H. 1/5. Universidad Nacional de La Pampa Facultad de Ingeniería Carrera: Ingeniería Electromecánica. Asignatura: ANÁLISIS MATEMÁTICO III.

Transcripción

1 H. 1/5 Carga Horaria: Objetivos: Contenidos Mínimos: Teoría Laboratorio Problemas Problemas Proyecto y Tipo/Rutinarios Abiertos Diseño Total Brindar al estudiante las herramientas avanzadas de matemática (variable complejas, teoría de transformadas, ecuaciones en derivadas parciales) indispensables en asignaturas posteriores de las áreas básicas (como por ejemplo Física) y de áreas técnicas específicas propias de la carrera. Propiciar una formación matemática sólida que siente las bases para que el estudiante pueda aprender, por si solo, otros contenidos no incluidos en este programa. Funciones analíticas. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Funciones armónicas y armónicas conjugadas. Plano complejo extendido C. Mapeo por funciones elementales y mapeo conforme. Transformaciones biunívocas de C. Transformaciones de Möbius. Orientación. Integrales sobre curvas. Teorema de Cauchy. Independencia del camino. Primitivas. Módulo máximo. Potencial complejo. Sucesiones y series numéricas y de funciones en C. Convergencia uniforme y consecuencias. Test M de Weierstrass. Series de potencias. Teoremas de Taylor y de Laurent. Ceros y polos de funciones analíticas. Indice de una curva. Series de funciones reales. Series de Fourier. Tipos de convergencia. Efectos de la simetría. Separación de variables. Funciones definidas mediante integrales impropias. Convergencia uniforme y consecuencias. Test M de Weierstrass. Función gamma. Transformada de Fourier, propiedades. Convolución. Función impulso. Sampling. Transformada de Laplace y transformada inversa, propiedades. Resolución de ecuaciones diferenciales y sistemas. Función de transferencia. Transformada de Laplace compleja. Fórmula de inversión compleja. Cálculo de inversas usando residuos. Ecuaciones de Bessel y Legendre, solución mediante series de potencias y de Frobenius. Funciones de Bessel de primera clase y polinomios de Legendre.

2 H. 2/5 Programa Analítico: 1- FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA: Algebra y topología en C, coordenadas polares. Funciones de C en C: propiedades generales de funciones de R 2 en R 2, notación compleja. Derivada de funciones de variable compleja. Regla de L Hopital. Ecuaciones de Cauchy- Riemann. Funciones armónicas y armónicas conjugadas. Ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares. Funciones elementales: exponencial, trigonométricas, hiperbólicas, ramas del logaritmo, potencia general. 2- MAPEOS EN C: El plano complejo extendido C : la esfera de Riemann. Funciones de variable compleja como mapeos de C en C. Mapeo mediante funciones elementales. Notación compleja para curvas en R 2. Mapeo conforme. Transformaciones biunívocas de C. Teorema de la curva de Jordan y de los valores intermedios. Transformaciones de Möbius: generalidades, descomposición como transformaciones elementales, puntos fijos. Círculos generalizados en C. Orientación. Aplicación a problemas de distribución estacionaria de temperatura. 3- INTEGRALES EN C: Integrales de funciones de variable real e imagen compleja. Integrales sobre curvas de funciones de variable compleja. Relación con las integrales de campos en R 2. Teorema de Cauchy. Integrales independientes de la trayectoria. Funciones primitivas. Fórmula integral de Cauchy. Teorema de Liuville. Teorema de Morera. Teorema fundamental del Algebra. Módulo máximo para funciones analíticas y armónicas. Potencial electrostático, flujo de fluidos planos, potencial complejo. 4- SUCESIONES Y SERIES EN C: Sucesiones complejas, definición y criterios de convergencia. Series complejas, definición y criterios de convergencia. Convergencia absoluta. Series de funciones de variable compleja. Región de convergencia. Convergencia uniforme, definición y test M de Weierstrass. Consecuencias de la convergencia uniforme. Series de potencias. Radio de convergencia y formas de encontrarlo. Unicidad de los desarrollos en serie de potencias. 5- DESARROLLOS EN SERIES, RESIDUOS: Teorema de Taylor. Series dobles, teorema de Laurent. Singularidades aisladas, clasificación. Residuos. Cálculo de integrales usando residuos. Fórmula para calcular el residuo en un polo. Ceros de funciones analíticas, ceros aislados de multiplicidad m. Consecuencias de la existencia de ceros no aislados en funciones analíticas. Indice de una curva. Conteo de ceros y polos de una función f en el interior de una curva C usando la integral de f /f, y analizando la curva f(c). 6-SERIES DE FOURIER: Series de funciones reales, semejanzas y diferencias con las series de funciones de variable compleja. Funciones periódicas. Aproximación por medio de polinomios trigonométricos en media cuadratica. Serie de Fourier. Convergencia puntual de series de Fourier, condiciones de Dirichlet. Orden de los coeficientes de Fourier. Derivación e integración de series de Fourier. Expansiones de medio rango. Funciones pares, impares, y con simetría impar de medio rango. Series de Fourier armónica y compleja. Método de separación de variable. Ecuaciones de ondas y de calor.

3 H. 3/5 Programa Analítico: 7- INTEGRALES DE FOURIER: Integrales impropias. Funciones definidas usando integrales impropias. Convergencia uniforme, definición y test M de Weierstrass. Consecuencias de la convergencia uniforme. Función Gamma. Integral de Fourier como límite de una serie de Fourier. Integral de Fourier de seno y coseno. Transformada de Fourier, propiedades. Convolución, función impulso. Sampling, funciones de banda limitada. Teorema de Nyquist. Cálculo de transformadas de Fourier usando residuos. 8- TRANSFORMADA DE LAPLACE: Funciones de orden exponencial. Transformada de Laplace, definición y propiedades elementales. Transformada inversa, teorema de Lerch. Transformada de derivadas e integrales. Método general para resolución de ecuaciones diferenciales y sistemas con condiciones iniciales. Noción de función de transferencia. Función de Heaviside. Desplazamiento de las variables. Derivada e integral de la transformada. Transformada de funciones periódicas. Teorema del valor inicial y final. Convolución, fórmulas de Duhamel. Función impulso. 9- TRANSFORMADA DE LAPLACE COMPLEJA: Transformada de Laplace compleja de una función real. Analiticidad. Persistencia de las fórmulas. Fórmula de inversión compleja. Cálculo de la transformada inversa usando residuos. Transformada inversa de funciones racionales. Criterio de estabilidad de Nyquist. 10- FUNCIONES ESPECIALES: Ecuaciones diferenciales lineales de 2do orden con coeficientes variables. Caso analítico, teorema de existencia de solución local en forma de serie de potencias. Aplicación a la ecuación de Legendre. Polinomios de Legendre, propiedades. Coeficientes variables con puntos singulares regulares. Método de Frobenius. Ecuación indicial, teorema de existencia local de solución en serie de Frobenius. Aplicación a la ecuación de Bessel. Funciones de Bessel de 1 ra clase, propiedades. Definición de las funciones de Bessel de 2 da clase.

4 H. 4/5 Descripción de las actividades teóricas y prácticas: Se dictan dos clases semanales de 210 minutos cada una. Estas horas se reparten de la siguiente manera: clase teórica de 100 minutos, descanso de 10 minutos, y clase práctica de 100 minutos. Las clases teóricas son exposiciones a cargo del encargado de cátedra (en forma de clase magistral). En las clases prácticas los alumnos trabajan individualmente en la resolución de problemas guiados por el encargado de cátedra y los auxiliares. Metodología de Enseñanza: En las clases teóricas se pone particular énfasis en el significado (generalmente físico) de las cosas y en que se entienda el porque de los resultados, tratando de no caer en un exceso de abstracción matemática, pero sobre todo evitando que la clase sea un recetario para resolver problemas. Para las clases prácticas se cuenta con guías de problemas confeccionadas con tres tipos de ejercicios: los rutinarios,,para fijar conceptos y notación; los más avanzados y de aplicaciones, donde se requiere cierto manejo más que elemental para hacerlos, y los de mayor dificultad y teóricos, que son una invitación a pensar. Se le asegura al alumno que con los contenidos dados en la clase teórica se pueden resolver los problemas de las guías, y se lo insta a pensarlos uno por uno de manera individual, después de haber estudiado cuidadosamente la teoría. En caso de que encuentre dificultades, se los guía, pero sin decirle por completo como se resuelve el problema, de forma tal que encuentre por si solo el camino. Se trata de que el alumno entienda que lo que tiene que aprender no es solo como resolver ciertos problemas, sino que tiene que aprender a darse cuenta como usar las herramientas teóricas para resolverlos. Una ves encontrado el camino, la resolución en si del problema es una cuestión mecánica (aunque no despreciable). Se pide a los alumnos, además, que una vez resueltos cierta cantidad de problemas (y no antes), intercambie opiniones y formas con sus compañeros. Así, toda la asignatura está apuntada hacia el autoaprendizaje, en cuanto se pretende no sólo que adquiera ciertos conocimientos matemáticos, sino que aprenda como funciona la matemática. Se dispone, además, de una guía complementaria de ejercicios, que es una basta recolección de problemas originales tomados en diferentes instancias de evaluación, para que el alumno tenga un conocimiento acabado de que es lo que se le va a tomar en los exámenes. Se les recomienda no resolverlos hasta no haber estudiado adecuadamente la teoría y completado las guías de problemas, para que su resolución tenga los efectos deseados en su formación. Transcurridas dos semanas de clases se fijan horarios de consulta con el profesor y los ayudantes, fuera del horario establecido, para atender dudas que pudieran surgir y permitir que avancen. Forma de Evaluación: Se toman durante la cursada dos exámenes. El primero escrito y el segundo escrito con opción a una parte oral, con contenidos teórico y prácticos. Además se solicita la entrega de ejercicios de las guías de trabajos prácticos resueltos (aproximadamente 2 ejercicios por guía). Cada examen tiene dos secciones: la primera para regularizar la asignatura, con ejercicios esencialmente prácticos y de resolución mecánica, y la segunda para promocionar. La primera sección se califica como aprobada o no, y la segunda se evalúa numéricamente (1 a 10) y sólo cuando la primera sección está aprobada.

5 H. 5/5 Bibliografía: Bibliografía básica: 1. BROWN J. and CHURCHILL, R.: Complex Variable and Applications, 6 th Edition. McGraw-Hill, Inc.(1996). 2. BARRETT, L. and WYLIE, R.: Advanced Engineering Mathematics, 6 th Edition. McGraw-Hill Inc. (1995). Bibliografía complementaria: 1. KREYSZIG, ERWIN: Advance Engineering Mathematics, 8 th Edition. John Wiley & Sons (1999). 2. CHURCHILL, RUEL: Operational Mathematics, 3 rd Edition. McGraw-Hill Inc. (1971). 3. NEEDHAM, TRISTAN: Visual Complex Analysis. Oxford University Press (2000). 4. WEINBERGER, HANS F.: Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales. Editorial Reverte (1970). 5. WUNSCH, DAVID A.: Variable Compleja con Aplicaciones, 2 da Edición. Addison Wesley Iberoamer. (1999). 6. SOLIMAN, S. and SRINATH, M.: Continuous and Discrete Signals and Systems, 2 nd Edition. Prentice Hall (1990). 7. BRACEWELL, RONALD N.: The Fourier Transform and its Applications, 3 rd Edition. McGraw-Hill (2000). 8. DERRICK, WILLIAM R.: Variable Compleja con Aplicaciones.Grupo Editorial Iberoamérica (1987). 9. KAPLAN, WILFRED: Cálculo Avanzado. Compañía Editorial Continental (1983). 10. KREIDER D KULLER R., OSTBERG D., Ecuaciones Diferenciales. Editorial Fondo Interamericano de Desarrollo (1973). 11. SPIEGEL, MURRAY R.: Fourier Analysis. Schaum s Outline Series, McGraw-Hill. 12. SPIEGEL, MURRAY R.: Complex Variable. Schaum s Outline Series, McGraw-Hill. 13. SPIEGEL, MURRAY R.: Laplace Transforms. Schaum s Outline Series, McGraw-Hill. VIGENCIA DE ESTE PROGRAMA AÑO PROFESOR RESPONSABLE FIRMA 2012 KOVAC, Federico Darío VISADO JEFE DEPARTAMENTO SECRETARIO ACADÉMICO DECANO