Por qué unos cerezos tienen mayor volumen que otros?

Transcripción

1 En la siguiente tabla se muestra el volumen (en pies cúbicos) de 31 cerezos. Observamos que no todos los cerezos tienen el mismo volumen, es decir, constatamos variabilidad en el volumen de los cerezos. Por qué unos cerezos tienen mayor volumen que otros? 1

2 Si identificamos otra variable, relacionada con el volumen de los cerezos, pero más fácil de medir, esto nos permitiría hacernos una idea aproximada del volumen a partir de dicha variable. Probamos con el diámetro del cerezo a cierta altura fija sobre el suelo. Cómo comprobamos si ambas variables están relacionadas? Qué tipo de relación hay entre ambas variables? Cómo podemos explotar la relación entre ambas variables? El diagrama de dispersión evidencia la relación entre ambas variables. En general, a mayores diámetros les corresponden mayores volúmenes. Los puntos se distribuyen alrededor de una línea recta. La recta Y =5.1X 37 nos proporciona una estimación del volumen (Y)que es diferente para cada diámetro (X). Volumen (pies 3 ) Diámetro (pulgadas) 2

3 Interpretación Y es la variable respuesta (volumen,enpies cúbicos) y X es la variable explicativa (diámetro,enpulgadas). El modelo Y=5,1X 37 es una recta cuya pendiente es 5,1, es decir, por cada unidad que aumenta X, Y aumenta 5,1 unidades. Por cada pulgada que aumenta el diámetro de un cerezo, medido a un pie de altura, el volumen del árbol aumenta, en promedio, 5,1 pies cúbicos. Predicción El modelo Y=5,1X 37 nos da, para cada valor de X, una estimación del valor de Y: E[Y X=x] = 5,1x 37 Los cerezos para los que el diámetro, a un pie de altura, es de 15 pulgadas tendrán, en promedio, un volumen de 5, = 39,5 pies cúbicos. Explicación Observamos un amplio rango de variación para el volumen de los cerezos. El saber el diámetro de un cerezo, medido a un pie de altura sobre el suelo, reduce nuestra incertidumbre acerca del volumen total del árbol. El modelo explica el 94% de la variabilidad en el volumen de los cerezos a partir de la variabilidad en el diámetro medido a un pie de altura para los 31 cerezos de la muestra. Dado un diagrama de dispersión (nube de puntos): Cómo elegimos la recta que mejor se ajusta? A cuál de los puntos intentará acercarse la recta? Cómo mediremos lo cerca que está la recta de un punto? 3

4 La Covarianza I 7 La Covarianza II S xy > 0 S xy < 0 S xy = 0 8 4

5 La Covarianza IV Cálculo de las varianzas y la covarianza con tabla simple Observando la nube de puntos se aprecia que existe una relación lineal directa entre ambas variables (covarianza positiva). 9 El Coeficiente de Correlación Lineal (r) La covarianza presenta el handicap de depender de la escala, por lo que es interesante introducir otra medida para la relación lineal entre dos variables que no se vea afectada por cambios en las unidades de medida empleadas. Para desescalar la covarianza se define el coeficiente de correlación lineal, ylo denotamos con la letra r, como el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas de las dos variables: El coeficiente de correlación lineal: Carece de unidades de medida, es decir, es adimensional. Es invariante frente a transformaciones lineales (cambio de origen y escala) de las variables. Sólo toma valores comprendidos entre 1 y +1. Si r 1 existirá una relación lineal muy fuerte entre las variables. Si r >0 la relación se dice positiva y si r < 0 la relación se dice negativa. Sir 0 afirmamos que no existe relación lineal entre las variables. 10 5

6 Regresión Lineal I La existencia de una relación lineal entre las variables implica la existencia de una recta que se ajusta a la nube de puntos, siendo mayor el ajuste cuanto más fuerte es la relación lineal (cuanto más cercano a 1 ó a 1 esté r). El ajuste se entiende como la proximidad del valor de la y de los puntos al valor de la y que resulta de aplicar la ecuación de la recta sustituyendo la x de los puntos. Error para el punto i-ésimo. (x i, y i ) El error puede ser positivo o negativo, por lo que consideraremos el error elevado al cuadrado (error cuadrático). Cada punto de la nube tendrá un error cuadrático, elegiremos, de entre todas las posibles rectas, aquella para la que el promedio de los errores cuadráticos sea menor (mínimo error cuadrático medio). 11 Regresión Lineal II ECM=128,31 ECM=20,

7 Regresión Lineal III La recta y = a + bx que proporciona un menor ECM verifica: En el ejemplo de la diapositiva 14: 13 El Coeficiente de Determinación Lineal (R 2 ) Viendo la ecuación de la recta de regresión junto a la nube de puntos podemos apreciar que el ajuste es bastante bueno, es decir, la recta de regresión es un buen modelo para explicar la relación lineal existente entre la variable x y la variable y. Necesitamos un estadístico que mida de forma cuantitativa la calidad del ajuste. Definimos el coeficiente de determinación lineal R 2 como el cuadrado del coeficiente de correlación y lo interpretaremos como la proporción de la variabilidad de la variable y explicada por el modelo de regresión y = a + bx. En el ejemplo anterior, al ser r = 0,95: R 2 = 0,91. El modelo explica el 91% de la variabilidad de y a partir de la variabilidad de x. 14 7

8 Ejemplo 1 Se realiza un estudio para establecer una ecuación mediante la cual se pueda utilizar la concentración de estrona en saliva (X) para predecir la concentración del esteroide en plasma libre (Y). Se extrajeron los siguientes datos de 14 varones sanos: E(Y x) = 15,85 + 2,26x Por cada unidad que aumenta la concentración de estrona en saliva, la concentración de estrona en plasma aumenta, en promedio, 2,26 unidades. Para los individuos cuya concentración de estrona en saliva es 0 la concentración de estrona en plasma es, en promedio, 15,85 unidades. 15 Ejemplo 2 En la siguiente tabla se muestra la incidencia de bebés nacidos con Síndrome de Down de madres australianas desde 1942 hasta 1952, agrupando a las madres por edad, en siete categorías. 16 8

9 Ejemplo 2 Para las madres de 20 años, el ratio de recién nacidos con Síndrome de Down, por cada nacidos vivos, es, en promedio, 3,91. Restando: Por cada año que aumenta la edad de la madre, la probabilidad de que el recién nacido tenga Síndrome de Down aumenta, en promedio, un 14%. Ejemplo 2 Por cada año que aumenta la edad de la madre, la probabilidad de que el recién nacido tenga Síndrome de Down aumenta, en promedio, un 14%. Hasta los 35 años: Por cada año que aumenta la edad de la madre, la probabilidad de que el recién nacido tenga Síndrome de Down aumenta, en promedio, un 6,7%. Desde los 35 años: Por cada año que aumenta la edad de la madre, la probabilidad de que el recién nacido tenga Síndrome de Down aumenta, en promedio, un 21,9%. 18 9