El espacio n. Consideremos el conjunto de todas las n adas ordenadas de números reales, denotado por n :

Transcripción

1 El espacio n Consideremos el conjunto de todas las n adas ordenadas de números reales, denotado por n : n = {(x 1,x 2,, x n ) / x 1,x 2,, x n } A cada uno de los números reales x 1,x 2,, x n que conforman la n ada (x 1,x 2,, x n ) n, se le llama componente o cooordenada de la n-ada correspondiente. Al elemento x i, de la n ada (x 1,x 2,, x n ), lo denominaremos la i - ésima coordenada de (x 1,x 2,, x n ), donde i = 1, 2,..., n. Ejemplos: = no es más que el conjunto de los números reales 2 = {(x,y) / x, y } 3 = {(x,y,z) / x, y, z } 1 1 Igualdad en n Dos n-adas de n, se dicen ser iguales, cuando todos y cada una de sus coordenadas son iguales, es decir: (x 1,x 2,, x n ) = (y 1,y 2,, y n ) x 1 = y 1, x 2 = y 2,..., x n = y n 2

2 OPERACIONES EN n Las operaciones que definiremos en n son: a. Suma de n-adas ordenadas Si (x 1, x 2,, x n ), (y 1, y 2,, y n ), son dos elementos de n, definimos la suma, denotada por (x 1, x 2,, x n ) + (y 1, y 2,, y n ), como: (x 1, x 2,, x n ) + (y 1, y 2,, y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) b. Producto de una n-ada ordenada por un escalar El producto de una n-ada (x 1, x 2,, x n ) n por el escalar c, denotado por c(x 1, x 2,, x n ), se define por: c(x 1, x 2,, x n ) = ( c x 1, c x 2,, c x n ) 3 PROPIEDADES 1. La suma es conmutativa, es decir (x 1, x 2,, x n ) + (y 1, y 2,, y n ) =(y 1, y 2,, y n ) + (x 1, x 2,, x n ) 2. La suma es asociativa, es decir (x 1, x 2,, x n ) + [ (y 1, y 2,, y n ) +(z 1, z 2,, z n )] =[(x 1, x 2,, x n ) + (y 1, y 2,, y n )] +(z 1, z 2,, z n ) 3. Existe un elemento en n, llamado cero 0 =(0,0,...,0), que actua de manera neutro para la suma: (x 1, x 2,, x n ) + (0,0,, 0) = (x 1, x 2,, x n ) 4. Cada n-ada de n tiene un inverso aditivo, el cual es un elemento de n que tiene la propiedad de que, sumado con la n-ada original, produce el cero de n. El inverso aditivo de (x 1, x 2,, x n ), es (- x 1, -x 2,,- x n ), pues: (x 1, x 2,, x n ) + (- x 1, -x 2,,- x n ) = (0,0,, 0) 4

3 5. Si es un escalar, se tiene que: [ (x 1, x 2,, x n ) + (y 1, y 2,, y n ) ] = (x 1, x 2,, x n ) + (y 1, y 2,, y n ) 6. Si, son escalares, se tiene que: ( + ) (x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n ) + (x 1, x 2,, x n ) 7. Si, son escalares, se tiene que: ( ) (x 1, x 2,, x n ) = [ (x 1, x 2,, x n )] = [ (x 1, x 2,, x n ) ] 8. 1(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n ) 5 SISTEMA CARTESIANO EN EL ESPACIO (0,0,c) (0,b,c) (a,0,c) (0,b,0) (a,0,0) (a,b,0) 6

4 NORMA Y DISTANCIA La norma euclideana de un vector x n denotada por x, se define como: x = 2 x+x+...+x 1 2 n La distancia entre los vectores x, y n, denotada por d(x,y), se define como: d(x,y) = x- y Ejemplos: Calcular la distancia entre los puntos: i) P(-3) y Q(5.5) ii) P(-3, 2) y Q(1,1.5) iii) P(1.5,-1,1) y Q(0,0,3) 7 BOLAS ABIERTAS Sea x 0 n y r > 0. La bola abierta de centro en x 0 y radio r, denotada por B(x 0,r), es el conjunto de puntos de n que distan de x 0 en menos de r, es decir: B(x 0,r) = { x n / x- x 0 < r } : B(X o,r) 2 : B(X o,r) 3 : B(X o,r) y 0 z 0 x 0 y 0 x 0 8

5 CONJUNTO ABIERTOS Se dice que el conjunto U n es un conjunto abierto en n, si para cada x 0 U existe un r > 0 tal que B(x 0,r) U. CONJUNTOS CERRADOS Se dice que el conjunto U n es cerrado, si el complemento de U es un conjunto abierto en n. Ejemplos Indicar si el conjunto es abierto ó cerrado en: i) A = < 7, > ii) A = [-3, 6 ] iii) A = [-5, 6 > iv) A = {(x,y) 2 / x>1, y>0 } v) A ={(x,y) 2 / x 0, y 0 } 9 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES La explicación ó descripción del mundo real y social han planteado, la necesidad de considerar funciones de más de una sola variable. Por ejemplo, considere la temperatura T en un punto de la superficie de la tierra depende en todo momento de la longitud x y la latitud y del punto. Podemos pensar en T como una función de dos variables x e y ó como una función del par (x,y). Esta dependencia funcional lo representaremos por T= f(x,y). Una función f de n variables f: D n, es una regla que asigna a cada elemento (x 1, x 2,, x n ) de D un único número real f(x 1, x 2,, x n ). Al conjunto D se conoce como dominio de f. A menudo escribimos z = f(x 1, x 2,, x n ) para hacer explícito el valor que toma f en el punto general (x 1, x 2,, x n ). Las variables x 1, x 2,, x n son las variables independientes y z es la variable dependiente. 10

6 El rango de f, denotado por Rg(f), es el conjunto de valores que toma f, es decir: Rg(f) ={ f(x 1, x 2,, x n )/ (x 1, x 2,, x n ) D} Ejemplo: Determinar el dominio, rango de la función f(x,y) = 4 x y Sea f: D n, una función con dominio D. La gráfica de f, es el conjunto: G(f) = { (x 1, x 2,, x n, z)/ z = f(x 1, x 2,, x n ), (x 1, x 2,, x n ) D)} (x,y,z) (x,y) 11 Observación: i) Si f: D, su gráfica se encuentra en 2 ii) Si f: D 2, su gráfica se encuentra en 3 Ejemplo: Obtener la gráfica de la función f, definida por: f(x,y) = 4 12

7 CONJUNTO DE NIVEL Sea f: D n, una función y k. Entonces el conjunto de nivel de valor k, se define como: { x D/ f(x, y) = k } n Si: n = 2, el conjunto de nivel será una curva de nivel (de valor k) Si: n = 3, el conjunto de nivel será una superficie de nivel (de valor k) NOTA. Las curvas de nivel se usan frecuentemente en la elaboración de mapas hidrográficos, meteorológicos, etc. 13 Ejemplo: Determine las curvas de nivel de: z = x 2 + y

8 OPERACIONES CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Sean f, g: D n, funciones de n variables con dominios Df y Dg f, respectivamente, entonces f + g, f - g, f. g, f / g, se definen como: i) (f + g )(x) = f(x) + g(x), D f+g = D f D g ii) iii) (f - g )(x) = f(x) - g(x), D f-g = D f D g (f. g )(x) = f(x) g(x), D f.g = D f D g Ejercicio. Determinar el dominio de la función: f(x,y) = 15 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES y Lámina de metal Temperatura (a, b) (x, y) L f(x, y) x 0 Si la temperatura f(x,y) se acerca a un valor fijo L, cuando (x,y) se aproxima cada vez más a un punto fijo (a,b), entonces esto se denotará como: lim (x,y) (a,b) f(x,y) = L y puede leerse: el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (a,b) es L 16

9 17 Ejercicio 1. Analizar si xy lim =0 x y (x,y) (0,0) Ejercicio 2. Analizar si 3 4 xy lim =0 4 4 x y (x,y) (0,0) 7x y Ejercicio 3. Analizar si lim =0 (x,y) (0,0) 2x y 18

10 CALCULO DE LIMITES MEDIANTE OPERACIONES ALGEBRAICAS Ejemplo: Calcular los siguientes límites: 1. lim x y (x,y) (1,5) x 2 2. lim x y (x,y) (0,0) x y 3 4 ( x 1)( y 16) 4. lim x y 3. lim (x,y) (1,2) ( 2 1)( 4) (x,y) (0,0) x x y y TEOREMA DEL ENCAJE Dadas las funciones f, h, g tal que f(x) h(x) g(x), x D n., Si lim f(x)= lim g(x),entonces, x x x x 0 0 lim h(x)= lim f(x)= lim g(x) x x0 x x0 x x0 TEOREMA DE LA ACOTACIÓN Si f es una función tal que lim f(x)=0 x x 0 ; g(x) una función acotada (es decir existe una constante k>0 de modo que: -k g(x) k ), entonces, lim f(x)g(x)=0 x x 0 Este teorema nos indica que si una función tiene límite cero en un punto, y otra función está acotada en los alrededores del punto, entonces, su producto también tiene límite cero en dicho punto. 20

11 Ejemplo: Calcular: i) lim (x + y )cos ii) (x,y) (0,0) xy (x,y) (0,0) 1 3 x lim x +y 21 PUNTO DE ACUMULACIÓN Se dice que p 0 es un punto de acumulación de un conjunto D n, si toda bola abierta reducida B (p0,r):= B(p 0,r) { p 0 } contiene infinitos puntos de D, es decir: B (p 0,r) D. Ejemplo Analizar si el punto (0,0) es un punto de acumulación de S= {(x,y) 2 / x > 0, y > 0} REGLA DE LA TRAYECTORIA Sea S 1 y S 2 limf(x) limf(x) x p x p x S x S2 conjuntos de n que tienen al punto p 0 como un punto de acumulación. Si entonces, lim f(x) x p 0, no existe. 22

12 Ejemplo. Calcular: i), x y si existe. ii) x y lim lim (, xy) (0,0) 2 x y ( xy, ) (2,2) x 3xy iii) lim (, xyz,) (0,0,0) x yx z x 4 x y z 4 3 si existe 23 CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Sea f es una función de n variables y sea p un punto en n Se dice que f es continua en el punto p si se cumplen la tres condiciones: i) f (p) esta definida ii) lim f(x) x p existe iii) lim f(x) = f(p) x p Sea f una función de n variables, definida en el conjunto abierto D de n. Se dice que f es continua en el conjunto D (o simplemente que f es continua) si f es continua en cada uno de los puntos x o D. 24

13 Propiedad Sean f, g: D n funciones definidas en el conjunto abierto D de n. Si f y g son funciones continua en el punto x o, entonces 1. la función f+ g: D n, (f + g)(x)= f(x)+g(x), es continua en x o 2. la función fg: D n, (f g)(x)= f(x) g(x), es continua en x o 3. la función f/ g: D n, (f /g)(x)= f(x) /g(x), es continua en x o, siempre que g(x o ) 0 Nota. Cualquier función polinómica f: n es continua en n. Ejemplo: Analizar si la función f(x,y,z)= su dominio x xy y x y, es continua en todo 25 Ejercicios En cada caso, analizar si f es continua en (0,0), si i) x y x y si x y f( x, y) 0, si( x, y) (0,0) 2 ( )/( ), (, ) (0,0) ii) xy x y si x y f( x, y) 0, si( x, y) (0,0) /( ), (, ) (0,0) iii) x y x y si x y f( x, y) 0, si( x, y) (0,0) ( )/( ), (, ) (0,0) 26

14 Propiedad Si f: D n es un función continua xo y g es una función continua en f(xo), entonces, la función compuesta definida por (gof)(x)=g(f(x)) es continua en xo, es decir: lim g( f( x)) g(lim( f( x)) x x x x 0 0 Ejemplo. Analizar si f(x,y)=sen(x 2 -y 2 ) es continua en todo su dominio. 27