Funciones construidas para realizar de manera automática algunas operaciones: #1: RESTA_COL(M_, i_, j_, r_) SUBTRACT_ELEMENTS(M_`, i_, j_, r_)`

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1 Funciones construidas para realizar de manera automática algunas operaciones: #1: RESTA_COL(M_, i_, j_, r_) SUBTRACT_ELEMENTS(M_`, i_, j_, r_)` La función RESTA_COL(M,i,j,r) resta a la columna i de la matriz M la columna j multiplicada por el valor r (como la orden SUBTRACT_ELEMENTS pero para las columnas de la matriz) #2: SWAP_COL(M_, i_, j_) SWAP_ELEMENTS(M_`, i_, j_)` La función SWAP_COL(M,i,j) intercambia las columnas i y j de la matriz M (como la orden SWAP_ELEMENTS pero para las columnas de la matriz) #3: Force1(M_, i_, j_, p_) FORCE0(M_`, j_, i_, p_)` La función FORCE1(M,i,j,p) hace 0 el elemento ij de la matriz M operando con la columna p, es decir, hace Col_j - (m_ij/m_ip) Col_p (como la orden FORCE0 pero para las columnas de la matriz). Notad que FORCE0 es como SUBTRACT_ELEMENTS (luego que FORCE1 es como RESTA_COL) pero sin poner el valor concreto para la operación, sólo hay que indicarle de donde debe tomarlo Ejercicio #4: A #5: w1 [1, 1, 1, 1, 1, 1] #6: w2 [0, -1, -1, -1, -1, -1] #7: w3 [0, 0, 1, 1, 1, 1] #8: w4 [0, 0, 0, -1, -1, -1] #9: w5 [0, 0, 0, 0, 1, 1] #10: w6 [0, 0, 0, 0, 0, -1] a) #11: (P(x) CHARPOLY(A1, x)) = P(x) x (x - 4 x + x + 10 x - 4 x - 8) Página: 2

2 b) #12: EIGENVALUES(A1) = [0, -1, 2] #13: P(x) Pa1(x) = Pa1(x) x - 4 x + x + 10 x - 4 x - 8 x #14: Pa1(0) = -8 Luego λ1=0 con multiplicidad 1 #15: Pa1(x) Pa2(x) = Pa2(x) x - 5 x + 6 x + 4 x - 8 x + 1 #16: Pa2(-1) = 0 #17: Pa1(x) 3 2 Pa2(x) = Pa2(x) x - 6 x + 12 x (x + 1) #18: Pa2(-1) = -27 Luego λ2=-1 con multiplicidad 2 #19: Pa2(x) 2 Pa3(x) = Pa3(x) x - 4 x + 4 x - 2 #20: Pa3(2) = 0 #21: #22: Pa2(x) Pa3(x) = Pa3(x) x (x - 2) Pa2(x) Pa3(x) = Pa3(x) 1 3 (x - 2) y λ3=2 con multiplicidad 3 c) El autovalor de mayor valor absoluto es 2, luego queremos comprobar si T(v)=2v para alguno de los dos vectores. Como T(v)=2v si [T(v)]_B=[2v]_B y sabemos que [T(v)]_B=A1 [v]_b y [2v]_B=2[v]_B, bastará encontrar las coordenadas de cada uno de esos vectores v y comprobar si cumple la igualdad A1 [v]_b - 2[v]_B = 0. Llamaremos vec1=[w1+w3-w4+2 w6]_b y vec2=[2 w2-4 w3+3 w1-3 w5+3 w4+3 w6]_b #23: vec Página: 3

3 #24: vec #25: #26: A1 vec1-2 vec1 = A1 vec2-2 vec2 = Luego el primero no cumple la condición, pero sí el segundo. d) Consideremos la matriz M(λ)=λ I-A1, como las coordenadas en la base B de los vectores de un V(λ) son las soluciones del sistema M(λ) X=0, para conocer la dimensión basta con obtener el rango de M(λ). Pues tenemos que dim(v(0))=6-rang(m(0)), dim(v(-1))=6-rang(m(-1)) y dim(v(2))=6-rang(m(2)). Entonces #27: M(λ) λ IDENTITY_MATRIX(6) - A1 Página: 4

4 #28: #29: λ λ λ M(λ) = λ λ λ (Ms0 ROW_REDUCE(M(0))) = Ms Luego dim(v(0))=6-rang(m(0))=6-5=1 #30: (Ms1 ROW_REDUCE(M(-1))) = Ms Luego dim(v(-1))=6-rang(m(-1))=6-4=2 Página: 5

5 #31: (Ms2 ROW_REDUCE(M(2))) = Ms Luego dim(v(2))=6-rang(m(2))=6-3=3 e) Sí se cumplen, pues el polinomio característico tiene las 6 raices reales P(λ)=(λ-0) (λ+1)^2 (λ-2)^3 y se cumple para cada autovalor la dim(v(λ)) coincide con su multiplicidad dim(v(0))=1, dim(v(-1))=2 y dim(v(2))=3. En consecuencia la matriz es diagonalizable. f) Basta para ello con obtener una base de los espacios de las soluciones de los sistemas considerados en el apartado d). Como ya hemos obtenido la matriz escalonada reducida de las matrices M(0), M(-1) y M (2), obtenemos la solución directamente a partir de ellas: Para V(0): de la matriz Ms0 tenemos que [x1,x2,x3,x4,x5,x6] = [x6/2, 0, x6/2, 0, -x6/2, x6 ] = x6 [1/2,0,1/2,0,-1/2,1]. Luego el vector de coordenadas S01 es lo pedido: #32: S Para V(-1): de Ms1 tenemos que [x1,x2,x3,x4,x5,x6] = [2 x5+x6, x5-x6, x5+x6, -x5, x5, x6 ] = x5 [2,1,1,-1,1,0]+x6 [1,-1,1,0,0,1]. Luego S11 y S12 es lo pedido: #33: S Página: 6

6 #34: S y para V(2): de Ms2 tenemos que [x1,x2,x3,x4,x5,x6] = x4 [1,1/3,-5/3,1,0,0]+x5 [0,1/3,1/3,0,1,0]+x6 [0,2/3,2/3,0,0,1]. Luego S21, S22 y S23 es lo pedido: #35: #36: #37: S S S g) Como los vectores columna S01, S11, S12, S21, S22 y S23 son las coordenadas en la base B de los Página: 7

7 vectores de la base en que diagonaliza la matriz A1, será: #38: P1 APPEND_COLUMNS(S01, S11, S12, S21, S22, S23) #39: #40: P1 = P1 A1 P1 = h) En R^6 un vector coincide con sus coordenadas en la base canónica, luego si obtenemos la matriz de paso de B* a la base canónica, los vectores de B* serán las columnas de la matriz. P1 es la matriz de paso de B* a B y obtener la matriz Pe de paso de la base B a la canónica es tan sencillo como como colocar los vectores de B como columnas de la matriz. Luego: #41: (Pe [w1, w2, w3, w4, w5, w6]`) = Pe y la matriz de paso de B* a la base canónica es por tanto: Página: 8

8 #42: Pe P1 = cuyas columnas son los vectores de R^6 que forman la base B* Ejercicio #43: A #44: v1 [2, -1, 0, 0, 0] #45: v2 [-1, 2, -1, 0, 0] #46: v3 [0, -1, 2, -1, 0] #47: v4 [0, 0, -1, 2, -1] #48: v5 [0, 0, 0, -1, 2] a) Una forma cuadrática respecto a las coordenadas en una base fija, puede construirse mediante múltiples matrices, pero sólo una de ellas es simétrica y es a esa matriz simétrica a la que se denomina matriz de la forma cuadrática asociada a la base. Veamos si A2 es simétrica para comprobar si es S o no #49: A2 - A2` = Luego no es simétrica y no es la S buscada. Obtenemos entonces S en la forma Ej 2 Página: 9

9 #50: A2 + A2` S = S b) Vamos a obtener D haciendo operaciones elementales en las filas y las columnas de S. Como en el apartado siguiente nos piden también la matriz P2 de paso a la nueva base, juntaremos A2 con la Identidad, para realizar todas las operaciones a la vez. Hay que realizar la operación elemental en las filas de A2 y repetir la misma con las columnas hasta llegar a la diagonal; y para obtener P2 ha que realizar unicamente las operaciones en las columnas de la Identidad, luego si colocamos I debajo de A2, cada operación en las columnas de A2 se hace también en las columnas de I. Entonces: #51: P20 IDENTITY_MATRIX(5) #52: (St APPEND(S, P20)) = St En cada paso, hacemos un cero con las filas y a continuación tenemos que hacer el mismo cero en las columnas. Así, si usamos la funcion FORCE0 o SWAP_ELEMENTS para realizar la operacion en las filas, luego debemos usar la función correspondiente para realizar la misma operación en las columnas; es decir, cada paso realiza la operacion en las filas y las columnas. Luego si anidamos ambas funciones realizaremos als dos operaciones de una sola vez, o mejor aún si construimos una función que lo haga, como la función construida debajo: #53: diagn(m_, i, j, r) Force1(FORCE0(M_, i, j, r), j, i, r) Así, hacemos 0 el 45 de la posición 31 y el 45 de la posición 13 Página: 10

10 #54: (st1 diagn(st, 2, 1, 1)) = st Hacemos 0 el -27 de la posición 41 y el -27 de la posición 14 #55: (st2 diagn(st1, 3, 1, 1)) = st y sucesivamente... Página: 11

11 #56: #57: (st3 diagn(st2, 4, 1, 1)) = st (st4 diagn(st3, 5, 1, 1)) = st Página: 12

12 #58: #59: (st5 diagn(st4, 3, 2, 2)) = st (st6 diagn(st5, 4, 2, 2)) = st Página: 13

13 #60: #61: (st7 diagn(st6, 5, 2, 2)) = st (st8 diagn(st7, 4, 3, 3)) = st Página: 14

14 #62: (st9 diagn(st8, 5, 3, 3)) = st Página: 15

15 #63: (st10 diagn(st9, 5, 4, 4)) = st Donde teniamos colocada A2 ya hemos conseguido una diagonal y donde estaba I tenemos P2. Luego #64: (D2 st10 ROW [1, 2, 3, 4, 5]) = D d) Y la matriz P2 es Página: 16

16 #65: (P2 st10 ROW [6, 7, 8, 9, 10]) = P que en efecto cumple que P` A2 P2 = D2 #66: P2` S P2 = d) Como en el apartado h) del Ejercicio 1, como P2 es la matriz de paso de B* a B, si obtenemos la matriz de paso de B a la canónica de R^5, las columnas de la matriz de paso de B* a la canónica serán los vectores de B*. Entonces: #67: (Pe2 [v1, v2, v3, v4, v5]`) = Pe Página: 17

17 #68: Pe2 P2 = cuyas columnas son los vectores de R^5 que forman la base B*. e) Como en la diagonal de D2 hay tanto elementos positivos como negativos, la forma cuadrática es indefinida. #69: fin Página: 18