PRÁCTICAS DE LA ASIGNATURA ECONOMETRIA II. CURSO 2004/2005

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1 PRÁCTICAS DE LA ASIGNATURA ECONOMETRIA II. CURSO 2004/2005 Práctica 3 1. Planteamiento y Objetivos de la Práctica En la presente práctica se propone la modelización univariante por medio del enfoque de Box-Jenkins de tres series temporales con características distintas. En cada uno de los ejemplos propuestos hay distintos pasos a detallar, pero con el fin de ver los tres ejemplos en la sesión práctica, cada profesor puede realizar los que considere más importantes en cada ejemplo y dejar los pasos omitidos para que los cubran los alumnos después por su cuenta Con la presente práctica se intenta que el alumno aprenda a construir modelos ARIMA univariantes para una serie temporal por medio del enfoque de Box-Jenkins. La aplicación de esta metodología conlleva recorrer diversas etapas hasta elaborar el posible modelo generador de los datos, de forma simplificada los pasos a realizar son los siguientes: Especificación inicial Estimación Chequeo o validación Utilización del modelo 1 En la etapa de especificación inicial se deberá determinar el orden de integración de la serie temporal, es decir cual es el número de diferencias que se requerirán y si una de ellas debe ser anual (estacional) para convertir en estacionaria a la variable objeto de análisis, Z t (d,s). Z t = (1-B) d (1-B s ) D 1 El modelo puede utilizarse, por ejemplo, para predecir, para describir las propiedades del fenómeno económico en cuestión en cuanto a su tendencia, estacionalidad, oscilaciones (cíclicas) estacionarias, impredictibilidad, etc-, para basar sobre él la extracción de señales como el componente estacional 2

2 Donde : d es el número de diferencias regulares y D es el número de diferencias de tipo estacional y habitualmente D= 0 ó 1 y 0 d+d 2. Para verificar el orden de d y D se utiliza tanto el análisis gráfico de la serie que nos revela determinadas características de la misma como sus correloramas simple y parcial y los tests de raíces unitarias. Una vez decidido el orden d y D, es decir el número de raíces unitarias que tiene la serie temporal, habrá que decidir el orden del polinomio autorregresivo (p) y el de medias móviles (q) para lo cual utilizamos como principales instrumentos el correlograma simple y el parcial de la serie. Los criterios generales que deben servir de guía para determinar el orden p del polinomio autorregresivo y el orden q del polinomio medias móviles se recogen en las estructuras de los correlogramas simple (FAC) y parcial (FAP) y que para los casos más sencillos se han visto en las clases teóricas. Un resumen de las características de la estructura del correlograma simple y del parcial se recoge en el esquema adjunto. Características teóricas de la FAC y de la FAP de los procesos estacionarios Procesos FAC FAP AR (p) MA (p) ARMA (p, q) Decrecimiento rápido hacia cero sin llegar a anularse q primeras autocorrelaciones significativas y el resto ceros Decrecimiento rápido hacia cero sin llegar a anularse P primeras autocorrelaciones distintas de cero y el resto ceros Decrecimiento rápido hacia cero sin llegar a anularse Decrecimiento rápido hacia cero sin llegar a anularse Debe quedar claro que la identificación es siempre tentativa por lo que se deben sugerir varios modelos como posibles procesos generadores de datos. Una vez que se han sugerido uno o varios modelos se escoge el que parezca más adecuado y se procede a su estimación, es decir se deben estimar los parámetros 3

3 de dicho modelo por un método de estimación apropiado, usualmente el de máxima verosimilitud pero en Eviews este método no está implementado. Posteriormente se debe realizar el chequeo ó validación de esas estimaciones, es decir, decidir sobre varios criterios la validez de dichas estimaciones. En esta práctica se realiza la modelización de tres series temporales de datos reales y características distintas. El primer caso es el Producto Interior Bruto a precios de mercado (PIBpm) de la economía española en términos reales y con frecuencia anual, el segundo analiza el Índice de Producción Industrial de Estados Unidos de frecuencia trimestral y estacionalidad y el último se refiere a una serie de frecuencia mensual y con estacionalidad, las exportaciones de mercancías en España. 2.Ejemplo1. El Producto Interior Bruto a Precios de Mercado (PIBpm) de la economía española La serie que se modeliza a continuación es el PIBpm español en términos reales. Su periodicidad es anual y el tamaño muestral abarca 51 observaciones que comprenden el periodo ; dada su frecuencia anual, esta serie no tendrá componente estacional. Los datos de esta variable se encuentran en el Banco de Datos del curso de econometría II. El primer paso que debemos dar para elaborar el modelo univariante de la serie es crear en Eviews el workfile con la frecuencia anual y el tamaño muestral anterior, tal y como hemos hecho en las dos prácticas anteriores. Posteriormente debemos importar los datos al fichero de trabajo, para ello debemos hacer lo siguiente en Eviews: Instrucciones: Proc/Impor /Read Text-Lotus-Excel/ Excel Tras ejecutar esta instrucción nos pide el fichero donde tenemos los datos, al darle el nombre del fichero aparece una ventana que nos pide el nombre para la serie que importamos, por ejemplo la denominamos PIB 4

4 El primer paso a la hora de modelizar la serie temporal es verificar si es estacionaria y en caso de que no lo sea realizar las transformaciones pertinentes hasta convertirla en estacionaria. Para ello en primer lugar graficamos la serie PIB, gráfico que se muestra a continuación. Se observa que tiene una tendencia creciente muy acentuada, lo que es un claro signo de que no es estacionaria en media, además ese crecimiento es exponencial por lo que probablemente su varianza no es constante, lo que aconseja tomar logaritmos, para ello en Eviews: Genr LPIB = log(pib) Representamos gráficamente la trasformación logarítmica de la serie LPIB, la cual se muestra en el gráfico adjunto junto con el de la serie original. Las instrucciones en Eviews para obtener los gráficos de las dos series anteriores son: Quick/Graph /PIB/Line Graph Quick/Graph /LPIB/Line Graph PIB LPIB Al comparar los gráficos adjuntos se observa que la serie LPIB corrige aparentemente el crecimiento exponencial del PIB y presenta un crecimiento más amortiguado pero manteniendo una evolución tendencial, por lo que no es estacionaria en media. También se observa un cambio en la evolución tendencial a 5

5 partir de 1974, coincidiendo con la primera crisis del petróleo. El correlograma simple de LPIB, que se muestra a continuación, confirma la sospecha anterior sobre la no estacionariedad de la serie, al mostrar un decrecimiento muy lento. Instrucciones en Eviews para obtener los correlogramas de LPIB: Quick/Series Statistics/Correlogram/LPIB También de forma alternativa en el objeto serie (LPIB) View/Correlogram Como un primer paso para eliminar la tendencia y convertir la serie en estacionaria se prueba con el ajuste de una tendencia lineal determinística a la serie LPIB. Ese ajuste muestra que ese método no es el adecuado para eliminar la tendencia de los datos. Al ajustar una tendencia determinística a la variable LPIB del tipo: LPIB = c +β t + µ t Cuya estimación se presenta a continuación 6

6 Instrucciones en Eviews para la estimación de la tendencia determinista: Quick /estimate equation y en la ventana de la ecuación que se abre escribir: LPIB El resultado de la estimación es: Ecuación para la tendencia Dependent Variable: LOG(PIB) Method: Least Squares Date: 04/17/05 Time: 11:10 Sample: Included observations: 51 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Residual Actual Fitted 7

7 Analizando esos resultados podemos observar que la estimación es totalmente espúrea puesto que los residuos presentan un estadístico Durbin- Watson próximo a cero, lo que es indicativo de una fuerte autocorrelación de primer orden y de que tienen una raíz unitaria y que, por lo tanto, no cumplen las condiciones para que sean ruido blanco. El gráfico de los residuos y de los valores reales y ajustados de la serie LPIB que se muestra junto con la ecuación estimada también muestra esos problemas y nos indica que los residuos se han mantenido por encima de la media durante un periodo demasiado largo, 1965 hasta Por lo tanto, ese ajuste no es adecuado puesto que olvida determinadas propiedades importantes de la serie Por lo tanto, la tendencia no es determinista sino estocástica y el procedimiento anterior no es el adecuado sino que se debe utilizar la diferenciación para eliminar la tendencia. Para ello, como hemos visto anteriormente, la serie en niveles no es estacionaria y pasamos, por tanto, a tomar la primera diferencia en LPIB. A tal efecto, generamos la serie de la primera diferencia de LPIB, DLPIB, es decir, transformamos la serie de acuerdo con la siguiente expresión: Z t =(1-B)LPIB La representación gráfica de la serie transformada y sus correspondientes correlogramas se muestran a continuación. 8

8 DLPIB Según la observación del correlograma simple de DLPIB, esta serie puede ser estacionaria pero su gráfico, mostrado anteriormente, exhibe dos tramos claramente diferenciados, periodo y el , en los que se observa que las medias de ambos periodos son distintas. Esa ruptura supone una caída de la tasa de crecimiento medio del PIB, cuyo desencadenante fue la 9

9 primera crisis del petróleo de 1973, es decir, estamos en presencia de una tendencia segmentada. El tema de tendencias segmentadas en el PIB ha sido ampliamente tratado en la literatura econométrica (Perron). Por lo tanto, podemos considerar que la primera diferencia de LPIB es estacionaria pero considerando que tiene una media truncada, este hecho se debe incorporar en la modelización. Si se realiza el test de Dickey Fuller Aumentado (ADF) en situación de cambio estructural, que veremos más adelante, el resultado se inclina por una sola raíz unitaria y la serie sería I(1,1 s ), es decir, I(1) con una media truncada. A efectos didácticos decidimos, como una alternativa, ignorar la situación de media truncada, y en su lugar tomar una segunda diferencia en la serie LPIB. A continuación, representamos tanto el gráfico como el correlograma de la serie transformada, lo cual nos indica que aparentemente podemos estar en presencia de una serie estacionaria. El test de Dickey-Fuller Aumentado sobre raíces unitarias (DFA) sin tener en cuenta el aludido cambio estructural, que se verá más adelante en el curso y no reportado aquí, se inclina también por una segunda raíz unitaria. No obstante, cabe mencionar que si se realiza el test DFA a una serie que presenta un cambio estructural, ignorando dicho hecho, el test esta sesgado hacia la aceptación de la hipótesis nula. 10

10 D(LPIB,2) Por lo tanto, observamos que tanto el correlograma de la segunda diferencia de LPIB como su gráfico muestran que estamos en presencia de una serie aparentemente estacionaria : Z t = (1-B) 2 LPIB 11

11 Es decir, la serie tendría dos raíces unitarias y sería, por tanto, integrable de segundo orden, LPIB I(2) Una vez decidido el grado de integración de la serie, es decir, el número de raíces unitarias que tiene, se debe determinar cuales son los posibles procesos ARMA que generan la serie. Empezamos con la primera opción de una sola raíz pero incorporando la media truncada. Para ello analizamos tanto el correlograma simple como el parcial de la serie DLPIB, que recogen toda la estructura de dependencia temporal de la serie, utilizando los conocimientos explicados en el capitulo 3. El correlograma de la serie DLPIB nos dice que el modelo que puede generar la serie es un MA(1) puesto que el correlograma simple se anula después del primer retardo y el parcial tiende a cero rápidamente, pero también podría ser un ARMA(1,1). De la observación del gráfico de la serie que consideramos estacionaria, D(LPIB,1), que vemos que tiene una media truncada, se observa que su media es distinta de cero, por lo que procede en principio la inclusión de término independiente. En cualquier caso, si se incluye en el modelo especificado, el proceso de verificación de las estimaciones lo confirmará o rechazará. También si se quiere captar el efecto del truncamiento de la media, esa ruptura se debe captar por medio de una variable ficticia, en este caso el tipo escalón parece el más idóneo. A esta variable la denominamos dum1 y toma valores cero antes de la ocurrencia del suceso (1974) y unos en el resto, es decir, en el periodo Los modelos sugeridos para esta primera opción serian: 1.1 ARIMA(0,1,1),, (1-B) LPIB = C+α Dum1 + (1- θ 1 B )a t 1.2 ARIMA(1,1,1),, (1-φ 1 B)(1-B) LPIB = C+α Dum1 + (1- θ 1 B )a t Para la segunda opción, dos diferencias de LPIB haciendo caso omiso del truncamiento de la media, el análisis de los correlogramas de la serie D(LPIB,2) nos dice que el significativo coeficiente de orden 2 junto con el decaimiento amortiguado 12

12 de las autocorrelacciones parciales nos hace inclinamos por un MA(2) con el parámetro θ 1 restringido a cero, modelo ARIMA (0, 2,2) con θ 1 =0,, (1-B) 2 LPIB = (1- θ 2 B 2 )a t No obstante, dado que el primer coeficiente de autocorrelación puede estar sesgado, dado que la banda de confianza que marca Eviews en el correlograma es igual que la del resto y debe ser más estrecha, nos inclinamos por incluir ese componente y no restringirlo a cero y sugerimos el modelo 1.4 como alternativa. 1.4 ARIMA (0,2,2),, (1-B) 2 LPIB= (1- θ 1 B - θ 2 B 2 )a t El análisis de la estructura del correlograma probablemente sugiera algún modelo adicional pero de momento nos quedamos con los propuestos. Estimación Una vez, especificados varios modelos alternativos como posibles generadores de la serie se debe proceder a la estimación de los mismos. Para ello en Eviews se deben dar las siguientes instrucciones para estimar los dos modelos sugeridos de la primera opción Modelo 1.1: Quick/Estimate Equation/ d(lpib,1) c dum1 ma(1) Modelo 1.2: Quick/Estimate Equation/ d(lpib,1) c dum1 ar(1) ma(1) Para los modelos de la segunda opción, con dos raíces unitarias, d(lpib,2) Modelo 1.3: Modelo 1.4: Quick/Estimate Equation/ d(lpib,2) ma(2) Quick/Estimate Equation/ d(lpib,2) ma(1) ma(2) Los resultados de la estimación de estos modelos se presentan a continuación : 13

13 Estimación Modelo1.1 Dependent Variable: DLPIB Method: Least Squares Date: 04/15/05 Time: 12:55 Sample(adjusted): Included observations: 50 after adjusting endpoints Convergence achieved after 7 iterations Backcast: 1954 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C DUM MA(1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Inverted MA Roots -.48 Estimación modelo 1.2 Dependent Variable: DLPIB Method: Least Squares Date: 04/15/05 Time: 12:38 Sample(adjusted): Included observations: 49 after adjusting endpoints Convergence achieved after 6 iterations Backcast: 1955 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C DUM AR(1) MA(1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Inverted AR Roots -.18 Inverted MA Roots

14 Estimación modelo 1.3 Dependent Variable: D(DLPIB) Method: Least Squares Date: 03/31/05 Time: 14:47 Sample(adjusted): Included observations: 49 after adjusting endpoints Convergence achieved after 8 iterations Backcast: Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. MA(2) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat Inverted MA Roots Estimación Modelo 1.4 Dependent Variable: D(DLPIB) Method: Least Squares Date: 03/31/05 Time: 15:03 Sample(adjusted): Included observations: 49 after adjusting endpoints Convergence achieved after 9 iterations Backcast: Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. MA(1) MA(2) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Inverted MA Roots Una vez estimados los modelos especificados se debe validar dichas estimaciones, es decir, se debe contrastar la adecuación del modelo a los datos, por medio de una batería de tests estadísticos vistos en clase y que se encuentran en Eviews en el objeto ecuación estimada. 15

15 Validación o chequeo En la etapa de validación se presentan tres bloques de análisis: Un primero referente a los resultados de la estimación, un segundo centrado en el análisis de los residuos y, finalmente, un tercero dedicado a la comparación de modelos alternativos. Análisis de la estimación.- Referente a los modelos de la primera opción, modelos 1.1 y 1.2, el análisis de la significatividad individual de los coeficientes por medio del estadístico t de student pone de relieve que todos los coeficientes del modelo 1.1 son altamente significativos y también lo son los del modelo 1.2, con excepción del parámetro correspondiente al componente AR(1). En cuanto a los modelos de la segunda opción, modelos 1.3 y 1.4, también pasan con holgura las pruebas de significatividad individual de sus coeficientes, ver cuadros anteriores de las ecuaciones estimadas. En cuanto a las condiciones de estacionariedad e invertibilidad de los modelos estimados, todas las raíces de los polinomios de retardos caen fuera de circulo de radio unidad, ver cuadros anteriores de estimaciones, debe tenerse en cuenta que Eviews muestra la inversa de las raíces, por lo que esas inversas caen todas dentro del circulo de radio unidad. No obstante, en los modelos de la segunda opción (1.3 y 1.4), sobre todo en el segundo, se aprecia un problema y es el de que rozan la no invertibilidad puesto que una de las raíces invertidas es 0,91, lo cual está muy próxima a la unidad y, tratándose de una estimación, podría significar sobrediferenciación, recuerdese a este respecto las dudas mencionados anteriormente a la hora de establecer el parámetro d que nos ha obligado a sugerir las dos opciones y en la segunda nos hemos decantado por d=2. Por lo tanto, los resultados de la estimación nos revelan que probablemente esa segunda raíz no era del todo necesaria necesaria. De la observación de los resultados de la estimación se deduce que el modelo 1.1 presenta un error estandar (0,021179), ligeramente más bajo que el

16 (0,021398) y el estadístico de Akaike del primer modelo también es inferior al del segundo (-4,8134 frente a 4,7729). Los modelos de la segunda opción, 1.3 y 1.4, tienen un error estandar mayor que los dos anteriores y también un criterio de Akaike mayor. En esta etapa también se suele analizar las correlaciones entre los coeficientes estimados para verificar la posible existencia de multicolinealidad en el modelo. La existencia de multicolinalidad indica una falta de precisión en las estimaciones obtenidas y una cierta inestabilidad de los coeficientes estimados. Para obtener las correlaciones entre los coeficientes se acude a su matriz de correlaciones que proporciona Eviews, para ello nos situamos en la ecuación estimada y marcamos lo siguiente: View/Correlation Matrix La ejecución de esta instrucción muestra la matriz de coeficientes de la ecuación estimada, para el modelo 1.1 se tiene: Matriz de correlaciones del modelo 1.1 C DUM1 MA(1) C 4.98E E E-05 DUM1-4.88E E E-05 MA(1) -1.19E E Se observa que esa matriz presenta unas correlaciones muy bajas por lo que no muestra indicios de multicolinealidad. Para el resto de los modelos de este ejemplo se puede verificar de la misma forma que tampoco presentan problemas de multicolinelidad. Análisis de los residuos..el siguiente paso dentro del proceso de validación es el análisis de los residuos de ambos modelos. Para ello en el objeto ecuación de Eviews se ofrecen varios contrastes, pero nos limitamos al contraste de que los residuos sean ruido blanco, inspeccionando el correlograma de residuos, el estadístico Q de Box- 17

17 Pierce- Ljung y el gráfico de residuos. Para ello, en Eviews una vez dentro del objeto ecuación Instrucciones: View/ Residual Tests/Correlogram-Q-Statistics Los resultados para el modelo 1.1 se presenta en la tabla adjunta y se puede contemplar que las autocorrelaciones de los residuos no son significativas y entran dentro de las bandas de confianza, lo que indica que no son distintas de cero. Por su parte, el estadístico Q no muestra indicios de autocorreción global de los residuos, puesto que el valor de Q estimado para los diferentes ordenes de autocorrelación que se muestran en la tabla adjunta es siempre inferior al punto critico de la χ 2 con los correspondientes grados de libertad y los niveles estandar de significatividad utilizados en el trabajo empírico, lo que se ratifica también con los P- values lo que nos lleva a rechazar la hipótesis nula de autocorrelación global de los residuos. Correlograma de residuos del modelo

18 Instrucciones Eviews para el gráfico de residuos: View/Actual, Fitted, residuals Residual Actual Fitted, El gráfico de los residuos también apoya la ausencia de autocorrelación residual, puesto que la gran mayoría de los residuos entran dentro de las bandas de confianza con excepción de dos en el primer tramo de la muestra. Por lo tanto, también muestra claramente que los residuos son ruido blanco. De la misma forma que el análisis llevado a cabo para el modelo 1.1 se puede entrar en el objeto ecuación de los restantes modelos y se puede verificar que todos presentan residuos ruido blanco, posiblemente el que pasa con menos holgura las pruebas sea el 1.3. Comparación de modelos alternativos. Del análisis que se acaba de realizar en los dos apartados anteriores se deduce que los modelos de primera opción con una raíz unitaria y truncamiento de la media, considerando a la variable LPIB como (1,1 s ), superan el conjunto de pruebas estadísticas para validar sus estimaciones, aunque el modelo 1.2 presenta un problema que es la no significatividad del parámetro del componente AR(1). 19

19 Además el modelo 1.1 presenta una menor varianza residual y un menor Akaike, por lo que el modelo 1.1 es preferible al 1.2. En cuanto a los modelos de la opción 2, modelos 1.3 y 1.4 que consideran a la variable LPIB como I(2), si bien supera las pruebas de significatividad individual de los parámetros y sus residuos son ruido blanco, presentan un problema de invertibilidad, sobre todo el 1.4, lo que puede indicar sobrediferenciación, por lo que la segunda diferencia puede que no sea necesaria. Además estos modelos (1.3 y 1.4) presentan una mayor varianza residual y un Akaike menor que los de la primera opción, por lo que el modelo preferido es el 1.1 Por lo tanto, la tasa de crecimiento del PIB de la economía española, LPIB, viene explicada de forma satisfactoria por un modelo sencillo ARIMA(0,1,1) y con una media truncada situándose dicha ruptura en 1974, coincidiendo con la primera crisis del petróleo. LPIB = 0,057-0,03 Dum1 + (1-0,479B )a t (8,1) (-3,4) (3,8) Por lo tanto, de acuerdo con esta ecuación, la tasa de crecimiento medio anual del PIB estimada fue del 5,7% en el periodo anterior a la crisis de 1974 pero el efecto de la primera crisis del petróleo, recogida por la variable dum1, ha reducido ese crecimiento medio en tres puntos porcentuales, es decir el crecimiento medio en el periodo es del 2,7%. 3. Ejemplo 2. El Índice de Producción Industrial de USA La serie a modelizar es el Índice de Producción Industrial de Estados Unidos y la fuente es el Main Economic Indicator de la OCDE. El periodo muestral abarca Una vez creado el el WorKfile y establecido el periodo muestral se debe deben importar los datos del banco de datos, tal y como se ha hecho en el ejemplo anterior. La serie la denominamos IP. 20

20 El primer paso para modelizar la series es obtener la representación gráfica de la serie (IP). Para ello en Eviews, la instrucción es: Quick/ Graph/ Graph Line/ IP El resultado es el gráfico1a en el que se puede contemplar como la serie IP muestra un crecimiento exponencial a lo largo del tiempo, por lo que se sugiere la transformación logarítmica. Para ello, en Eviews: GENR LIP=LOG(IP), y para su representación gráfica : Quick/ Graph/ Graph Line/ LIP La representación gráfica de esta serie (LIP) se muestra en el gráfico 1b en el cual se puede contemplar que la nueva serie ha amortiguado el crecimiento exponencial pero mostrando una clara tendencia lineal creciente y también ha estabilizado la varianza de la serie, se observan algunas fluctuaciones de carácter netamente estacional. Por lo tanto, el gráfico 1b nos dice que la serie no es estacionaria en media 21

21 140 grafico 1a IP grafico 1b LIP

22 También se muestra a continuación el correlograma de LIP: En Eviews una vez dentro del objeto LIP: View/Correlogram El correlograma confirma la sospecha de no estacionariedad de la serie que nos mostraba el gráfico 1b de nivel de la serie LPIB Dado que la serie no es estacionaria pasamos a transformarla hasta convertirla en estacionaria. Si ajustamos una tendencia temporal lineal simple de tipo determinístico a la serie (LIP), tal y como hicimos en el capítulo 1 y práctica 1, y restamos LIP la serie ajustada podremos comprobar que ese no es un procedimiento correcto para convertir a la serie en estacionaria. En efecto, si ajustamos una función deterministica del tipo: LIP = c +β t + µ t 23

23 En Eviews: Quick /estimate equation Y en la ventana de la ecuación que se abre escribir: LIP El resultado de la estimación es: Dependent Variable: LIP Method: Least Squares Date: 04/19/05 Time: 17:37 Sample: 1950:1 1998:3 Included observations: 195 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Residual Actual Fitted Estos resultados nos dicen que estamos en presencia de una regresión espúrea, con un R 2 muy elevado (0,97) y un estadístico de D-W muy bajo(0,085 ) y próximo a cero, lo que es indicativo de que esos residuos no son estacionarios y tienen una 24

24 raíz unitaria. Además durante un periodo largo de tiempo, , la serie se mantiene por encima de su tendencia, lo que también se refleja en el gráfico de residuos. Por lo tanto, es obvio que el ajuste de esa tendencia determinista simple olvida importantes aspectos dinámicos de la serie y la tendencia es estocástica y se debe proceder con diferenciaciones para eliminar esa tendencia. Comenzamos tomando una primera diferencia regular en la serie LIP, cuyo gráfico se muestra a continuación y también su correlograma. Instrucciones en Eviews: Genr DLIP=D(LIP,1) Quick/Graph/Line Graph/DLIP Quick/Series Statistic/Correlogram DLIP 25

25 El gráfico de DLIP muestra que la serie podría ser estacionaria pero su correlograma muestra que, si bien el componente regular parece estacionario, el correlograma estacional puede interpretarse en el sentido de que decrece lentamente ya que además se conoce que esta serie tiene oscilaciones estacionales, con lo que habría que tomar una diferencia de tipo estacional. Con el fin de no tomar más diferenciaciones de las necesarias, vamos a cambiar de estrategia y tomamos en primer lugar la diferencia estacional sobre la serie original (LIP), D4LIP=DLIP-DLIP(-4). Las instrucciones para la construcción de esta serie en Eviews, su representación gráfica y correlograma son la siguientes: Instrucciones Eviews: Genr/D4LIP=D(LIP,0,4) Quick/Graph/Line Graph/D4LIP Quick/Series Statistic/Correlogram/DLIP 26

26 El Gráfico de la serie (D4LIP) que se muestra a continuación muestra que aparentemente esa serie es estacionaria y lo mismo se deduce de la observación de su correlograma. D4LIP 27

27 Por lo tanto, la toma de una diferencia de tipo estacional ha convertido a la serie en estacionaria y será la transformación que utilizaremos en adelante. La transformación ha eliminado la estacionalidad y la tendencia de la serie y es del tipo: Z t = (1-B 4 )LIP. Esta transformación tiene el siguiente significado: D4LIP= LIP- LIP(-4)= log(ip)-log(ip(-4)), que como ya sabemos esa diferencia logarítmica es una aproximación a la tasa de variación interanual de IP. Esta tasa tiene una media distinta de cero según muestra su gráfico. No obstante, para confirmar que esta transformación es estacionaria aplicamos el test de Dickey-Fuller Aumentado (ADF) a la serie D4LIP para ver si es necesario tomar alguna diferencia de tipo regular. Instrucciones en Eviews para el ADF: Dentro del objeto serie (D4LIP) pinchamos en View/Unit Root Test Aparece la ventana adjunta y seleccionamos los parámetros de interés, en nuestro caso los marcados con punto negro. 28

28 Resultados de test ADF para la serie D4LIP ADF Test Statistic % Critical Value* % Critical Value % Critical Value *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(D4LIP) Method: Least Squares Date: 04/20/05 Time: 17:13 Sample(adjusted): 1952:2 1998:3 Included observations: 186 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. D4LIP(-1) D(D4LIP(-1)) D(D4LIP(-2)) D(D4LIP(-3)) D(D4LIP(-4)) C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion

29 Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) En la aplicación del ADF se incluye una constante y cuatro aumentos, desfases. Los resultados del Test ADF nos llevan a rechazar la hipótesis I(2) en favor de la I(1), es decir no es preciso tomar una raíz de tipo regular en la variable D4LIP, puesto que el ratio t estimado para la variable D4LPIB(-1) supera ampliamente los puntos críticos de la distribución ADF. Por lo tanto, la serie D4LIP es estacionaria. Pasamos, por tanto, a especificar el orden del polinomio AR y el de MA. Del análisis de los correlogramas de D4LIP se deduce a primera vista un modelo AR(2), puesto que el correlograma simple desciende lentamente y el parcial tiene las dos primeras autocorrelaciones significativas. También podría ser alguno de estos dos modelos alternativos: AR(2) MA (2) s ó AR(2)MA(1) AR(1) s De la observación del gráfico de la serie se deduce que la media de la serie es distinta de cero por lo que debe incluirse el término constante en los modelos especificados Los modelos tentativos serian por tanto: 2.1. ARIMA(2,0,0) (0,1,0) 4,, (1- φ 1 B-φ 2 B 2 )(1-B 4 )LIP= µ + a t 2.2. ARIMA(2,0,0) ) (0,1,2) 4,, (1- φ 1 B-φ 2 B 2 )(1-B 4 )LIP= µ +(1- Θ 4 B 4 - Θ 8 B 8 )a t 2.3. ARIMA(2,0,1) ) (0,1,1) 4,, (1- φ 1 B-φ 2 B 2 )(1-Φ 1 B 4 )(1-B 4 )LIP= µ + (1- θ 1 B) a t Estimación La estimación de los modelos anteriores en Eviews se hace por medio de las siguientes instrucciones: 30

30 Quick/ Estimate Equation/ D(LIP,0,4) c ar(1) ar(2) Quick/ Estimate Equation/ D(LIP,0,4) c ar(1) ar(2) ma(4) ma(8) Quick/ Estimate Equation/ D(LIP,0,4) c ar(1) ar(2) ma(1) ar(4) Los resultados de la estimación de estos modelos se presentan a continuación: Estimacion modelo 2.1 Dependent Variable: D4LIP Method: Least Squares Date: 04/19/05 Time: 22:30 Sample: 1954Q1 1998Q3 Included observations: 179 Convergence achieved after 3 iterations Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C AR(1) AR(2) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Inverted AR Roots i i Estimacion modelo 2.2 Dependent Variable: D4LIP Method: Least Squares Date: 04/21/05 Time: 00:13 Sample: 1954Q1 1998Q3 Included observations: 179 Convergence achieved after 11 iterations Backcast: 1952Q1 1953Q4 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C AR(1) AR(2)

31 MA(4) MA(8) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Inverted AR Roots Inverted MA Roots i i i i i i -.94 Estimacion modelo 2.3 Dependent Variable: D4LIP Method: Least Squares Date: 04/19/05 Time: 23:23 Sample: 1954Q1 1998Q3 Included observations: 179 Convergence achieved after 9 iterations Backcast: 1953Q4 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C AR(1) AR(2) AR(4) MA(1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Inverted AR Roots i i i i Inverted MA Roots

32 Validación El modelo 2.1 presenta todos sus coeficientes significativos, los coeficientes no tienen síntomas de multicolinealidad y cumplen las condiciones de estacionariedad. Su error estandar es 0,0252 y su AKAIKE de 4,6057. No obstante, como veremos más adelante sus residuos presentan problemas. Las estimaciones de los modelos 2.2 y 2.3 superan las pruebas de significatividad individual de sus coeficientes, con excepción del parámetro del componente MA(8) del modelo 2.2 que no resulta significativo, también las raíces de sus polinomios caen fuera de un circulo de radio unidad por lo que no presentan problemas de estacionariedad e invertibilidad, pero una raíz del polinomio media móvil del modelo 2.2 roza la invertibilidad. A su vez, la matriz de correlaciones de estos modelos no muestra signos de multicolinealidad. En cuanto al análisis de residuos se analizan los correlogramas de los residuos y el estadístico Q así como los gráficos de residuos. Para obtenerlos en Eviews, dentro de la ecuación: Views/ Residual tests/correlogram-q-statstics Views/ Residual tests/actual,fitted, Residual/Actual, Fitted,Residual Graph Se puede contemplar en la tabla adjunta que los residuos del modelo 2.1 no superan las pruebas de ausencia de autocorrelación puesto que sus correlogramas y el estadístico Q indican que existe estructura en los residuos sin captar y no son ruido blanco. Por ello, es un modelo incompleto y desechable. El modelo 2.2, dados los problemas de estimación que su estimación presenta se considera no válido y no se realiza el análisis de sus residuos. En cuanto al análisis de residuos del modelo 2.3, tanto el correlograma y el estadístico Q como el gráfico de sus residuos que se presentan a continuación nos indican que estamos en presencia de residuos ruido blanco. 33

33 Correlograma de los residuos del modelo 2.1 Grafico de residuos del modelo Residual Actual Fitted 34

34 Correlograma de los residuos del modelo 2.3 Grafico de residuos del modelo Residual Actual Fitted 35

35 Del análisis anterior y de la valoración de las estimaciones y residuos de los diferentes modelos, se deduce que el modelo 2.1 no tiene residuos ruido blanco y el 2.2 presenta problemas en sus estimaciones tanto de algún coeficiente individual como del valor de sus raíces. Sin embargo, el modelo 2.3 supera las distintas pruebas de valoración de estimaciones y presenta residuos ruido blanco, por lo que es el modelo preferido. 4. Ejemplo 3. Las exportaciones de mercancías en España La serie a analizar en este ejemplo es la de exportaciones de mercancías españolas que elabora el Departamento de Aduanas de la Agencia Tributaria, tiene frecuencia mensual y el periodo muestral comprende 1981: :01, es decir 289 observaciones. El objetivo que se persigue con este ejercicio es que el alumno aprenda a construir un modelo univariante de una serie de frecuencia mensual con tendencia y estacionalidad. La serie se encuentra en el banco de datos del curso de econometria II. Una vez creado el fichero de trabajo en Eviews para esa frecuencia y periodo muestral, de la misma forma como se ha realizado en los dos ejercicios anteriores, se importa la serie del Banco de Datos de econometría II, en la forma habitual ya conocida. El primer paso a la hora de buscar un modelo para la serie es representarla gráficamente, para lo cual en Eviews. Instrucciones: Quick/Graph/ Expor/Line graph El resultado es el gráfico 3.1 que se muestra a continuación, en dicho gráfico se puede contemplar que la serie muestra un claro componente tendencial por lo que no es estacionaria en media. Probablemente tampoco lo sea en varianza puesto que la dispersión de la serie es creciente, por lo que se debe tomar logaritmos neperianos, para ello en Eviews: Genr LExpor =log(expor), y graficamos la serie para ello en Eviews: Quick/graph/Lexpor/line graph. 36

36 El resultado se muestra en el gráfico 3.2, donde podemos contemplar que la transformación logarítmica es totalmente necesaria puesto que estabiliza la varianza de la serie, por lo que en el futuro trabajaremos con esta transformación. 1.40E+07 grafico 3.1 Exportaciones 1.20E E E E E E E+00 EXPOR Grafico3.2 Logaritmo de las exportaciones LEXPOR

37 El gráfico de LEXPOR es indicativo de una serie con una fuerte tendencia creciente y un marcado patrón estacional, por lo que no es una serie estacionaria. Como hemos visto en los dos ejemplos anteriores el correlograma de la serie puede ayudar a corroborar el diagnostico sobre la estacionariedad de la serie. Para ello calculamos el correlograma de la serie: Instrucciones: Una vez en el objeto serie LEXPOR, View/ Correlogram El correlograma de la serie indica que las autocorrelaciones decaen muy lentamente, como se aprecia en la figura anterior, y el correlograma parcial presenta un valor significativo en el primer coeficiente cercano a la unidad. Ello nos confirma la existencia de una raíz unitaria y; por tanto, la no estacionariedad en media apuntada anteriormente. Dado que la serie no es estacionaria en media se procede a tomar una primera diferencia regular. Par ello en Eviews en el menú principal: 38

38 Quick / Series Statistics/ Correlogram/D(Lexpor,1) O pulsando dos veces sobre la serie D(Lexpor,1): View/Correlogram Correlograma de la primera diferencia regular de las exportaciones El correlograma de la primera diferencia del logaritmo de las exportaciones (Lexpor) muestra que la serie tiene un claro componente estacional. A este respecto, cabe señalar que las autocorrelaciones muestrales correspondientes a los retardos estacionales 12,14, y 36 son elevados con valores de 0,699, 0,597 y 0,523. y todos ellos significativos, al superar las bandas de confianza. Este comportamiento de las autocorrelaciones muestrales de los retardos estacionales refleja una tendencia en la parte estacional de la serie, es decir la serie no es estacionaria en media en la parte estacional. Con el fin de corregir esa no estacionariedad se toma una diferencia de tipo estacional en la serie con una diferencia regular, para lo cual 39

39 generamos la serie DD12LEXPOR= DLEXPOR-DLEXPOR(-12), que en términos de Eviews equivale a trabajar con la serie D(LEXPOR;1,12). La transformación que se sugiere es : Z t = (1-B 12 )(1-B) LEXPOR Construimos el Correlograma con esta serie transformada con d=d=1, para ello en Eviews: QuicK/Series Statistics/Correlogram/ D(LEXPOR,1,12) Correlograma de la primera diferencia regular y estacional de LEXPOR El correlograma de D(LEXPOR1,12) nos dice que las autocorrelaciones muestrales decaen rápidamente, lo que es indicativo de una serie estacionaria en media y en 40

40 varianza. La representación gráfica de la serie D(LEXPOR,1,12), ver gráfico 3.3, también es indicativa de una serie estacionaria..6 Gráfico 3.3 Primera diferencia regular y estacional de LEXPOR D(LEXPOR,1,12) Para finalizar la etapa de especificación inicial debemos determinar cuales son los modelos estacionales multiplicativos ARMA (p,q) ARMA(p,Q) S que pueden generar la serie. Para ello nos basamos en los correlograma simple y parcial de la serie 12 LEXPOR que consideramos estacionaria. También se debe determinar si el modelo debe incluir constante o no, de la observación del gráfico 3.3 de la serie estacionaria se deduce que la serie transformada gira alrededor del valor cero, por lo que deducimos que su media no es distinta de cero y no procede tal inclusión. Al analizar la parte regular de los correlogramas se deduce que existe un claro componente MA(1), puesto que el primer coeficiente de la autocorrelacción muestral es significativo y las autocorrelaciones parciales decrecen rápidamente hacia cero: 41

41 También podría pensarse en un MA(2) para la parte regular puesto que la segunda autocorrelación se encuentra en el límite y debemos tener en cuenta que en las primeras autocorrelaciones hay ser más exigentes, por lo que planteamos un modelo alternativo MA(2). Dado que los retardos 1 y 2 de la FACP son altamente significativos y después el 3 y 4 no son pero repunta ligeramente en el 5 se puede pensar como otra alternativa un modelo AR(2) ó incluso el AR(3). Analizando ahora el componente estacional a través de la FAC y la FACP de los retardos estacionales (los múltiplos de 12 al tratarse de datos mensuales), se observa que el primer coeficiente de autocorrelación estacional, el 12, es significativo (0,38) mientras que el segundo, el de orden 24, ya no lo es; podría pensarse en un MA(1) s estacional, un MA(12),. También podría pensarse en un AR(2) s puesto que el correlograma regular desciende lentamente y el parcial tiene dos significativos, el 12 y 24. Combinando estas estructuras sugeridas para la parte regular y estacional y teniendo en cuenta la no inclusión de la constante resultan múltiples modelos, algunos de los más sencillos y que tienen más sentido han sido los siguientes: 3.1 ARIMA(0,1,2) (1,1,0) S 3.2 ARIMA(0,1,2) (2,1,0) S 3.3 ARIMA(0,1,2) (1,1,1) s Estimación A continuación se procede a estimar los modelos especificados y cuyos resultados se presentan a continuación. Para ello en Eviews se deben dar las siguientes instrucciones para estimar los modelos sugeridos: Modelo 3.1: Quick/Estimate Equation/ D(lexpor, 1,12) MA(1) MA(2) AR(12) Modelo3.2:Quick/Estimate Equation/ D(lexpor, 1,12) MA(1) MA(2) AR(12) AR(24) Modelo3.3: Quick/Estimate Equation/D(lexpor,1,12) MA(1) MA(2) AR(12) MA(24) 42

42 Estimación modelo 3.1 Dependent Variable: D(LEXPOR,1,12) Method: Least Squares Date: 04/24/05 Time: 19:59 Sample (adjusted): 1983M M01 Included observations: 264 after adjustments Convergence achieved after 12 iterations Backcast: 1980M M12 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. AR(12) MA(1) MA(2) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat Inverted AR Roots i i i i i i i i i i i i Inverted MA Roots i i Estimación Modelo 3.2 Dependent Variable: D(LEXPOR,1,12) Method: Least Squares Date: 04/24/05 Time: 23:44 Sample (adjusted): 1984M M01 Included observations: 252 after adjustments Convergence achieved after 11 iterations Backcast: 1980M M12 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. AR(12) AR(24) MA(1) MA(2) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat

43 Estimación modelo 3.3 Dependent Variable: D(LEXPOR,1,12) Method: Least Squares Date: 04/24/05 Time: 20:05 Sample (adjusted): 1983M M01 Included observations: 264 after adjustments Convergence achieved after 17 iterations Backcast: 1979M M12 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. AR(12) MA(1) MA(2) MA(24) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat Inverted AR Roots i i i i i i i i i i i i Inverted MA Roots i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i -.91 Validación o chequeo Una vez estimados los modelos se pasa a realizar una evaluación de dichas estimaciones. El modelo 3.1 presenta todos sus coeficientes significativos, según el ratio de la t, la matriz de correlaciones de los coeficientes que se puede consultar en la ventana de la ecuación no proporciona coeficientes de correlación 44

44 elevados por lo que no presentan signos de multicolinealidad. La raíces de los polinomios de esta ecuación caen fuera del circulo de radio unidad, el proceso de estimación se alcanza en 12 iteraciones, el error estandar de la ecuación estimada es de 0,089 y el AKAIKE es de 1,984. Los modelos 3.2 y 3.3 necesitan de 11 y 17 iteraciones, respectivamente, hasta alcanzar su proceso de estimación, sus parámetros son individualmente significativos según el t ratio y las correlaciones de sus parámetros de no muestran signos de multicolinealidad, por lo que ambos modelos cumplen las condiciones de estacionariedad e invertibilidad. El error estandar del modelo estimado 3.2 es de 0,0805 y el del 3.3 es algo mayor (0,0848), en cuanto al AKAIKE el valor para el modelo 3.2 es de 2,1856 y el del 3.3 es mayor (-2,081). En cuanto al análisis de residuos se evalúan, principalmente, a través de los correlogramas de residuos y del estadístico Q y el gráfico de residuos. Para obtener los correlogramas de residuos y el gráfico de residuos las instrucciones en Eviews, una vez dentro de la ecuación estimada, son: View / Residual Tests / Correlogram-Q- Statistics Las instrucciones para la obtención del gráfico de residuos son: View /Actual,Fitted, Residual / Actual, Fitted, Residual Analizando los correlogramas de los residuos del modelo 3.1 se observa que todos los coeficientes de autocorrelación del correlograma simple como el parcial no son distintos de cero puesto que entran dentro de las bandas de confianza, con excepción de la autocorrelación de orden 24, lo que indica que la estacionalidad de este modelo no está del todo captada con un solo componente estacional, un AR(12), sino que necesita otro componente estacional, los otros dos modelos especificados incluyen un segundo componente estacional. En cuanto a la significatividad global de los residuos por medio del estadístico Q se observa que no hay indicios de autocorrelación puesto que las probabilidades asociadas a todos los estadísticos Qson mayores de 0,05, por lo que se sitúa en la región de no rechazo de la hipótesis nula, es decir, son ruido blanco. El gráfico de residuos también indica que son ruido blanco 45