Modelos de probabilidad en R

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1 Modelos de probabilidad en R Contents Probabilidades Discretas 1 Ejemplo: suma de la cara de dos dados Distribución Binomial: Distribución Poisson: Probabilidades Continuas 11 Ejemplo: una varible distribuida normalmente (estándar) Cambiando los parámetros de una curva normal Distribucion T Student Distribucion Log Normal Chi Cuadrado Distribución Beta Ejemplo: a una variable específica, ajustar la curva normal Estimar los parametros: normal Estimar los parametros: t student Comparamos el ajuste normal y t student En este tutorial vamos a R para reforzar los conceptos de probabilidad vistos en clase y darles un mayor sentido y aplicabilidad. Se abordarán los principales modelos de probabilidad discreta y continua. Más adelante se verá su utilidad en finanzas. Probabilidades Discretas Ejemplo: suma de la cara de dos dados Gráfico de la Función de Masa (o densidad) y la Función de Distribución #Sabemos que la suma de dos dados se encuentra entre 2 y 12 x<-2:12 #Conocemos también la cantidad de casos favorables para cada suma #y lo divimos entre el total de casas (36) p<-c(1:6,5:1)/36 #Graficamos la función de masa f(x) plot(x,p,type="h",ylim=c(0,0.2),xlab=expression(x[i]),ylab=expression(p[i])) points(x,p,pch=19) 1

2 p i x i #Graficamos la función de distribución F(x) plot.ecdf(outer(1:6,1:6,"+"),ylab=expression(f[x](x)),main="") 2

3 F X (x) x Distribución Binomial: Suponga que un gerente de crédito de American Express ha descubierto que históricamente 7.82% (p) de los usurios de tarjetas han experimentado problemas con el róbo o pérdida de su tarjeta. Por lo cual para efectos de preveer la cantidad de reposiciones en el próximo año desea saber la probabilidad de que: De una sucursal que atiende 1,000 personas, exactamente 68 personas necesiten reponer su tarjeta #Identifico los parámetros x<-68 p< n<-1000 #uso la función de masa o densidad (esto es la probabilidad puntual) dbinom(x,size=n,prob=p) ## [1] De una sucursal que atiende 1,000 personas, menos de 80 personas necesiten reponer su tarjeta #Identifico los parámetros x<-80 3

4 p< n<-1000 #uso la función de distribución (acumulada hacia atrás) pbinom(x,size=n,prob=p) ## [1] De una sucursal que atiende 1,000 personas, más de 80 personas necesiten reponer su tarjeta #Identifico los parámetros x<-80 p< n<-1000 #uso la función de distribución 1-pbinom(x,size=n,prob=p) ## [1] De una sucursal que atiende 1,000 personas, entre 25 y 85 personas necesiten reponer su tarjeta #Identifico los parámetros x1<-85 x2<-25 p< n<-1000 #uso la función de distribución p1<-pbinom(x1,size=n,prob=p) p2<-pbinom(x2,size=n,prob=p) p1-p2 ## [1] De una sucursal que atiende 1,000 personas, más de 110 personas necesiten reponer su tarjeta #Identifico los parámetros x<-110 p< n<-1000 #uso la función de distribución 1-pbinom(x,size=n,prob=p) ## [1] Podemos ver graficamente el fenómeno 4

5 #Primer forma es con una función creada por nosotros mismos #Defino los parámetros p< n<-1000 #Uso la función de densidad (que brinda las probabilidades no acumuladas como en pbinom) x<-dbinom(0:n,size=n,prob=p) #Grafico barplot(x,names.arg=0:n,main=sprintf(paste('bin. dist. ',n,p,sep=':')), xlab="personas que reponen tarjeta",ylab="densidad") #Ahora podemos agrupar todo dentro de una nueva función g.bin<-function(n,p){ x<-dbinom(0:n,size=n,prob=p) barplot(x,names.arg=0:n,main=sprintf(paste('bin. dist. ',n,p,sep=':')), xlab="personas que reponen tarjeta",ylab="densidad") } p< n<-1000 g.bin(n,p) bin. dist. :1000: Densidad Personas que reponen tarjeta 5

6 #Ahora puedo reducir el eje x en el gráfico para amplificar el área donde ocurren los casos g.bin<-function(n,p,r){ x<-dbinom(0:n,size=n,prob=p) barplot(x,names.arg=0:n,main=sprintf(paste('bin. dist. ',n,p,sep=':')), xlab="personas que reponen tarjeta",ylab="densidad",xlim=c(0,n/r)) } #La mitad del largo del eje p< n<-1000 r<-2 g.bin(n,p,r) bin. dist. :1000: Densidad Personas que reponen tarjeta #Un quinto del largo del eje p< n<-1000 r<-5 g.bin(n,p,r) 6

7 bin. dist. :1000: Densidad Personas que reponen tarjeta #Un décimo del largo del eje p< n<-1000 r<-10 g.bin(n,p,r) 7

8 bin. dist. :1000: Densidad Personas que reponen tarjeta Distribución Poisson: Suponga que en el mercado cambiario se espera que sucedan en promedio 25 calces o transacciones cada hora. Si se asume que las transacciones siguen una distribución de Poisson. Entonces encuentre la probabilidad de que: En una hora específica, sucedan exactamente 19 transacciones #Identifico los parámetros x<-19 h<-25 #uso la función de distribución (acumulada hacia atrás) dpois(x,lambda=h) ## [1] En una hora específica, suceda al menos 30 transacciones #Identifico los parámetros x<-30 h<-25 #uso la función de distribución (acumulada hacia atrás) 1-ppois(x,lambda=h) 8

9 ## [1] ppois(x,lambda=h,lower=false) ## [1] En una hora específica, sucedan menos de 10 transacciones #Identifico los parámetros x<-10 h<-25 #uso la función de distribución (acumulada hacia atrás) ppois(x,lambda=h) ## [1] Podemos ver graficamente el fenómeno #Creo una nueva función g.poi<-function(y,h){ x<-dpois(0:x,lambda=h) barplot(x,names.arg=0:y,main=sprintf(paste('poi. dist. ',y,h,sep=':')), xlab="calces en el mercado",ylab="densidad") } x<-20 h<-25 g.poi(x,h) 9

10 poi. dist. :20:25 Densidad Calces en el mercado #Ampliamos la cantidad de calces de interés x<-75 h<-25 g.poi(x,h) 10

11 poi. dist. :75:25 Densidad Calces en el mercado Probabilidades Continuas Ejemplo: una varible distribuida normalmente (estándar) #Se fija la "semilla" para la generación de números aleatorios set.seed(3000) #Creamos un vector de los valores para el eje x xseq<-seq(-4,4,0.01) #Creamos un vector de los valores para el eje y de la densidad den<-dnorm(xseq,0,1) #Creamos un vector de los valores para el eje y de la densidad acumulada cumul<-pnorm(xseq,0,1) #Generar numeros aleatorios random<-rnorm(1000,0,1) #1000 numeros aleatorios de una normal estándar (media=0 y sd=1) #Gráfico de la densidad plot(xseq,den,col="darkgreen",xlab="",ylab="densidad",type="l",lwd=2, cex=2,main="f(x) Normal Estándar",cex.axis=.8) 11

12 f(x) Normal Estándar Densidad plot(xseq,cumul,col="darkorange",xlab="",ylab="probabilidad Acumulada", type="l",lwd=2,cex=2,main="f(x) Normal Estándar", cex.axis=.8) 12

13 F(x) Normal Estándar Probabilidad Acumulada hist(random,main="números Aleatorios Normal Estándar", cex.axis=.8, xlim=c(-4,4)) 13

14 Números Aleatorios Normal Estándar Frequency random Cambiando los parámetros de una curva normal #Creamos un vector de los valores para el eje x x1<-seq(-15,25,0.1) mu<-5 sig1<-1 sig2<-2 sig3<-4 sig4<-8 #Creamos un vector de los valores para el eje y de la densidad den1<-dnorm(x1,mu,sig1) den2<-dnorm(x1,mu,sig2) den3<-dnorm(x1,mu,sig3) den4<-dnorm(x1,mu,sig4) plot(x1,den1,col="black",xlab="",ylab="densidad",type="l",lwd=2, cex=2,main="f(x) Normal Estándar",cex.axis=.8) lines(x1,den2,col="blue",type="l",lwd=2,cex=2) lines(x1,den3,col="green",type="l",lwd=2,cex=2) lines(x1,den4,col="red",type="l",lwd=2,cex=2) legend(-14,0.4,legend=c("n~(5,1)","n~(5,2)","n~(5,4)","n~(5,8)"),lty=1, col=c("black","blue","green","red")) 14

15 f(x) Normal Estándar Densidad N~(5,1) N~(5,2) N~(5,4) N~(5,8) #Creamos un vector de los valores para el eje y de la densidad acumulada cum1<-pnorm(x1,mu,sig1) cum2<-pnorm(x1,mu,sig2) cum3<-pnorm(x1,mu,sig3) cum4<-pnorm(x1,mu,sig4) plot(x1,cum1,col="black",xlab="",ylab="probabilidad Acumulada", type="l",lwd=2,cex=2,main="f(x) Normal Estándar", cex.axis=.8) lines(x1,cum2,col="blue",type="l",lwd=2,cex=2) lines(x1,cum3,col="green",type="l",lwd=2,cex=2) lines(x1,cum4,col="red",type="l",lwd=2,cex=2) 15

16 F(x) Normal Estándar Probabilidad Acumulada Distribucion T Student #Vamos a observar cual es la forma de la distribucion #con 1 grado de libertad x<-seq(-3,to=3,length=100) plot(x,dt(x,1),type="l",ylab="density") 16

17 Density x #Generamos varias T Student con distintos grados de libertad plot(x,dt(x,1),type="n",ylab="density",ylim=c(0,0.4)) for (i in 0:6){ lines(x,dt(x,df=2^i),col=i+2) legend("topright",legend=2^(0:6),col=2:8,lty=1,bty="n") } 17

18 Density x Distribucion Log Normal #Vamos a observar cual es la forma de la distribucion log normal x<-seq(-1,to=5,length=100) plot(x,dlnorm(x),type="l",ylab="density") 18

19 Density x #Generamos valores aleatorio log normal x<-rlnorm(1000,2,1) hist(x,prob=true,ylim=c(0,0.1)) curve(dlnorm(x,mean=2,sd=1), add=true,col="red",lwd=2) 19

20 Histogram of x Density x #Entonces si sacamos el logaritmo, se debe parece a una normal y<-log(x) hist(y,prob=true) curve(dnorm(x,mean=2,sd=1), add=true,col="red",lwd=2) 20

21 Histogram of y Density y Chi Cuadrado #Vamos a observar cual es la forma de la distribucion #con 1 grado de libertad x<-seq(0,to=50,length=150) plot(x,dchisq(x,df=1),type="l",ylab="density") #Generamos varias Chi cuadrado con distintos grados de libertad plot(x,dchisq(x,df=1),type="l",ylab="density") for (i in 1:6){ lines(x,dchisq(x,df=2^i),col=i+1) legend("topright",legend=2^(0:6),col=1:7,lty=1,bty="n") } 21

22 Density x Distribución Beta #Vamos a observar cual es la forma de la distribucion #Parámetros alpha y beta #con parámetros (1,1) grado de libertad x<-seq(0,to=1,length=100) plot(x,dbeta(x,1,1),type="l",ylab="density") #Corresponde a una uniforme 22

23 Density x #con parámetros (1,2) grado de libertad x<-seq(0,to=1,length=100) plot(x,dbeta(x,1,2),type="l",ylab="density") 23

24 Density x #con parámetros (2,1) grado de libertad x<-seq(0,to=1,length=100) plot(x,dbeta(x,2,1),type="l",ylab="density") 24

25 Density x #con parámetros (2,2) grado de libertad x<-seq(0,to=1,length=100) plot(x,dbeta(x,2,2),type="l",ylab="density") 25

26 Density x #Generamos varias beta con distintos parámetros #Se definen vectores con los valores de parámetrso de la distribución y del gráfico a.seq<-c(1:6,0.8,0.4,0.2,1,0.5,2) b.seq<-c(1:6,0.8,0.4,0.2,4,4,4) col<-c(1:6,1:6) lty<-rep(1:2,each=6) plot(x,dbeta(x,1,1),type="l",ylab="density",xlab="x",xlim=c(0,1.3),ylim=c(0,3)) for(i in 2:length(a.seq)){ lines(x,dbeta(x,a.seq[i],b.seq[i]),col=col[i],lty=lty[i]) legend("topright",legend=c(expression(list(alpha,beta)), paste(a.seq,b.seq)),col=c(na,col),lty=c(na,lty),cex=0.9,bty=n) } 26

27 Density α, β x Ejemplo: a una variable específica, ajustar la curva normal #Cargamos paquetes library(timeseries) ## Loading required package: timedate #Cargamos una base de datos nueva rm(list=ls()) setwd("g:/ucr TR-ESTADISTICA/Curso /Clase 1") data<-as.timeseries(read.csv("simmac.csv",sep=";")) head(data) ## GMT ## Bond.US r1 US.Stock r2 Latin.Stock r3 ## ## ## ## ## ## #Redondeamos los retornos de los índices y los convertimos en puntos básicos ret.datos<-round(returns(data),6)*100 ## Warning in log(data): Se han producido NaNs 27

28 head(ret.datos) ## GMT ## Bond.US r1 US.Stock r2 Latin.Stock r3 ## ## ## ## ## ## #Hacemos el histograma y sobreponemos la curva x<-seq(-4,4,.01) hist(ret.datos$r3,prob=true,ylim=c(0,0.004),breaks=20) curve(dnorm(x,mean(ret.datos$r3),sd(ret.datos$r3)), add=true,col="darkblue",lwd=2) Histogram of ret.datos$r3 Density ret.datos$r3 #Probar estadisticamente la normalidad shapiro.test(ret.datos$r3) ## ## Shapiro-Wilk normality test ## ## data: ret.datos$r3 ## W = , p-value = 3.115e-05 #Si el p value es menor que 0.05, entonces se puede asumir normalidad 28

29 #Usar QQ plot #Famoso grafico QQ-Plot qqnorm(ret.datos$r3) qqline(ret.datos$r3, col=2) Normal Q Q Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles Estimar los parametros: normal #Instalo el paquete #install.packages("fitdistrplus") library(fitdistrplus) ## Warning: package 'fitdistrplus' was built under R version ## Loading required package: MASS ## Loading required package: survival #Comando para la estimacion f1<-fitdist(ret.datos$r3,"norm") f1 ## Fitting of the distribution ' norm ' by maximum likelihood ## Parameters: ## estimate Std. Error ## mean ## sd

30 names(f1) ## [1] "estimate" "method" "sd" "cor" "vcov" ## [6] "loglik" "aic" "bic" "n" "data" ## [11] "distname" "fix.arg" "fix.arg.fun" "dots" "convergence" ## [16] "discrete" "weights" plot(f1) Empirical and theoretical dens. Q Q plot Density Empirical quantiles Data Theoretical quantiles CDF Empirical and theoretical CDFs Empirical probabilities P P plot Data Theoretical probabilities #No hay mucha diferencia con las estimaciones de la media y desviacion que calculamos antes hist(ret.datos$r3,prob=true,ylim=c(0,0.004),breaks=20) curve(dnorm(x,mean(ret.datos$r3),sd(ret.datos$r3)), add=true,col="darkblue",lwd=2) curve(dnorm(x,f1$estimate[1],f1$estimate[2]), add=true,col="red",lwd=2) 30

31 Histogram of ret.datos$r3 Density ret.datos$r3 Estimar los parametros: t student #Instalar paquete #install.packages("metrology") library(metrology) ## Warning: package 'metrology' was built under R version ## ## Attaching package: 'metrology' ## The following objects are masked from 'package:base': ## ## cbind, rbind #Comando para la estimacion x<-seq(-4,4,.01) f2<-fitdistr(ret.datos$r3,"t",start=list(m=mean(ret.datos$r3),s=sd(ret.datos$r3),df=1)) ## Warning in dt((x - m)/s, df, log = TRUE): NaNs produced ## Warning in dt((x - m)/s, df, log = TRUE): NaNs produced ## Warning in dt((x - m)/s, df, log = TRUE): NaNs produced ## Warning in dt((x - m)/s, df, log = TRUE): NaNs produced 31

32 ## Warning in dt((x - m)/s, df, log = TRUE): NaNs produced f2 ## m s df ## ## ( ) ( ) ( ) names(f2) ## [1] "estimate" "sd" "vcov" "loglik" "n" #Sobreponemos la curva t hist(ret.datos$r3,prob=true,ylim=c(0,0.004),breaks=20) curve(dt.scaled(x,df=f2$estimate[3],mean=f2$estimate[1],sd=f2$estimate[2]), add=true,col="darkblue",lwd=2) Histogram of ret.datos$r3 Density ret.datos$r3 Comparamos el ajuste normal y t student #Sobreponemos la curva t y la normal hist(ret.datos$r3,prob=true,ylim=c(0,0.004),breaks=20) curve(dt.scaled(x,df=f2$estimate[3],mean=f2$estimate[1],sd=f2$estimate[2]), add=true,col="darkblue",lwd=2) curve(dnorm(x,f1$estimate[1],f1$estimate[2]),add=true,col="red",lwd=2) 32

33 Histogram of ret.datos$r3 Density ret.datos$r3 33