Notas Sintéticas para un curso de Algebra Lineal y Geometría

Transcripción

1 Notas Sintéticas para un curso de Algebra Lineal y Geometría Felipe Cano Setiembre 2013 Contents 1 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Definición y ejemplos. Aplicaciones con soporte finito en un cuerpo Dependencia e independencia lineales. Subespacios y bases Dimensión. Fórmula de las dimensiones Aplicaciones lineales Espacio cociente Producto y suma directa de espacios vectoriales Suma directa interna generalizada Coordenadas en una base Espacio dual. Aplicación canónica al bidual. Base dual Ecuaciones de un subespacio Traspuesta de una aplicación lineal Matrices y aplicaciones lineales. Sistemas de ecuaciones lineales El álgebra de las matrices Transformaciones elementales. Teorema de Hermite El rango de una matriz Aplicación lineal cartesiana asociada a una matriz Cambios de coordenadas. Matriz de una aplicación lineal Sistemas de ecuaciones lineales. Imagen y núcleo de una aplicación lineal en términos de bases y matrices Determinantes Formas multilineales alternadas El grupo de las permutaciones El determinante de una matriz Unicidad del determinante y aplicaciones lineales Determinante y aplicaciones lineales Rango de una matriz Aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales

2 3.8 La matriz inversa y la regla de Cramer Apéndice: prueba de la la regla de Cramer Endomorfismos Valores propios y subespacios invariantes El polinomio característico. Diagonalizabilidad Otros subespacios invariantes. Polinomio mínimo* El caso de un único factor invariante* Formas bilineales y cuadráticas 94 1 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 1.1 Definición y ejemplos. Aplicaciones con soporte finito en un cuerpo Vamos a estudiar ىكف م م ق م فى كم. م ك Primero recordamos lo que es un cuerpo y damos algunos ejemplos. ي ك م k مل ل (,+,k) ف م ف م cuerpo ص Definición 1 م ف م ف مل م ىكف م ل ف مل,+ ق ع م م م م م مى ف ى فىك ف ف ى ف ك م,a) (b a + b ف فج.١ م م م م م م مى k مل a م م م فلفك 0 ف مل م (ق-)+ف مل فه م a b ىقى ك م) = 0 ( a) a + م ف a ف مل م (+,k) م ل مىكىل م م م لفلمى ف. عى ن ك فو ى grupo abeliano. ف ف 1/a ىقى ك. فى مقف ه م ), (k مك م \{0} k k = ىس ٢. م م م م. k مل a م م م مل م ى م م م م ف مل.{0} \ k 1 م ف 0 1 م م م عخ.1 مقى ك م م عىكفكى ى ف ف ف.b a مل فه م ab ىقى ك م عى ن ك فو ىس م م فكى عق ىس.ف ف مل كم م ف ى قى ىل م عىكفكى ى فج.٣ a(b + c) = ab + ac. k. a ل ف ف 0 a a = 0 = 0 م م مى مس ٤. - ل فل (,+,k) م ك م ف مل ف ف k م ىقى ك م م م م م كم ء. م ىكف م ف فلىل م مم ق Algunos ejemplos de cuerpos, con su notación: El cuerpo Q de los م ع, م ف ىكف cuyos elementos son todos de la forma m/n, donde m, n son números enteros m, n Z y el denominador n es positivo. Este cuerpo está ordenado por los numeradores una vez que se reducen a común denominador dos fracciones que se quieren comparar. 2

3 El cuerpo R de los م ع. م فم Definimos R como el subconjunto del conjunto P(Q) de subconjuntos de Q formado por aquellos c Q con las siguientes propiedades 1. El conjunto c es no vacío. Simbólicamente c. 2. El conjunto c está acotado superiormente. Esto es, existe un número racional q Q tal que q p para todo p c. 3. Si p c y r es un número racional menor que p, entonces r c. La suma se define como sigue c + c = {q Q; existen q c, q c tales que q + q = q }. (El producto es un poco más complicado, pero se define siguiendo los mismos principios). También es un cuerpo ordenado por la relación c c si y solamente si c c. Hay una aplicación inyectiva ϕ : Q R; q Q {q Q; q q} R que permite considerar Q como un subcuerpo ordenado de R. Ejercicio: A toda sucesión creciente y acotada de números racionales {q n } n N se le puede asociar un número real c como límite definiendo c = {q Q; existe q n tal que q q n }. El cuerpo C de los م ع. يم ك Se construye haciendo C = R R y definiendo las operaciones (a, b) + (a, b ) = (a + b, a + b ); (a, b) (a, b ) = (aa bb, ab + a b). El número complejo z = (a, b) se suele representar z = a + bi, siendo a la parte real de z y b la parte imaginaria. Nótese que i 2 = ii = i i = 1. El cuerpo de los números reales R es un subcuerpo de C gracias a la aplicación inyectiva a (a, 0) = a + 0i = a. Nótese que C no es un cuerpo ordenado. La propiedad algebraica más notable de C es que es es decir todo polinomio, لف مك م م فكىف قمه ف X d + λ 1 X d λ d 1 X + λ d, λ 1, λ 2,..., λ d C, de grado d 1 admite al menos una raíz en C. El cuerpo primo F p = {0, 1,..., p 1}, que es el conjunto de los restos módulo un número primo p Z. operaciones se definen como sigue las 3

4 1. m + m = m, donde m es el resto de dividir m + m por p. 2. m m = m, donde m es el resto de dividir mm por p. Este cuerpo de dice مل فكى ع م كف فك ف ى ى p, porque sumando p veces la unidad se obtiene el cero. Los anteriores se dicen de característica cero, porque no tienen esa propiedad. Ejercicio: El conjunto de los restos módulo un número no primo m Z no es un cuerpo. Si k es un cuerpo cualquiera y X una indeterminada, el cuerpo k(x) de las k está definido por los cocientes م م مىكمحم ك ك م ف ىكف م ىككف ن P (X)/Q(X), donde P (X) y Q(X) son polinomios en la variable X con coeficientes en k y además Q(X) no es idénticamente nulo. Las operaciones se deducen de las habituales para polinomios P (X) (X) +F Q(X) G(X) P (X)G(X) + Q(X)F (X) = ; Q(X)G(X) P Q(X) F (X) P (X)F (X) = G(X) Q(X)G(X). Así tenemos ya una colección de ejemplos de cuerpos. Todo lo que hagamos a partir de ahora, salvo indicación en contra, será válido م ك مى ف ك ف ف k.. م ف فك م Los elementos del cuerpo k se denominarán ف م ف ك ف م espacio vectorial sobre k ص. م ك k فمس Definición 2 م ىكف م ل ف مل,+ ق ع ي ك م V مل ل (,+,k,v) م ف م ف مل (+,V) مل مكفو م V م ف م ى عىكف م ف م,v) (w v+w ف فج.١. فى مقف ه عىكف م ف.تم ف فك م ك ل تم م ف»ى ق ى ك ل.٢ ف م م k V V ; (λ, v) λv : ملفلمى م مى هى ف ك. V λ, λ k v مى ف ك ف ف )v λ(λ v) = (λλ (ف). V λ, λ k v مى ف ك ف ف v (λ + λ )v) = λv + λ (ق). V λ, k v, v مى ف ك ف ف λv λ(v + v ) = λv + (ك) م م ف ى كم م 0, 0 مل ل V v مى ف ك ف ف 0 = 0v (ل). V مل k مل ف ف ف ف م م م م. V v مى ف ك ف ف v 1v = (م) ل فل فى كم ىكف م م ف مل ف ف V م ىقى ك م م م م م كم ء -مل م V مل م م م ج. م ىكف م ف م فق م ك م لىل م مم ق vectores. فع ف ى 4

5 Observación 1 Un vector v V no tiene necesariamente definido un módulo o tamaño, así como tampoco está definido el concepto de ángulo entre dos vectores. Estas nociones exigirán para ser formalizadas estructuras suplementarias y tendrán sentido solamente para el caso de algunos cuerpos base. No obstante, es útil la imagen intuitiva de vector como un segmento con una punta de flecha en un extremo. Con el fin de producir una clase muy amplia de ejemplos, establezcamos previamente algunas notaciones. Dado un conjunto B, finito o infinito, denotamos por k B el conjunto de las aplicaciones f : B k. Decimos que una aplicación f : B k tiene ى مح م si y solamente si el conjunto Sopf = {b B; f(b) 0} B es finito. Denotaremos por k B el conjunto de las aplicaciones de B en k con soporte finito. Nótese que k B k B, pero ambos conjuntos son diferentes en el caso de que B sea infinito. Tanto k B como k B tienen estructura de k-espacio vectorial, con las operaciones (f + g)(b) = f(b) + g(b); (λf)(b) = λ(f(b)). La familia de ejemplos k B es universal, en el sentido de que cualquier espacio vectorial V se puede identificar con uno del tipo k B, como veremos más adelante. Es interesante precisar cómo son y podemos denotar los conjuntos k B en casos específicos: 1. Insistimos en que si B es un conjunto finito se tiene k B = k B. Decimos que un conjunto es ى مح cuando existe un número natural n N y una aplicación biyectiva ϕ : {1, 2,..., n} B. Nótese que el conjunto vacío se considera finito al tomar n = Una aplicación biyectiva ϕ : {1, 2,..., n} B se interpreta pues como una manera de numerar los elementos de B. Si denotamos b i = ϕ(i) para i = 1, 2,..., n, el dato de esta enumeración se puede representar por la n-tupla (b 1, b 2,..., b n ). Cuando deseemos referirnos a un conjunto finito B junto con una de estas enumeraciones ϕ escribiremos B = (b 1, b 2,..., b n ), salvo ciertas excepciones. Atención, esto es un abuso de lenguaje, sería más preciso escribir ϕ = (b 1, b 2,..., b n ), pero es menos compatible con las notaciones habituales. 5

6 3. De manera más general, toda aplicación ψ : {1, 2,..., n} k se puede representar como una n-tupla ψ = (λ 1, λ 2,..., λ n ), donde λ i = ψ(i), para i = 1, 2,..., n. En ese sentido, el conjunto k {1,2,...,n} de tales aplicaciones ψ se identifica con el de las n-tuplas con coeficientes en k, dicho de otro modo, con el producto cartesiano k n = k k n veces k. Así, en adelante, sin dar pie a confusión, identificaremos k {1,2,...,n} = k {1,2,...,n} = k n. 4. Así ya sabemos dar una estructura de espacio vectorial sobre k n. Por ejemplo, en el caso particular de k = R y n = 2, tenemos el plano real R 2 con su estructura de espacio vectorial. En este plano real se pueden interpretar los vectores como segmentos que empiezan en el origen (0, 0) y terminan con una punta de flecha en el correspondiente (a, b) R 2. Las operaciones formalemente son (a, b) + (a, b ) = (a + a, b + b ); λ(a, b) = (λa, λb). Es de señalar que la suma se interpreta como la diagonal del paralelogramo de lados (a, b) y (a, b ). 1.2 Dependencia e independencia lineales. Subespacios y bases. Consideremos un k-espacio vectorial V. Un subconjunto W V se dice que es un ىكف مق مل فى كم V si y solo si se tienen las siguientes propiedades 1. W. 2. Para todos w, w W se tiene w w W. 3. Para todos λ k, w W se tiene λw W. Esto es equivalente a decir que W es un k-espacio vectorial con las operaciones inducidas. Sea {W i } i I una familia cualquiera de subespacios vectoriales de V. Una mera comprobación lógica permite demostrar que la intersección de la familia i I es también un subespacio vectorial de V. W i 6

7 Tomemos ahora un subconjunto cualquiera A V y consideremos la familia L A = {W ; W es un subespacio vectorial con A W }. Denotemos por L A la intersección de esta familia L A = W L A W. Se tiene que L A es un subespacio vectorial de V con A L A. Además si W V es un subsepacio vectorial que contiene A, entonces W L A y por consiguiente L A W. Es ese sentido, el subespacio L A puede considerarse como el subespacio vectorial más pequeño que contiene A. Diremos que L A es el subespacio vectorial لف م مه A. Nótese que en el caso particular de que A sea el conjunto vacío, todo subespacio vectorial de V contiene A, en particular, el más pequeño de ellos, el formado únicamente por el vector nulo 0. Así pues L = {0}. Una primera observación es que si A 1 A 2 entonces L A1 L A2. فمس Definición 3 A V مل ي كق V. م م ىء كم v V م ع م ى م ى ى combinación lineal finita de elementos de A ف م م م ف v 1, v,..., v n A م كم λ 1, λ 2,... λ n k م ف فك م 1 n ف ف v = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n. - كم ىكف مق. V مل ي كق A A V فمس Proposición 1 م فم ى م ىكف ىق ك ف مل ي ك م ك ملىك ى ك A لف م مه L A فى.A مل م م م مل ف ى مح Denotemos por CL A V el conjunto de las combinaciones : عىكف مء lineales finitas de elementos de A. Debemos probar que L A = CL A. Para ello probaremos que L A CL A y que L A CL A. L A CL A. Es suficiente probar que CL A es un subespacio vectorial que contiene A, esto es CL A L A. Ciertamente A CL A, pues todo elemento de A es una combinación lineal finita de elementos de A. En particular CL A. Sean w, w elementos de CL A que se escriben w = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n ; w = λ 1v 1 + λ 2v λ n v n con v 1, v 2,..., v n, v 1, v 2,..., v n A y sea λ k. Las fórmulas w w = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n + ( λ 1)v 1 + ( λ 2)v ( λ n )v n λw = (λλ 1 )v 1 + (λλ 2 )v (λλ n )v n muestran que CL A es un subsepacio vectorial, pues se cumplen las condiciones 1,2 y 3 de la definición de subespacio. L A CL A. Una combinación lineal finita de elementos de un subsepacio vectorial W pretenece a W pues las operaciones de sumar y multiplicar por un 7

8 escalar dan como resultado elementos de W. Así pues, toda combinación lineal finita de elementos de A pertenece a cualquier subespacio vectorial que contiene A, por tanto a la intersección de los mismos. CQD. Consideremos dos subespacios W 1 y W 2 de V. El conjunto مل ف W 1 W 2 se denota por W 1 + W 2 y se define por W 1 + W 2 = {v V ; existen w 1 W 1 y w 2 W 2 tales que v = w 1 + w 2 }. El conjunto suma es el subespacio generado por la unión W 1 W 2. Precisamente م م مى م V مل W 1 W 2 م فى كم ىكف مق ل لفء Proposición 2 L W1 W 2 = W 1 + W 2. Los elementos de W 1 + W 2 son algunas combinaciones lineales : عىكف مء finitas de elementos de W 1 W 2, por consiguiente W 1 +W 2 L W1 W 2. Recíprocamente, tomenos un elemento v de L W1 W 2. Sabemos que se escribe v = λ 1 u 1 + λ 2 u λ n u n donde u 1, u 2,..., u n W 1 W 2. Alterando el orden de los vectores si es necesario (esto no produce ningún efecto en el cálculo de v por la conmutatividad), podemos suponer que existe un número natural t con 0 t n tal que Ahora, si hacemos u 1, u 2,..., u t W 1, u t+1, u t+2,..., u t+n t W 2. w 1 = λ 1 u 1 +λ 2 u 2 + +λ t u t ; w 2 = λ t+1 u t+1 +λ t+2 u t+2 + +λ t+n t u t+n t tenemos que w 1 W 1 y que w 2 W 2. Por consiguiente v = w 1 + w 2 es un elmento de W 1 + W 2. Esto prueba que L W1 W 2 W 1 + W 2. Concluimos pues que L W1 W 2 = W 1 + W 2. CQD. مك م V مل ي كق ل A 1 A 2 ىس Corolario 1 L A1 A 2 = L A1 + L A2. Como A 1 A 2 L A1 + L A2 y L A1 + L A2 es un subsepacio : عىكف مء vectorial de V, tenemos que L A1 A 2 L A1 + L A2. Por otro lado, los elementos de L A1 + L A2 son combinaciones lineales finitas de elementos de A 1 A 2, por consiguiente L A1 A 2 L A1 + L A2. CQD. En el caso de que el conjunto A satisfaga V = L A decimos que A V es un مل م لف م مه مل ف م ى V, o bien que A ف م مه V. En este caso todo elemento de V es una combinación lineal finita de elementos de A. فمس Definición 4 A مل ي كق V. م م ىء A ف م parte libre {v}. A = A \ مل ل A v L م م ك A مل v م م م ل ى V مل 8

9 Obsérvese que la lógica formal permite decir que el conjunto vacío es una parte libre de V. Por otro lado A = {0} no es una parte libre de V, ya que L = {0}. Más generalmente, si 0 A entonces A tampoco es parte libre de V. Si A es una parte libre de V diremos también que los vectores de A son li-. ع Por el contrario, si A no es una parte م م م مىل م مل ى م م فم ى bre diremos que sus vectores son م م فم ى. م مىل م مل Más precisamente, diremos que un vector v es linealmente dependiente de los vectores de un subconjunto A V si y solo si se tiene que v L A. Observación 2 Sea A V un subconjunto. Son equivalentes 1. A es una parte libre de V. 2. Si v 1, v 2,..., v s es una lista finita de vectores distintos en A y tenemos que λ 1 v 1 + λ 2 v λ s v s = 0 entonces necesariamente λ 1 = λ 2 = = λ s = 0. فمس Definición 5 B مل ي كق V. م م ىء B ف م base مل V. V مل م قى م ف ف م لف م مه مل ف م ى م م فم فع ى م ى Observación 3 Supongamos que B es una base de V. Como es un sistema de generadores, cualquier vector v V se escribe v = b B λ b b, donde la suma es finita, es decir, todos los coeficientes λ b salvo un número finito son iguales a cero. Por otro lado, como es una parte libre, la suma anterior es Es decir, si tenemos dos sumas finitas igualadas.فكى ع λ bb b B λ b b = b B entonces λ b = λ b para todo b B. Esto se deduce de las propiedades anteriores, observando que 0 = b B(λ b λ b)b. Dada una familia F de subconjuntos de V se dice que un elemento A de F es ف ى ى si y solo si se tienen que si A F y A A entonces A = A. م م م ص. V مل م لف م مه مل ف م ى مل فى ى فن ف G فمس Proposición 3 B مل G مل ف ى ى م م م م ى ى م فق ف م.G Sea B G una base y sea B G con B B, B B. Entonces : عىكف مء existe un vector v B \ B. Dado que B es un sistema de generadores se tiene que v L B. Esto contradice que B es un sistema libre. Por tanto una base 9

10 cualquiera es necesariamente un elemento minimal de G. Recíprocamente, sea B un elemento minimal de G, si existe u B con u L B, donde B = B \ {u}, entonces B es un sistema generador de V, pues todo vector v de V se escribe como combinación lineal de vectores de B, entre los que puede estar u, pero podemos reescribir v como combinación lineal de elementos de B. Más precisamente, tenemos u = λ 1 u 1 + λ 2 u λ m u m, donde v 1, v 2,..., v m B. Consideremos ahora un vector cualquiera v V. Sabemos que v es combinación lineal de los elementos de B y por tanto tenemos v = λu + µ 2 w 2 + µ 3 w µ s w s donde w 2, w 3,..., w s B. Escribiendo v = λλ 1 u 1 + λλ 2 u λλ m u m + µ 2 w 2 + µ 3 w µ s w s se concluye que v L B. CQD. Vamos a ver ahora un ejemplo de base de un espacio vectorial. Se trata de un ejemplo prácticamente universal. Consideremos el espacio vectorial V = k B. A فكى ع م كف فك عىكفكى ف cada elemento b B le podemos hacer corresponder la ξ b : B k definida por ξ b (b) = 1; ξ b (b ) = 0, si b B \ {b}. Es evidente que ξ b k B. El conjunto B = {ξ b ; b B} es un subconjunto de V = k B que se identifica con B mediante la biyección b ξ b. ي ك Proposición 4 B = {ξ b ; b B} مل م فق ف م V = k B. Veamos que es un sistema de generadores. Dado un elemento : عىكف مء ϕ : B k de k B consideremos la combinación lineal finita ψ = ϕ(b)ξ b. b Sopϕ de elementos de B. Para cualquier b B tenemos ψ(b ) = ϕ(b)ξ b (b ) = ϕ(b ) b Sopϕ por consiguiente ψ = ϕ y tenemos que B es un sistema de generadores. Veamos que es un sistema libre. Supongamos que se tiene una combinación lineal finita s ξ b = λ i ξ bi ; i=1 b i B \ {b}, i = 1, 2,..., s 10

11 Aplicando a b B ambos lados de la igualdad, llegamos a que 1 = 0, contradicción. CQD. Llamaremos ف فى م فك فل فع م م فق de k B a la base B = {ξ b ; b B}. Esta nomenclatura no está completamente consolidada y en otros textos puede aparecer bajo la denominación de base canónica u otras denominaciones. 1.3 Dimensión. Fórmula de las dimensiones A continuación abordamos uno de los resultados clave en el estudio de los espacios vectoriales: la existencia de bases y el hecho de que dos bases cualesquiera tienen el mismo número de elementos. ي كق م ى م ى generación finita مل م V م م ىء Definición 6. V مل م لف م مه مل A ى مح ف م ى م ف ى مح ع ىكف م مه مل م V ىس bases) Teorema 1 (Existencia de م فق ف م مى ك م لف م مه مل ف م ى ل فع ملء. V مل م فق ف م. م م م مل م ع ى م م مى ف مى م ف ك م فق ل Sea A un sistema finito de generadores de V. Supongamos que : عىكف مء tiene n elementos. Consideremos la familia G A de subconjuntos de A que son sistemas de generadores. Como A es un conjunto finito, esta familia, que no es vacía, tiene por lo menos un elemento minimal B A, que también es minimal de la familia G de sistemas de generadores de V. Así pues el conjunto B es una base, que es finita pues B A. Consideremos ahora un sistema finito o infinito de generadores A de V y sea B una base finita de V. Para cada e B escribamos e = λ 1,e f 1,e + λ 2,e f 2,e λ se,ef se,e donde f 1,e, f 2,e,..., f se,e A. El subconjunto A A formado por los vectores de la forma f l,e donde 1 l s e y e B es finito y es un sistema de generadores por serlo B. Utilizando el argumento anterior, encontramos una base finita B A y por tanto B A. Sean ahora B una base finita de V y B una base cualquiera. Dado que B es un sistema de generadores, argumentando como antes, se tiene una base finita B B. Ahora bien, como B es una base necesariamente B = B y entonces B es finita. Veamos ahora que dos bases finitas B y B tienen el mismo número de elementos, donde elegimos B con el mínimo número posible de elementos de entre todas las bases. Escribamos B = (B B ) (B \ B ). Si B \ B = hemos terminado, pues B B y como dos bases distintas no tienen relación de inclusión estricta, se tiene que B = B. Supongamos que existe f B \ B, escribimos f = λ 1 e 1 + λ 2 e λ s e s, 11

12 donde suponemos λ i 0 y e i B para i = 1, 2,..., s. Nótese que podemos suponer e 1 / B. En efecto, si tenemos e i B B para cada i = 1, 2,..., s, de la unicidad de la expresión de un vector de V en la base B se concluiría que f = e 1 y λ 1 = 1, en contra de que f / B. Podemos escribir e 1 = 1 λ 1 {f λ 2 e 2 λ s e s} y entonces B 1 = (B \ {e 1}) {f} es un sistema de generadores. Por la minimalidad de B también se tiene que B 1 es una base. Nótese que B 1 tiene el mismo número de elementos que B y que además B \ B 1 tiene un elemento menos que B \ B. Procediendo de este modo llegamos al caso en el que B \ B =, que ya sabemos resolver. CQD. م ع ف V مل dimensión ف ف generación finita مل م V ىس Definición 7. م فق مل ف مى ف ك مل م م م مل م ع م فكىل ى م n N ف ف م فع ى م ىل ف ى مح عىكف م مه مل م V ىس.n dim V = ىقى ك V مل م dimensión infinita. El siguiente objetivo es probar el teorema de la base incompleta. Antes de ello haremos unas consideraciones generales sobre las partes libres, que permitirían probar el teorema de existencia de bases y el de la base incompleta en la situación totalmente general de espacios vectoriales de dimensión finita o infinita. Dado un conjunto X y una familia F = {Y i } i I de subconjuntos de X, diremos que F está عى ك ى فلف مل م م ف si y solamente si dados dos índices cualesquiera i, j I se tiene que Y i Y j o bien Y j Y i. ف م ى مل فى ى فن ف A} i } i I فى كم ىكف م V فمس Proposición 5 عى ف مك. عى ك ى فلف مل م م م ف V مل م قى A = i I A i.م قى ف م ى م Demostraremos este resultado por reducción al absurdo. Si A : عىكف مء no fuera un sistema libre, debería existir un vector v A que es combinación lineal finita de vectores en A = A \ {v}. Esto es, podemos escribir v = λ 1 w 1 + λ 2 w λ m w m donde w i v para i = 1, 2,..., m y además, para ciertos índices i 1, i 2,..., i m tenemos que v j A ij. Cambiando el orden de los vectores w 1, w 2,..., w m si es necesario, podemos suponer que A i1 A i2 A im. 12

13 Supongamos que v A i0. Tenemos que B = A i0 A im es un elemento de la familia, pues o bien B = A i0 o bien B = A im según se tenga respectivamente que A i0 A im o A i0 A im. Por consiguiente v B y además todos los vectores w i B = B \ {v}, para i = 1, 2,..., m. Se concluye que v L B, lo cual es una contradicción con la hipótesis de que B es un sistema libre. CQD. Dado un conjunto X y una familia F de subconjuntos de X diremos que B es un ف ى ف م م م de la familia si se tiene que B F y además para todo A F con A B se tiene A B. م قى ف م ى مل فى ى فن ف L فى كم ىكف م V فمس Proposición 6 م م م م ى م م ف ى V مل م فق ف م B L م م م ص. V مل.L فى ى فن ف مل ف ى ف Veamos primero que si B es una base entonces es un elemento : عىكف مء maximal de L. Sea A L con B A, si A B existe v A \ B, como B es un sistema generador, tenemos v L B LA, donde A = A \ {v}. Esto contradice que A es libre. Por consiguiente A = B y en particular A B. Recíprocamente, supongamos que B es un elemento maximal de L. Si no fuera un sistema generador, existiría v V \ L B. Veamos que B = B {v} es un sistema libre, lo que contradiría que B es maximal. Supongamos que B no fuera libre. Existiría un vector w B y una combinación lineal w = λ 1 w 1 + λ 2 w λ m w m con los w i B, w w i, para i = 1, 2,..., m. Nótese que v w, pues si no tendríamos que v L B. Por otro lado si, salvo reordenación, tenemos que v = w 1 con λ 1 0, entonces w 1 = 1 λ 1 {w λ 2 w 2 λ 3 w 3 λ m w m } y tendríamos que B no es un sistema libre. Finalmente, si v no coincide con ninguno de los w i, también concluiríamos que B no es un sistema libre. Es la contradicción buscada. CQD. Observación 4 Las dos proposiciones anteriores permitirían probar la existencia de base y el hecho de que todo sistema libre puede ser completado a una base. Esto exige invocar un principio importante de lógica matemática, que es el Axioma de elección en su versión equivalente del Lema de Zorn. En este curso no entraremos con profundidad en los fundamentos lógicos de la matemática y nos contentaremos con dar la versión de dimensión finita de ambos teoremas. ف ى مح عى م ىل مل فى كم ىكف م V فمس incompleta) Teorema 2 (Base A مل م قى ف م ى V. م فق ف م ى B مل V م ف A.B Sea B un sistema finito de generadores de V, por ejemplo, una : عىكف مء base de V. Ampliaremos la parte libre A con los elementos de un subconjunto 13

14 B de B de modo que si A = A B entonces A es una parte libre y L A = V, esto es, A es una base de V, como queríamos. Si L A = V, entonces A es una base y hemos terminado. Si L A V, debe existir un elemento v 1 B tal que v 1 / L A. Entonces A 1 = A {v 1 } es un sistema libre. Recomenzamos el argumento (a lo más un número finito de veces) con A 1 y de esta manera detectamos el subconjunto B de B deseado. CQD. Podemos utilizar los resultados anteriores para probar una serie de relaciones entre la dimensión de un espacio vectorial y la de sus subsepacios. مل فى كم ىكف م V فمس dimensiones) Teorema 3 (Fórmulas de las م عى م ىل م مى V مل W فى كم ىكف مق ل ش.ف ى مح عى م ىل. V W = ى ى dim W = dim V فع ملف V مل عى م ىل ف م ف هى ف مل ف عنتم ف م م V مل م فى كم ىكف مق ل W 1 W 2 ىس :تم م ى م ىل dim(w 1 + W 2 ) = dim W 1 + dim W 2 dim(w 1 W 2 ). Sea B una base de W. Es un sistema libre de V y por tanto se : عىكف مء puede completar a una base B de V con B B. Se sigue que dim W dim V y si dim W = dim V entonce B = B y por tanto W = V, ya que las bases son sistemas generadores. En relación con la segunda afirmación. Dados sistemas generadores A 1, A 2 de W 1, W 2 respectivamente, tenemos que A 1 A 2 es un sistema generador de W 1 +W 2. Tomemos una base B de W 1 W 2 y la completamos a bases respectivas B 1, B 2 de W 1, W 2. Veamos que B = B 1 B 2. Ciertamente, B B 1 B 2. Tomemos un vector v B 1 B 2, debemos probar que v B. Supongamos por reducción al absurdo que v / B. Como v B 1 B 2, en particular v W 1 W 2 y por consiguiente se expresa en la base B como combinación lineal finita de vectores de B, esto es v = e B λ e e. Dicho de otro modo, la expresión v e B λ e e = 0 es una combinación lineal finita igualada a cero de elementos distintos de B 1 (o de B 2 ). Como B 1 es una parte libre, todos los coeficientes deben ser cero, en particular el coeficiente de v, lo que conduce al absurdo 1 = 0. Sabemos que B = B 1 B 2 es un sistema de generadores de W 1 + W 2. Como B = B 1 B 2, se sigue que dim(w 1 + W 2 ) dim W 1 + dim W 2 dim(w 1 W 2 ), pues el número de elementos B de B es igual a B 1 + B 2 (B 1 B 2 ). Ahora es suficiente ver que B es una parte libre de V. Toda combinación lineal finita 14

15 de elementos distintos de B igualada a cero se escribe µ e e + δ e e = 0. e B 1 e B 2 \B Tenemos que w = e B 1 µ e e = e B 2 \B δ e e W 1 W 2. Como B es base de W 1 W 2 y w W 1 W 2, hay una escritura w = e B α ee. Tenemos pues, trabajando en W 1 que w = α e e = µ e e. e B e B 1 Como B 1 es base de W 1 y B W 1, se concluye que µ e = α e para e B y que µ e = 0 para e B 1 \ B. Finalmente, obtenemos una relación en W 2 α e e + δ e e = 0. e B e B 2 \B Como B 2 = (B 2 \ B ) B es una base de W 2, se deduce que µ e = α e = 0 para todo e B y que δ e = 0 para todo e B 2 \ B. CQD. ىكف مق ل م ملى ك فى كم ىكف م- k V فمس Definición 8 -مل 2 V 1 V مل suma directa interna م V م م ىء. 2 V 1 V ل مىقى ك م م ف V = V 1 V 2 {0}. = 2 V 1 V فع ملف 2 V = V 1 + V م م مى م ى ف ن مل مقى ك م م v V كم ل مك م 2 V = V 1 V ىس Proposición 7 فكى ع v = v 1 + v 2, V 1, V 2 مىق ف ى مح عى م ىل مل م V ى فع ملء 2. = 1, i ف ف i v i V مل ل. 2 dim V = dim V 1 + dim V م مى م ف ى مح عى م ىل مل ق ف La segunda parte es consecuencia directa de los teoremas en esta : عىكف مء sección. Para ver la primera parte, consideremos dos escrituras v = v 1 + v 2 = v 1 + v 2, se concluye que si w = v 1 v 1 entonces w = v 2 v 2 y por consiguiente w V 1 V 2. Necesariamente w = 0 y así v 1 = v 1, v 2 = v 2. CQD. 15

16 1.4 Aplicaciones lineales Sea f : V W una aplicación entre k-espacios vectoriales. Se dice que f es una فم ى عىكفكى ف si para cualquier par de vectores u, v V y de escalares λ, µ k se tiene f(λu + µv) = λf(u) + µf(v). Toda aplicación lineal f : V V recibe el nombre de مح ل م de V. El conjunto de aplicaciones lineales de V en W se denotará por Hom k (V, W ). Asimismo, denotaremos por End k (V ) el conjunto de los endomorfismos de V. Como es habitual en Matemáticas, señalaremos los ejemplos extremos. La aplicación nula 0 : V W ; v 0 es evidentemente lineal. La aplicación identidad Id V : V V ; v v también lo es. Asimismo, una propiedad evidente de las aplicaciones lineales es que f(0) = 0. Otro tipo de ejemplos, que en cierto modo son todos los posibles, son las de espacios vectoriales de la forma k B. Dado un م ىككم y las م ىككم ع ىككم ف subconjunto B B, definimos π B : k B k B por π B (ϕ)(b ) = ϕ(b ), para todo b B, donde ϕ k B. Es decir, tenemos que π B (ϕ) = ϕ B donde ϕ B : B k عىككم ف es la restricción de ϕ a B. Asimismo, definimos σ B : k B k B como la aplicación que a cada ϕ k B hace corresponder σ B (ϕ ) k B definido por { σ B (ϕ ϕ )(b) = (b), si b B 0, si b / B Las proyecciones π B son todas suprayectivas, mientras que las secciones σ B son inyectivas. Veremos más adelante que toda aplicación lineal expresada en bases adecuadas puede considerarse como una proyección compuesta con una sección. A continuación señalamos algunas de las propiedades básicas de las aplicaciones lineales: Si f : V W y g : W T son aplicaciones lineales, la composición g f : V T ; v g(f(v)) también es una aplicación lineal. En particular la composición de dos endomorfismos es un endomorfismo. 16

17 Si f : V W es una aplicación lineal biyectiva, la aplicación inversa f 1 : W V es también lineal. Nótese que f f 1 = Id W, f 1 f = Id V. ىكف م مل مح ى Las aplicaciones lineales biyectivas se llaman. م فى كم Si f : V W y g : V W son aplicaciones lineales y λ, µ k son dos escalares, la aplicación λf + µg : V W definida por (λf + µg)(v) = λf(v) + µg(v) también es una aplicación lineal. Esto permite dar estructura de espacio vectorial al conjunto de las aplicaciones lineales Hom k (V, W ). El espacio vectorial de los endomorfismos End k (V ) está además enriquecido por otra operación interna, que es la composición (más adelante estudiaremos este espacio con cierto detalle). فم ى ف ن El cuerpo k tiene estructura de k espacio vectorial. Se llamará V a toda aplicación lineal ϕ : V k, donde k conserva su identidad م ق como cuerpo. El conjunto de formas lineales es un espacio vectorial V que se llama مل ف ل ىكف م م V. Así se tiene V = Hom k (V, k). A continuación, veremos un conjunto de relaciones básicas entre las aplicaciones lineales, sistemas de generadores, bases y subespacios vectoriales. Sea f : V W una aplicación lineal. La مهف ى Imf de f es el subconjunto de W definido por Imf = {w W : existe v V tal que f(v) = w}. El م كع Ker f de f es el subconjunto de V definido por Kerf = {v V : f(v) = 0}. Nótese que la aplicación lineal f es suprayectiva si y solamente si Imf = W. مك. فم ى عىكفكى ف ف f : V W فمس Proposición 8.١ Imf م ىكف مق مل فى كم W.. فم ى م f(v) v فلى محمل ϕ : V Imf ع ىكفكى ف فج ٢. م f(a) Imf ي كق م V مل م لف م مه مل ف م ى م A ىس.٣ Imf. مل م لف م مه مل ف م ى.٤ Kerf م ىكف مق مل فى كم V. م م ف ى م س.٥.ف ى كمي ى م f عىكفكى ف فج (ف) 17

18 {0}. = Kerf (ق). W مل م قى م ف م V مل م قى م ف مى ف ك مل f مهف ى فج (ك) م م ف ى م س.٦.ف ى كم ف م f عىكفكى ف فج (ف) معىق ف م V مل م لف م مه مل ف م ى مى ف ك مل f مهف ى فج (ق). W مل م لف م مه مل ف م ى sencilla. La prueba de las cuatro primeras propiedades es muy : عىكف مء Probemos la equivalencia entre (a), (b) y (c) de la afirmación 5. Si existe v 0 con f(v) = 0, entonces f(v) = f(0) y la.(ق) (ف) aplicación no es inyectiva. Kerf. Si f(v) = f(v ), tenemos f(v v ) = 0 y por tanto v v.(ف) (ق) Como Kerf = {0}, se tiene que v v = 0 y así v = v. Sea A una parte libre de V. Nótese que la restricción f A de f.(ك) (ق) a A es inyectiva dado que f es inyectiva. Para ver que f(a) es una parte libre, tomemos un vector w f(a) y escribamos f(a) = f(a) \ {w}. Sea v A tal que w = f(v), como la restricción f A de f a A es inyectiva, tenemos que f(a) = f(a ), donde A = A \ {v}. Ahora debemos ver que no puede ser que w L f(a). Si w f(a), hay una combinación lineal f(v) = λ 1 f(v 1 ) + λ 2 f(v 2 ) + + λ s f(v s ) con v i A, para i = 1, 2,..., s. Nótese que dado que A es una parte libre, tenemos u v donde u = λ 1 v 1 + λ 2 v λ s v s. Por las propiedades de las aplicaciones lineales, tenemos f(v u) = 0, por lo tanto el núcleo no se reduciría al cero, contradicción. Si f no es inyectiva, tenemos f(v) = f(u) con v u, esto es.(ف) (ك) existe un vector w = u v 0 con f(w) = 0. Ahora bien A = {w} es una parte libre de V y sin embargo f(a) = {0} no es una parte libre de W. Finalmente, probemos la equivalencia entre (a) y (b) de la afirmación 6. Sea A un sistema de generadores de V y sea w un vector de W. Existe v V con f(v) = w. Escribamos v = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n donde v i A, para i = 1, 2,..., n. Tenemos w = f(v) = λ 1 f(v 1 ) + λ 2 f(v 2 ) + + λ n f(v n ) y por tanto w L f(a). El argumento es reversible y así tenemos la equivalencia (a) (b) deseada. CQD. 18

19 Observación 5 Puede ser que la imagen f(b) de una base particular de V sea una base de W y sin embargo f no sea un isomorfismo. Por ejemplo, si V = k k, W = k y f es la aplicación f(a, b) = a + b, tomando la base B = {(1, 0), (0, 1)}. فمس Proposición 9 V ىكف م ف ى مح عى م ىل مل فى كم f : V W dim W = dim V ىس. V مل م فق ف B فمس.ف ى كم ى فم ى عىكفكى ف ف ف ى كم ف معىق ف م f م مى هى ك W مل م فق ف م f(b) مك م. مح ى ف CQD. Consecuencia directa de la proposición anterior. : عىكف مء El siguiente resultado nos permite construir aplicaciones lineales en términos de bases فى كم ىكف مق V W مل م فق ف B فمس Proposición 10 ψ : B W فم ى عىكفكى ف فكى ع ف م ى. ي ك مل ف مى ف ك عىكفكى ف ف B. v ل ف ف ψ(v) f(v) = م ف f : V W Sabemos que todo elemento v V se escribe de forma única : عىكف مء como combinación lineal finita v = b B λ b b. Entonces f cumple forzosamente que f(v) = b B λ b f(b) = b B λ b ψ(b). Esta fórmula permite asimismo definir f y comprobar que se trata de una aplicación lineal. CQD. 1.5 Espacio cociente Vamos ahora a estudiar relaciones de equivalencia inducidas por aplicaciones lineales. Recordamos que si A es un conjunto, una مل عىكف م فىك م ف ى م R A es un subconjunto R A A con las siguientes propiedades م ق R. Para todo a A se tiene (a, a).ف ى ممخمز 1. R. Si (a, b) R entonces (b, a).فكى مع ىس 2. R. Si (a, b) R y (b, c) R entonces (a, c).ف ى ى ف ش 3. 19

20 El conjunto cociente A/R es un subconjunto del conjunto P(A) de los subconjuntos de A cuyos elementos son las مل م ف ك.فىك م ف ى م Una clase de equivalencia es todo subconjunto C A tal que 1. Para todo par a, b C se tiene que (a, b) R. 2. No existen a C, b A \ C con (a, b) R. Es conocido que las clases de equivalencia definen una مل عىكى ف A, esto es su unión es todo A y la intersección de dos clases de equivalencia distintas es el conjunto vacío. Recíprocamente, toda partición induce una relación de equivalencia. El ejemplo más general de relación de equivalencia es el inducido por una aplicación ϕ : A B entre conjuntos. Diremos que dos elementos a, a A son ϕ-equivalentes si y solamente si ϕ(a) = ϕ(a ). Se comprueba inmediatamente que esta relación es de equivalencia. Más aún el conjunto cociente A/ϕ se identifica a la imagen Imϕ mediante la biyección ϕ : A/ϕ Imϕ; [a] ϕ(a) donde [a] es la clase de equivalencia de a A. De hecho cualquier relación de equivalencia R sobre A es de este tipo, si consideramos la aplicación canónica ϕ : A A/R; a [a]. En el caso de espacios vectoriales, nos interesan las relaciones de equivalencia asociadas a aplicaciones lineales. Consideremos una aplicación lineal f : V T entre k-espacios vectoriales. La relación de f-equivalencia identifica vectores v 1 y v 2 si y solo si f(v 1 ) = f(v 2 ). Como f es una aplicación lineal, esto es equivalente a decir que v 1 y v 2 están f-relacionados si y solamente si f(v 1 v 2 ) = 0, es decir, si y solamente si v 1 v 2 Kerf. Sea W = Kerf. El conjunto cociente por la f equivalencia se denotará V/W. La clase de equivalencia [v] de un vector v V es [v] = v + W = {v + w; w W }. Por otro lado como hay una biyección entre la imagen Imf y el conjunto cociente, podemos dotar a V/W de estructura de espacio vectorial inducida por la de Imf, esto es [v] + [v ] = f 1 f(v + v ) = [v + v ] λ[v] = f 1 f(λv) = [λv]. Inversamente, dado un subespacio vectorial cualquiera W de V, podemos definir una relación de equivalencia en V por v está relacionado con v v v W, 20

21 cuyo conjunto cociente denotamos V/W, las clases de equivalencia son de la forma [v] = v + W = {v + w; w W }. y el conjunto cociente se puede dotar de estructura de espacio vectorial con las operaciones [v] + [v ] = [v + v ] De esta manera la aplicación canónica λ[v] = [λv]. f : V V/W es una aplicación lineal suprayectiva tal que Kerf = W. W V ف ى مح عى م ىل مل فى كم ىكف م V فمس Proposición 11 ف ى مح عى م ىل مل م V/W مك. فى كم ىكف مق dim V/W = dim V dim W. Sea f : V V/W la aplicación canónica. Consideremos una : عىكف مء base B de W que ampliamos a una base B de V y denotemos B = B \ B. Vemos que f(b ) es un sistema generador de V/W, ya que f(b ) = {0}. Se comprueba asimismo que es un sistema libre, ya que si tendríamos que el vector v f(v ) = s i=1 s i=1 λ s f(v s ), λ s v s Kerf = W, lo que no puede ser, ya que es un vector no nulo en L B. CQD. ف م ف مل Toda aplicación lineal f : V T, con W = Kerf, se descompone como composición de tres aplicaciones lineales f = ψ ϕ π, donde فكى ع فك π : V V/W ; ϕ : V/W Imf; ψ : Imf T, siendo π la م مىك ك ف فكى ع فك عىكفكى ف dada por π(v) = [v], que es suprayectiva, la aplicación ϕ ya ha sido definida, es un isomorfismo y finalmente ψ es la inclusión, que es una aplicación inyectiva. 21

22 1.6 Producto y suma directa de espacios vectoriales Vamos a efectuar dos construcciones para la obtención de nuevos espacios vectoriales, que en apariencia coinciden en el contexto finito, pero en realidad son diametralmente opuestas. Para resaltar las diferencias, adoptamos un punto de vista general, aun cuando prácticamente siempre trabajaremos en el contexto finito. Sea F = {V i } i I una familia no vacía de k-espacios vectoriales. Que la familia sea no vacía significa que I. Si el conjunto de índices I es finito, diremos que es una familia finita, si es infinito que que una familia infinita. Nótese no obstante que no estamos exigiendo que los espacios vectoriales V i sean distintos dos a dos, esto es, podría ocurrir que V i = V j para algún i, j I con i j. م P مل ل ) i I Π = (P, {p i : P V i } ف م ملى Definición 9 مكىل ع فلفك ف ف فم ى عىكفكى ف ف م p i : P V i فى كم ىكف م- k ى م م ف ى F فى ى فن ف مل un producto directo م Π م م ىء.I i :( ك ل مل ف م ى لفلمى ) لفلمى م مى هى ف م ك م م فم ى م ىكفكى ف مل فى ى فن ف T فى كم ىكف م لفءتم ف f : T P فم ى ع ىكفكى ف فكى ع ف م ى م {f i : T V i } i I تم. I i ل ف ف p i f = f i م Π. proyecciones del producto مل م ق م مقىكم p i : P V i م ىكفكى ف فج م P مل ل ) i I Σ = (S, {s i : V i S} ف م ملى Definición 10 ىكف م- k فى كم s i : V i S فلفك ف ف فم ى عىكفكى ف ف م مكىل ع i I. م ك م ى م م ف ى F فى ى فن ف مل una suma directa م Σ م م ىء :(ف كم ىل ف ف مل ف م ى لفلمى ) لفلمى م مى هى ف م فم ى م ىكفكى ف مل فى ى فن ف T فى كم ىكف م لفءتم م ف g : S T فم ى عىكفكى ف فكى ع ف م ى م {g i : V i T } i I تم. I i ل ف ف g s i = g i Σ. secciones de la suma مل م ق م مقىكم s i : V i S م ىكفكى ف فج Antes de probar la existencia de suma y producto de una familia, veamos su unicidad universal, que con mayor precisión se expresa como sigue مل ك ل ل i I) Π = (P, {p i } i I ) Π = (P, {p i } فمس Proposición 12 فم ى عىكفكى ف فكى ع ف م ى.F فى ى فن ف Φ : P P. مح ى م Φ عف ملء I. i ل ف ف p i = p i Φ م ف فى ى فن ف مل ف كم ىل ف ل i I) Σ = (S, {s i } i I ) Σ = (S, {s i } فمس فم ى عىكفكى ف فكى ع ف م ى.F Ψ : S S. مح ى م Ψ فع ملء I. i ل ف ف s i = Φ s i م ف 22

23 La existencia y unicidad de Φ y de Ψ es una consecuencia directa : عىكف مء de las propiedades universales del producto Π y de la suma Σ respectivamente. Para probar que Φ es un isomorfismo, aplicamos primero la propiedad universal del producto Π para obtener Φ : P P tal que p i = p i Φ. Ahora vemos que Φ Φ es una solución para la propiedad universal de Π aplicada de nuevo a la familia del mismo Π, como la solución es única y la identidad es otra solución, se tiene que Φ Φ = Id P. Trabajando a la inversa, se tiene que Φ Φ = Id P. Esto ya prueba que Φ es bijectiva. La segunda parte se prueba con el mismo tipo de argumentos. CQD. Se sigue que dos productos o dos sumas directas de una familia son iguales, salvo isomorfismo único. Ahora vamos a probar la existencia de sumas y productos de familias de espacios vectoriales, mediante una construcción directa de los mismos. El espacio soporte del producto P será el producto cartesiano infinito P = i I V i. Describimos a continuación este conjunto. Consideremos la unión de la familia {V i } i I. Tenemos U = i I V i Definición 11 producto cartesiano infinito i I ϕ(i) V i م م ف ϕ : I U م ىكفكى ف ف م م م ك ي ك م م I. i ل ف ف Observación 6 Recordemos que U I es una notación para el conjunto de aplicaciones ϕ : I U. Es decir, los elementos de U I son las aplicaciones de I en U. Entonces, el producto cartesiano de la familia {V i } i I es un subconjunto V i U I i I cuyos elementos son las aplicaciones ϕ : I U con ϕ(i) V i para todo i I. Dotamos el producto cartesiano P = i I V i de estructura de espacio vectorial con las operaciones definidas por V i (λϕ)(i) = λ(ϕ(i)); (ϕ 1 + ϕ 2 )(i) = ϕ 1 (i) + ϕ 2 (i). Ahora definimos las م ىككم p i : P V i por p i (ϕ) = ϕ(i) 23

24 para cada índice i I. Las proyecciones son aplicaciones lineales suprayectivas. Vamos a comprobar ahora la propiedad universal del producto de espacios vectoriales para este par Π = (P = i I V i ; {p i : i I V i V i } i I ). Consideremos un espacio vectorial T y aplicaciones lineales f i : T V i para cada i I. Buscamos una aplicación lineal f : T P tal que p i f = f i para todo i I. Dado t T tenemos que definir f(t) : I U de modo que p i (f(t)) = f i (t). Para ello es necesario y suficiente que se tenga f(t)(i) = f i (t). La aplicación f : T P así construida es lineal por una comprobación directa, con lo que se ha terminado la construcción de un producto de la familia {V i } i I. Observación 7 En el producto (P = i I V i, {p i } i I que hemos construido, la proyecciones p i : i I V i V i ; ϕ ϕ(i) son aplicaciones suprayectivas. En efecto, dado cualquier vector v V i, podemos considerar la aplicación ϕ : I U tal que ϕ(j) = 0 V j para i j y ϕ(i) = v, entonces p i (ϕ) = v. Si consideramos otro producto Π = (P, {p i } i I), las proyecciones p i : P V i también son aplicaciones supryectivas, pues sabemos que existe un isomorfismo Φ : P P tal que p i = p i Φ y entonces p i es suprayectiva por serlo p i, para cada i I. El م ىكف م S de la suma directa Σ será el subconjunto S = i I V i de i I V i definido por las aplicaciones ϕ : I U tales que el conjunto Sop ϕ = {i I; ϕ(i) 0} es un subconjunto finito de I. Las م ىككم s i : V i S las definimos haciendo { v, si j = i s i (v) : I U; s i (v)(j) = 0, si j i Es una mera comprobación verificar que S es un subespacio vectorial de P y que las secciones son aplicaciones lineales inyectivas. Vamos a comprobar la propiedad universal de la suma. Consideremos un espacio vectorial T y una familia de aplicaciones lineales {g i : V i T } i I. 24

25 Buscamos una aplicación lineal g : S T tal que que g s i = g i para todo i I. Dado ϕ S tenemos que definir g(ϕ) de modo que si ϕ = s i (v) se tenga g(s i (v)) = g i (v). Escribamos ϕ(i) = v i V i, i I. Solamente son no nulos los vectores v j para índices j en un subconjunto finito J I. Entonces ϕ es la suma finita ϕ = j J s j (v j ). Esta expresión además es única. Por linealidad, la única manera de definir g(ϕ) es g(ϕ) = g(s j (v j )) = g j (v j ). j J j J Es una mera comprobación verificar que f es lineal y cumple las condiciones requeridas. Observación 8 Si la familia es finita, es decir, el conjunto de índices I es finito, entonces P = S, aunque no son lo mismo las proyecciones que las secciones. Observación 9 Hemos visto que las secciones en la suma directa construida son inyectivas. Por un argumento similar al realizado en el caso del producto para las proyecciones, las secciones de cualquier suma directa de la familia serán también inyectivas. nota- Detallemos y presentemos algunas. م فى كم ىكف م ل مل فك ciones particulares para el caso de una familia de dos espacios vectoriales V 1 y V 2. En este caso P = S = V 1 V 2. Las operaciones están definidas por λ(v 1, v 2 ) + µ(w 1, w 2 ) = (λv 1 + µw 1, λv 2 + µw 2 ). Las proyecciones son las aplicaciones p 1 : V 1 V 2 V 1 ; (v 1, v 2 ) v 1 p 2 : V 1 V 2 V 2 ; (v 1, v 2 ) v 2 Las secciones son aplicaciones lineales inyectivas definidas por s 1 : V 1 V 1 V 2 ; v 1 (v 1, 0) s 2 : V 2 V 1 V 2 ; v 2 (0, v 2 ) Nótese que si Ṽi = s i (V i ) entonces todo vector w = (v 1, v 2 ) se descompone de forma única w = w 1 + w 2 ; w i Ṽi, i = 1, 2. 25

26 En efecto, basta tomar w 1 = s 1 (v 1 ) = (v 1, 0), w 2 = s 2 (v 2 ) = (0, v 2 ). En particular, V 1 V 2 = Ṽ1 Ṽ2. Es decir, el espacio vectorial V 1 V 2 es la suma directa interna de Ṽ1 y de Ṽ Suma directa interna generalizada Consideremos una familia finita o infinita {W i } i I de subespacios vectoriales W i {0} de un espacio vectorial V, sea A = i I W i y escribamos A i = W j. j I\{i} Nótese que ni A ni cada A i son necesariamente subespacios vectoriales de V, únicamente tienen entidad de subconjuntos de V. م مى م i I فلفك ف ف م V L A = م فه س Proposición 13 مك. V م W i مل عى ك ى ف s i : W i V م مء {0}. = i W i L A ف ى مح ف ك فكى ع ف ن مل مقى ك م م v V كم ل v = i I w i ; w i W i. فو م ف محف م ى م ف ى مح م ى م ف ف ف م ىكمء) ف م فىك م كم ك.(0 i w ك i I مكىل ع مل ى مح م ع (V, {s i : W i V } i I ) فى ى فن ف مل ف كم ىل ف ف م {W i } i I. cualquiera. Sea v V un vector : عىكف مء expresar v como combinación lineal Como V = L A, podemos v = i J λ i w i donde J I es finito y w i W i. Dado que W i es un subespacio vectorial tenemos que w i = λ i w i W i y la expresión anterior se puede escribir v = w i. i J Escribamos w i = 0 si i I \ J. supongamos ahora que existe otra escritura v = i J w i con J I finito y cada w i W i, de nuevo hacemos la convención w i = 0 si i I \ J. Igualemos ambas expresiones w i = w i. i J J i J J 26

27 Se concluye que i J J (w i w i) = 0. Fijemos un índice cualquiera i I, tenemos que w i w i = (w j w j) j J J \{i} Así pues w i w i es un vector de W i L A i, por tanto w i w i = {0}, de donde la unicidad buscada w i = w i. Consideremos ahora un espacio vectorial T y una familia de aplicaciones lineales {g i : W i T } i I. Debemos mostrar que existe una única aplicación lineal g : V T tal que g s i = g i para todo i I. Escribamos v = i J w i, necesariamente se debe tener g(v) = i J g(w i ) = i J g(s i (w i )) = i J g i (w i ). Esto demuestra la unicidad de g. La misma fórmula prueba la existencia, como consecuencia directa de la unicidad de la escritura v = i J w i. CQD. ف كم ىل ف En las situatión de la proposición anterior, diremos que V es de la familia de subespacios {W i } i I y escribiremos ف م ى V = i I W i. En el caso de una familia finita {W i } s i=1, escribiremos V = W 1 W 2 W s. Supongamos que V = W 1 W 2 W s. Se tienen las siguientes propiedades: 1. Si W = W 2 + W W s, entonces W = W 2 W 3 W s ; V = W 1 W. 2. Si A i es una parte libre de W i para i = 1, 2,..., s, entonces A i A j = si i j y la unión A = s i=1 A i es una parte libre de V. 3. Si B i es una base de W i para i = 1, 2,..., s, entonces B i B j = si i j y la unión B = s i=1 B i es una base de V. 1.8 Coordenadas en una base Sea V un k-espacio vectorial y B una base de V. Sabemos que, como B es un sistema de generadores de V, cualquier vector v V se escribe como combinación lineal finita de elementos de B, esto es, existe una expresión v = b B λ b b 27

28 donde el conjunto {b B; λ b 0} es finito. Además, como B es una parte libre, la expresión es única, es decir, si tenemos otra expresión de v como combinación lineal finita v = b B µ b b se sigue que λ b = µ b para todo b B. Así pues, tenemos establecida una aplicación bien definida para cada b B c B,b : V k; c B,b (v) = λ b. Esta aplicación c B,b se denomina la م فق ف مل فلف مل ك عىك ن- b B. comprueba que c B,b es una aplicación lineal. Ahora obtenemos la عىكفكى ف c B مل فلف مل ك مل V م فق ف م B Se c B : V k B como sigue. A cada v V hacemos corresponder c B (v) : B k tal que c B (v)(b) = c B,b (v) = λ b. Nótese que {b B; λ b 0} es un conjunto finito y por consiguiente c B (v) k B. Asimismo c B es una aplicación lineal.. مح ى م c B فلف مل ك مل ع ىكفكى ف فج Proposición 14 Para ver que es inyectiva es suficiente calcular su núcleo. Si : عىكف مء c B (v) = 0 se tiene que c B (v)(b) = 0 para todo b B, es decir, que la expresión de v como combinación lineal finita v = b B λ b b en la base B cumple λ b = c B (v)(b) = 0 para todo b B. Por tanto v = 0. Para ver que la aplicación es suprayectiva, consideremos una aplicación con soporte finito ϕ : B k. Tomemos el vector v = b B ϕ(b)b. Se tiene que c B (v) = ϕ dado que c B (v)(b ) = ϕ(b ) para cualquier b B. CQD. Nótese que para cada b B tenemos que c B (b) es la función característica c B (b) = ξ b. En particular B = {ξ b ; b B} es una base de k B, cosa que ya sabíamos, que denominamos base ف فى م فك فل فع م de k B. Así, todo espacio vectorial es isomorfo a uno del tipo k B. Esto espacios se podrían llamar modelos estándar de espacio vectorial o modelos cartesianos 28

29 en el caso finito, aunque no es una denominación consolidada. Si ψ : B B es una aplicación biyectiva entre conjuntos, tenemos que k B y k B son isomorfos mediante el isomorfismo σ ψ : k B k B definido por (ξ ψ(b ) : B k) (ξ b : B k) que identifica las correspondientes bases cartesianas. Es particularmente significativo el caso de que B = {1, 2,..., n}. En este caso tenemos una identificación clara entre los elementos de k B y las n-tuplas de escalares, esto es k n. Más precisamente, dado que k n = k {1,2,...,n} denotaremos por ξj n la correspondiente base estándar, que dada la identificación con n-tuplas se corresponde a ξ1 n = (1, 0,..., 0, 0) k n ξ2 n = (0, 1,..., 0, 0) k n ξn 1 n = (0, 0,..., 1, 0) k n ξn n = (0, 0,..., 0, 1) k n En particular, si (λ 1, λ 2,..., λ n ) k n, tenemos la igualdad n λ i ξi n = (λ 1, λ 2,..., λ n ). i=1 De este modo, dada una base ordenada ψ : {1, 2,..., n} B, tenemos la فلف مل م فق ف ف ف فلف مل ك مل عىكفكى ف c B,ψ = σ ψ c B : V k n que al vector v = b B λ bb asigna la n-tupla c B,ψ (v) = (λ ψ(1), λ ψ(2),..., λ ψ(n) ). Esta n-tupla es el مل فلف مل ك مل كم v فلف مل م فق ف م.ψ 1.9 Espacio dual. Aplicación canónica al bidual. Base dual. Sea V un k-espacio vectorial. Recordamos que el espacio vectorial dual V de V es el espacio de las formas lineales V = Hom k (V, k). Es decir, todo elemento ϕ de V es una forma lineal ϕ : V k. Supongamos que B es una base de V, vamos a dar una descripción general de V en términos de esta base, que después particularizaremos con más detalle al caso de dimensión finita. Una forma lineal ϕ : V k está determinada y 29