Scientia Et Technica ISSN: Universidad Tecnológica de Pereira Colombia

Scientia Et Technica ISSN: 0122-1701 scientia@utp.edu.co Universidad Tecnológica de Pereira Colombia GONZÁLEZ PINEDA, CAMPO E. DEMOSTRACION POR MEDIOS VECTORIALES DE LA ORTOGONALIDAD DE LA RECTA TANGENTE A UNA ESFERA EN Rn EN EL PUNTO DE TANGENCIA Scientia Et Technica, vol. X, núm. 26, diciembre, 2004, pp. 173-178 Universidad Tecnológica de Pereira Pereira, Colombia Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=84911640030 Cómo citar el artículo Número completo Más información del artículo Página de la revista en redalyc.org Sistema de Información Científica Red de Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España y Portugal Proyecto académico sin fines de lucro, desarrollado bajo la iniciativa de acceso abierto

Scientia et Technica Año X, No 26, Diciembre 2004. UTP. ISSN 0122-1701 173 DEMOSTRACION POR MEDIOS VECTORIALES DE LA ORTOGONALIDAD DE LA RECTA TANGENTE A UNA ESFERA EN R n EN EL PUNTO DE TANGENCIA RESUMEN De la Geometría Euclidiana sabemos que si una recta l es tangente a una circunferencia C en un punto P entonces, el radio de la circunferencia en P es ortogonal a la recta l. Nuestro propósito es demostrar este mismo resultado extendido a esferas en R n. Para lograrlo hacemos una pequeña introducción a R n y definimos los conceptos necesarios para cumplir nuestro cometido. PALABRAS CLAVE Punto, línea, esfera, tangente ABSTRACT From the Euclidean geometry, we know if a straight line l is tangent to a circumference C on a point p, then, the radius of the circumference on p is orthogonal to the straight line l. Our purpose is to show the same result over spheres on R n, and we define the necessary concepts to achieve our assignment. KEYWORDS Point, line, sphere, tangent CAMPO E. GONZÁLEZ PINEDA Profesor Departamento de matemáticas Universidad Tecnológica de Pereira cegp@utp.edu.co Grupo de enseñanza e investigación de las ecuaciones diferenciales ÊGEINED 1. Introducción Tratamos aqui un caso conocido de la Geometría Eclidiana en lo relacionado con la recta tangente a una esfera en el punto de tangencia. Para ello introducimos primero ciertas temas que nos ambientaran con la notación y los vectores en R n. Elijamos tres ejes perpendiculares con un punto de intersección O. Si introducimos en cada eje un sistema de coordenadas obtenemos el conjunto llamado R 3. Así, a todo A del espacio le podemos asignar una tripla de números reales, digamos (a, b, c) llamadas sus coordenadas y reciprocamente, a cada tripla de números reales le podemos asociar uno y solo un punto del espacio. Sin embargo, estudiaremos un espacio más general que hace de estos un caso particular. A la expresión (a 1, a 2,..., a n ) la llamaremos n-pla. En esta parte estudiaremos el conjunto de todas las n-plas. Definición 1.0.1. A la n-pla (a 1, a 2,..., a n ) donde cada a i es un número real, con i = 1, 2..., n se le llama punto n-dimensional, o vector n-dimensional o Fecha de Recepción: 28 Septiembre 2004. Fecha de Aceptacion: 29 Noviembre 2004. vector simplemente. Al conjunto de todas las n-plas se le llama Espacio Vectorial n-dimensional o n-espacio y se denota R n (leáse erre n). Esto es R n = {(x 1, x 2,..., x n )/x i R} (1) 1.1. Componentes de un vector Consideremos la n-pla (a 1, a 2,..., a n ). A los números a i R i = 1, 2,..., n se les llama componentes o entradas del vector. Para representar los elementos de R n utilizamos letras mayúsculas o con una letra minúscula con una flecha encima de la letra. Por ejemplo la n-pla anterior podemos llamarla A o a. Es decir, A = (a 1, a 2,..., a n ) ó a = (a1, a 2,..., a n ) (2) Indicaremos las componentes de A de la siguiente manera A(i) = a (i) = a i, i = 1, 2,..., n (3) La expresión A(i) se lee i-ésima componente de A.

1.2. Vector nulo o cero y vector opuesto Al vector de R n que tiene todas sus componentes iguales a cero, se le llama vector nulo o cero y se denota O. Esto es, O(i) = 0 para i = 1, 2,..., n. Si A R n al vector 1A lo denotamos A. Esto es 1A = A. Este vector es llamado el opuesto de A o inverso aditivo de A. Definición 1.2.1. A B = A + ( B). Obsérvese que de la definición anterior A λb = A (λb) = A + ( λb) (4) 1.3. Producto punto Definición 1.3.1. Sean A = (a 1, a 2,..., a n ) y B = (b 1, b 2,..., b n ) elementos de R n. El producto punto o escalar entre A y B se denota A B (leáse A punto B) y está dado por A B = a 1 b 1 + a 2 b 2 +... + a n b n = 174 Scientia et Technica Año X, No 26, Diciembre 2004. n a i b i (5) i=1 Observemos que el producto punto entre los vectores A y B es un número real. El nombre de producto escalar se utiliza para hacer énfasis en que el resultado es un número y no un vector. 1.4. Distancia entre puntos. Norma de un vector. Sea A un vector de R n distinto del vector cero. Por una extensión directa del teorema de Pitágoras encontramos que la distancia de O a A está dada por A = a 2 1 + a2 2 +... + a2 n, A = (a 1, a 2,..., a n ) (6) y se denota A. Es decir, Definición 1.4.1. Sea A un elemento de R n. La norma de A se denota y define de la siguiente manera Ejemplo. A = A A (7) 1. A ± B 2 = A 2 ± 2A B + B 2 2. (A + B) (A B) = A 2 B 2 3. Si A B = 0. Entonces (A + B) (A + B) = A 2 + B 2 Nota. A veces escribimos A 2 en vez de A A siempre y cuando no haya confusión. 1.5. Interpretación Geométrica Definición 1.5.1. Decimos que el punto P de R n está entre O y Q P de R n, si para algún 0 < λ < 1, P = λq (8) Al conjunto de todos los puntos que están entre O y Q se le llama segmento dirigido de extremos O y Q o también vector O, Q y se denota OQ (9) Obsérvese que si λ = 0 en la definición anterior se tiene que P = O, si λ = 1 entonces P = Q. Nótese que si λ 1 < λ 2 y P 1 = λ 1 Q, P 2 = λ 2 Q. Entonces P 1 P 2. Luego al recorrer λ el intervalo [0, 1], el punto P se dirige de O hasta Q. Por eso a O se le llama punto inicial u origen del segmento OQ y a Q extremo final o punto final del segmento OQ. Conviene definir los siguiente. Definición 1.5.2. Identificación del vector OQ con Q, tenemos, OQ = Q Sean A y B puntos distintos de R n, hagamos Q = B A. En este caso el vector OQ lo denotamos AB (Note: P = λb si y solo si P A = λ(b A)) es decir AB = B A. (10) De lo visto hasta ahora y del hecho OQ = Q, vemos que todo punto Q de R n puede interpretarse como el vector dirigido que va desde O hasta Q. Para evitar confusiones cuando hablemos del punto Q de R n lo entenderemos como la n-pla (q 1, q 2,..., q n ) y cuando hablemos del vector Q se entenderá el vector dirigido OQ. Podemos ahora definir el concepto de paralelismo. Nótese que OQ es el conjunto de todos los puntos entre O y Q. Luego, AB es el conjunto de todos los puntos entre A y B. Los puntos A y B son llamados extremos del segmento AB. Definición 1.5.3. Sean A y B vectores de R n. Decimos que A y B son paralelos, si existe α 0 tal que A = αb (11) Si α > 0 decimos que A y B tienen el mismo sentido y si α < 0 decimos que A y B tienen sentidos opuestos.

Scientia et Technica Año X, No 26, Diciembre 2004. 175 1.6. Vectores ortogonales Definición 1.6.1. Sean A y B vectores de R n. Decimos que A y B son ortogonales si y solo si A B = 0 Ejemplo. Sean A y B no nulos de R n ortogonales. Entonces A + B 2 = A 2 + B 2 (12) Definición 1.6.2. Sean A y B vectores no nulos de R n. El ángulo formado por A y B se define como el ángulo θ para el cual cos θ = A B A B, 0 θ π (13) Obsérvese que si θ es el ángulo formado por A y B entonces, A B = A B cosθ (14) Ejemplo. Si A y B son dos vectores no nulos y ortogonales, entonces θ = π/2. En efecto, como A B = 0, se deduce que cos θ = 0. Esto es, θ = π/2 2. Aplicaciones a la Geometría Analítica 2.1. Rectas en R n Sabemos que todos los puntos que estan entre A, B están dados por P = A + λ AB, 0 < λ < 1 (15) Pero qué ocurre cuando λ recorre todo R?. Obervemos que de la última relación tenemos AP = λ AB (16) Es decir, los vectores AP y AB son paralelos. Esto nos induce a definir los siguiente. Definición 2.1.1. Sean A y B dos puntos distintos de R n. Al conjunto { L = X R n /X = A + λ } AB, λ R (17) se le llama línea recta en R n. Al punto A se le llama punto conocido de la recta y al vector AB vector director. Observemos que en la recta definida antes, A, B son puntos de L. Sea D un vector no nulo de tal manera que D// AB. Es fácil ver entonces que M = {X R n /X = A + µd, µ R} (18) es la misma recta L. Es decir, L = M. De otro lado, si W L es fácil ver que { T = X R n /X = W + λ } AB, λ R (19) es la misma recta L. Es decir, L = T. Resumiendo tenemos el siguiente teorema. Teorema 2.1.2. Consideremos la recta de la definición anterior. Entonces, cualquier punto de la recta sirve como punto conocido de la recta y cualquier vector paralelo al vector director de la recta sirve como vector director. Sea A un punto cualquiera de R n y D un vector no nulo de R n y consideremos el conjunto L = {X R n /X = A + λd, λ R} (20) Queremos saber si este conjunto es una línea recta. En efecto así es. Teorema 2.1.3. El conjunto es una línea recta. L = {X R n /X = A + λd, λ R} (21) Definición 2.1.4. Sea D O un vector de R n y A un punto cualquiera y consideremos la recta L = {X R n /X = A + λd, λ R} (22) Un vector E no nulo de R n es paralelo a L (ortogonal) si y solo si E//D (E D) 2.2. Superficies esféricas En esta parte extendemos la definición de circunferencia y esfera a un nivel más general del que conocemos en la Geometría Euclidiana. Definición 2.2.1. Sea Q un punto de R n (n 2) y r > 0 un número real dado y sea { S = X R n / } QX = r (23) Es decir, S es el conjunto de los puntos X de R n que satisfacen la ecuación QX = r. Al conjunto S se le llama, 1. Circunferencia si n = 2(C) 2. Superficie esférica o simplemente esfera si n > 2 (S.E)

176 Scientia et Technica Año X, No 26, Diciembre 2004. 3. Al punto Q se le llama centro de la S.E o C. Al vector QX se le llama radio vector y a r radio. Observemos que QX = r X 2 2Q X + Q 2 r 2 = 0 (24) La última expresión es conocida como Ecuación ordinaria de la esfera en R n. Si Q = O tenemos x 2 1 +... + x 2 n = r 2 (25) y se dice en este caso que la S.E o C está centrada en el origen. Si Q O podemos escribir x 2 1 +... + x 2 n + a 1 x 1 +... + a n x n + k = 0 (26) donde Q = 1 2 A A = (a 1,..., a n ), r = Q 2 k > 0 (27) A la expresión dada en (26) se le llama Ecuación General de la S.E o C en R n. Nota. E.G.S.E o C Ecuación General de la Superficie Esférica o Circunferencia Teorema 2.2.2. La expresión n n x 2 i + a j x j + k = 0 (28) i=1 j=1 es la E.G.S.E o C si y solo si Q 2 k > 0, Q = 1 2 A, A = (a 1,..., a n ) (29) Representación Gráfica de S = {x R n : QX = r}, n = 3 X Q 1. µ(p ) > 0 decimos que P es exterior a S, 2. µ(p ) < 0 decimos que P es interior a S 3. µ(p ) = 0 nos indica que P S y su potencia es cero respecto a S. Geométricamente tenemos la siguiente gráfica P µ(p ) = 0 + + +R µ(r) < 0 +Q µ(q) > 0 Definición 2.2.4. Sea S una S.E o C, en R n, n 2. Sean P, Q puntos distintos de S. Entonces, 1. Al segmento P Q (o QP ) se le llama cuerda de la S.E o C 2. Una cuerda se llama diámetro si C = P + Q donde C 2 es el centro de la S.E o C 3. La recta de R n que pasa por los puntos P, Q se le llama recta secante de S 4. Una recta de R n que intersecta a S en un solo punto se llama recta tangente a S 5. Un plano y una esfera en R n son tangentes si tienen uno y solo un punto en común Teorema 2.2.5. Sean S un S.E o C y L una recta en R n. Entonces, la intersección entre S y L puede tener a lo más dos puntos. Dem. Sea S : Q X 2 r 2 = 0 (32) la ecuación general de una S.E o C n 2 y L = A + gn{d}, D O (33) la recta L. Supongamos que X S L. Existe λ R tal que Definición 2.2.3. Sea S una S.E o C en R n, n 2 de ecuación general X 2 + A X + k = 0 (30) de centro Q = 1 2 A, y k = Q 2 r 2, donde r es el radio. Ssea P un punto cualquiera de R n. A la expresión µ(p ) = P 2 + A P + k (31) se le llama potencia de P respecto a S, además si X = A + λd (34) puesto que X L. Como X S debe cumplirse que o también Q A λd 2 r 2 = 0 (35) D 2 λ 2 + 2 AQ Dλ + AQ 2 r 2 = 0 (36) La ecuación dada en (36) es una ecuación de segundo grado en λ y puede tener

Scientia et Technica Año X, No 26, Diciembre 2004. 177 1. Ninguna solución real, en cuyo caso S L = φ 2. Una solución real, en este caso la recta L es tangente a S. 3. Dos soluciones reales distintas en cuyo caso la recta L es secante a S. ILUSTRACION DEL TEOREMA ANTERIOR PARA EL CASO n = 2 que después de simplificar queda µ(p ) = ( ) AP AP + 2QA = AP 2 + 2 AP QA (41) Obsérvese que si mostramos que AP QA = 0 3) inmediatamente se tiene. Sea L = A + gn{ AP } la ecuación de la recta S. Si X L, existe λ R tal que tal que X = A + λ AP (42) Sabemos que S L = {A}. Ahora, X = A si y solo si λ = 0. Remplacemos X en la ecuación general de S. Esto es, X Q 2 r 2 = 0 (43) si y solo si A + λ AP Q 2 r 2 = 0 (44) En cuanto a la recta tangente tenemos. Teorema 2.2.6. Sea L una recta tangente a la S.E o C S de centro Q y radio r en R n, n 2 y A el punto de tangencia. Entonces, 1. Si V L, V A entonces, V es exterior a S 2. Si P L, P A entonces, los vectores QA y AP son ortogonales, es decir, la recta tangente a S es ortogonal al radio en el punto de tangencia. 3. AP = µ(p ), donde µ(p ) es la potencia de P respecto a S. Dem. 1. Es inmediata. 2. Por 1) P es exterior a S. Sea la E.G.S.E o C y hagamos QX 2 r 2 = 0 (37) µ(p ) = QP 2 r 2 (38) la potencia de P respecto a S. Como A S entonces r 2 = QA 2. Luego, Es decir, µ(p ) = µ(p ) = QP 2 QA 2 (39) ( ) ( ) QP + QA QP QA = (P Q + A Q) (P Q + Q Q) (40) De donde, AP 2 λ 2 + 2 QA AP λ + QA 2 r 2 = 0 (45) o también AP 2 λ 2 + 2 QA AP λ = 0 (46) puesto que QA 2 = r 2. Por hipótesis S y L son tangentes por lo tanto la ecuación dada en (46) admite una y solo una solución (y sabemos que es λ = 0). Antes de continuar recordemos la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 (47) donde a, b y c son números reales admite una y solo una solución si y solo si b 2 4ac = 0 (48) Para que la ecuación dada en (46) tenga solución única su discriminate debe ser cero. Esto es, lo que implica que ( 2 QA ) 2 AP 4 AP 2 0 = 0 (49) que era lo que queriamos mostrar. 3. Como QA AP = 0 (50) µ(p ) = AP 2 + 2 QA AP (51) el resultado es inmediato de 2).

178 Scientia et Technica Año X, No 26, Diciembre 2004. Q el centro de S. Si el vector QA es ortogonal a L, entonces L es tangente a S. 3. Conclusiones El algebra vectorial es una extensión simple y la vez maravillosa que nos muestra una visión muchísimo más amplia de la Geometría Euclidiana con argumentos muy sencillos, como por ejemplo la ecuación de segundo grado, con la cual se demuestra el teorema principal de este artículo. Nota. El lector puede hacer una prueba más elaborada eligiendo una recta L = P + gn{d}, D// AP (52) Es importante anotar que el reciproco del la parte 2) del teorema anterior también es cierto. Esto es, Teorema 2.2.7. Sea S una S.E o C en R n, n 2. Supongamos que la recta L intersecta a S en punto A. Sea Referencias [1] APOSTOL, Tom M. Calculus, Volúmen I, Segunda edición, 805 páginas, Reverté, 1988. [2] NIETO, Rubén Darío, Geometría Analítica Enfoque Vectorial, Primera edición, 300 páginas, Publicaciones Técnicas PubliTEX, Departamento de Matemáticas, Universidad del Valle, 1992.