En general, en cualquiera de los casos, el punto a, b

Transcripción

1 Clasificación de los puntos de una superficie 1) Definiciones: 2 Sea la función f x, y, con, ys R a, b S, entonces en a, b S la función pasa por un: Máximo local o relativo: sí y sólo sí f x, y f a, bx, y N Mínimo local o relativo: sí y sólo sí f x, y f a, bx, y N Máximo absoluto: sí y sólo sí f x, y f a, bx, y S Mínimo absoluto: sí y sólo sí f x, y f a, bx, y S. x. Sea también N S un entorno de En general, en cualquiera de los casos, el punto a, b recibe el nombre de extremo. 2) Condiciones necesarias para la existencia de extremos locales: Para que la función z = f x, y pase por un máximo o un mínimo relativo en a, b, es necesario que el plano tangente a la superficie f x, y en dicho punto sea horizontal. En las Figuras 1 y 2 se pueden observar, respectivamente, los casos mencionados. Se representan las superficies, un punto de las mismas en el que la función pasa por un máximo o por un mínimo según corresponda, y el plano tangente a la superficie en dicho punto. Figura 1: Plano tangente a la superficie por un máximo relativo de z = f x, y Figura 2: Plano tangente a la superficie por un mínimo relativo de z = f x, y En la Figura 3 se presenta el caso de una función que, en el punto a, b pasa por un máximo relativo. Se muestra una recta tangente a la superficie que define la gráfica de la función, que pasa por el punto del espacio R 3 : P = a, b, z = f a, b y cuya dirección coincide con la del eje x. Todas las rectas pertenecientes a este plano tendrán pendiente nula, inclusive la recta paralela al eje coordenado x. 1 Gustavo Lores

2 Figura 3: Un máximo relativo de z = f x, y en a, b La pendiente de esta última representa el valor de a b f x, y, siguiendo el mismo razonamiento para la recta perteneciente al plano en cuestión paralela al eje coorde- f y a, b. Como ambas rectas pertenecen a un plano horizontal, nado y, representa a son paralelas al plano x, y, es decir que las pendientes de las dos rectas, respecto del plano x, y, son cero. Se deduce que la condición necesaria para la existencia de un extremo relativo en un punto es, que en dicho punto se anulen simultáneamente las primeras derivadas parciales de la función, lo que se puede expresar: f x a, b = si un mínimo o un máximo relativo en a, b [1] f y a, b = Todos los puntos que satisfacen esta condición se denominan puntos críticos del dominio de la función. No obstante, puede darse el caso de que aún en un punto crítico, la función no tome un valor máximo ni mínimo relativo, como se muestra en la Figura 4. Figura 4: Un punto de ensilladura de z = f x, y = y 2 x 2 en, Girando los ejes para apreciar el comportamiento de la función en,, se puede observar en la Figura 5 que, alrededor de este punto hay valores de z = f x, y = y 2 x 2 tanto mayores como menores que, que es el valor que toma la función en el origen y por dondr pasa un plano horizontal tangente a la superficie de la misma. 2 Gustavo Lores

3 Figura 5: Un punto de ensilladura de z = f x, y = y 2 x 2 en, 3) Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales: Para que exista un extremo, máximo o mínimo, relativo en un punto es suficiente establecer que, alrededor de dicho punto, la función toma siempre valores menores o mayores, respectivamente, que el valor que toma la función exactamente en el punto analizado. Como se observa tanto en la Figura 1 como en la Figura 2, se cumplen las condiciones suficientes para establecer que existe un máximo y un mínimo, respectivamente, en los puntos considerados. Por otra parte, en la Figura 4 y en la Figura 5 se advierte que, dependiendo de la posición en que se ubique el punto cercano a, el valor que toma la función puede ser tanto menor que z = f x, y en, como mayor que z = f x, y en, a pesar de que el plano tangente a la superficie en, es horizontal. Esto se resume en la Figura 6. Figura 5: lgunos casos en que se presentan puntos críticos 3 Gustavo Lores

4 Este análisis gráfico debe ser sustentado analíticamente para que sea aplicable de modo general al estudio y clasificación de los puntos críticos de una superficie. 2 Sea la función f x, y, con x, ys R y N S un entorno de a, b S, en a, b la función pasa por un máximo relativo sí y sólo sí: f x a, b = a) f x, y f a, b f x, y f y a, b = b) N y por un mínimo relativo sí y sólo sí: f x a, b = a) f x, y f a, b f x, y f y a, b = b) N Las condiciones a) corresponden a la de punto crítico, mientras que las condiciones b) se deben determinar para cada punto crítico que exista para la función en S y son las condiciones suficientes para clasificar un punto crítico. El objetivo es hallar una manera de establecer el signo de f para todos los valores posibles de x, y dentro de un entorno de un punto crítico a, b. Para ello se desarrollará el Teorema del Valor Medio de Segundo Orden para Funciones de dos Variables, partiendo del Teorema del Valor Medio de Primer Orden para Funciones de una Variable. 4) Clasificación de los puntos críticos de una función de dos variable independientes a través del comportamiento de las derivadas de segundo orden: a) Teoremas del valor Medio para una función de una variable Teorema de Rolle: Sea f x una función en la que se cumple: ii)f x es continua en el intervalo cerrado a, b ii) f x es diferenciable en el intervalo abierto a, b iii) f a = f b = Entonces, existe un número c que pertenece a f c [2] a, b tal que El Teorema de Rolle es susceptible de una modificación en su enunciado que no altera la conclusión del mismo. Esta se refiere al punto iii): es suficiente para que se cumpla la Hipótesis, en lo que hace a esta condición, que el valor de la función sea el mismo para x = a que para x = a, esto es f a = d f b = d y no necesariamente sean iguales a cero. En la figura de la derecha se ilustra este caso. Teorema de Lagrange o del Valor Medio de Primer Orden para una función de una variable: Sea f x una función en la que se cumple: ii)f x es continua en el intervalo cerrado a, b ii) f x es diferenciable en el intervalo abierto a, b Entonces, existe un número c que pertenece a f a, b tal que b f a f c [3] b a 4 Gustavo Lores

5 hora bien, para no perder de vista el objeto de esta introducción, se debe recordar que lo que se busca es poder analizar el signo de f para todos los valores posibles de x, y dentro de un entorno de un punto crítico a, b. En consecuencia, resulta pertinente expresar el Teorema del Valor Medio de primer orden para funciones de una variable de la siguiente manera: f b f a = b a f a + θ b a, con < θ < 1 [4] donde a < a + θ b a = c < b Teorema del Valor Medio de Segundo Orden para una función de una variable: Partiendo de la expresión [4], se define la constante R tal que: f b f a = b a f a f b f a b a f a 1 2 b a 2 R [5] b a 2 R = [6] Se forma una nueva función F x partiendo de la expresión [6] y reemplazando b por x, tal que: F x = f x f a x a f a 1 2 x a 2 R [7] Como F b = por [6] y F a = por [7] y se cumplen además las restantes condiciones del Teorema de Rolle para F x en el intervalo a, b, se tiene que x 1 a,bf x1=. Derivando la expresión [7] y luego reemplazando x por x1 y por a en F x resulta: F x = f x f a x a R [8] F x 1 = f x 1 f a x 1 a R = [9] F a = f a f a a a R = [1] De manera que en el intervalo a, x 1 la función F x cumple las condiciones establecidas en el Teorema de Rolle. Entonces debe existir un valor de x = x 2, dentro de este intervalo, tal que F x 2 =. Derivando la expresión [8] con respecto a x, se obtiene: F x = f x R [11] derivada que se anula para x = x 2, por lo expuesto en el párrafo anterior. O sea: F x 2 = f x 2 R = [12] de manera que, finalmente, R = f x 2, donde a < x 2 < x 1 < b Reemplazando el valor obtenido para R en la expresión [5] da: f b f a = b a f a b a 2 f x 2, con donde a < x 2 < b [13] Esta expresión, para el caso de una función de una variable, permite determinar el signo (positivo o negativo) de f b f a = f en función del signo de la derivada segunda en un punto cercano a x = a, cuando se anula la derivada primera en este punto. b) Extensión del concepto al caso de una función de dos variables independientes Se parte de una función compuesta de dos variables intermedias que dependen a su vez de una variable independiente, según x, y = f x t, y t = f x + ht, y + kt = F t, con a < t < b [14] 5 Gustavo Lores

6 con x = x + ht y = y + kt plicando el Teorema del Valor Medio de segundo orden a F t y haciendo arbitrariamente a = b = 1, resulta, reemplazando en la expresión [13]: F 1 F = F F θ, con < θ < 1 [16] Evaluando cada término de la expresión 16 y teniendo en cuenta las reglas para derivar funciones compuestas, se obtiene: F 1 = f x + h, y + k F = f x, y F t = f x dx dt + f y dy dt = f x x + ht, y + kt h + f y x + ht, y + kt k F = f x x, y h + f y x, y k [19] F t = f x x +ht,y +kt h x como 2 f x,y x y = 2 f x,y y x [15] [17] [18] dx + f x x +ht,y +kt h dy + f y x +ht,y +kt k dx + f y x +ht,y +kt k dy dt y dt x dt y dt, la expresión anterior se puede expresar: F t = f xx x + ht, y + kt h 2 + f yy x + ht, y + kt k 2 + f xy x + ht, y + kt hk F θ = f xx x + hθ, y + kθ h 2 + f yy x + hθ, y + kθ k 2 + f xy x + hθ, y + kθ hk [2] y reemplazando los valores obtenidos en [17], [18], [19] y [2] en [16], resulta f x + h, y + k f x, y = f x x, y h + f y x, y k + f xx x + hθ, y + kθ h 2 + +f yy x + hθ, y + kθ k 2 + f xy x + hθ, y + kθ hk [21] En la ecuación [21] se debe tener en cuenta que f x + h, y + k f x, y representa la diferencia entre los valores que toma la función f x, y en dos puntos: el x, y y otro próximo a éste, el x + h, y + k, esto es f x, y. c) nálisis de los puntos críticos de una función de dos variables independientes Recordando las condiciones que en un punto x, y se deben cumplir para que exista un máximo o un mínimo relativo en una función de dos variables, se reitera: f x x, y = f y x, y = f x, y f x, y f x, y N f x x, y = f y x, y = f x, y f x, y f x, y N hay un máximo local en x, y hay un mínimo local en x, y El punto x, y es un punto cercano a x, y, que se puede asociar al punto analizado en el parágrafo anterior, x + hθ, y + kθ. Si la función pasa por un punto crítico en x, y, sus derivadas primeras se anulan y la expresión [21] se debe escribir: f x, y = f xx x + hθ, y + kθ h 2 + +f yy x + hθ, y + kθ k 2 + 2f xy x + hθ, y + kθ hk [22] Si ese punto crítico es un máximo o por un mínimo local, el signo del primer miembro de [22] deberá ser siempre negativo o positivo, respectivamente, para cualquier par de valores de h y de k. 6 Gustavo Lores

7 En consecuencia, el signo de f x, y estará relacionado con la combinación de los signos de las segundas derivadas. Para analizar esta vinculación se simplifica la notación, haciendo: f xx x + hθ, y + kθ = f xx x, y = f xy x + hθ, y + kθ = f xy x, y = B f yy x + hθ, y + kθ = f yy x, y = C Entonces, la expresión [22] queda ahora: f x, y = h 2 + C k 2 + 2B hk Para poder analizar el comportamiento del signo del primer miembro, se lleva a cabo el siguiente razonamiento: Signo f x, y = Signo h 2 + C k 2 + 2B hk sumando y restando k 2 B 2 en el segundo miembro Signo f x, y = Signo h 2 + C k 2 + 2B hk + k2 B 2 extrayendo 1 como factor común en el segundo miembro: k2 B 2 Signo f x, y = Signo 1 2 h 2 + C k 2 + 2B hk + k 2 B 2 k 2 B 2 reagrupando términos en el segundo miembro, resulta finalmente Signo f x, y = Signo 1 h + k B 2 + k 2 C B 2 [23] En consecuencia, en el punto x, y, para los valores que tomen h y k ( x y respectivamente), se tiene que: a) si C B 2 > el Signo f en un entorno de x, y es igual al Signo b) si C B 2 < el Signo f en un entorno de x, y depende de h y k c) si C B 2 = f puede ser, o bien el Signo f en un entorno de x, y depende de h y k Llamando H = C B 2, valor que representa la expresión de la solución del determinante B, conocido como determinante Hessiano en memoria del matemático alemán Ludwig Otto Hesse ( ), se puede resumir el análisis anterior B C en la siguiente regla, que permite clasificar los puntos críticos de una superficie en la mayoría de los casos, en función de los valores que en ellos toman las segundas derivadas de la función: H la existencia de un puntode ensilladura en x, y H la existencia de un mínimo relativo en x, y H la existencia de un máximo relativo en x, y H no permitedefinir el carácter de la función en x, y Los valores de las derivadas segundas que se deben calcular para evaluar el Hessiano se toman en el o los puntos críticos que se determinen al aplicar la condición necesaria. 7 Gustavo Lores