Tema 3. Régimen Permanente Parte II. Régimen Permanente Senoidal

Transcripción

1 Tema 3. Régimen Permanente Parte. Régimen Permanente Senoidal Sistemas y Circuitos

2 Los equipos de comunicaciones trabajan con señales sinusoidales Amplitud [] Fase [rad] Sinusoides: Acos( 2π fct θ ) Amplitud, frecuencia, fase Frecuencia [Hz] Ejemplos: Coseno: A cos(2πf cos(ω oc t) 3b. ntroducción A -A A t Q: Qué pasa si f C 0 Hz? A: Las señales constantes tienen frecuencia 0 Seno: A sin(2πf C t) A t cos( x) sin x π 2 -A t

3 3b. ntroducción 3 Las señales sinusoidales se representan en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia Amplitud [] A A cos(2 π f t) cos(2 π ft ) 3 3 Frecuencia más alta Frecuencia menor Amplitud menor Amplitud mayor Frecuencia [Hz] Osciloscopio Mide en el dominio del tiempo tiempo [s] A f 3 A 3 f f Analizador de Espectros Mide en el dominio de la Frecuencia

4 3b. ntroducción 4 Los equipos de comunicaciones trabajan con señales sinusoidales: v c (t)a(t)cos(2πf C tθ(t)) Espectro electromagnético Conjunto de todas las posibles frecuencias λ[m] c[m/s] f c [Hz] f C khz MHz GHz

5 3b. ntroducción Los equipos de comunicaciones trabajan con señales sinusoidales S n ( f ) 0 f C Antena Equivalente eléctrico: Antena: generador sinusoidal resistencia interna (R S ) Salida: resistencia de carga (R L ) f Receptor Antena R S cos ( 2π f t θ ) C Receptor Circuitos R,L,C R L cos( 2π f t θ ) - O C O

6 3b.2 Elementos pasivos en régimen sinusoidal Resistencias (ley de Ohm) v( t) cos ( 2πf t) C R it () vt () Rit () - Ejemplo: tensión de red 220, 50 Hz, R 0Ω ( 2π 50 )[] v( t) 220 cos t v( t) i( t) 22cos A R ( 2π 50t) [ ] Corriente y tensión en fase

7 3b.2 Elementos pasivos en régimen sinusoidal Condensadores ( 2πf Ct) ( t) v( t) cos C v( t) cos ω it () vt () dv() t it () C dt Ejemplo 220, 50 Hz, C mf ( t) v( t) cos ω dv( t) ω sin dt dv( t) i( t) C ωc sin ωt dt ( ωt) ( ) La corriente adelanta a la tensión Q: cómo se comporta ante tensiones constantes (continua)? A: No deja pasar corriente: circuito abierto

8 3b.2 Elementos pasivos en régimen sinusoidal Bobinas ( t) v( t) cos ω L it () vt () di() t L dt t it () v( ) d it ( 0) L τ τ t0 Ejemplo v( t) cos( ωt)[ ] t v( τ ) dτ sin( ωt ) ω t i( t) v( ) d sin ωt L τ τ ωl ( )[ A] 220, 50 Hz, L 0 mh La tensión adelanta a la corriente Q: cómo se comporta ante corrientes constantes (continua)? A: No produce caída de tensión Cortocircuito

9 3b.3 Fasores Los circuitos con resistencias, bobinas y condensadores (R, L, C), pueden modificar la amplitud y/o la fase de la tensión de entrada. NO cambian la frecuencia v () t cos( ωt θ ) v () t cos( ωt θ ) O O O Fasores Son complejos que representan la amplitud y la fase de las tensiones y corrientes de un circuito en régimen permanente senoidal.

10 3b.3 Fasores Fasores Números complejos que representan tensiones y corrientes senoidales j Si v ( t) cos( ωt θ ) e θ Plano complejo j m { } Suma de Fasores m { } j θ Re { } 2 Re { } 2

11 3b.3 Fasores Ejemplo 9.5 (Nilsson): Suma de Fasores j30º ( ) 20cos( ω 30º ) Y ( ) y t t e j ( ) y t t e j sin( x) cos( x π / 2) j60º 2( ) 40sin( ω 30º ) Y j24.64 m { } 20 Y Re Y Y { } Y 2 2 YY e 40e j30º j60º j e j33.43º y ( t) y ( t) 40.64cos( ωt 33.43º )

12 3b.4 mpedancias mpedancia Es el cociente entre el fasor de voltaje y el de corriente Z [ Ω] Ejemplos Resistencias (ley de Ohm) ( ω θ )[ ] v( t) cos t m θ v( t) i( t) cos R R R m θ R ( ω t θ )[ A] mpedancia Z R [ Ω] R

13 Condensadores v( t) m cos t m θ ( ω θ ) i( t) C 3b.4 mpedancias dv( t) C mω C sin dt ( ωt θ ) sin( x) cos x ωcm θ 90º A m π 2 ωc cos ωt θ π 2 mpedancia Z π j 2 ωc e -j ωc jωc jωc jωc [ Ω]

14 Bobinas v( t) vt () m cos t di() t L dt 3b.4 mpedancias ( ω θ ) t i( t) v L ( ωl ωl L m θ 90º m θ ( ωt θ ) m τ ) dτ sin A π sin( x) cos x 2 mpedancia Z ωle π j 2 jωl [ Ω] jωl j ωl

15 3b.4 mpedancias mpedancia: cociente entre los fasores de tensión y corriente Resistencia Bobina Condensador vt () ZR R Reactancia Parte imaginaria de la impedancia: Admitancia it () (ohmios) Y R ZL Z R jx (Siemens) Z jωl L (ohmios) Z C jωc (ohmios) Elemento Resistencia Reactancia Resistor R 0 Bobina 0 Condensador 0 C ωl ωc

16 3b.4 mpedancias Comportamiento con la frecuencia Bobinas Condensadores vt () it () L vt () C it () di() t vt () L dt jωl Si ω 0 vt ( ) 0 cortocircuito Si ω it ( ) 0 circuito abierto dv() t it () C dt jωc Si ω 0 it ( ) 0 circuito abierto Si ω vt ( ) 0 cortocircuito Z ( Ω) circuito abierto ZL circuito abierto jωl 0 cortocircuito Z C jωc ZR ω R cortocircuito

17 3b.5 Leyes de Kirchhoff Ley de corrientes (y voltajes) de Kirchhoff i () c t i () a t ib () t id () t Fasor Agrupación de impedancias mpedancias en serie mpedancias en paralelo c a b d Ι Z Z2 R jωc R C R C Z jωl Z2 jωc Z eq ZZ jωl 2 2 Z Z2 ω LC R Z eq jωc Zeq Z Z2 R jωc

18 Tensiones en nodos 3b.6 Métodos de Análisis Corrientes en mallas

19 3b.7 Transformación de generadores Generador de tensión en serie con impedancia es equivalente a generador de corriente en paralelo con la misma impedancia Ejemplo

20 3b.8 Equivalente Thèvenin y Norton Cálculo del equivalente de Thèvenin respecto a los terminales a y b. Tensión en circuito abierto: ab TH 2. Corriente en cortocircuito SC 3. mpedancia de Thévenin Z TH ab SC Ejemplo

21 3b.9 Superposición Linealidad en circuitos Régimen transitorio (entradas de tipo escalón, pulso) Los circuitos con resistencias, bobinas y/o condensadores, estos últimos en reposo (condiciones auxiliares nulas) son lineales. Régimen permanente (senoidal y continuo (ω0 rad/seg)) los circuitos con resistencias, bobinas y/o condensadores son lineales Por ello, cuando un circuito en régimen permanente senoidal tenga dos o más generadores, se puede emplear SUPERPOSCÓN para analizarlo. Obligatorio en circuitos con dos (o más) generadores de DSTNTA frecuencia it ()

22 Linealidad en circuitos 3b.9 Superposición Z C ( ω) jωc Anulamos el generador de 90 Hz. 0 cortocircuito Anulamos el generador de 60 Hz 0 cortocircuito Z ( f C ) j2πf C Z ( f C 2) j2πf C 2 Z ( 60 Hz) j2. Ω j 6k C π Z ( 90 Hz) j. Ω j 7k C π

23 Linealidad en circuitos 3b.9 Superposición Anulamos el generador de 90 Hz. 0 cortocircuito ZC ( f ) 2 j2π fc 2 Z ( 60 Hz) j2. Ω j 6k C π i t ( π t ) i () t cos 2 60 A ( π t ) 3 ( ).46 0 cos ,76º A

24 Linealidad en circuitos 3b.9 Superposición Anulamos el generador de 60 Hz 0 cortocircuito j.7 ma. Z ( 90 Hz) j. Ω j 7k C π Corriente total ( ) 3 π ( π ) i ( t) cos 2 90 t A.79 0 cos 2 90t 37, 69º A ( π ) ( π ) it ( ) cos 2 60 t A cos 2 90 t A