Modelización Avanzada en Logística y Transporte

Transcripción

1 Modelización Avanzada en Logística y Transporte Unidad 2: Bases de programación matemática y teoría de grafos Luis M. Torres Escuela Politécnica del Litoral Guayaquil, Octubre 2006 Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.1

2 Contenido Programas lineales Programas enteros y mixtos Optimización en grafos y redes Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.2

3 Contenido Programas lineales Motivación Definición y propiedades básicas Solución Herramientas de software Programas enteros y mixtos Optimización en grafos y redes Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.2

4 Programas lineales Motivación Problema: Industria química produce 3 tipos de detergente: A, B, C Emplea dos ingredientes activos: I1, I2 Datos: composiciones, precios de venta, disp. de ingredientes y volúmenes máximos de producción Det. [1 kg] I1 [kg] I2 [kg] P.V. [USD] Máx [kg] A B C Disp. I1 [kg] I2 [kg] Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.3

5 Programas lineales Motivación Problema: Industria química produce 3 tipos de detergente: A, B, C Emplea dos ingredientes activos: I1, I2 Datos: composiciones, precios de venta, disp. de ingredientes y volúmenes máximos de producción Cuál Det. es [1lakg] cantidad I1 [kg] óptima I2 [kg] a producir P.V. [USD] de cada Máx [kg] detergente? A B C Disp. I1 [kg] I2 [kg] Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.3

6 Programas lineales Motivación Variables: x A, x B, x C : cantidades a producir Utilidad (a maximizar): 1.5x A + 1.7x B + 1.8x C Disp. ingredientes: I1: 0.3x A + 0.4x B + 0.6x C 300 I2: 0.6x A + 0.5x B + 0.3x C 320 Vol. máximos de producción: x A 300, x B 250, x C 200 No negatividad: x A 0, x B 0, x C 0 Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.4

7 Programas lineales Motivación Obtenemos el programa lineal: max1.5x A + 1.7x B + 1.8x C s.r. 0.3x A + 0.4x B + 0.6x C x A + 0.5x B + 0.3x C x A x B x C 200 Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.5

8 Programas lineales Motivación Obtenemos el programa lineal: max1.5x A + 1.7x B + 1.8x C Func. objetivo (lineal) s.r. 0.3x A + 0.4x B + 0.6x C x A + 0.5x B + 0.3x C x A x B x C 200 Restricciones lineales Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.5

9 Programas lineales Definición: Un programa lineal consiste en maximizar (minimizar) una función lineal sobre un dominio factible dado por ecuaciones y desigualdades lineales. maxc T x s.r. Ax b (Canónica) Con x,c R n, b R m y A R m n maxc T x s.r. Ax = b x 0 (Estándar) Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.6

10 Propiedades El conjunto de soluciones factibles define un poliedro Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.7

11 Propiedades El conjunto de soluciones factibles define un poliedro Observación: Curvas de nivel de una función lineal hiperplanos Un óptimo del PL se alcanza en un vértice Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.7

12 Propiedades Todo programa lineal tiene asociado un programa dual maxc T x s.r. Ax = b x R n, x 0 miny T b s.r. y T A c T y R m (primal) (dual) Si uno de los programas no tiene solución factible, el otro es no acotado Caso contrario, los óptimos coinciden (T. Dualidad) Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.8

13 Solución de PLs Algoritmo del simplex Propuesto originalmente por George Dantzig (1940s) Aún el más usado en la actualidad (con modificaciones) Resuelve PLs en la forma estándar Idea: solución básica A = (B,N), B de rango completo x T = (x T B,0), Bx B = b, x B 0 Calcular y R m : y T B = c T B Si y T N c T N x es solución óptima!!! Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.9

14 Método del simplex 1. Construir solución básica inicial x B 2. Resolver y T B = c T B (precios duales) 3. Si y T N c T N, FIN (sol. óptima) 4. Elegir j N : y T j A j < c T j (var. entrante) 5. Aumentar x j manteniendo x B = B 1 (b Nx N ) = B 1 (b A j x j ), x B 0 6. Si x j +, FIN (prob. no acotado) 7. Elegir i B : x i = 0 para el menor valor de x j (var. saliente) 8. Actualizar B (pivotaje) 9. Ir a 2 Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.10

15 Método del simplex Ejemplo: (Ver demo) max1.5x A + 1.7x B + 1.8x C s.r. 0.3x A + 0.4x B + 0.6x C x A + 0.5x B + 0.3x C x A x B x C 200 Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.11

16 Método del simplex Ejemplo: (Ver demo) max1.5x A + 1.7x B + 1.8x C s.r. 0.3x A + 0.4x B + 0.6x C x A + 0.5x B + 0.3x C x A x B x C 200 Sol. óptima: x A = x B = x C = z = Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.11

17 Interpretación geométrica Cada solución básica está asociada a un vértice del poliedro. El algoritmo del simplex construye una ruta desde el vértice inicial hasta el vértice óptimo. (Autor: Marc Pfetsch) Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.12

18 Otros métodos de solución El algoritmo del simplex ha sido mejorado sustancialmente en las últimas seis décadas max c T x Ax = b Cx d l x u Desarrollo de estructuras de datos Desarrollo de hardware Método del elipsoide (Leonid Khachiyan, 1979) Métodos de punto interior (N. Karmarkar, 1984) Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.13

19 Herramientas de software Solvers de LPs CPLEX (ILOG) Xpress-MP (Dash) CLP (COIN-OR) SoPlex (ZIB) GLPK (GNU) LINDO Excel Solver... Lenguajes de modelamiento GAMS AMPL ZIMPL Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.14

20 Herramientas de software La mayoría de solvers admiten LP s como archivos de texto interactivamente desde el teclado a través de API s de C/C++... Todos los solvers implementan variantes del método del simplex Algunos solvers usan adicionalmente métodos de punto interior Los lenguajes de modelamiento permiten escribir familias de restricciones de manera abstracta Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.15

21 Contenido Programas lineales Programas enteros y mixtos Motivación y definición Propiedades básicas Solución Herramientas de software Optimización en grafos y redes Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.16

22 El problema del ADAC pedidos, unidades, contratistas... Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.17

23 El problema del ADAC Central de despacho Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.17

24 El problema del ADAC Plan de rutas Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.17

25 El problema del ADAC Objetivo: Diseñar un algoritmo de optimización para el enrutamiento de las unidades Plan de rutas Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.17

26 Formulación del modelo Idea: Definir una variable binaria por cada ruta de servicio. ^u 1 u 2 e 1 e2 ^u 2 e 3 u 1 Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.18

27 Formulación del modelo Idea: Definir una variable binaria por cada ruta de servicio. T 1 ^u 1 1 r 1 e 1 0 r 2 u 2 e 2 ^u 2 1 r 3 e 3 1 u 1 u 1 0 u 2 c T1 x T1 Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.18

28 Formulación del modelo Idea: Definir una variable binaria por cada ruta de servicio. T 1 T 2 ^u r 1 e r 2 u 2 e 2 ^u r 3 e u 1 u u 2 c T1 c T2 x T1 x T2 Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.18

29 Formulación del modelo Idea: Definir una variable binaria por cada ruta de servicio. T 1 T 2 T 3 T 4 ^u r 1 e r 2 u 2 e 2 ^u r 3 e u 1 u u 2 c T1 c T2 c T3 c T4 x T1 x T2 x T3 x T4 Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.18

30 Formulación del modelo Idea: Definir una variable binaria por cada ruta de servicio. T 1 T 2 T 3 T 4... T N ^u r 1 e r 2 u 2 e 2 ^u 2 A r 3 e u 1 u u 2 c T c T1 c T2 c T3 c T4... c TN x T x T1 x T2 x T3 x T4... x TN Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.18

31 Formulación del modelo Idea: Definir una variable binaria por cada ruta de servicio. u 2 u 1 e 3 ^u 1 Formular un enorme Problema de Particionamiento (IP): ^u 2 e 1 e 2 T 1 T 2 T 3 T 4... T N minc T x r 1 s.t r 2 Ax = 1 A r 3 x {0,1} N u u 2 c T c T1 c T2 c T3 c T4... c TN x T x T1 x T2 x T3 x T4... x TN Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.18

32 Programas enteros mixtos Definición: Un programa entero (integer program, IP) es un PL donde las variables deben además cumplir la condición de ser enteras max c T x s.r. Ax = b, x 0, x Z n Un PL donde ciertas variables son enteras y otras son reales se conoce como programa entero mixto (mixed integer program, MIP) Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.19

33 Propiedades La región factible de un IP es el conjunto de puntos contenidos en el interior de un poliedro P. Optimizar sobre P equivale a resolver la relajación lineal del IP y proporciona una cota para el óptimo. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.20

34 Propiedades La región factible de un IP es el conjunto de puntos contenidos en el interior de un poliedro P. Optimizar sobre P equivale a resolver la relajación lineal del IP y proporciona una cota para el óptimo. Resolver un IP en general es difícil!!! No existe un algoritmo equivalente al simplex Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.20

35 Solución de MIPs Branch-and-Bound Técnica inteligente de enumeración max0.2x x x x4 s.r. 0.5x x x x4 <= x x x x4 <= x x x x4 <= 0.4 xj = {0,1}, j = 1,...,4 Resolviendo la relajación lineal, obtenemos el óptimo: x 1 = x 4 = 0, x 3 = 1, x 2 = 0.5, z = 0.65 Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.21

36 Branch-and-Bound (2) Ahora conocemos que el valor del óptimo está acotado por 0.65 ( bound ) Sustituyendo x 2 por 0 o 1, generamos dos problemas nuevos, más pequeños: ( branch ) max0.2x x x4 s.r. 0.5x x x 4 <= x x x 4 <= x x x 4 <= 0.4 x j = {0,1}, j = 1,...,4 max0.2x x x 4 s.r. 0.5x x x 4 <= x x x 4 <= x x x 4 <= 0.2 x j = {0,1}, j = 1,...,4 Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.22

37 Branch-and-Bound (3) Continuamos en un árbol de búsqueda Las cotas de los PLs aceleran la búsqueda (tree prunning) Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.23

38 Planos cortantes Se usan para mejorar las cotas de los LPs Observación: La condición de integralidad puede sustuirse por (muchísimas) desigualdades lineales Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.24

39 Herramientas de software Solvers de MIPs CPLEX (ILOG) Xpress-MP (Dash) CBC (COIN-OR) SCIP (ZIB) GLPK (GNU)... Combinan Branch-and-Bound Cutting planes Branch-and-Cut Heurísticas... Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.25

40 Contenido Programas lineales Programas enteros y mixtos Optimización en grafos y redes Motivación Propiedades básicas Problemas clásicos Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.26

41 Todo empezó en Königsberg... Kaliningrado (2005) exclave ruso en el mar báltico... Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.27

42 Todo empezó en Königsberg... Kaliningrado (2005) exclave ruso en el mar báltico... Königsberg ( 1750)... puerto del antiguo imperio prusiano Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.27

43 ...con un problema de puentes El Pregel atraviesa la ciudad formando dos islas Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.28

44 ...con un problema de puentes El Pregel atraviesa la ciudad formando dos islas Problema: Cruzar cada uno de los siete puentes exactamente una vez Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.28

45 Modelo Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.29

46 Modelo Cuatro orillas... Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.29

47 Modelo Cuatro orillas unidas por siete puentes... Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.29

48 Modelo Cuatro orillas unidas por siete puentes... Idea: Olvidar la ciudad, retener la estructura! Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.29

49 Grafos Definición: Un grafo es un par ordenado G = (V,E) donde: V es un conjunto finito E es un multiconjunto de la forma E {{i,j} : i V, j V} Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.30

50 Grafos Definición: Un grafo es un par ordenado G = (V,E) donde: V es un conjunto finito E es un multiconjunto de la forma E {{i,j} : i V, j V} Ejemplo: 1 3 V = {1,2,3,4,5} E = {{1,2},{1,3},{2,4}, {3,4},{3,5},{4,5}} Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.30

51 Grafos Definición: Un grafo es un par ordenado G = (V,E) donde: V es un conjunto finito E es un multiconjunto de la forma E {{i,j} : i V, j V} Los elementos de V se llaman nodos de G, los elementos de E son las aristas de G. Ejemplo: 1 3 V = {1,2,3,4,5} E = {{1,2},{1,3},{2,4}, {3,4},{3,5},{4,5}} Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.30

52 Algunos conceptos básicos una arista e E es incidente a un nodo i V si i e Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.31

53 Algunos conceptos básicos una arista e E es incidente a un nodo i V si i e dos nodos i,j V son adyacentes si {i,j} E Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.31

54 Algunos conceptos básicos una arista e E es incidente a un nodo i V si i e dos nodos i,j V son adyacentes si {i,j} E el conjunto de nodos adyacentes a un cierto nodo i V es la vecindad de i: N(i) := {j V : ij E} Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.31

55 Algunos conceptos básicos una arista e E es incidente a un nodo i V si i e dos nodos i,j V son adyacentes si {i,j} E el conjunto de nodos adyacentes a un cierto nodo i V es la vecindad de i: N(i) := {j V : ij E} el grado de un nodo i es la cardinalidad de su vecindad: d(i) := N(i)... y coincide con el número de aristas incidentes a i Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.31

56 Representación computacional Matriz de adyacencia: Dado un grafo G = (V,E), definimos su matriz de adyacencia M(G) M V V por medio de: m ij := { 1, si i y j con nodos adyacentes 0, caso contrario Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.32

57 Representación computacional Matriz de adyacencia: Dado un grafo G = (V,E), definimos su matriz de adyacencia M(G) M V V por medio de: m ij := { 1, si i y j con nodos adyacentes 0, caso contrario Ejemplo: M(G) = Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.32

58 Representación computacional Matriz de incidencia: Dado un grafo G = (V,E), definimos su matriz de incidencia H(G) M V E por medio de: h ij := { 1, si la arista j es incidente al nodo i 0, caso contrario Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.33

59 Representación computacional Matriz de incidencia: Dado un grafo G = (V,E), definimos su matriz de incidencia H(G) M V E por medio de: h ij := { 1, si la arista j es incidente al nodo i 0, caso contrario Ejemplo: H(G) = Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.33

60 Representación computacional Listas de adyacencia: Dado un grafo G = (V,E), almacenamos para cada nodo i V una lista con su vecindad. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.34

61 Representación computacional Listas de adyacencia: Dado un grafo G = (V,E), almacenamos para cada nodo i V una lista con su vecindad. Ejemplo: L[1] = 2,3 L[2] = 1,4 L[3] = 1,4,5 L[4] = 2,3,5 L[5] = 3,4 Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.34

62 Dos problemas clásicos Problema del circuito euleriano: Dado un grafo G = (V,E), determinar si existe un camino cerrado que visita todas las aristas de G. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.35

63 Dos problemas clásicos Problema del circuito euleriano: Dado un grafo G = (V,E), determinar si existe un camino cerrado que visita todas las aristas de G. Problema del circuito hamiltoniano: Dado un grafo G = (V,E), determinar si existe un camino cerrado que visita todos los nodos de G. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.35

64 Y los puentes? Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.36

65 Y los puentes? Teorema: Un grafo admite un circuito euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.36

66 Y los puentes? Teorema: En contraste, el problema Un grafo del admite circuitoun hamiltoniano es muy circuito difícil... euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.36

67 Matemáticas discretas Problemas: Caminos eulerianos Caminos más cortos Arboles generadores Flujos máximos Programación lineal y entera... Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.37

68 Matemáticas discretas Problemas: Caminos eulerianos Caminos más cortos Arboles generadores Flujos máximos Programación lineal y entera... Aplicaciones: Logística Transporte Telecomunicaciones Redes de distribución Secuenciamiento genético... Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística p.37