MEF1-dim. (Mètode dels Elements Finits 1-dim) Mètodes Numèrics-Dept. MA1-ETSEIB. Toni Susin

Transcripción

1 MEF1-dim (Mètode dels Elements Finits 1-dim) Mètodes Numèrics-Dept. MA1-ETSEIB Toni Susin

2 Visió General: Modelització

3 Visió General: Descomposició

4 Element 1-dim: LINK Barra (Link): Element 1 2 Nodes(locals) Conjunt d elements: E1 E2 E3 E Nodes(globals)

5 Geometria:Especificar coordenades dels nodes (globals) Dim 1: = Dim 2: = Dim3:... Element 1-dim: LINK

6 Element 1-dim: LINK Elements(especificar la connectivitat) E1 E2 E3 E Matriu de Connectivitat: Nodes Elements B=

7 Element 1-dim: LINK Exemple 1: 3 Elements Nodes 1 2 B= Exemple 2: B=

8 Element 1-dim: LINK Contribució Estructuralper cada element (dim1). = : desplaçaments : forces : Matriu de Rigidesa 2x2 (justificat a teoria): = E: Mòdul de Young(coef. d elasticitat) A: Areade seccióde la barra L: Longituddel la barra

9 Sistema Global (1-dim) Sistema Global(contribucions de TOTS els elements): : vector de desplaçaments. : vector de forces. :matriu de rigidesa global formada per l acoblament de tots els elements.

10 Matriu de Rigidesa: Acoblament(1-dim) Exemple E1 E2 E3 E Matriu Global: =

11 Matriu de Rigidesa: Acoblament(1-dim) B= Exemple = =! E1 E2 E3 E4 Ke

12 Matriu de Rigidesa: Acoblament(1-dim) B= Exemple = = +! E1 E2 E3 E4 Ke

13 Matriu de Rigidesa: Acoblament(1-dim) B= Exemple = E1 E2 E3 E4 Ke

14 Matriu de Rigidesa: Acoblament(1-dim) B= Exemple = E1 E2 E3 E4 Ke

15 Matriu de Rigidesa: Acoblament(1-dim) B= Exemple = E1 E2 E3 E EA/L

16 Forces i Restriccions (1-dim) Imposem Forces i Condicions de Contorn (Loads): = Restriccions del Moviment:(CC essencials) =, = Forces:(CC naturals) E1 E2 E3 E4 =

17 Sistema Global: Imposem les condicions de contorn(cc): EA/L = 6

18 Sistema Global: Imposem les condicions de contorn(cc): EA/L = 6 Solució amb E=1, A=.1, L=1 =, =1.5, =3, =4.5, =

19 FEM 1-Dim (Codi MATLAB) Estructura del programa: Preprocés: Carregar la geometria Propietats del Material Constants Reals Solució: Imposar Condicions de Contorn (CC/LOADS) Resoldre el sistema Postprocés: Forces de reacció, Tensions axials, etc.

20 FEM 1-Dim (Codi MATLAB) Preprocés: Carregar fitxers de dades: Coordenades dels Nodes Elements Definir Propietats del material i Àrees de Secció Coeficient d Elasticitat Areade secció nod=load('nodes.txt','-ascii'); [num_nod,ndim]=size(nod); elem=load('conectivitat.txt','-ascii'); [num_elem,ndim_elem]=size(elem); Y=1; %modul de Young E=Y*ones(1,num_elem); %tots iguals Area=.1; A=Area*ones(1,num_elem); %tots iguals

21 FEM 1-Dim (Codi MATLAB) Acoblament: Solució: K=zeros(num_nod*ndim); %iniciem a zeros for e=1:num_elem Ke=LinkBar_Mrigidesa(nod, elem,e,e,a); files=[elem(e,1); elem(e,2)]; colums=files; K(files,colums)=K(files,colums)+Ke; %acoblament end f=zeros(num_nod,1); %forces f(4)=6; fixed=[1,num_nod]; %fixem punts primer i últim val=[,]; [Km,fm]=ImposemCC1dim(K,f,fixed,val); u=km\fm %solució

22 FEM 1-Dim (Codi MATLAB) Funció LinkBar_Mrigidesa: function Ke=LinkBar_Mrigidesa(nod,elem,e,E,A) x1=nod(elem(e,1),1); x2=nod(elem(e,2),1); x21=x2-x1; Le=abs(x21); %Longitud de l element coef=((e(e)*a(e))/le); % %Matriu de cada element % Ke=[1, -1; -1, 1]; Ke=coef*Ke;

23 FEM 1-Dim (Codi MATLAB) Funció ImposemCC1dim: function[km,fm]=imposemcc1dim(k,f,fixed,val) Km=K; fm=f; nfix=size(fixed,2); %modifiquem el vector de forces(loads) %passem cap els termes independents les columnes %associadesa valorsfixats. for i=1:nfix fm=fm-val(1,i)*km(:,fixed(i)); end %fixem els valors donats f(fixed)=val; %fem que les equacions corresponents als valors fixats %siguin la identitat. Km(fixed,:)=; Km(:,fixed)=; for i=1:nfix ni=fixed(i); Km(ni,ni)=1; %diagonal igual a 1 end

24 2-Dim: Element 2-dim: PlaneLINK

25 Element 2-dim: PlaneLINK Matriu de rigidesa 2-Dim: On

26 Element 2-dim: PlaneLINK(Codi MATLAB) Funció PlaneLinkBar_Mrigidesa: function Ke=PlaneLinkBar_Mrigidesa(nod,elem,e,E,A) x1=nod(elem(e,1),1); y1=nod(elem(e,1),2); x2=nod(elem(e,2),1); y2=nod(elem(e,2),2); x21=x2-x1; y21=y2-y1; Le=sqrt(x21*x21+y21*y21); %Longitud coef=((e(e)*a(e))/le^3); Ke=[x21*x21, x21*y21, -x21*x21, -x21*y21; x21*y21, y21*y21, -x21*y21, -y21*y21; -x21*x21, -x21*y21, x21*x21, x21*y21; -x21*y21, -y21*y21, x21*y21, y21*y21]; Ke=coef*Ke;

27 Exemple 2D: Element 2-dim: LINK

28 % % Exemple de FEM per elements lineals: LINK % (2-Dim: desplaçaments en x i y) % nod=load('nodes2.txt','-ascii'); [num_nod,ndim]=size(nod); elem=load('conectivitat2.txt','-ascii'); [num_elem,ndim_elem]=size(elem); % %Pintem els nodes i els elements % figure(1) pintemnodelem(nod,elem); % %Propietats del material % % mòdul de Young Y=5; E=Y*ones(1, num_elem); %tots els elements del mateix material E(3)=1; % %Constants reals: Area de secció de la barra % Area=2; A=Area*ones(1,num_elem); A(2)=1; A(3)=2*sqrt(2); % %Pintem la matriu de rigidesa % figure(2) K=zeros(num_nod*ndim); for e=1:num_elem Ke=PlaneLinkBar_Mrigidesa(nod,elem,e,E,A) files=[elem(e,1)*2-1; elem(e,1)*2; elem(e,2)*2-1; elem(e,2)*2]; colums=files; K(files,colums)=K(files,colums)+Ke; spy(k) pause(.1); end %matriu de rigidesa K % % SOLVE: Apliquem condicions de contorn % %Inicialitzem forces f=zeros(num_nod*ndim,1); fixed=zeros(1,num_nod*ndim); val=zeros(1,num_nod*ndim); fapp=zeros(num_nod*ndim,1); %Fixem els punts: 1 all DOF, 3 % codifiquem amb un 1 els punts en els que fixem desplaçaments % exemp: fixed=[1,1,,1,,]; fixed(1*ndim-1)=1; %(u1_x=) fixed(1*ndim)=1; %(u1_y=) fixed(2*ndim)=1; %(u2_y=) % codifiquem les forces i els valors dels desplaçaments % exemp: val=[,,,,2,1]; % forces al node3 : (fx=2, fy=1) nodf=3; %node en el que apliquem la força val(nodf*ndim-1)=2; val(nodf*ndim)=1; fapp(nodf*ndim-1)=2;%copiem les forces aplicades fapp(nodf*ndim)=1; %per aplicar-ho a les forces de reacció [Km,fm]=ImposemBC(K,f,fixed,val); Km fm % % SOLVE: Resolem el sistema i calculem els desplaçaments % u=km\fm % % POSTPROCES: Pintem desplaçaments i calculem forces i tensions % % Representem la solució desplaçada figure(3) esc=2; %escala per representar els desplaçaments pintemnodelemdespl(nod,elem,u,esc); %Forces de Reacció fr=k*u-fapp %Tensions Axials [T, F]=calculTensionsAxials (nod,elem,u,e,a) Exemple 2D: (Codi Matlab)

29 function[tensions Forces]=calculTensionsAxials(nod,elem,u,E,A) [num_nod,ndim]=size(nod); [num_elem,ndim_elem]=size(elem); Forces=zeros(1,num_elem); Tensions=zeros(1,num_elem); for e=1:num_elem x1=nod(elem(e,1),1); x2=nod(elem(e,2),1); if(ndim==1) y1=; y2=; ux1=u(elem(e,1)); ux2=u(elem(e,2)); uy1=; uy2=; else y1=nod(elem(e,1),2); y2=nod(elem(e,2),2); ux1=u(elem(e,1)*ndim-1); uy1=u(elem(e,1)*ndim); ux2=u(elem(e,2)*ndim-1); uy2=u(elem(e,2)*ndim); end x21=x2-x1; y21=y2-y1; Le=sqrt(x21*x21+y21*y21); ux21=ux2-ux1; uy21=uy2-uy1; d=(x21*ux21+y21*uy21)/le; Forces(e)=E(e)*A(e)*d/Le; Tensions(e)=Forces(e)/A(e); end Exemple 2D: (Codi Matlab)

30 Element 2-dim: LINK Exemple 2D: Un problema típic en enginyeria és dissenyar un pont. Considereu el següent model format per barres d'acer que tenen un mòdul de Young de E = 2GPa i un àrea de secció A = 325mm^2. Les fletxes indiquen les càrregues del pont. Són forces puntuals de 28, 21, 28 i 36 kn. L'objectiu és l'estudi de les deformacions, les forces de reacció i les tensions axials.

31 Exemple 2D: Nodes: Element 2-dim: LINK Elements:

32 Exemple 2D: Nodes: Element 2-dim: LINK Elements:

33 3-Dim: Element 3-dim: LINK

34 Element 3-dim: LINK Matriu de rigidesa 3-Dim: On i