MURCIA / JUNIO 0. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder solo a una sola de las dos cuestiones de cada uno de los bloques. La puntuación de las dos cuestiones de cada bloque es la misma y se indica en la cabecera. BLOQUE 1 (3 puntos) En un taller de carpintería se fabrican mesas de cocina de formica y de madera. Las de formica se venden a 10 euros y las de madera a 80 euros. La maquinaria del taller condiciona la producción, por lo que no se pueden fabricar al día más de 40 mesas de formica ni más de 30 de madera ni más de 50 en total. Si venden todo lo que fabrican, cuántas mesas de cada tipo les convendría fabricar para ingresar por su venta la máxima cantidad de dinero posible? Por 9 entradas de Butaca de Patio (BP), 6 de Anfiteatro I (AI) y 9 de Anfiteatro II (AII) ha pagado 480 euros. A otra persona le han cobrado 140 euros por 4 de AI y 6 de AII y una tercera persona paga 160 euros por 3 de BP, de AI y 3 de AII. a) Determine, sólo con estos datos, el precio de la Butaca de Patio.(1,5 puntos) b) Puede determinar el precio de las entradas de Anfiteatro I y II? (0,5 puntos) c) Si le dicen que el precio las de Anfiteatro I es el doble que las de Anfiteatro II, podría entonces determinar esos precios? Si la respuesta es sí, determínelos. (1 pto) BLOQUE ( puntos) Dos compañías de telefonía móvil C 1 y C ofrecen las siguientes tarifas: - C 1 cobra 4 euros fijos al mes y 0,6 euros por minuto desde el primer minuto. - C cobra 57 euros fijos al mes, que dan derecho a 40 minutos gratis al mes y, a partir de los primeros 40 minutos, cada minuto más lo cobra un 5% más barato que la otra compañía. a) Escriba las expresiones de las funciones T 1 (t) y T (t) que dan el precio a pagar en cada una de las compañías cuando se usa el teléfono t minutos al mes. (1 punto) b) Determine cuál es la compañía más ventajosa para el usuario, en función de los minutos que se use el teléfono al mes. (1 punto) El índice de inflación de un país fue variando con el paso de los meses de un cierto t 8t año según la función: I( t) = 3 +. 40 a) Durante qué meses el índice de inflación fue subiendo y durante cuales bajando? ( 1 punto)
MURCIA / JUNIO 0. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO b) Cuáles fueron los valores máximo y mínimo del índice de inflación de ese año y en qué meses se alcanzaron? (1 punto) BLOQUE 3 (1,5 puntos) x Dada la curva: y =, se pide: 1+ x a) Domino y asíntotas. (0, puntos) b) Simetrías y corte con los ejes. (0, puntos) c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (0,3 puntos) d) Máximos y mínimos. (0,3 puntos) e) Una representación aproximada de la misma. (0,5 puntos) Encuentre el área determinada por la parábola y = x + 5 y la recta y = 9. BLOQUE 4 (1,5 puntos) De una baraja se extraen simultáneamente tres cartas al azar. Encuentre la probabilidad de que: a) Las tres cartas sean bastos. (0,75 puntos) b) Alguna de las cartas sea un oro. (0,75 puntos) Una urna A contiene bolas blancas y una negra y otra urna B contiene bolas negras y una blanca. Se extraen dos bolas de la urna A y, sin mirar el color, se introducen en la B. A continuación se extrae una bola de la urna B. Cuál es la probabilidad de que esa bola sea negra? BLOQUE 5 ( puntos) Preguntadas 100 personas de cierta ciudad, elegidas al azar, si leen el periódico al menos una vez a la semana, sólo 40 han contestado que sí. Encuentre un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 99 %, para la proporción de personas de esa ciudad que leen el periódico al menos una vez a la semana.
MURCIA / JUNIO 0. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO Al lanzar 5000 veces una moneda al aire salieron 3000 caras. Se puede aceptar, con un nivel de significación de 0,05, que la moneda no está trucada?
MURCIA / JUNIO 0. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO Soluciones a la cuestión 1 de cada bloque B1- C1 Se trata de un problema de programación lineal. Llamando x al número de mesas de formica e y al de mesas de madera se tiene: Función objetivo (maximizar los ingresos): Maximizar I(x, y) = 10x + 80y restringido por: x 40 y 30 x + y 50 x 0; y 0 Estas restricciones generan la región factible dada en la figura adjunta. Como sabemos, la solución óptima se da en alguno de sus vértices, que son: O = (0, 0), P = (0, 30), Q: y = 30 x + y = 50 R: x = 40 x + y = 50 R = (40, 10), S = (40, 0) Los ingresos para esos niveles de producción son: En O, I(0, 0) = 0. En P, I(0, 30) = 8400 En Q, I(0, 30) = 1600. Es la solución buscada. En R, I(40, 10) = 1100 En S, I(40, 0) = 8400. Q = (0, 30),
MURCIA / JUNIO 0. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO Conviene fabricar 0 mesas de formica y 30 de madera. Los ingresos serán de 1600 euros. B- C1 a) Cuando se usa el teléfono t minutos al mes, el precio para cada compañía será: T ( t) = 4 0, 6t 1 + 57, T ( t) = 57 + 0,6 0,95( t 40), b) Distinguimos los casos t 40 y t > 40. 0 < t 40 57, = t > 40 34, + 0,57t, 0 < t 40 t > 40 Para t 40, es más barata la primera compañía pues: 4 + 0,6t < 57. Para t > 40, hay que resolver la inecuación 4 + 0,6t 34, + 0,57t 0,03t 10, t 340 Por tanto, C 1 es más barata hasta los 340 minutos; a partir de ese tiempo conviene contratar con C. Puede ser interesante verlo gráficamente. B3- C1 a) Está definida para todo número real Dominio: R x La función tiene una asíntota horizontal, la recta y = 0, pues: lím 0 1+ = x x No tiene más asíntotas.
MURCIA / JUNIO 0. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO b) La gráfica es impar: f( x) = f(x) simétrica respecto del origen. Pasa por el origen punto (0, 0). No hay más cortes. c) Derivamos. 1+ x x 1 x y = = la derivada se anula en x = 1 y en x = 1. (1 + x ) (1 + x ) Si x < 1, y < 0 la curva es decreciente. Si 1 < x < 1, y > 0 la curva es creciente. Si x <, y < 0 la curva es decreciente. d) En x = 1 hay un mínimo (la función decrece a su izquierda y crece a su derecha) punto ( 1, 1/). En x = 1 hay un máximo (la función crece a su izquierda y decrece a su derecha) punto (1, 1/). e) Con los datos obtenidos y calculando algunos puntos, por ejemplo (1, 1/5), (3, 1/10), y observando que la función es impar, se tiene la siguiente curva. : B4- C1 Se trata de un experimento aleatorio sin reemplazamiento. a) Si llamamos B al suceso ser de bastos, se tiene: = P(las tres cartas sean bastos) = P(B, B, B)) = P(B) P(B/1ª B) P(B/1ª y ª B) = 10 9 8 40 39 38 b) P(alguna de oros) = 1 P(ninguna de oros) = 1 30 40 9 39 8 38
MURCIA / JUNIO 0. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO B5- C1 El intervalo de confianza para la proporción de la población es: pq p Zα /, p + Zα/ n pq n siendo p la proporción de la muestra, q = 1 p; n, el tamaño muestral yz α/ el valor correspondiente en la tabla normal para una confianza de 1 α. En nuestro caso: para el 99% de confianza, Z α/ =,575; p = 40/100 = 0,4; q = 0,60; y n = 100. Luego, el intervalo de confianza será: 0,40 0,60 0,40 0,60 0,40,575, 0,40 +,575 = 100 100 = (0,40 0,16, 0,40 + 0,16) = (0,74, 0,56)
MURCIA / SEPTIEMBRE 0. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder sólo a una sola de las dos cuestiones de cada uno de los bloques. La puntuación de las dos cuestiones de cada bloque es la misma y se indica en la cabecera del bloque. BLOQUE 1 (3 puntos) El precio de la pensión completa de una residencia es de 30 euros por persona y día. A los niños menores de 10 años se les cobra el 50 % y a las personas mayores de 65 el 70 % del precio. Determine el número de niños de menos de 10 años y de personas mayores de 65 que había cierto día en la residencia, si se sabe que: había 00 personas, el número de mayores de 65 era igual al 5 % del número de niños y se recaudaron 460 euros por las pensiones completas de todas ellas. Para que un gato lleve una dieta correcta, el veterinario ha indicado que necesita ingerir al día al menos 3 unidades de hidratos de carbono (HC), 1 de proteínas (P) y 8 de grasas (G). En el mercado existen bolsas de dos marcas A y B, cuyo contenido en unidades de estos nutrientes y precio en euros se indica en la siguiente tabla: Marca G HC P Precio A 4 3 1 0,4 euros B 1 5 6 0,4 euros Cuántas bolsas de cada una de las dos marcas debe dar a su gato al día para conseguir cubrir sus necesidades dietéticas al mínimo costo? BLOQUE (1,5 puntos) La fabricación de cierto tipo de objetos se hace en dos fases. La probabilidad de un defecto en la primera fase es de 0,04 y la probabilidad de un defecto en la segunda es de 0,01. Cuál es la probabilidad de que un objeto así fabricado, elegido al a zar, no sea defectuoso? Las probabilidades de que tres tiradores den en el blanco son, respectivamente, de 1/6, 1/4 y 1/3. Cada tirador efectúa un solo disparo. Encuentre la probabilidad de que solamente un tirador dé en el blanco.
MURCIA / SEPTIEMBRE 0. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO BLOQUE 3 (1,5 puntos) Calcule el área comprendida entre las gráficas de las funciones: f(x) = 4 - x, g(x) = + x x + 1 Dada la curva: y =, se pide: x a) Dominio y asíntotas. (0,3 puntos) b) Simetrías y corte con los ejes. (0, puntos) c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (0,3 puntos) d) Máximos y mínimos, si los hay. (0, puntos) e) Una representación aproximada de la misma. (0,5 puntos) BLOQUE 4 (1,5 puntos) Se ha hecho un estudio de mercado y se ha llegado a la conclusión de que el número de unidades y que se pueden vender de cierto artículo está relacionado con el precio x, al que se venda cada unidad, mediante la expresión: y = 400-3x. Determine a qué precio debe ponerse cada unidad para alcanzar el máximo ingreso por las ventas. Cuántas unidades se venderían a ese precio y cuál será el ingreso máximo. Un Banco ha lanado dos nuevos productos: la Cuenta Azul y la Cuenta Viva. Los intereses que el Banco ofrece en ambas varían en función del saldo de la siguiente forma: En la Cuenta Azul ofrece un 1 % sobre el saldo, sin gasto ninguno, para saldos inferiores a 6000 euros y un 3 %, menos 10 euros de gastos, para saldos superiores a esa cantidad. En la Cuenta Viva ofrece un,5 % sobre el saldo, menos 60 euros de gastos, independientemente del saldo que se tenga. Determine para qué valores del saldo es preferible la Cuenta Azul a la Cuenta Viva. BLOQUE 5 ( puntos)
MURCIA / SEPTIEMBRE 0. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO De una muestra de 400 jóvenes españoles de 5 años, elegidos al zar, sólo 60 no vivían con sus padres. Determine un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 95 %, para el porcentaje de los jóvenes españoles que no viven con sus padres a los 5 años.. El contenido de leche en las botellas llenadas por cierta máquina envasadora, antes de averiarse, se distribuía según una variable aleatoria normal de media 1000 cm 3 y desviación típica 0 cm 3. Tras la reparación de la avería, la distribución de los contenidos de las botellas envasadas por la máquina sigue siendo normal con desviación típica de 0 cm 3, pero al tomar una muestra de 5 botellas llenadas por la máquina reparada se obtiene una media de sus contenidos de 1010 cm 3. Determine si se debe aceptar la hipótesis de que la media de los volúmenes envasados por la máquina tras la reparación sigue siendo de 1000 cm 3, o rechazarla a favor de que la media ha aumentado, con un nivel de significación del 5 %. Soluciones de la cuestión 1 de cada bloque B1- C1 Si: x = número de adultos, y = número de niños, z = número de mayores de 65 entones, se tiene: x + y + z = 00 30x + 30 0,50y + 30 0,70z = 460 z = 0,5 Esto es, el sistema: 30 x + y + z = 00 x + 15y + 1z = 460 z = 0,5y 30 x + 1,5y = 00 x + 0,5y = 460 z = 0,5y 30x + 37,5y = 6000 30x + 0,5y = 460 z = 0,5y Restando E1 E 17,5y = 1380
MURCIA / SEPTIEMBRE 0. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO y = 80; z = 0; x = 100 Ese día había 80 niños y 0 mayores. B- C1 Sean los sucesos: DF1 = defecto en primera fase, DF = defecto en segunda fase. Sus probabilidades son: P(DF1) = 0,04 P(DF) = 0,01 Luego: P(No DF1) = 0,96 P(No DF) = 0,99 Si suponemos que la probabilidad de defecto en ambas fases son sucesos independientes, se tendrá: P(No DF1 y No DF) = 0,96 0,99 = 0,9504 De otro modo: P(DF1 DF) = P(DF1) + P(DF) P(DF1 FD) = = 0,04 + 0,01 0,04 0,01 = 0,0496 y P(No defectuoso en F1 ni en F) = 1 P(DF1 DF) = 1 0,0496 = 0,9504 B3- C1 La situación es la que se muestra en la siguiente figura:
MURCIA / SEPTIEMBRE 0. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO Las gráficas se cortan en x = y en x = 1 (solución de la ecuación 4 x = + x) El área pedida vale: 1 A = ( 4 x ( + x)) dx = ( x x ) dx = 1 x x 3 x 3 1 = 9 B4- C1 Unidades vendidas = y = 400 3x. Precio = x Ingresos = Precio Unidades vendidas = x (400 3x) I(x) = 400x 3x Los ingresos máximos se obtienen cuando I (x) = 0 e I (x) < 0: I (x) = 400 6x = 0 x = 400 I (x) = 6 Efectivamente, para x = 400 se dará el máximo de I(x). Unidades vendidas = 400 3 400 = 100. Precio = 400 Ingresos = 100 400 = 480000 euros. B5- C1 La proporción muestral de jóvenes que no vivían con sus padres era de 60/400 = 0,15 El intervalo de confianza para la proporción de la población es:
MURCIA / SEPTIEMBRE 0. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO pq p Zα /, p + Zα/ n pq n siendo p la proporción de la muestra, q = 1 p; n, el tamaño muestral yz α/ el valor correspondiente en la tabla normal para una confianza de 1 α. En nuestro caso: p = 0,15; q = 0,85; n = 400; Z α/ = 1,96 Luego, el intervalo de confianza será: 0,15 0,85 0, 15 0,85 0,15 1,96, 0,15+ 1,96 = 400 400 = (0,15 0,035, 0,15 + 0,035) = (0,115, 0,185) EL porcentaje de la población de jóvenes de 5 años que no vive con sus padres, está entre el 11,5 % y el 18,5 %.
MURCIA / JUNIO 03. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO OBSERVACIONES IMPORTANTES : El alumno deberá responder sólo a una sola de las dos cuestiones de cada uno de los bloques. La puntuación de las dos cuestiones de cada bloque es la misma y se indica en la cabecera del bloque BLOQUE 1 (3 puntos) En un estudio de mercado, se eligen tres productos, A, B y C y cuatro tiendas. En la primera, por una unidad de cada producto cobran, en total, 4,5 euros. En la segunda, unidades de A y 3 de C valen 8,5 euros más que una unidad de B. En la tercera, una unidad de A y de C valen 4 euros más que unidades de B y, en la cuarta, una unidad de B vale 1,5 euros menos que una de C. Tienen A, B y C el mismo precio en las cuatro tiendas o no? Si la respuesta es no, justifique por qué y si la respuesta es sí, diga cuál es ese precio. Se dispone de 60 cuadernos, 50 carpetas y 40 rotuladores que se agrupan en dos tipos de lotes, los del tipo I, con cuadernos, 1 carpeta y rotuladores, que se venden a 4 euros y los del tipo II, con 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 rotulador, que se venden a 5 euros. Si se venden todos los lotes que se hagan: (a) Cuántos se deben hacer de cada tipo para ganar lo máximo posible? [.5 PUNTOS] (b) Sobrarán rotuladores, carpetas o cuadernos después de vender todos los lotes? [0.5 PUNTOS] BLOQUE ( puntos) Una empresa fabrica 30 máquinas diarias, que pueden ser de dos tipos: A y B. Si fabrica x máquinas de tipo A e y de tipo B, el coste de producción es de 5 x 3 + 500 y 48000 3 euros al día. (a) Cuántas máquinas de cada tipo debe fabricar, para minimizar el coste de producción diario? [1.75 PUNTOS] (b) Encuentre ese coste de producción mínimo. [0.5 PUNTOS] Calcule el área comprendida entre los semiejes positivos de abscisas y ordenadas y la gráfica de la parábola y = 4 ( x 1) BLOQUE 3 (1,5 puntos) Suponga que en su casa hay un cuarto de baño con ducha y otro con bañera. Los caudales de agua que salen por la ducha y por el grifo de la bañera son,
MURCIA / JUNIO 03. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO respectivamente, de 1 litros/minuto y 9,6 litros/minuto. Si decide bañarse necesita tener abierto el grifo de la bañera durante 10 minutos para que se llene. El agua caliente del baño proviene de un termo eléctrico y calentarla hasta la temperatura que le gusta cuesta 0,01 euro por litro. El agua de la ducha se calienta con un calentador de gas y calentarla a esa temperatura sale por 0,8 céntimos de euro por litro. Cuánto tiempo puede durar una ducha para que le salga más barato que darse un baño? x Dada la curva: y =, se pide: x 4 a) Dominio y asíntotas. [0. PUNTOS] b) Simetrías y cortes con los ejes. [0. PUNTOS] c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. [0.4 PUNTOS] d) Máximos y mínimos, si los hay. [0. PUNTOS] e) Una representación aproximada de la misma. [0.5 PUNTOS] BLOQUE 4 (1,5 puntos) Una urna contiene 1 bolas negras y dos blancas. Si se sacan cuatro bolas al azar, cuál es la probabilidad de que todas sean negras? Se tienen dos urnas, A y B, la A contiene 4 bolas azules y tres rojas y la B 4 azules y 6 rojas. Se extrae una bola de la urna A y se introduce en la B y a continuación se extrae una bola de la urna B. Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea roja? BLOQUE 5 ( puntos) El Director de Recursos Humanos de una Compañía afirma que las edades de sus empleados tienen una media de 40 años y una varianza de 5 años. Si se pregunta la edad a 5 empleados elegidos al azar y se observa que la media de las edades de esta muestra es de 41,35 años, se puede aceptar la hipótesis de que la edad media de los empleados es de 40 años con un nivel de significación del 5 %, o, más bien, nos debemos inclinar por aceptar que la edad media es mayor de 40 años? Se desea determinar el porcentaje de jóvenes de entre 14 y 19 años que necesitan llevar gafas en cierto instituto. Qué tamaño de muestra debemos escoger para que, al tomar el porcentaje muestral como aproximador del porcentaje poblacional, cometamos un error máximo del 10 %, con un nivel de confianza del 95 %?
MURCIA / JUNIO 03. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO SOLUCIONES Solución de la cuestión 1 de cada bloque Bloque 1, cuestión 1 Supongamos que los precios son los mismos en las cuatro tiendas, y que son x, y, z, respectivamente, para los productos A, B y C. Se tendría el sistema: x + y + z = 4,5 x + 3z = 8,5 y x + + z = 4 + y y z = 1,5 Si este sistema tiene solución, los precios serán los mismos en las cuatro tiendas; en caso contrario, los precios serán distintos. Pasamos todas las incógnitas a los primeros miembros para resolverlo por el método de Gauss: x + y + z = 4,5 x y + 3z = 8,5 x y + z = 4 y z = 1,5 x + y + z = 4,5 3y + z = 0,5 y = 1,50 E E1 E3 E1 x + y + z = 4,5 3y + z = 0,5 3y + z = 0,5 y z = 1,5 se suprime E 4 + E El sistema tiene solución. Los precios son: y = 0.75; z = ; x = 1,5. Bloque, cuestión 1 Es un problema de optimización. Se trata de minimizar 5 3 C ( x, y) = x + 500 y 48000 3 con la condición de que x + y = 30
MURCIA / JUNIO 03. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO Despejando, (y = 30 x), y sustituyendo, se tiene: 5 3 5 3 C ( x) = x + 500(30 x) 48000 C ( x) = x 500x + 7000 3 3 Esta función es mínima cuando: C (x) = 0 y C (x) > 0 C ( x) = 5x 500 = 0 x = 10 C ( x) = 5x C (10) = 50 > 0. Efectivamente, para x = 10 se da el mínimo. Hay que fabricar 10 máquinas del tipo A y 0 del tipo B. b) El coste mínimo será: 5 3 31000 C (10,0) = 10 + 500 0 48000 = 10333 euros. 3 3 Bloque 3, cuestión 1 Organizamos la información: Caudal, litros/minuto Tiempo, en minutos Coste por litro Ducha 1 x 0,008 Baño 9,6 10 0,01 Coste total de la ducha: 1 0,008 x = 0,096x Coste del baño: 9,6 10 0,01 = 0,96 La ducha es más barata que el baño si 0,096x < 0,96 x < 10 minutos Bloque 4, cuestión 1 Se trata de un experimento aleatorio sin reemplazamiento. Si llamamos N al suceso la bola es negra, se tendrá: P(las cuatro bolas negras) = P(N, N, N, N) = = P(N) P(N/1ª N) P(N/1ª y ª N) P(N/1ª, ª y 3ª N) =
MURCIA / JUNIO 03. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO = 1 11 10 9 45 = 14 13 1 11 91 Bloque 5, cuestión 1 Se trata de un contraste de hipótesis, de una cola: Hipótesis nula, H 0 : µ = x Hipótesis alternativa, H 1 : µ < x Se admite que la media poblacional ha aumentado, para una significación α, cuando σ x > µ + Zα, n siendo µ y σ los parámetros poblacionales (media y desviación típica poblacional), x la media muestral y Z el valor correspondiente, para una distribución normal, con una confianza de 1 α. En nuestro caso: α µ = 40, σ = 5, x = 41,35, n = 5, α = 0,05 yz α = 1,645. Luego: µ + Zα σ n 5 = 40 + 1,645 = 41,645 5 Como x = 41,35 < 41,645, no se admite que la media de edad es mayor de 40 años; en consecuencia, se sigue aceptando que la media de edad es de 40 años..
REGIÓN DE MURCIA / SEPTIEMBRE 03. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES OBSERVACIONES IMPORTANTES : El alumno deberá responder sólo a una sola de las dos cuestiones de cada uno de los bloques. La puntuación de las dos cuestiones de cada bloque es la misma y se indica en la cabecera del bloque BLOQUE 1 (3 puntos) Pedro se ha comprado en las rebajas, por 14 euros, un suéter, unos pantalones y unos zapatos. El suéter estaba rebajado un 0 %, los pantalones un 15% y los zapatos un 50 %, respecto a sus precios originales. Antes de las rebajas, los pantalones valían un 0% más que el suéter y con la rebaja los pantalones y los zapatos le han costado lo mismo. Calcule los precios originales de las tres cosas. Una finca necesita al día 9 kg de abono nitrogenado (N), 5 de abono fosforado (P) y 6 de potasio (K). En la Cooperativa Agrícola se venden dos tipos de cajas. Las de tipo A llevan una bolsa con 1 kg de N, otra con 1 kg de P y otra con kg de K y valen euros. Las de tipo B tiene una bolsa con 3 kg de N, otra con 1 kg de P y otra con 1 kg de K y valen 3 euros. (a) Cuántas cajas de cada tipo deberán comprarse para cubrir las necesidades de la finca con mínimo gasto? [.5 PUNTOS] (b) Cuál es ese mínimo gasto necesario? [0.5 PUNTOS] (c) Qué tipos de abono se aprovecharán completamente y de cuáles sobrarán? [0.5 PUNTOS] BLOQUE ( puntos) Determine las dimensiones del marco rectangular de área máxima que se podría construir con metros lineales de perfil de aluminio. Halle el área de la región del plano limitada por el eje OX, la curva recta x =. BLOQUE 3 (1,5 puntos) y = x 3 x y la Un vendedor puede elegir entre dos tipos de contrato. Al mes cobraría: Con el de tipo A, 900 euros fijos, más el 1 % de lo que exceda de 6000 euros el valor de sus ventas. Con el de tipo B, 500 euros fijos, más el % de lo que exceda de 1000 euros el valor de sus ventas. (a) Para cada tipo de contrato, escriba las expresiones que dan el sueldo del vendedor en función de lo que venda. [0.8 PUNTOS]
REGIÓN DE MURCIA / SEPTIEMBRE 03. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (b) Represente gráficamente esas dos funciones. [0.5 PUNTOS] (c) Cuánto debe vender para que sea más ventajoso el contrato B? [0.7 PUNTOS] Dada la curva y = x( x 3x 9), se pide: (a) Dominio y asíntotas. [0. PUNTOS] (b) Simetrías y cortes con los ejes. [0. PUNTOS] (c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. [0.5 PUNTOS] (d) Máximos y mínimos. [0.4 PUNTOS] (e) Una representación aproximada de la misma. [0.7 PUNTOS] BLOQUE 4 (1,5 puntos) En un dado trucado se verifica que: P(1) = P() = P(6) = r P(3) = P(4) = P(5) = s Sabiendo que la probabilidad de que al lanzar el dado salga una puntuación mayor que 3 es de 3/5, encuentre los valores de r y s. Se extraen sucesivamente tres bolas de una urna que contiene 4 bolas blancas, 3 rojas y negras. Determine la probabilidad de extraerlas en el orden: 1ª blanca, ª roja y 3ª negra, si las extracciones son: (a) Con devolución. (b) Sin devolución. BLOQUE 5 ( puntos) Se desea estimar la media de la producción diaria de leche de determinada raza de cabras, con un error menor que 0,5 litros y un nivel de confianza del 95 %. Si de estudios anteriores se sabe que la desviación típica de esa producción diaria de leche es de 0,5 litros, qué tamaño de muestra debemos tomar? El Ministerio de Educación y Cultura desea conocer el interés de los padres por la introducción de la primera Lengua Extranjera en el Primer Curso de Primaria. Encuestados 104 padres elegidos al azar, el 80% está favor. Cuál es el intervalo de confianza para el porcentaje de los padres que están a favor de esta medida, con un nivel de confianza del 0,99?
REGIÓN DE MURCIA / SEPTIEMBRE 03. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES Solución de la cuestión de cada bloque Bloque 1, cuestión a) Se trata de un problema de programación lineal. Con los datos anteriores se obtiene: Cajas Cantidad N P K Coste Tipo A x 1 x 1 x x x Tipo B y 3 y 1 y 1 y 3 y Necesidad 9 5 6 El objetivo es minimizar el coste: C(x, y) = x + 3y restringido por: x + 3y 9 (1) x + y 5 () x + y 6 (3) x 0; y 0 Estas restricciones generan la región factible (sombreada) en la siguiente figura. Como sabemos, la solución óptima máximo o mínimo se da en alguno de los vértices de la región factible. Para determinarlo, recurrimos al trazado de las rectas de nivel, cuya ecuación es x + 3y = k. Si trazamos una cualquiera de ellas, por ejemplo, x + 3y = 6 y se traslada hacia la derecha (así aumenta su nivel, en el sentido del vector (, 3)), el primer punto de contacto de la región factible con esas rectas da el mínimo de la función objetivo. Ese punto es R, cuyas coordenadas son: R: x + 3y = 9 x + y = 5 R = (3, )
REGIÓN DE MURCIA / SEPTIEMBRE 03. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES Por tanto, habrá que comprar 3 cajas del tipo A y del tipo B. b) El coste será C(3, ) = 3 + 3 = 1 euros. c) Comprando 3 cajas del tipo A y del tipo B se consiguen 9 kg de N, 5 de P y 7 de K, por tanto, sobrará 1 kg de K, aprovechándose los demás al completo. Bloque, cuestión La región es la sombreada en la siguiente figura. El área viene dada por: 1 3 A = ( x 4 ) x x dx = 4 x 1 1 1 = 4 = 4 9 4 NOTAS: 3 1. y = x x = x( x 1)( x + 1), corta al eje OX en los puntos x = 1, x = 0 y x = 1.. A partir de x = 1 la función es positiva, por tanto, es correcto el valor del área dado más arriba. 3. La gráfica de y = x 3 x puede hacerse dando algunos valores; no es preciso hacer un estudio completo de la función. Bloque 3, cuestión
REGIÓN DE MURCIA / SEPTIEMBRE 03. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES a) Como es un polinomio, su dominio es todo R; por lo mismo, no tiene asíntotas. b) La función no es simétrica, pues: f ( x) = ( x)(( x) 3( x) 9) = x( x + 3x 9) ± f ( x) Corte con los ejes: x ( x 3x 9) = 0 x = 0, x 3x 9 = 0 x = 0, 3 ± 45 x = 3 c) y = x( x 3x 9) = x 3x 9x y = 3x 6x 9 La derivada se anula en x = 1 y en x = 3, soluciones de 3x 6x 9 = 0 Si x < 1, y > 0 la función crece. Si 1 < x < 3, y < 0 la función decrece. Si x > 3, y > 0 la función crece. d) Como c0nsecuecia de lo anterior, la función tiene un máximo en x = 1 y un mínimo en x = 3. (No es preciso recurrir a la derivada segunda.) El máximo vale f ( 1) = 5; el mínimo, f ( 3) = 7 e) Teniendo en cuenta los puntos de corte con los ejes y el máximo y el mínimo, se traza la curva: Bloque 4, cuestión Sean B, R y N los sucesos bola blanca, roja y negra, respectivamente. a) Con devolución. En este caso, los sucesos son independientes; se tendrá:
REGIÓN DE MURCIA / SEPTIEMBRE 03. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES P(B, R, N) = P(B) P(R/1ª B) P(N/1ª B y ª R) = 4 3 8 = 9 9 9 43 b) Sin devolución: P(B, R, N) = P(B) P(R/1ª B) P(N/1ª B y ª R) = Bloque 5, cuestión 4 3 9 8 7 1 = 1 El intervalo de confianza para la proporción de la población es: pq p Zα /, p + Zα / n pq n siendo p la proporción de la muestra, q = 1 p; n, el tamaño muestral yz α / el valor correspondiente en la tabla normal para una confianza de 1 α. En nuestro caso: para el 99% de confianza, Z α / =,575; p = 0,8; q = 0,0; y n = 104. Luego, el intervalo de confianza será: 0,80 0,0 0,80 0,0 0,80,575, 0,80 +,575 = 104 104 = (0,80 0,03, 0,80 + 0,03) = (0,768, 0,83) NOTA: Si se desea más seguridad, puede suponerse que la proporción de la población es p = 0,5. Así se obtiene el intervalo (0,76, 0,84)
MURCIA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO EXAMEN COMPLETO OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a una sola de las dos cuestiones de cada uno de los bloques. La puntuación de las dos cuestiones de cada bloque es la misma y se indica en la cabecera del bloque. Sólo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. BLOQUE 1 (3 puntos) Encontrar tres números A, B y C, tales que su suma sea 10, la mitad de la suma del primero y del último más la cuarta parte del otro sea 95 y la media de los dos últimos sea 80. Un autobús Madrid París ofrece plazas para fumadores al precio de 100 euros y para no fumadores al precio de 60 euros. Al no fumador se le deja llevar 50 kg de peso y al fumador 0 kg. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3000 kg, cuál debe ser la oferta de plazas de la compañía para optimizar el beneficio. BLOQUE ( puntos) Determinar las condiciones más económicas de una piscina abierta al aire, de volumen 3 m 3 con un fondo cuadrado, de manera que la superficie de sus paredes y del suelo necesite la cantidad mínima de material. Hallar el área de la región limitada por las gráficas BLOQUE 3 (1,5 puntos) x Dada la curva: y =, se pide: x 1 a) Dominio y asíntotas. b) Simetrías y cortes con los ejes. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máximos y mínimos, si los hay. e) Una representación aproximada de la misma. f ( x) x x y = 3 g ( x) = x. Calcular a, b, c y d para que sea continua la función f(x) y representarla gráficamente.
MURCIA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO 1 x 3x a f ( x) = b x + c d si si si 3 si 5 si x < x < 3 x < 5 x < 7 7 x BLOQUE 4 (1,5 puntos) Un ordenador personal está contaminado por un virus y tiene cargados dos programas antivirus que actúan independientemente uno del otro. El programa p 1 detecta la presencia del virus con una probabilidad de 0,9 y el programa p detecta el virus con una probabilidad de 0,8. Cuál es la probabilidad de que el virus no sea detectado? En u colegio el 4 % de los chicos y el 1 % de las chicas miden más de 175 cm de estatura. Además el 60 % de los estudiantes son chicas. Si se selecciona al azar un estudiante y es más alto de 175 cm, cuál es la probabilidad de que el estudiante sea chica? BLOQUE 5 ( puntos) Se quiere conocer la permanencia media de los pacientes de un hospital, con el fin de estudiar una posible ampliación del mismo. Se tienen datos referidos a la estancia, expresada en días, de 800 pacientes, obteniéndose los siguientes resultados: x = 8,1 días; s = 9 días. Se pide obtener un intervalo de confianza del 95 % para la estancia media. Se quiere comprobar, con un nivel de significación de 0,05, si una muestra de tamaño n = 0 con media x = 10 procede de una población que se distribuye según una normal de media igual a 14 y desviación típica 3. Solución de la cuestión 1 de cada bloque Bloque 1. Cuestión 1 Supongamos que los números son x, y, z. Las condiciones dadas son:
MURCIA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO x + y + z = 10 1 1 ( x + z) + y = 95 4 y + z = 80 Quitando denominadores y ordenando las incógnitas para resolverlo por el método de Gauss, se tiene: x + y + z = 10 x + y + z = 380 y + z = 160 E1 E3 E E3 x y x = 50 + z = 0 + z = 160 x = 50; y = 40; z = 10 Los números son 50, 40, y 10. Bloque. Cuestión 1 Es un problema de optimización. Se trata de minimizar la superficie de las paredes y del suelo de la piscina. Si sus medidas son x de largo y de ancho, por ser cuadrada, y h de alto, se tiene: Superficie de paredes y fondo: S = x + 4xh. Como su volumen es x h = 3 h = 3 x Sustituyendo en S: 3 S = x + 4x x S = x + 18 x La función S es mínima en las soluciones de S = 0 que hagan positiva a S. 18 S = x = 0 x 3 18 = 0 x = 4 x Como de S. 56 S = +, y para x = 4 toma valores positivos, para ese valor se da el mínimo 3 x Por tanto, las medidas de la piscina deben ser de 4 m de ancho y largo y m de profundidad. Bloque 3. Cuestión 1 a) El dominio de la función es R { 1, 1}.
MURCIA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO Las rectas x = 1 y x = 1 son asíntotas verticales. Es obvio que el límite en esos puntos se hace infinito. Si x 1, f (x) Si x 1 +, f (x) + Si x 1, f (x) Si x 1 +, f (x) + x La recta y = 0, el eje OX, es asíntota horizontal, pues lím = 0 x x 1 Si x, f (x) 0, luego f(x) va por debajo del eje OX Si x +, + f (x) 0, luego f(x) va por encima de la asíntota. x b) La función es impar, pues f ( x) = = f ( x) ( x) 1 Corte con los ejes: si x = 0, y = 0 punto (0, 0). No hay más cortes. x 1 x x x 1 c) Como f ( x) = = es siempre ( x 1) ( x 1) negativa, la función es decreciente en todo punto de su dominio. d) Como siempre es decreciente no hay máximos ni mínimos. (También se podría indicar que la función no tiene puntos con derivada nula.) e) La gráfica aproximada de f(x) es: Algunos puntos: (, /3); ( 1,5, 1,); ( 0,5, /3); (0, 0); (, /3); (1,5, 1,); (0,5, /3). Bloque 4. Cuestión 1 Sea P(p 1 ) = 0,9 y P(p ) = 0,8 Como los antivirus actúan independientemente, la probabilidad de que lo detecten los dos es: P(p 1 p ) = 0.9 0,8 = 0,7 La probabilidad de que lo detecte alguno de los dos es, P(p 1 p ) = P(p 1 ) + P(p ) P(p 1 p ) = 0.9 + 0,8 0,9 0,8 = 0,98 La probabilidad de que el virus no sea detectado es: P(virus no detectado) = 1 P(p 1 p ) = 1 0,98 = 0,0
MURCIA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO Bloque 5. Cuestión 1 El intervalo de confianza de la media poblacional, para las muestras de tamaño muestral n de media x y desviación típica s es: s x Zα /, x + Zα / n s n siendo Z α / el valor correspondiente en la tabla normal para una confianza de 1 α. Para x = 8,1, s = 9, n = 800 y, para el 95 % de confianza, Z α / = 1,96, se tiene: 9 9 8,1 1,96, 8,1+ 1,96 = (8,1 0,6, 8,1 + 0,6) = ( 7,5, 8,7) 800 800 La estancia media está entre 7,5 y 8,7 días.
MURCIA / SEPTIEMBRE 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO EXAMEN COMPLETO OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a una sola de las dos cuestiones de cada uno de los bloques. La puntuación de las dos cuestiones de cada bloque es la misma y se indica en la cabecera del bloque. BLOQUE 1 (3 puntos) En una compañía envasan los bombones en cajas de 50 g, 500 g y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (50 g) que de tamaño mediano (500 g). Sabiendo que el precio del kilo de bombones es de 40 euros y que el importe total de los bombones envasados asciende a 150 euros, cuántas cajas se han envasado de cada tipo? Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 céntimos por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 céntimos por impreso. El estudiante lleva dos bolsas, una para los impresos A, en la que caben 10, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Cuántos impresos tendrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? BLOQUE (1,5 puntos) 3 Hallar los valores de a y b para que la función f ( x) = ax + bx + x + 1 tenga un máximo en el punto x = 1 y un mínimo en el punto x =. Hallar el área comprendida entre las dos parábolas BLOQUE 3 ( puntos) 1 Dada la curva y =, se pide: x 1 (a) Dominio y asíntotas. (b) Simetrías y cortes con los ejes. (c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (d) Máximos y mínimos, si los hay. (e) Una representación aproximada de la curva. x y = e y = x + 3. Cierto artículo se vende a un precio u otro según la cantidad comprada, de acuerdo con los siguientes datos: A 100 euros el kilo, si 0 x < 5
MURCIA / SEPTIEMBRE 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO A 90 euros el kilo, si 5 x < 10 A 75 euros el kilo, si 10 x < 0 A 55 euros el kilo, si 0 x donde x representa el peso en kilos. Escribir la función que representa la ganancia obtenida por el vendedor, representarla gráficamente y estudiar su continuidad. BLOQUE 4 (1,5 puntos) Cuál es la probabilidad de torpedear un barco, sabiendo que sólo pueden lanzarse tres torpedos y que la probabilidad de hacer blanco con un torpedo es 0,0. Una determinada pieza puede ser fabricada por dos máquinas M 1 y M que funcionan independientemente. La máquina M 1 fabrica el 70 % de las piezas y la máquina M el 30 %. El 15 % de las piezas fabricadas por M 1 y el % de las fabricadas por M salen defectuosas. Calcular la probabilidad de que una pieza sea defectuosa. BLOQUE 5 ( puntos) En una determinada población juvenil el peso, en kilos sigue una distribución normal con una desviación típica de 10 kg. Se extrae una muestra aleatoria de 5 jóvenes cuya media muestral es de 48 kg. Para un nivel de significación del 5 %, podemos aceptar la hipótesis de que la media poblacional es de 50 kg? Una agencia de alquiler de automóviles necesita estimar el número medio de kilómetros diarios que realiza su flota de automóviles; para tal fin, en varios días de la semana toma los recorridos de 100 vehículos de su flota y obtiene que la media muestral es de 165 km/día y la desviación típica muestral 6 km/día. Bajo la hipótesis de normalidad de la característica de estudio (número de kilómetros día)), construir un intervalo de confianza para la media de dicha distribución con un nivel de confianza del 95 %. Solución de una de las posibles opciones Bloque 1. Cuestión Se trata de un problema de programación lineal. Llamamos x a los impresos que reparte de la empresa A, e y a los de la empresa B. El objetivo es maximizar el beneficio diario: B(x, y) = 5x + 7y restringido por: x 10 (1) y 100 ()
MURCIA / SEPTIEMBRE 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO x + y 150 (3) x 0; y 0 Estas restricciones generan la región factible (sombreada) en la siguiente figura. Como sabemos, la solución óptima máximo o mínimo se da en alguno de los vértices de la región factible. Estos vértices son: y = 100 O = (0, 0); P = (0, 100); Q : x + y = 150 Q = (50, 100); R = (10, 30); S = (10, 0) El beneficio en cada uno de esos vértices es: En O, B(0, 0) = 0. En P, B(0, 100) = 700 céntimos: 7 euros. En Q, B(50, 100) = 950 céntimos: 9,50 euros En R, R(10, 30) = 810 céntimos: 8,10 euros En S, B(10, 0) = 600 céntimos: 6 euros El beneficio máximo se obtiene repartiendo 50 impresos de la empresa A y 100 de la empresa B. Bloque. Cuestión La región es la sombreada en la siguiente figura.
MURCIA / SEPTIEMBRE 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO Las curvas se cortan en los puntos ( 1, 1) y (1, 1), que son las soluciones del sistema y = x y = x + 3 Como por: x y = va por debajo de y = x + 3 en el intervalo ( 1, 1), el área viene dada A = 1 ( x + 3 x ) dx = 1 1 Bloque 3. Cuestión La función que da la ganancia es: 1 ( 3x + 3) dx = 3 1 ( x + 3x) = ( ) = 4 1 100x 90x G ( x) = 75x 55x si 0 x < 5 si 5 x < 10 si10 x < 0 si 0 x Su gráfica (que puede representarse dando valores) es la siguiente: Como puede verse, la función es discontinua en los puntos x = 5, x = 10 y x = 0. NOTA: si se desea pueden estudiarse los límites laterales en esos puntos. Por ejemplo, en x = 5 sería: si x 5, G(x) = 100x 500 si x 5 +, G(x) = 90x 450. Evidentemente es discontinua. Bloque 4. Cuestión Sean B y D los sucesos pieza buena y defectuosa, respectivamente. Podemos construir el diagrama de árbol siguiente:
MURCIA / SEPTIEMBRE 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO Por la probabilidad total se tiene: P(D) = P(M 1 ) P(D/M 1 ) + P(M ) P(D/M ) = 0,7 0,15 + 0,30 0,0 = 0,111 Bloque 5. Cuestión 1 Aplicaremos un contrate de hipótesis bilateral Hipótesis nula, H 0 : µ = x = 50 Hipótesis alternativa, H 1 : µ x σ Se rechaza la hipótesis nula si x µ > Zα /, siendo σ la desviación típica n poblacional y Z α / el valor correspondiente en la tabla normal para una significación α. En nuestro caso x = 48, µ = 50, σ = 10, n = 5 y, para un nivel de significación del 5 %, Z =1,96, luego α / Z α σ 10 / = 1,96 = 3,9 n 5 Como la diferencia x µ = 50 48 = < 3, 9 no se puede rechazar la hipótesis nula; esto es, podemos aceptar que la media poblacional es de 50 kg.
UNIVERSIDAD DE MURCIA REGIÓN DE MURCIA CONSEJERÍA DE EDUCACIÓN Y CULTURA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOGSE (PLAN 00) Junio 005 MATEMÁTICAS APL. A LAS CC. SOCIALES II. CÓDIGO 67 OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a una sola de las dos cuestiones de cada uno de los bloques. La puntuación de las dos cuestiones de cada bloque es la misma y se indica en la cabecera del bloque. Sólo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. BLOQUE 1 [3 PUNTOS] Estudiar para qué valores de k es compatible el sistema siguiente: x y= 4 1 x+ y= x+ ky = Resolverlo para los valores de k que lo hacen compatible indeterminado. Un grupo de alumnos formado por veinte chicas y diez chicos organizan un viaje. Para que el viaje les salga más económico deciden pedir trabajo por las tardes en una compañía que se dedica a realizar encuestas y que contrata a equipos de jóvenes de dos tipos: Tipo A: Parejas (una chica y un chico). Tipo B: Equipos de cuatro (tres chicas y un chico). La compañía paga 30 euros por la tarde de la pareja y 50 euros por la tarde del equipo de cuatro. (a) Cómo les conviene distribuirse para sacar la mayor cantidad posible de dinero? (b) Y si les pagara 30 euros por la tarde de la pareja y 30 euros por la tarde del equipo de cuatro? BLOQUE [ PUNTOS] x Dada la función f ( x) =, se pide: x + 1 (a) Calcular su dominio y asíntotas. (b) Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (c) Hacer su representación gráfica aproximada.
4 La curva y =, el eje OX, el eje OY y la recta x = 4 limitan una superficie S. Calcular el x + 4 área de S. BLOQUE 3 [1.5 PUNTOS] Una hoja de papel debe tener 18 cm de texto impreso, márgenes superior e inferior de cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie de papel. Dibuja la parábola ( ) f x x x = 5 + 8. (a) En qué punto de la gráfica la tangente es paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes? (b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto P(1,). BLOQUE 4 [1.5 PUNTOS] Tres amigos juegan con un dado de la siguiente forma. Cada uno lanzará el dado a lo sumo una vez. Si el primero en lanzar saca un seis, gana y se acaba la partida; si no saca un seis, lanza el segundo, que gana si obtiene un cuatro o un cinco, acabando la partida. Si tampoco gana éste, lanza el dado el tercero, que gana si obtiene tres, dos o uno. Aunque no gane el tercero, la partida se termina. Hallar la probabilidad que tiene cada uno de ganar y la probabilidad de que la partida termine sin ganador. Una fábrica dispone de tres máquinas A 1, A y A 3 que fabrican tornillos. Se sabe que la máquina A 1 produce un 1% de tornillos defectuosos, la máquina A un 3% y la máquina A 3 un %. La máquina A 1 produce el 5% del total de unidades, la A el 40% y la A 3 el 35%. Al cabo de un día, se toma un tornillo al azar de la producción total y se pide: (a) Calcular la probabilidad de que ese tornillo sea defectuoso. (b) Si ha resultado defectuoso, calcular la probabilidad de que pertenezca a la máquina A. BLOQUE 5 [ PUNTOS] Una muestra aleatoria simple de 5 estudiantes responde a un test de inteligencia, obteniendo una media de 100 puntos. Se sabe por experiencia que la variable inteligencia de todos los estudiantes es normal con una desviación típica igual a 10, pero se desconoce la media. Entre qué limites se hallará la verdadera inteligencia media de todos los estudiantes, con un nivel de confianza de 0.99? Se supone que la distribución de la temperatura del cuerpo humano en la población tiene de media 37ºC y de desviación típica 0.85ºC. Se elige una muestra de 105 personas y se pide: (a) Calcular la probabilidad de que la temperatura media sea menor de 36.9ºC (b) Calcular la probabilidad de que la temperatura media esté comprendida entre 36.5ºC y 37.5ºC
UNIVERSIDAD DE MURCIA REGIÓN DE MURCIA CONSEJERÍA DE EDUCACIÓN Y CULTURA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOGSE (PLAN 00) Septiembre 005 MATEMÁTICAS APL. A LAS CC. SOCIALES II. CÓDIGO 67 OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a una sola de las dos cuestiones de cada uno de los bloques. La puntuación de las dos cuestiones de cada bloque es la misma y se indica en la cabecera del bloque. Sólo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. BLOQUE 1 [3 PUNTOS] Tres jugadores convienen que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese momento tengan los otros dos. Después de haber perdido todos ellos una partida, cada jugador se retira con veinte euros. Cuánto dinero tenían al principio del juego? Una fábrica de tableros de madera pintados produce dos tipos de tableros: tableros normales (una mano de imprimación más otra mano de pintura) y tableros extras (una mano de imprimación y tres manos de pintura). Disponen de imprimación para 10000 m, pintura para 0000 m y tableros sin pintar en cantidad ilimitada. Sus ganancias netas son: 3 euros por el m de tablero normal y 5 euros por el m de tablero extra. (a) Qué cantidad de tablero de cada tipo les conviene fabricar para que las ganancias sean máximas? (b) Y si ganara 1 euro por el m de tablero normal y 4 euros por el m de tablero extra? BLOQUE [ PUNTOS] x Dada la función f ( x) =, se pide: x 1 (a) Hallar el dominio y las asíntotas (b) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento (c) Hacer una representación gráfica aproximada.
Hallar el área del recinto limitado por la parábola de ecuación la recta x y + 4 = 0. y = 4x, el eje de ordenadas y BLOQUE 3 [1.5 PUNTOS] Dentro del triángulo limitado por los ejes OX, OY y la recta x + y = 8, se inscribe un rectángulo de vértices (0,0), (a,0), (a,b) y (0,b). Determinar el punto (a,b) al que corresponde un área máxima. Dibuja la parábola ( ) f x = x 6x + 8. (a) En qué punto de la gráfica la tangente es paralela al eje de abscisas? f x en el punto P(,0). (b) Hallar la ecuación de la recta tangente a ( ) BLOQUE 4 [1.5 PUNTOS] Un juego consiste en lanzar tres monedas al aire, de manera que si las tres monedas aparecen de igual modo (tres caras o tres cruces) el jugador gana y en caso contrario se vuelve a tirar. (a) Cuál es la probabilidad de ganar en la primera tirada? (b) Cuál es la probabilidad de perder las dos primeras tiradas y ganar la tercera? En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzca un peligro es 0.1. Si éste se produce, la probabilidad de que la alarma funcione es 0.95. La probabilidad de que la alarma funcione sin haber peligro es 0.03. Hallar: (a) Probabilidad de que habiendo funcionado la alarma no haya habido peligro. (b) Probabilidad de que haya un peligro y la alarma no funcione. BLOQUE 5 [ PUNTOS] Se desea estudiar el gasto anual de fotocopias (en euros) de los estudiantes de bachillerato en Murcia. Para ello, se ha elegido una muestra aleatoria de 9 estudiantes, resultando los valores siguientes: 100, 150, 90, 70, 75, 105, 00, 10, 80 Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a 1. Determinar un intervalo de confianza del 95% para la media del gasto anual en fotocopias por estudiante. El peso de los niños varones a las diez semanas de vida se distribuye según una normal con desviación típica de 87 gramos. Cuántos datos son suficientes para estimar, con una confianza del 95%, el peso medio de esa población con un error no superior a 15 gramos?
UNIVERSIDAD DE MURCIA REGIÓN DE MURCIA CONSEJERÍA DE EDUCACIÓN Y CULTURA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOGSE (PLAN 00) Junio 006 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES. CÓDIGO 67 OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a una sola de las dos cuestiones de cada uno de los bloques. La puntuación de las dos cuestiones de cada bloque es la misma y se indica en la cabecera del bloque. Sólo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. BLOQUE 1 [3 PUNTOS] La suma de las tres cifras de un número es 6 y si se intercambian la primera y la segunda, el número aumenta en 90 unidades. Finalmente si se intercambian la segunda y la tercera, el número aumenta en 9 unidades. Calcular dicho número. Una persona tiene 500000 euros para invertir en dos tipos de acciones A y B. Las acciones de tipo A tienen bastante riesgo con un interés anual del 10% y las acciones del tipo B son bastante seguras con un interés anual del 7%. Decide invertir como máximo 300000 euros en las de tipo A y como mínimo 100000 euros en las de tipo B e invertir en las de tipo A por lo menos tanto como en las de tipo B. Cómo debería invertir sus 500000 euros para maximizar sus intereses anuales? BLOQUE [1.5 PUNTOS] Hallar las dimensiones de los lados de un triángulo rectángulo, de 10 metros de hipotenusa, para que su área sea máxima. Cuál será dicha área? Hallar el área encerrada por la curva x y= 4, el eje OX y las rectas x= y x= 4. BLOQUE 3 [ PUNTOS] 3 x Dada la función f ( x) =, se pide: x 1 (a) Calcular su dominio (b) Calcular sus asíntotas (c) Estudiar la monotonía y los extremos (d) Hacer su representación gráfica aproximada.
3 Hallar los valores de a, b y c en la función y= ax + bx + cx+ d sabiendo que su tangente en el punto (1, 1) es la recta y= x+ y que tiene un extremo en el punto (0, ). BLOQUE 4 [ PUNTOS] De dos tiradores se sabe que uno de ellos hace dos dianas de cada tres disparos y el otro consigue tres dianas de cada cuatro disparos. Si los dos disparan simultáneamente, calcular: (a) La probabilidad de que los dos acierten. (b) La probabilidad de que uno acierte y el otro no. (c) La probabilidad de que ninguno de los dos acierte. (d) La probabilidad de que alguno acierte. Tenemos una urna A con 3 bolas rojas y 5 azules y una urna B con 6 bolas rojas y 4 azules. Si sacamos de ellas una bola al azar, cuál es la probabilidad de que sea roja? BLOQUE 5 [ 1.5 PUNTOS] Un estudio realizado en el ámbito de la Unión Europea concluye que la edad de los propietarios de un automóvil Mercedes en el momento de su adquisición tiene un comportamiento Normal con media 38 años y varianza 16. Un concesionario de dicha marca, instalado recientemente en España, ha vendido sólo 150 vehículos y ha comprobado que la edad media de sus clientes es de 38.3 años. Aceptando para los clientes españoles la varianza obtenida para los clientes europeos, se puede aceptar que la edad media al adquirir un vehículo de esa marca es la misma en España que en Europa, para un nivel de significación del 5%? La media de las medidas de los diámetros de una muestra aleatoria de 00 bolas de rodamiento fabricadas por cierta máquina fue de 0.84 cm. Y la desviación típica fue de 0.04 cm. Hallar los límites de confianza al 95% para el diámetro medio de las bolas fabricadas por esa máquina.