Práctica 10: Introducción a Modelos Lineales Generalizados.

Transcripción

1 Práctica : Introducción a Modelos Lineales Generalizados Esta última práctica está dedicada a estudiar brevememente algunos problemas que que se formalizan mediante un modelo similar al modelo lineal normal Consideraremos concretamente el problema de regresión de Poisson y el de respuesta a una dosis También ilustraremos la utilidad del modelo en un problema de clasificación ) En el archivo SIDAsav se registran las muertes a causa del SIDA por trimestre en Australia entre 983 y Muertes por SIDA Trimestre 2 Se asume que cada observación sigue una ley de Poisson cuya media $m_i$ puede relacionarse con el trimestre $i$ mediante m_i=a*i**b_, es decir, log(m_i)=b_+b_*z, siendo b_=log(a) y z=log(i) En ese caso, el problema de regresión se resolvería tomando como covariable rl logaritmo del trimestre y como ligadura la función logaritmo, con los siguientes resultados Información del modelo Variable dependiente Distribución de probabilidades Función de enlace Muertes por SIDA Poisson Logaritmo Página

2 Bondad de ajuste Desvianza Log verosimilitud Variable dependiente: Muertes por SIDA Modelo: (Intersección), Z Valor gl 7, ,9 Estimaciones de los parámetros Parámetro (Intersección) Z Variable dependiente: Muertes por SIDA Modelo: (Intersección), Z Intervalo de confianza de Wald 95% Contraste de hipótesis Chi-cuadrado B Error típico Inferior Superior de Wald gl Sig -,944,56-2,947 -,94 4,442, 2,75,25,753 2,596 2,27, 2) En el archivo Poissonsav se registra el número de sucesos acaecidos durante un determinado periodo de tiempo anotándose en cada cado el valor de cierta covariable x con la que puede existir una relación lineal por término medio 5 y 5 - x Se supondrá que cada observación sigue un modelo de distribución de Poisson de media m- i de tal forma que m-i=b+b*x-i Así pues, el problema se afrontará mediante un modelo lineal generalizado utilizando la distribución de Poisson, la covariable x y la función de ligadura identidad Los resultados son los siguientes: Página 2

3 Información del modelo Variable dependiente Distribución de probabilidades Función de enlace y Poisson Identidad Bondad de ajuste Desvianza Log verosimilitud Variable dependiente: y Modelo: (Intersección), x Valor gl, ,4 Estimaciones de los parámetros Parámetro (Intersección) x (Escala) Variable dependiente: y Modelo: (Intersección), x a Fijado en el valor mostrado Intervalo de confianza de Wald 95% Contraste de hipótesis Chi-cuadrado B Error típico Inferior Superior de Wald gl Sig 7,452,8842 5,79 9,85 7,3, 4,935,95 2,796 7,75 2,443, a 3) En el archivo Insecticidasav se registra el núemro de cucarachas expuestas y muertas a diferentes dosis de un determinado insecticida Veamos el diagrama de dispersión que confronta la dosis con la proporción de muertes Página 3

4 ,,8,6 Propor,4,2,,65,7,75 dosis,8,85,9 Intetaremos explicar la probabilidad de muerte del insecto ajustando la nube de puntos anterior mediante una función lineal b+b*dosis de la dosis utilizada compuesta con la función de distribución N(,) (modelo PROBIT) o mediante la función logística (modelo LOGIT) Los resultados del modelo PROBIT son los siguientes: Estimaciones de los parámetros Intervalo de confianza al 95% Límite Parámetro Estimación Error típico Z Sig Límite inferior superior PROBIT a dosis 9,728,484 3,293, 6,89 22,637 Intersección -34,935 2,64-3,236, -37,575-32,296 a Modelo PROBIT: PROBIT(p) = Intersección + BX Contrastes de chi-cuadrado PROBIT Contraste de la bondad de ajuste de Pearson Chi-cuadrado gl Sig 9,53 6,47 Página 4

5 Residuos y frecuencias de casillas PROBIT Número Número de Respuestas Respuestas dosis sujetos observadas esperadas Residuos Probabilidad, ,358 2,642,57, ,722 2,278,79, ,482-5,482,379, ,86-5,86,64, ,66 2,384,788, ,39 -,39,94, ,665,335,962, ,228,772,987 Los resultados del modelo LOGIT son los siguientes: Estimaciones de los parámetros Intervalo de confianza al 95% Límite Parámetro Estimación Error típico Z Sig Límite inferior superior LOGIT a dosis 34,27 2,92,768, 28,563 39,978 Intersección -6,77 5,8 -,72, -65,898-55,537 a Modelo LOGIT: LOG(p/(-p)) = Intersección + BX Contrastes de chi-cuadrado LOGIT Contraste de la bondad de ajuste de Pearson Chi-cuadrado gl Sig,27 6,24 Residuos y frecuencias de casillas LOGIT Número Número de Respuestas Respuestas dosis sujetos observadas esperadas Residuos Probabilidad, ,457 2,543,59, ,842 3,58,64, ,45-4,45,362, ,898-5,898,65, ,96,94,795, ,29 -,29,93, ,222,778,955, ,743,257,979 4) Podemos hacer también uso del modelo de regresión logística (LOGIT) para un problema de clasificación binario Por ejemplo, con los datos del archivo iris2sav pretendemos decidir si una flor pertenece a la especio virginica o vesicolor en función de las medidas de sus pétalos y sépalos El problema lo resolvemos en este caso mediante una regresión logística con cuatro variables explicativas Resumen de los modelos Paso a R cuadrado -2 log de la R cuadrado de de verosimilitud Cox y Snell Nagelkerke,899 a,78,958 La estimación ha finalizado en el número de iteración porque las estimaciones de los parámetros han cambiado en menos de, Página 5

6 Tabla de clasificación a Observado Paso species Porcentaje global a El valor de corte es,5 2 3 Pronosticado species Porcentaje 2 3 correcto 49 98, 49 98, 98, Variables en la ecuación Paso a sepleng sepwidt petleng petwidt Constante B ET Wald gl Sig Exp(B) -2,465 2,394,6,33,85-6,68 4,48 2,224,36, 9,429 4,737 3,962, ,87 8,286 9,743 3,523, ,638 25,78 2,75,97, a Variable(s) introducida(s) en el paso : sepleng, sepwidt, petleng, petwidt 4) El archivo accidentessav corresponde a un estudio anual de tráfico en el que se registran la densidad media semanal de circulación de vehículos correspondiente a cierta vía y el número de accidentes semanales registrados en la misma Se pretende establecer una relacionar entre ambas variables, de manera que la densidad de tráfico semanal explique el número de accidentes semanales Empezamos analizando el diagrama de dispersión 5 4 Nº accidentes semana 3 2, 5,, 5, 2, Densidad media semanal tráfico (vehículos/minuto) 25, Página 6

7 Podemos apreciar una posible correlación lineal entre ambas variables, es decir, que el número medio de accidentes puede explicarse a través de la densidad de tráfico mediante una ecuación lineal Podemos empezar ejecutando una regresión lineal ordinaria Resumen del modelo b Modelo R R cuadrado R cuadrado corregida Error típ de la estimación,877 a,769,764 4,837 a Variables predictoras: (Constante), Densidad media semanal tráfico (vehículos/minuto) b Variable dependiente: Nº accidentes semana Coeficientes a Modelo (Constante) Densidad media semanal tráfico (vehículos/minuto) a Variable dependiente: Nº accidentes semana Coeficientes Coeficientes no estandarizad estandarizados os B Error típ Beta t Sig 5,27,64 3,252,2,787,39,877 2,888, 2 8 Frecuencia Media =-3,6822E-6 Desviación típica =, N =52-3, -2, -,,, Standardized Residual 2, 3, Página 7

8 3, 2, Standardized Residual,, -, -2, -3,, 2, 3, 4, Unstandardized Predicted Value Obtenemos un ajuste es bastante bueno, si bien puede apreciarse una cierta heterocesdasticidad Posiblemente, la desviación típica crezca también linealmente con la denidad de tráfico (la varianza en función de la densidad al cuadrado) Vemoas concretamente para que potencia de dicha variable obtenemos la máxima verosimilitud de nuestros datos Valores de log-verosimilitud b Potencia a -2, -,5 -, -,5,,5,,5 2, -73,854-68,29-62,8-58,32-54,753-52,264-5,984 a -5,998-52,398 Se ha seleccionado la potencia correspondiente para análisis adicionales porque maximiza la función de log-verosimilitud b Variable dependiente: Y, variable de origen: X Efectivamente, se alcanza la máxima verosimilitud mediante la densidad elevada a Haremos uso de este hecho aplicando la técnica de mínimos cuadrados ponderados con los resultados siguientes Página 8

9 Resumen del modelo b,c Modelo R R cuadrado R cuadrado corregida Error típ de la estimación,93 a,86,83,477 a Variables predictoras: (Constante), Densidad media semanal tráfico (vehículos/minuto) b Variable dependiente: Nº accidentes semana c Regresión de mínimos cuadrados ponderados - Ponderada por Ponderación para Y de WLS, MOD_ X** -, Coeficientes a,b Modelo (Constante) Densidad media semanal tráfico (vehículos/minuto) a Variable dependiente: Nº accidentes semana Coeficientes Coeficientes no estandarizad estandarizados os B Error típ Beta t Sig 4,274,45 3,733,,877,26,93 4,93, b Regresión de mínimos cuadrados ponderados - Ponderada por Ponderación para Y de WLS, MOD_ X** -, Podemos apreciar un mayor valor de R2 No obstante, dada la naturaleza de la variable respuesta cabría considerar la posibilidad de que su distribución fuese de Poisson, de tal manera que su media se relaciona linealmente con la densidad Así pues, podemos optar por un modelo lineal generalizado con distribución de Poisson, funicón de enlace identidad y covariable densidad Los resultados son los siguientes: Información del modelo Variable dependiente Distribución de probabilidades Función de enlace Nº accidentes semana Poisson Identidad Bondad de ajuste b Desvianza Chi-cuadrado de Pearson Log verosimilitud a Valor 45,53 46,425-5,96 Variable dependiente: Nº accidentes semana Modelo: (Intersección), X a La función de log-verosimilitud completa se muestra y se utiliza para calcular los criterios de información b Los criterios de información están en forma "mejor cuanto más pequeño" Estimaciones de los parámetros Parámetro (Intersección) X (Escala) Variable dependiente: Nº accidentes semana Modelo: (Intersección), X a Fijado en el valor mostrado Intervalo de confianza de Wald 95% Contraste de hipótesis Chi-cuadrado B Error típico Inferior Superior de Wald gl Sig 4,592,3727,92 7,282,9,,846,4,572 2,2 73,65, a Página 9

10 Podemos apreciar que, de los tres modelos escogidos, éste es el que hece más verosímil los datos No obstante, la ecuación final obtenida es muy similar en los tres casos, en especial la estimación del coeficiente de la densidad Página