hacer pensar que bastará cuidar el rango de la variable s para asegurar la existencia de la TL, sin embargo, para algunas funciones éste no es el caso, en efecto. Ejemplo Mostraremos que la TL de la función f.t/ e t2 no existe para ningún valor de s. H Separamos nuestro estudio en tres casos: 1. Para toda s <, tenemos: a. Para s : e st e t2 dt Lfe t2 g e t2 e st e t2 dt st dt e st e t2 dt e t dt 1! C1 e t2 dt e t2 dt! C1: e t dt 1! C1 e t2 dt 1 R R 1 et dt e t2 dt 1! C1: R R 1 et dt

8 8 Ecuaciones diferenciales ordinarias e t2 st b. Para todo s >, tenemos que lím 1, por lo tanto, dados s y cualquier " >, podemos t!1 e t2 hallar un número positivo M talque t M implica e t2 st e t2 ", así, para R > M : e st e t2 dt e t2 M st dt M.e t2 "/dt M R R M.et "/dt e R e M ".R M/! C1 Como esto es cierto para cualquier s >, concluimos que la integral diverge para todo s >. Finalmente, para cualquier s 2 R, e st e t2 dt diverge, en consecuencia la TL no existe para ningún valor de s. El ejemplo anterior nos lleva al cuestionamiento de las condiciones que garantizan la existencia de la TL de una función. Existe un resultado en este sentido que enunciamos en el siguiente. Teorema. Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace. Sea f una función causal. Si f : a. Es seccionalmente continua sobre el intervalo t A para cualquier A >. b. Es de orden exponencial para t M, es decir, si j f.t/ j Ke at, para t M ; dondek; a; M son constantes. Entonces Lff.t/g F.s/ existe para s > a. Funciones f.t/ que satisfacen las condiciones del teorema anterior se denominan funciones seccionalmente continuas de orden exponencial. Necesitamos hacer algunas aclaraciones al respecto del teorema anterior. a. Una función se dice que es seccionalmente continua, si posee a lo más un número finito de discontinuidades de salto en todo intervalo t A para cualquier A >. b. El orden exponencial que se exige a la función sólo se requiere a partir de t M, lo que ocurra en el intervalo t < M en este sentido no es importante. La siguiente gráfica ilustra las dos condiciones anteriores. x.t/! t M Ke at t j f.t/j Ke at, Ke at f.t/ Ke at Ke at

9 6.4 os resultados importantes 9 2. Hemos escrito el par f.t/ $ F.s/ para referirnos a la transformada de Laplace y su inversa. Cabe entonces la pregunta al respecto de la unicidad de tal relación. Tenemos el siguiente teorema que enunciamos sin demostración. Teorema de Lerch sobre unicidad Sean f y g dos funciones seccionalmente continuas de orden exponencial con TL F y G, respectivamente. Supóngase que existe un número s tal que las F.s/ G.s/ para todo s > s. Entonces, con la posible excepción de los puntos de discontinuidad, estas funciones son idénticamente iguales, es decir, f.t/ g.t/ para todo t.