Relación entre la estatura y el peso

Transcripción

1 1 Ejercicio resuelto Relación entre la estatura y el peso Supongamos que estamos realizando un estudio del crecimiento de un grupo de alumnos de seis años, para ver si se desarrollan con normalidad. Para ello, decidimos tomar una muestra de 10 niños y medir en cada uno de ellos dos variables: la estatura en centímetros y el peso en kilogramos. En este caso, decidimos estudiar cómo cambia el peso de los niños en función de su estatura. Para ello colocamos la estatura en el eje de abscisas y el peso en el eje de ordenadas. Los datos que hemos recogido aparecen ordenados en la tabla adjunta que hemos creado en una hoja de cálculo de GeoGebra. Se trata de una distribución bidimensional, ya que a cada niño le corresponden los valores de dos variables: la estatura y el peso. Una vez analizados y tratados estos datos, con ayuda de las matemáticas, vamos a intentar responder a las siguientes preguntas: 1. Existe alguna relación entre las dos variables? 2. Si existe relación, de qué tipo es? 3. El grado de esa relación, se puede medir de alguna manera? 4. Podemos encontrar alguna ecuación que nos permita relacionar ambas variables? 5. Seríamos capaces de predecir, por ejemplo, cuál sería la altura más probable de un niño de seis años que pesara 25 kilogramos? Y de predecir, igualmente, el peso más probable de un niño de seis años que midiese 125 centímetros? Vamos a intentar dar respuesta a todas esas preguntas, paso a paso, en los siguientes apartados.

2 2 1. Existe alguna relación entre las dos variables? Obtención del diagrama de dispersión Si existe relación entre la altura y el peso, se verá más fácilmente obteniendo un diagrama de dispersión. Para ello se representan los pares de valores como si se tratase de puntos en unos ejes de coordenadas. Representaremos los puntos de la siguiente manera: seleccionamos los datos de la tabla de GeoGebra, pulsamos el botón derecho del ratón y elegimos Crea > Lista de puntos. Tras ajustar convenientemente los ejes y los colores de los puntos, se nos mostrará la siguiente vista gráfica: De esta sencilla manera hemos obtenido con GeoGebra el diagrama de dispersión, también llamado nube de puntos. 2. Si existe relación, de qué tipo es? Correlación lineal Podemos apreciar que existe una clara relación entre las estaturas (representadas en el eje horizontal) y los pesos de los niños (representadas en el eje vertical), de manera que a mayor estatura mayor peso, y viceversa. Los matemáticos llaman correlación a esta relación entre las dos variables. Además, vemos que entre ambas variables no existe una relación de tipo funcional, ya que los puntos no aparecen perfectamente alineados; además, a una misma estatura le podrían corresponder, sin ningún problema, dos pesos diferentes, y eso no es posible en una relación funcional.

3 3 Se dice que entre la estatura y el peso existe una relación de tipo estadístico, ya que, conociendo el valor de una variable no podemos conocer el valor exacto que tendrá la otra, pero sí podemos hacernos una idea bastante aproximada de cuál será su valor. También podemos apreciar con claridad que los puntos no están desperdigados sino agrupados a lo largo de una imaginaria recta, en este caso ascendente. Por lo tanto, podemos imaginarnos una recta que se adaptaría bastante bien a la nube de puntos; esa recta, que existe realmente, recibe el nombre de recta de regresión o recta de ajuste y los matemáticos dicen que, entre esas dos variables, estatura y peso, existe una correlación lineal. 3. El grado de esa relación, se puede medir de alguna manera? Cálculo del coeficiente de correlación Como ya hemos dicho, entre las variables estatura y peso existe una correlación de tipo lineal. La correlación entre las dos variables puede parecernos más o menos fuerte, dependiendo de lo apretados o dispersos que apreciemos los puntos de la nube. Pero necesitamos un parámetro estadístico que nos dé el valor de esa correlación de forma numérica e inequívoca, de una manera que sea matemáticamente objetiva. El parámetro que nos proporciona el valor de la correlación entre las dos variables de una distribución bidimensional es el denominado coeficiente de correlación de Pearson (r) y se calcula aplicando la siguiente fórmula: Como podemos apreciar, para poder calcularlo necesitamos obtener previamente: Las desviaciones típicas de cada una de las variables, que aparecen en el denominador como factores. Y un nuevo parámetro estadístico llamado covarianza, que aparece en el numerador. La covarianza se obtiene mediante esta otra fórmula: Consejo: Para obtener la covarianza, la manera más sencilla y cómoda de realizar todos los cálculos es confeccionar una tabla como la que se muestra en la siguiente página.

4 4 Las dos primeras columnas nos facilitarán el cálculo de las medias de las dos variables. Las columnas tercera y cuarta nos servirán para calcular sus desviaciones típicas. Y la quinta columna nos permitirá calcular la covarianza. No vamos a detenernos a explicar cómo se calculan las medias y las desviaciones típicas, ya que lo vimos recientemente en el tema de Estadística, pero sí vamos a calcular la covarianza, paso a paso:

5 5 Cuando ya tengamos las desviaciones típicas de las dos variables y la covarianza, podemos calcular fácilmente el coeficiente de correlación: En este caso, hemos obtenido para r un valor de 0,9. Pero, qué significa eso? Vamos a intentar aclarar un poco la situación, conociendo las propiedades del coeficiente r: El coeficiente de correlación de Pearson (r) no tiene dimensiones y, por lo tanto, tampoco tiene unidades. Esto tiene la ventaja de que, si repitiésemos los cálculos con las estaturas en metros o en pulgadas y los pesos en libras o en gramos, el valor de r seguiría siendo el mismo: 0,9. El valor de r siempre estará comprendido entre -1 y +1. Es decir, que r 1. Su valor mide la fuerza de la relación entre las variables. Si la correlación fuese perfecta, es decir, si los puntos de la nube estuviesen perfectamente alineados, entonces se cumpliría que r=1 (cuando la recta fuese creciente) o que r=-1 cuando la recta fuese decreciente. Si la correlación fuese débil, es decir, si los puntos de la nube estuviesen muy dispersos, el valor de r sería muy próximo a cero y se diría que las variables son incorreladas. Como referencia, podemos aplicar el siguiente baremo: Si r inferior o igual a 0,2 diremos que existe correlación muy débil, despreciable. Si r está comprendido entre 0,2 y 0,4 diremos que la correlación es débil. Si r está comprendido entre 0,4 y 0,7 diremos que la correlación es moderada. Si r está comprendido entre 0,7 y 0,9 diremos que la correlación es fuerte. Si r está comprendido entre 0,9 y 1 diremos que la correlación es muy fuerte Si r es 1 diremos que la correlación es perfecta. Propia de las relaciones funcionales.

6 6 La correlación es perfecta, por ejemplo, en las leyes físicas. Un ejemplo sencillo lo tenemos en la Ley de Hooke, que relaciona la fuerza aplicada a un muelle (colgándole una masa) y la deformación producida en él. La gráfica siguiente permite apreciar la perfecta correlación entre masa y alargamiento: Por consiguiente, en nuestro ejemplo podremos decir que las estaturas y los pesos de los niños son dos variables que están fuertemente correladas. Sin embargo, hay que tener cuidado de no confundir correlación y causalidad. Que dos fenómenos estén correlados no implica, de ninguna manera, que uno sea causa del otro. Es muy frecuente que nos encontremos con dos variables que están fuertemente correladas porque dependen a su vez de una tercera variable que no ha sido medida. Este tercer factor, que a veces entra en juego sin que lo sepamos, recibe el nombre de factor de confusión. Por ejemplo, que exista una fuerte correlación entre la recaudación de impuestos y el aumento del número de delitos cometidos en España, no indica para nada que una variable dependa de la otra; solo indica que ambas variables están ligados a una tercera: el aumento de la población española. El precio del trigo y la población de roedores están negativamente correlados, porque ambos dependen del nivel de la cosecha de trigo. Puede ser que una fuerte correlación exprese una verdadera causalidad, como entre el número de cigarrillos que se fuma al día y la aparición de un cáncer de pulmón. Pero no es la estadística la que demuestra cuál es el agente causante del cáncer de pulmón; la estadística sólo permite detectarla. Por ejemplo, la influencia del consumo del tabaco en la aparición de un cáncer de pulmón ha sido científicamente demostrada en la medida en que se pudieron analizar los mecanismos fisiológicos y bioquímicos que hacen que el alquitrán y la nicotina induzcan errores en la reproducción del código genético de las células.

7 7 4. Existe alguna fórmula que nos permita relacionar ambas variables? Obtención de la recta de regresión Vamos a determinar la ecuación de la recta que mejor se ajusta a la nube de puntos: la denominada recta de ajuste o recta de regresión. Con el programa GeoGebra podemos obtenerla al instante haciendo seleccionando la lista de puntos con la herramienta Ajuste lineal. El programa realiza los cálculos necesarios para obtener la ecuación de la recta que mejor se ajusta a la nube de puntos que le hemos proporcionado. Esa recta recibe el nombre de recta de regresión de y sobre x, ya que estamos suponiendo que y depende de x, es decir, que x en la variable independiente e y la variable dependiente. Sin embargo, vamos a no ser tan cómodos y a explicar, paso a paso, cómo determinar la ecuación de la recta. Usaremos la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente. Para ello, necesitamos conocer un punto de la recta y su pendiente: La recta siempre pasa por un punto muy especial, cuyas coordenadas son las medias de x y de y, respectivamente. Ese punto es, precisamente, el centro de gravedad de la nube de puntos y por eso recibe ese nombre: centro de gravedad. Aunque no vamos a demostrarlo, la pendiente de la recta se calcula como el cociente de la covarianza entre el cuadrado de la desviación típica de la variable x. A ese valor de la pendiente se le da el nombre de coeficiente de regresión de y sobre x. Su signo siempre coincidirá con el del coeficiente de correlación (r), pero sus valores serán diferentes.

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9 9 Vamos a calcular el coeficiente de regresión de y sobre x: Y ahora determinaremos la ecuación de la recta de ajuste. Primero en la forma punto-pendiente y, finalmente, la ecuación explícita en la forma y = A + Bx:

10 10 5. La recta de regresión nos permite hacer predicciones Estimaciones Una de las aplicaciones de la regresión lineal es que nos permite hacer predicciones. Dado que la recta de regresión se amolda bastante a la nube de puntos (se amoldará mejor cuanto más próximo esté el r a 1), a partir de ella podemos obtener, de manera muy aproximada, el valor esperado de y para un cierto valor de x, o viceversa. A estos valores obtenidos aplicando la función de regresión se les llama estimaciones. Pero para poder realizar estimaciones deberemos tener en cuenta lo siguiente: 1. Las estimaciones siempre se realizan de manera aproximada y en términos de probabilidad. 2. La aproximación obtenida será tanto mejor cuanto más próximo esté r a Las estimaciones solo deben hacerse dentro del intervalo de valores utilizados, o muy cerca de ellos. Hechas las aclaraciones anteriores, procedamos a calcular, usando la ecuación de la recta de regresión, cuál sería la altura más probable (x) de un niño de 6 años que pesara 25 kilogramos (y). Para ello deberemos calcular el valor de x cuando y=25 kg.

11 11 Y ahora vamos a calcular el peso más probable (y) de un niño de seis años que mida 125 cm (x). Las estimaciones que hemos obtenido en los dos ejemplos anteriores son bastante fiables, ya que al ser r=0,9 la correlación entre x e y es bastante fuerte (ver el baremo de la pág. 5). Ya dijimos que las estimaciones solo deben hacerse dentro del intervalo de valores utilizados como punto de partida, o muy cerca de ellos. Por ejemplo, entre 100 y 125 cm de estatura o entre 14 y 26 kg de peso (ver la tabla de datos de la pág. 1). Pero las estimaciones no serían nada fiables, por ejemplo, para x=50 ó para x=200, ni tampoco para y=5 ó y=30. Es más: si calculásemos el valor estimado de x para y=0 nos daría un valor de 65. Es decir, que llegaríamos a un resultado absurdo: un niño de 6 años de 65 cm de estatura y 0 kg de peso. Ya explicaremos en clase cómo obtener rápida y fácilmente los coeficientes de la recta de regresión, A y B, con ayuda de la calculadora Casio fx-82ms. También aprenderemos a calcular los valores estimados, tanto de x como de y, con GeoGebra. Mientras tanto, puede serviros de ayuda el breve tutorial que aparece en las tres últimas páginas.

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