Ampliación y Profundización en Física y Química Práctica de laboratorio n. o 1 Raíz cuadrada de dos con Mariotte y Torricelli

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1 Ampliación y Profundización en Física y Química Práctica de laboratorio n. o 1 Raíz cuadrada de dos con Mariotte y Torricelli Salvador Olivares Campillo Miguel Hernández, Murcia 18 de octubre de 2013

2 1 Resumen De acuerdo con Torricelli, la velocidad de salida de un líquido por un orificio pequeño es proporcional a la raíz cuadrada de la altura de líquido. Con un frasco de Mariotte adaptado, se puede elegir una altura u otra y mantenerla constante, con lo que, por un lado, es posible emplear el frasco para medir el tiempo, es decir, se tiene un cronómetro. Por otro lado, el alcance horizontal del líquido es proporcional a la velocidad de salida y, por tanto, a la raíz cuadrada de la citada altura: tomando como unidad el alcance para una altura cualquiera, basta medir el de la altura doble para obtener la raíz cuadrada del número dos. O, lo que es igual, el segundo alcance debería ser la diagonal del cuadrado construido con el primero como lado. Además, la salida de líquido ilustra, en un caso, el movimiento rectilíneo y uniforme; en otro, el tiro horizontal parabólico. Se incluyen también dos pequeñas prácticas relacionadas con la presión atmosférica y con la tensión superficial. 1. Introducción Las clepsidras o relojes de agua [8] tienen una larga historia, además de un bonito nombre 1, pues ya las había troncocónicas en el antiguo Egipto (s. xvi a. C.), perfeccionándose después (s. iv a. C.) en Alejandría. Unas eran simples cronómetros porque sólo medían intervalos de tiempo, pero otras eran auténticos relojes, señalando la hora del día y también la de la noche: las hubo conectadas a grandes depósitos de agua en algunas plazas griegas y romanas. Recientemente en España, con motivo de la Expo-agua 2008 que se celebró en Zaragoza, se pudieron ver en una exposición itinerante esculturas que eran auténticas clepsidras [10]. Mariotte ( ), el físico francés que formuló con precisión la conocida ley de Boyle para los gases [1, p. 46], construyó un frasco que lleva su nombre con el que se consigue una salida constante de volumen de líquido por unidad de tiempo. Es decir, que basta con recoger el agua que sale de un frasco de Mariotte en un recipiente adecuado (uno cilíndrico y vertical: una probeta) para tener una clepsidra que funciona como cronómetro. El problema que Mariotte solucionó de una manera muy simple es el de que conforme sale de un recipiente baja la altura del líquido en él contenido y, con ella según Torricelli (v. a continuación), la velocidad de salida. No se puede evitar que cada vez haya menos líquido, pero sí que la altura efectiva para la fórmula de Torricelli se mantenga constante, bastando con introducir un tubo a través del tapón superior de cierre del frasco (v. el construido en el laboratorio). 2. Teorema de Torricelli La fórmula o teorema de Torricelli es un caso particular, después de ciertas simplificaciones o aproximaciones, de otra más general (la ecuación de Bernouilli [5, p. 203] y [4, p. 286]), por lo que no siempre es exacta. Afirma que la velocidad con que sale un líquido por un orificio pequeño y la velocidad de caída de un 1 La voz latina clepsydra procede de otra griega formada con dos elementos, uno verbal y otro nominal. El primero significa robar o esconder; el segundo, agua [2].

3 2 cuerpo son iguales si éste cae desde la altura h de la columna de líquido que hay encima del orificio: v = 2gh (1) (g = 9,8 m/s 2 ). 3. Frasco de Mariotte La altura que importa en el frasco de Mariotte no es la que hay del orificio de salida a la superficie libre del líquido del recipiente, sino la H que hay hasta la boca del tubo que se introduce por el tapón, la cual se puede cambiar introduciendo más o menos el tubo fino a través del tapón de goma. Eso sí, h = H solamente mientras que el tubo esté dentro del líquido. Como h = H = constante durante un tiempo, la velocidad de salida es también constante durante ese intervalo de tiempo. Y se puede variar, como se ha dicho, esa velocidad introduciendo más o menos el tubo que atraviesa el tapón. 4. Construcción de un cronómetro de agua. Movimiento rectilíneo y uniforme El volumen de agua que sale por unidad de tiempo depende de la velocidad del líquido, pero también de la sección del tubito de salida. Si no se actúa sobre la segunda, sólo se puede variar la primera, y esto aumentando o disminuyendo la altura H. Esta altura está limitada en el laboratorio por la altura del tubo ancho con el que se ha construido el frasco de Mariotte, pero no hay que creer que se puede aumentar sin límite con un frasco mayor (v. la cuestión 3f ). Llevando con un tubo de goma el agua que sale del frasco a una probeta, y actuando sobre la sección y sobre H, se puede hacer que el nivel del líquido suba con una velocidad constante que se puede elegir entre unos valores. Es decir, se tiene un movimiento rectilíneo y uniforme. Además, si se anotan los ml que entran por segundo (medir el volumen para un intervalo de tiempo y dividir), se podrá usar el montaje como un cronómetro. 5. La raíz cuadrada de 2 Como la altura del orificio de salida del chorro de agua hasta el fondo de la bandeja en la que se recoje el líquido no cambia, el alcance horizontal será proporcional a la velocidad de salida. Y esta velocidad, a su vez, es proporcional por la fórmula (1) a la h. Esto significa que el alcance con una altura h = H es proporcional a la H, y que el de la h = 2H lo es a la 2H. Dividiendo el segundo alcance por el primero, tengo un número muy importante: 2 = 1, (2) La raíz cuadrada de 2 es la medida de la diagonal del cuadrado con el lado como unidad, es un número irracional y esto fue descubierto (y ocultado) por los pitagóricos y, precisamente, con el teorema de Pitágoras [9]. La raíz cuadrada de 2 se debería obtener, pues, de la medida del alcance horizontal para h = 2H con el alcance para h = H tomado como unidad. En la

4 3 práctica, la resistencia del aire y otras causas a las que no se atiende en la simple fórmula de Torricelli van a conducir a un resultado que sólo será aproximado. En cualquier caso, se puede obtener 1, 4... de tres maneras: 1. Midiendo los dos alcances con la regla (en cm o en mm), y diviendo los dos valores. 2. Tomando los dos segmentos con el compás grande, con un hilo o con una regla y, directamente con el segmento menor como unidad, midiendo el mayor. Para esto, se ha de ayudar uno con el teorema de Tales, ya que hay que dividir la unidad elegida en partes iguales. 3. Construyendo el cuadrado que tiene el menor de los dos alcances como lado, basta comparar el otro alcance con su diagonal. Si se encuentra una igualdad, es que el mayor es 2 veces el menor. 6. Caída libre y movimiento parabólico Con respecto a un tren, un autobús, un avión... en movimiento rectilíneo y uniforme, cualquier objeto que se deje caer sigue una caída libre, como la que tiene lugar cuando dejamos caer algo con respecto al suelo. Así, desde un avión que deje caer un cuerpo pesado y relativamente pequeño se verá a éste cayendo en vertical, siempre debajo del avión, como en cualquier caída libre. Por el contrario, visto desde tierra, el cuerpo sigue una trayectoria curvilínea, resultado de dos movimientos: el rectilíneo y uniforme con el que acompaña al avión manteniéndose siempre debajo de él, y el rectilíneo y uniformemente acelerado debido a la gravedad y con en el que cae en vertical y cada vez está más lejos del avión. 7. Cálculos, cuestiones, problemas y otros experimentos: el vaso medio lleno boca abajo 1. Para calcular la raíz cuadrada de 2 con cuantas cifras exactas se quieran, basta con dividir un cierto número de veces que depende de la exactitud buscada. La razón es la siguiente. Que la 2 sea igual a x significa que el cuadrado de área 2 tiene de lado x, es decir, que 2 = x 2 = xx. Pero el dividendo es igual al divisor por el cociente, por lo que si yo pudiera dividir 2 por x obtendría de cociente precisamente a x. Desconozco el valor de x, pero sé que está entre 1 y 2 porque 1 2 = 1 y 2 2 = 4, así que pruebo con un número entre 1 y 2. Al dividir por 1,5 no obtengo el cociente 1,5 si así fuera, la raíz buscada sería 1,5 y 2 no sería irracional, sino otro, que en este caso es 1,3 y un poco más. Pero ahora sé que x está conseguridad entre 1,3 y 1,5, por lo que pruebo y divido por 1,4. El cociente, claro está, tampoco va a coindir con el divisor (nunca lo hará), pero es 1,42 y menos de una centésima. Deduzco así que 1,43 < x < 1,40, es decir que x = 1,4 si me conformo con dos cifras exactas (el error no llega ni a media décima, pues es menor que 0,03). Continuar con las divisiones hasta obtener la cifra de las milésimas.

5 4 2. En la caída libre de un cuerpo (despreciando la influencia del aire) y siendo g la aceleración de la gravedad (g = 9,8 m/s 2 10 m/s 2 ), se cumplen (eje x hacia abajo con el cero donde se suelta el cuerpo en el tiempo cero) x = 1 2 gt2, (3) v = gt. (4) Calcular la velocidad cuando son 5 m los de la caída, así como la velocidad a los 20 m. Sustituir x por h en la primera fórmula, despejar t = v/g de la segunda y sustituir esto en la primera para despejar, finalmente, v = ± 2gh (5) De este modo se ve que la velocidad que adquiere un cuerpo por la caída desde una altura h es igual a 2gh. 3. Si se practica con una aguja un agujero al lateral de una botella de agua (suelen ser de PET; qué significa la sigla PET?) saldrá un chorro de líquido trazando una parábola, salvo que se deje el tapón puesto y bien apretado. También sale agua con el tapón cerrando la botella si la aprieto algo, o si giro un poco el tapón para aflojarlo. El que no salga agua con el tapón bien apretado tiene la misma explicación que eso tan conocido de que no se caiga el agua del vaso al que se le da la vuelta tapado con un papel. a) Eliminar el tiempo t de las dos ecuaciones y = 5t 2 y x = 2t y comprobar que se obtiene entonces y como una función de x que es, precisamente, un polinomio de segundo grado tal que su representación gráfica es una parábola. b) Según la fórmula de Torricelli, qué altura de líquido sobre el agujero hace que la velocidad de salida sea de 2 m/s? c) Con el tapón puesto y bien cerrado, la presión del aire encerrado en la botella puede ser igual que la presión del aire de fuera si sale agua por el agujero? d) Echar agua en un vaso hasta arriba y taparlo con un trozo de papel. Asegurarse de que la circunferencia del borde está bien marcada antes de darle la vuelta y ponerlo boca abajo o, simplemente, dársela, pero con la mano puesta en el papel hasta comprobar que no sale agua por parte alguna y, entonces, quitar la mano. No caerán ni el papel ni el agua (observar que puede haber alguna burbuja de aire arriba). Pasa esto porque no hay aire dentro del vaso? Volver a poner el vaso sobre la mesa, quitar el papel con cuidado, tirar parte del agua de l vaso y volver a tapar el vaso con el mismo papel de antes y en la misma posición (la circunferencia del papel y la del borde son la misma). Darle ahora la vuelta para ponerlo boca abajo... y comprobar que tampoco se cae el agua. e) Una columna de agua de 10 m de altura ejerce sobre su base la misma presión que la que normalmente ejerce el aire de la atmósfera. Como del agujero de la botella a la superficie del agua de dentro hay menos

6 5 de medio metro, la presión del aire encerrado en la botella cuando el tapón está puesto y el agua no sale es igual, casi igual, menor o mucho menor que la de la atmósfera? f ) Imagínese un vaso fino (un tubo), pero muy alto: 11 m. Se llena de agua, se tapa con el papel y se le da la vuelta, pero sin soltar todavía el papel. Resulta que sale agua sin que entre aire para, finalmente, quedarse con una columna de un poco menos de 10 m, pudiéndose entonces soltar el papel. Cómo es esto? g) Si el agujero en la botella está cerca de la superficie del agua, ésta sale con poca velocidad (fórmula de Torricelli), pero si está más abajo, lo hace con más rapidez. Se hace un agujero a 10 cm y otro a 20 cm. Calcular las dos velocidades y dividir la mayor por la menor. Hacer lo mismo para agujeros a 15 cm y 30 cm, o para h cualquiera y 2h. Sale siempre el mismo cociente? 4. Poner agua en un vaso, coger una aguja (o un sujetapapeles de los pequeños) y recortar un trocito de papel de cocina o similar (debe absorber agua fácilmente). Colocar la aguja sobre el papel y dejar éste sobre la superficie del agua. Cuando se hunda el papel, se quedará la aguja. La aguja flota o, mejor, es sostenida a pesar de ser más pesada que el agua. Por qué? La respuesta está en que aumentar la superficie del agua requiere energía (es el origen de la llamada tensión superficial), es decir, el agua se resiste a aumentar su superficie, que es a lo que se ve obligada inicialmente por el peso de la aguja. Como el peso de la aguja es pequeño, el agua puede con él y no se rompe la superficie, sólo se deforma un poco. (Por eso no es exacto decir que la aguja flota, ya que no hay una parte de ella sumergida). Con una moneda, por ejemplo, estará claro que no ocurre lo mismo. 5. Hay insectos pequeños que son capaces de correr por la superficie del agua. Flotan? 6. Si se le da la oportunidad, un cuerpo tomará la forma con la que tiene la menor superficie. Un trozo de plastilina, cómo tiene menos superficie, como una caja de cerillas, como un cubo o como una bola? Los planetas tuvieron la oportunidad durante su formación: cómo son? Y las gotas de agua de la lluvia? 7. Se hacen dos agujeros con una aguja en la misma botella de agua, ambos en la misma vertical, pero uno 2 cm por debajo del otro. Se verá que el agua de uno llega más lejos que la que sale del otro, como cualitativamente indica la fórmula de Torricelli: la velocidad es proporcional a la raíz cuadrada de la altura de líquido, y una velocidad es así mayor que la otra. Sin embargo, antes (unos 4 cm) de que el nivel del agua haya alcanzado siquiera el primer agujero (pueden faltar unos pocos cm), es decir, con las dos alturas distintas de cero, se verá que el agua de los dos sale resbalando simplemente por la pared de la botella. En realidad, la del segundo es porque le pasa por encima la del primero; si se reconduce la del primero, la del segundo sigue saliendo parabólicamente durante un poco más de tiempo. Cómo

7 6 es que se han igualado las velocidades si las alturas siguen siendo todavía diferentes? 8. Si a alguien que está de pie en un tren en marcha (100 km/h) se le cae algo, se le cae a los pies, igual que cuando el tren está parado. Del mismo modo (mientras no haya que tener en cuenta la resistencia del aire), las bombas que suelta un bombardero tienen un movimiento de caída libre con respecto al avión, es decir, caen según la vertical del avión 5 m durante el primer segundo, 15 m durante el siguiente (20 m en los dos primeros), etcétera. Aunque, claro está, con respecto a tierra las bombas siguen una línea curva (una parábola). Estos son ejemplos que muestran que una aceleración vertical (la de la gravedad), sólo incrementa la velocidad en la dirección vertical: la parte horizontal de la velocidad no cambia. a) Un arquero inexperto apunta directamente a una manzana que cuelga de un árbol. Justamente cuando dispara la flecha, la manzana se desprende casualmente del árbol. Le da? b) A un avión en vuelo horizontal a 45 m de altura y 72 km/h se le desprende accidentalmente una bola pesada cuando a sólo 100 m más adelante, debajo, se encuentra un coche aparcado. Cae la bola sobre el coche? 9. El piloto de un avión que salió en busca de los supervivientes de un naufragio los acaba de encontrar. Comunica su posición a otros para que los recojan, pero le dicen que tardarán bastante en llegar porque los barcos están muy lejos. Decide entonces echar a los náufragos un paquete de ayuda inmediata. El paquete es pesado como una bomba, pero no se hundirá porque al impactar con el agua se hincharán unos flotadores. Conviene, claro está, que la ayuda caiga cerca de los náufragos para que la puedan recoger sin grandes dificultades, pero el piloto no dispone de información sobre la altura a la que vuela ni sobre la velocidad que lleva porque se le han roto los indicadores. Sin embargo, lo va a conseguir porque puede hacer una buena estimación de la altura cuando vuela bajo. Todo lo que necesita es hacer dos pasadas y contar ( ciento uno, ciento dos, ciento tres... ). Cómo lo hace? Referencias [1] Babor, J.A. e Ibarz, J.: Química General Moderna. Barcelona: Marín, [2] [3] Curso de física con ordenador de Ángel Franco. [4] García Santesmases, José: Física general. Madrid: Talleres del Instituto Geográfico y Catastral, [5] Landau, L. D., Ajiezer, A. y Lifshitz, E.: Curso de física general. Mecánica y física molecular. [1947]. Moscú: Mir, 1979.

8 7 [6] Lévy-Leblond, J. M.:La física en preguntas: mecánica. Madrid: Alianza, [7] [8] Real Academia Española: Diccionario de la lengua española. Madrid: Espasa, [9] Sagan, Carl: Cosmos. Barcelona: Planeta, [10]