MEDIDAS DE POSICIÓN de una distribución de frecuencias. 1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 1 Gutiérrez

Transcripción

1 MEDIDAS DE POSICIÓN de una distribución de frecuencias er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez

2 Medidas Descriptivas Medidas de posición: - central Numéricas: - no central Medidas de dispersión Medidas de forma: - simetría - curtosis er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 2 Gutiérrez

3 Las medidas de posición nos ayudan a saber dónde están localizados los datos, pero sin saber cómo están distribuidos. er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 3 Gutiérrez

4 Medidas de posición central: La media aritmética: - pretende representar un valor central del conjunto de datos observados - para ello se busca un valor k que haga mínima la distancia del mismo a cada una de las observaciones: d(x i, k) mínima = - la fórmula de cálculo es: x = n i= i n x i er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 4 Gutiérrez

5 La media aritmética: ejemplo Las observaciones que surgen de tirar 6 veces un dado son las siguientes: Si calculamos: ( k) + ( k) + (2 k) + (3 k) + (5 k) + (6 k) = 8 6 x k, por lo que k = 3. Si observamos las distancias (con signo) al valor k obtenido: = 0 er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 5 Gutiérrez

6 La media es el pivote de los valores observados er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 6 Gutiérrez

7 er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez 7 La media, cálculo con datos agrupados: )...y y y......y y y ( n x n x k k k n i i i = = = = j k j j j k k 2 2 y n n ) y n... y n y ( n n x = = = =

8 La media: ejemplo de cálculo con datos agrupados Se dispone del peso de diez cerdos de entre 4 y 5 meses de edad (en kg.): x i f i N = 0 queremos calcular la media de esos pesos. er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 8 Gutiérrez

9 La media: ejemplo de cálculo con datos agrupados Calculamos entonces: x i f i xi * f i N = 0 60 Por lo que la media resulta ser de 60, kg. er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 9 Gutiérrez

10 Linealidad: La media aritmética: propiedades Y = ax + b y = ax + b Sensibilidad, en caso de valores extremos: - supongamos queremos la media de edades del siguiente conjunto de observaciones (un hogar): , ésta es 70 / 5 = 4 - ahora, por algún motivo, la persona de 29 años se va de casa con los niños, y pasa a vivir con su madre que tiene 64 años. La media ahora es: 00 / 5 = 20 er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 0 Gutiérrez

11 La media aritmética: aclaración El valor promedio de las observaciones no es necesariamente uno de los datos observados er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez

12 La media aritmética: inconvenientes No se puede calcular para variables categóricas En el caso de variables continuas discretas, su resultado puede ser chocante: la media de hijos por familia puede ser 2, hijos. No es robusta: es muy sensible a valores extremos. er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 2 Gutiérrez

13 La media recortada (α-podada) Para evitar problemas de sensibilidad a valores extremos, se ordena la muestra y se eliminan (por ejemplo) el 0% de los valores extremos. Entonces, se calcula la media artimética de los valores (centrales) restantes. er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 3 Gutiérrez

14 La media ponderada A veces es necesario darle mayor importancia a determinados datos observados que a otros. Un ejemplo usual, es la media de calificaciones de los alumnos en secundaria: hay porcentajes asignados a participación oral, escrita y a pruebas especiales. x i= n = i= i= n i= w x i w i i er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 4 Gutiérrez

15 Medidas de posición central: La moda: - datos sin agrupar: es el valor más frecuente en el conjunto de observaciones - datos agrupados: es el intervalo o clase que tiene mayor número de observaciones por unidad de longitud (es el de mayor valor de la densidad empírica f* ) er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 5 Gutiérrez

16 La moda: aclaración La moda de las observaciones es necesariamente uno de los datos observados En el ejemplo de los pesos, la moda es 63 (es el valor observado más frecuente) er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 6 Gutiérrez

17 La moda y sus dificultades Para el caso de variables cuantitativas continuas sin agrupar, siendo muy raras las repeticiones, no tiene mucho sentido. Al agrupar datos continuos, ya no podemos hablar de una moda sino de un intervalo modal: tomamos la marca de clase como valor de la moda. Al cambiar la forma de agrupar datos continuos, el intervalo modal varía. er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 7 Gutiérrez

18 Medidas de posición central: La mediana: - pretende representar al conjunto de datos observados. - para ello se ordenan las observaciones (de menor a mayor) y se elige el valor observado que ocupa el lugar central (o bien el promedio de los dos datos centrales). - la mediana es el valor que alcanza o supera el 50% de las observaciones, cuando éstas están ordenadas en forma creciente. er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 8 Gutiérrez

19 La mediana: datos agrupados Al agrupar datos, todos los valores de cada clase (intervalo) son posibles, por lo que se puede definir siempre el valor que acumula exactamente el 50% de las observaciones como: x = L + si 0.50 x c j f m [ ' ' x ) i x 0.50 ; i L: límite inferior de la clase donde está la mediana c: amplitud de la clase j: cantidad de observaciones que faltan adicionar para llegar a n/2 f m : frecuencia absoluta de la clase donde está la mediana er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 9 Gutiérrez

20 La mediana: propiedades Se puede establecer aún en variables cualitativas, si son ordinales. Su valor es uno de los valores observados. No es necesarios considerar los valores de las observaciones para calcularla. Es robusta. En el ejemplo de las edades, en los dos casos: y la mediana es 4. er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 20 Gutiérrez

21 Medidas Descriptivas Medidas de posición: - central Numéricas: - no central Medidas de dispersión Medidas de forma: - simetría - curtosis er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 2 Gutiérrez

22 Los cuantiles: Son aquellos valores observados que, ordenados de menor a mayor, dividen a la función de distribución empírica en partes iguales. Los cuartiles: la dividen en cuatro partes, cada una de ellas engloba el 25% de las observaciones. Q es el primer cuartil (valor que alcanza o supera el 25% de los datos observados), Q 3 es el tercer cuartil (alcanza o supera el 75% de los datos observados), Q 2 = Mediana. Los más comunes: deciles, percentiles. er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 22 Gutiérrez

23 Dependiendo del estudio que queramos realizar, será la medida de posición que adoptaremos. er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 23 Gutiérrez

24 Cambios de origen y de escala Cambios de origen: es cuando sumamos (restamos) una cantidad constante a todos los datos observados. Cambio de escala: es cuando afectamos a todos los datos observados de un mismo factor. er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 24 Gutiérrez

25 Los cambios de origen y de escala afectan a todas las medidas de posición por igual: éstas cambiarán en el mismo sentido e intensidad que lo hicieron los datos analizados. er semestre 202 UDE Fac. CC. Agrarias Celina 25 Gutiérrez