Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables

Transcripción

1 Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias Conceptos métricos en el espacio eucĺıdeo Curvas y superficies de nivel. 1. Introducción al espacio de varias variables 1 / 43

2 Vectores en el plano y en el espacio En esta sección recordamos algunos conceptos básicos importantes para el desarrollo de la teoría. Empezamos estudiando el plano y el espacio tridimensional. En secciones siguientes generalizaremos el estudio a dimensiones arbitrarias. Definición i) El plano es el producto cartesiano R R = R 2, es decir el conjunto de elementos (llamados puntos) de la forma (a, b), con a, b R. ii) El espacio (de dimensión 3) es el conjunto de puntos de la forma (a, b, c), con a, b, c R. Llamamos los números a, b las coordenadas o los componentes del punto (a, b) (en el caso del espacio, de modo similar llamamos los números a, b, c las coordenadas del punto (a, b, c)). Diremos que a es la primera coordenada, b la segunda coordenada, etc. 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 2 / 43

3 Vectores en el plano y en el espacio Podemos representar geométricamente los puntos del plano y del espacio, usando ejes perpendiculares de coordenadas (coordenadas cartesianas): Para describir movimiento usaremos la noción de vector. Definición (Vectores en R n ) Un vector en R n es un segmento de recta orientado, determinado por un punto inicial en R n y un punto final en R n. Notación: si el punto inicial es A y el final es B, podemos denotar por AB #» el vector correspondiente, que va de A a B. 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 3 / 43

4 Vectores en el plano y en el espacio Ejemplo en el plano: dibujar AB #» con A = (1, 0), B = (2, 2). Consideremos otro vector CD, #» con C = (1, 3), D = (2, 5). Notamos que si trasladamos AB #» y CD #» para que ambos tengan como punto inicial (0, 0), obtenemos el mismo punto final, a saber (1, 2). Para desarrollar la teoría de los vectores, conviene tomar un mismo punto inicial para todos los vectores, i.e. el punto con coordenadas todas 0. De este modo, los vectores en el plano se pueden representar sólo con un par de números: a = (a 1, a 2 ). Cuidado: los vectores no son lo mismo que los puntos! Con los vectores se pueden hacer operaciones: Operaciones con vectores Suma : dados vectores a = (a 1, a 2 ), b = (b 1, b 2 ), la suma es a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2 ). Multiplicación por un escalar: dado a = (a 1, a 2 ) y un escalar λ R, definimos λ a = (λa 1, λa 2 ). Suma de un punto y un vector : dado un punto x = (x 1, x 2 ) y un vector a = (a 1, a 2 ), formamos un nuevo punto y = x + a = (x 1 + a 1, x 2 + a 2 ). 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 4 / 43

5 Vectores en el plano y en el espacio Aparte de la notación a, se suele también denotar un vector con letra en negrita, a. Representación geométrica de vectores: se pueden representar como flechas cuyo origen es el punto 0 = (0, 0). El vector #» 0P = (3, 1.5) se denomina vector de posición del punto P = (3, 1.5). Representación geométrica de las operaciones entre puntos y vectores: Suma: Producto por un escalar: Suma de punto y vector: 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 5 / 43

6 Vectores en el plano y en el espacio Ejemplos: 1) Sean u = (3, 1.5) y v = (2, 0). Dibujar u, v, u + v, y también 2 u. 2) Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan. Definimos a = 0P, #» #» b = 0Q. Vemos que Q = P + b a, y que R = 0 + a + b. Definimos M = ( a + b), N = P ( b a). Queremos ver que M = N. Tenemos N = P ( b a) = 0 + a ( b a) = ( a + b) = M. 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 6 / 43

7 Producto escalar, y distancias Nos interesa tener nociones para poder medir distancias entre objetos, longitudes, y también definir la noción de ángulo. Definición (Producto escalar) Sean los vectores v = (v 1, v 2 ), w = (w 1, w 2 ) en R 2. El producto escalar de v y w es el número real denotado por v, w, o por v w, y definido por v, w = v 1 w 1 + v 2 w 2. Una definición similar puede hacerse en R 3. Propiedades: i) v, tenemos v v 0, y tenemos v v = 0 v = 0. ii) Asociatividad: λ R y u, v, tenemos λ( u v) = (λ u) v = u (λ v). iii) Distributividad: u, v, w, tenemos u ( v + w) = u v + u w. iv) Conmutatividad: u, v, tenemos u v = v u. Con el producto escalar, podemos definir una noción de distancia: Definición (Distancia eucĺıdea) Dados dos puntos A, B en el plano (o el espacio), la distancia eucĺıdea #» d(a, B) entre A y B se define por la fórmula d(a, B) = AB AB. #» 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 7 / 43

8 Producto escalar y distancias Definición (Norma (eucĺıdea) de un vector) Dado un vector v, su norma, denotada v, se define por v = ( v v) 1/2. Un vector u es un vector unitario si u = 1. Nótese que para cualquier 1 vector v no-nulo (i.e. v 0), el vector v v es unitario. Definición (Conjuntos ortogonales y ortonormales) i) Un conjunto de vectores no-nulos { v 1,..., v n } es un conjunto ortogonal si i j se tiene v i v j = 0. ii) Un conjunto de vectores { v 1,..., v n } es un conjunto ortonormal si es un conjunto ortogonal y además cada vector v i es unitario. Ejemplo: el conjunto {e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1)} en R 2 es un conjunto ortonormal, llamado la base estándar de R 2. En R 3 la base estándar es {e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1)}. 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 8 / 43

9 Producto escalar y distancias Usando el producto escalar y la norma eucĺıdea se puede definir la noción de ángulo entre vectores. Definición del ángulo entre dos vectores, usando el producto escalar Dados vectores u y v, el ángulo entre u y v se define como el número θ [0, π] determinado por la fórmula u v = u v cos(θ). Veamos la adecuación entre esta noción y la intuición geométrica: se puede notar que en el caso en que u es el vector unitario (1, 0) se recobra la expresión usual trigonométrica del coseno de θ. Ejemplo: Qué ángulo entre vectores no-nulos u y v los hace ortogonales? Queremos que se dé 0 = u v = u v cos θ, luego cos(θ) = 0, luego θ = π 2. Respuesta: un ángulo recto. 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 9 / 43

10 Producto escalar y distancias Usando la noción de ángulo, podemos definir proyecciones entre vectores. Definición (Proyección ortogonal) La proyección de v sobre w (o sobre la recta determinada por w) es el vector ( v w cos(θ)) w, donde θ es el ángulo entre v y w. Nótese: esta proyección es un producto de w por un escalar; en particular, la proyección y w están en la misma recta. Geométricamente, en el plano la proyección de v sobre w es el vector cuyo punto final es la intersección entre la recta que contiene w y la recta que es perpendicular a w y contiene el punto final de v. Usando la relación entre ángulo y producto escalar, podemos expresar la proyección en términos del producto escalar: ( v w cos θ) w = ( v w v w v w ) w = ( v w w 2 ) w. 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 10 / 43

11 Geometría de R 2 : parametrizaciones Utilizaremos las nociones anteriores para estudiar objetos en el plano. En particular, estudiaremos rectas. Definición Una recta en el plano es un conjunto de la forma {P + λ v : λ R}, donde P = (p 1, p 2 ) es un punto del plano y v es un vector, llamado vector director de la recta. Para cada valor de λ, tenemos un punto (x, y) distinto de la recta, determinado por la ecuación siguiente: (x, y) = (p 1, p 2 )+λ(v 1, v 2 ). Esta expresión es equivalente al sistema { de ecuaciones siguiente, que x = p1 + λv expresa cada coordenada del punto: 1. y = p 2 + λv 2 Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 11 / 43

12 Geometría de R 2 : parametrizaciones { x = p1 + λv Partiendo del sistema 1, queremos expresar la recta en y = p 2 + λv 2 una sola ecuación que relaciona y con x. Para ello, podemos tomar una combinación de las dos ecuaciones que elimine el parámetro λ. Tomamos la primera ecuación multiplicada por v 2, y le restamos la segunda ecuación multiplicada por v 1. Obtenemos una ecuación donde λ queda eliminado. Ecuación de una recta en R 2 La ecuación de la recta que pasa por P = (p 1, p 2 ) y tiene vector director (v 1, v 2 ) es v 2 x v 1 y = p 1 v 2 p 2 v 1. (1) Observaciones: i) La ecuación general de una recta en R 2 se suele dar en la forma ax + by = c. Comparando esta forma con la ecuación (1), vemos que un vector director de esta recta es ( b, a). ii) La recta expresada por una ecuación ax + by = c no cambia si se multiplica la ecuación por un escalar no-nulo. Es decir que la ecuación ax + by = c expresa la misma recta que λax + λby = λc, λ R \ {0}. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 12 / 43

13 Geometría de R 2 : parametrizaciones iii) Dos ecuaciones ax + by = c, ax + by = c expresan rectas paralelas (en efecto, el vector ( b, a) es un vector director para ambas rectas). iv) Dado un vector v = (v 1, v 2 ), el vector ( v 2, v 1 ) es ortogonal a v: tenemos (v 1, v 2 ) ( v 2, v 1 ) = v 1 v 2 + v 1 v 2 = 0. Por lo tanto, toda recta con ecuación ax + by = c es perpendicular a toda otra recta con ecuación bx + ay = c. v) Una ecuación de recta ax + by = c se puede escribir de una otra forma, muy común también, en términos de pendiente y ordenada en el origen. Si b 0, podemos aislar la variable y a un lado de la ecuación. Obtenemos así la ecuación y = mx + h, donde m = a b se llama la pendiente de la recta, y h = c b se llama la ordenada en el origen (es el valor de y que tiene el punto de la recta con x = 0). Si se da b = 0, a 0, entonces tenemos una recta vertical, de ecuación x = c/a. Si a = 0, b 0, entonces tenemos una recta horizontal, de ecuación y = h. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 13 / 43

14 Geometría de R 2 : parametrizaciones Ejemplo: sean los puntos A = (1, 5) y B = (2, 3). Hallar las siguientes ecuaciones: de la recta que pasa por A y B, y de la recta que pasa por (0, 1) y es perpendicular a la primera recta. Para hallar la primera recta: notemos primero que B = A + v donde v = (1, 2). Todo punto (x, y) de la primera recta es de la forma A { + λ v = (1, 5) + λ(1, 2) para algún λ R. Obtenemos así el sistema x = 1 + λ. La combinación 2(ecuación 1) + (ecuación 2) elimina λ. y = 5 2λ Obtenemos así la ecuación 2x + y = 7. Para hallar la segunda recta: como hemos observado antes, toda recta perpendicular a la primera tiene vector director ortogonal a (1, 2), luego un vector director de una tal recta es (2, 1). Sabemos que toda recta con este vector director tiene ecuación x + 2y = c para algún c R. Qué valor de c nos da la segunda recta deseada? Este valor lo va a determinar la condición de que esta recta contenga el punto (0, 1). Tenemos pues = c, luego la segunda recta tiene ecuación x + 2y = 2. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 14 / 43

15 Geometría de R 2 : parametrizaciones Otras parametrizaciones: Hasta ahora hemos expresado puntos en coordenadas cartesianas, que determinan los puntos usando ejes perpendiculares de coordenadas x, y. Se pueden usar otros sistemas de coordenadas. Uno usado a menudo es el sistema de coordenadas polares. En el plano, para usar este sistema suponemos dados los ejes de coordenadas x, y también pero, ahora, un punto P se determina por números r [0, ) y θ [0, 2π), donde r es el radio del único círculo en el plano con centro en el orígen 0 y que contiene P, y donde θ es el ángulo entre el vector (1, 0) y el vector 0P. #» Se puede cambiar entre coordenadas cartesianas y polares de un mismo punto, usando las fórmulas siguientes: { r = x de (x, y) a (r, θ) : 2 + y 2 θ = arctan(y/x) { x = r cos θ de (r, θ) a (x, y) : y = r sin θ. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 15 / 43

16 Geometría de R 3 Empezamos definiendo los planos en el espacio. Definición (Planos en R 3 ) Un plano en R 3 es un conjunto de puntos de la forma siguiente: {P + α v + β w : α, β R}, donde P = (p 1, p 2, p 3 ) es un punto en el espacio y donde v, w se llaman vectores directores del plano. Se da lo análogo a lo que vimos para las rectas: para cada par distinto de números (α, β), tenemos un punto (x, y, z) distinto del plano, determinado por la ecuación siguiente: (x, y, z) = (p 1, p 2, p 3 ) + α(v 1, v 2, v 3 ) + β(w 1, w 2, w 3 ). De nuevo, esto equivale a un sistema de ecuaciones: Combinando estas ecuaciones se puede eliminar α, β y obtener una única ecuación que relaciona x, y, z. x = p 1 + αv 1 + βw 1 y = p 2 + αv 2 + βw 2 z = p 3 + αv 3 + βw 3 Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 16 / 43

17 Geometría de R 3 Ecuación de un plano en R 3 La ecuación general de un plano en R 3 es de la forma donde a, b, c, d R son coeficientes fijos. a x + b y + c z + d = 0, (2) Sea un plano Π con vectores directores v, w y un punto P Π. Cómo se puede obtener una ecuación del tipo (2) para Π? Se puede hacer usando el producto vectorial. Definición. (Producto vectorial en R 3 ) El producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores v, w R 3, denotado por v w, se define por la fórmula siguiente: e 1 e 2 e 3 ( ) v w = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 = v 2 v 3 w 2 w 3, v 1 v 3 w 1 w 3, v 1 v 2 w 1 w 2. Aquí v ( ) 1 v 2 w 1 w 2 = det v1 v 2 = v w 1 w 1 w 2 v 2 w 1. 2 Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 17 / 43

18 Geometría de R 3 Propiedades del producto vectorial: 1. Interpretación geométrica (regla de la mano derecha). 2. u, u ( v w) = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 En particular: v w es ortogonal a v y a w. (por propiedades del determinante). 3. v w = área del paralelogramo # (prop. del det. y prop. 2.) = v w sin(θ). 4. v w = 0 v, w son colineales. (esto se ve usando 3.) 5. Anticonmutatividad: v w = w v. 6. Distributividad: u ( v + w) = u v + u w ( ( u + v) w = u w + v w). 7. Asociatividad: α R, α( u v) = (α u) v ( α( u v) = u (α v)). Las propiedades 5-7 se deducen también de propiedades del determinante. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 18 / 43

19 Geometría de R 3 Cómo nos ayuda el producto vectorial para dar la ecuación del plano? Recordamos: tenemos un plano Π definido por vectores directores v, w y un punto P = (p 1, p 2, p 3 ) Π. Todo punto de Π tiene la forma (x, y, z) = (p 1, p 2, p 3 ) + α v + β w. Tomemos el producto escalar de ambos lados de esta ecuación con v w. Usando la propiedad 2 que acabamos de ver, obtenemos ( v w) (x, y, z) = ( v w) (p 1, p 2, p 3 ). Esto nos da una ecuación de Π como deseábamos, es decir de la forma ax + by + cz + d = 0, con (a, b, c) = v w, y d = ( v w) (p 1, p 2, p 3 ). Observaciones: La ecuación ax + by + cz + d = 0 que define Π no es única, en el sentido que, para todo λ R \ {0}, la ecuación λax + λby + λcz + λd = 0 también define Π. El argumento previo (que nos dió la ecuación de Π) se podría haber hecho con cualquier vector no-nulo u ortogonal a ambos v, w. Tomar el producto v w es una forma conveniente de dar un tal vector u. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 19 / 43

20 Geometría de R 3 Pasemos ahora a estudiar las rectas en R 3. Una tal recta se obtiene como intersección de dos planos no paralelos; de modo equivalente, como conjunto de la forma {P + λ v : λ R}: (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + λ(v 1, v 2, v 3 ) x = x 0 + λv 1 y = y 0 + λv 2 z = z 0 + λv 3. Combinemos estas ecuaciones para eliminar λ. Obtenemos dos ecuaciones de planos: v 2 (x x 0 ) = v 1 (y y 0 ), v 3 (y y 0 ) = v 2 (z z 0 ). El primer plano es paralelo al eje de z (su ecuación es independiente de z). El segundo plano es paralelo al eje de x. Ahora estudiaremos distintos tipos de distancias entre objetos en R 3. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 20 / 43

21 Geometría de R 3 Distancia de un punto a un plano: Sea un plano Π con ecuación ax +by +cz +d = 0. El vector (a, b, c) es perpendicular a Π ( Por qué?). Se suele normalizar este vector, es decir dividirlo por su norma; así se obtiene un vector unitario n, que es también ortogonal (o normal) a Π: n = ( a, a 2 +b 2 +c 2 b a 2 +b 2 +c 2, c a 2 +b 2 +c 2 ). La distancia de P a Π es el valor absoluto del número real λ tal que el punto P + λ n está en el plano Π. Queremos pues que a(p 1 + λn 1 ) + b(p 2 + λn 2 ) + c(p 3 + λn 3 ) + d sea 0, es decir ap 1 + bp 2 + cp 3 + d + λ(an 1 + bn 2 + cn 3 ) = 0. Esto nos da la fórmula λ = a p 1 + b p 2 + c p 3 + d a 2 + b 2 + c 2. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 21 / 43

22 Geometría de R 3 Distancia entre dos rectas en R 3 : La distancia d(r, R ) entre dos rectas R, R es la mínima distancia que puede haber entre un punto de R y otro de R. Casos fáciles son: si R, R son secantes, o si R, R son paralelas. Estudiemos el caso en que R, R se cruzan (ni secantes ni paralelas). Tomamos un punto P R y un punto P R. Sean u, v vectores directores de R, R, respectivamente. El producto vectorial u v es perpendicular a ambas rectas. Sea n el vector unitario u v u v. El producto escalar PP #» n tiene valor absoluto igual a la longitud de la proyección ortogonal del vector PP #» sobre la recta {P + λn : λ R}. Por lo tanto, este valor absoluto es la distancia que buscamos. Deducimos la fórmula siguiente: d(r, R u v ) = u v PP #» det( PP #», u, v) =. u v Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 22 / 43

23 Geometría de R 3 Parametrizaciones en R 3 : Coordenadas ciĺındricas x = r cos θ y = r sin θ z = z con r [0, ), θ [0, 2π). Coordenadas esféricas x = r sin φ cos θ y = r sin φ sin θ z = r cos φ r = x 2 + y 2 + z 2 θ = arctan(y/x) z φ = arccos( ) x 2 +y 2 +z 2 r = x 2 + y 2 θ = arctan(y/x) z = z con r [0, ), φ [0, 2π), θ [0, 2π). Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.1. Vectores, producto escalar y distancias 23 / 43

24 1.2 Conceptos métricos en el espacio eucĺıdeo Vamos a generalizar los conceptos de producto escalar, distancia, etc, a n-dimensiones. Espacio eucĺıdeo de dimensión n: R n = {(a 1,..., a n ) : a i R}. Punto en R n : elemento de la forma (a 1,..., a n ) R n (n-tupla de números reales). Vector en R n : segmento de recta orientado en R n, definido por un punto inicial y un punto final. Observaciones: Recordar que los vectores con punto inicial 0 (el orígen) y los puntos se representan de la misma forma (con una n-tupla de reales), pero son cosas distintas. Las operaciones de suma entre vectores y de suma de un vector a un punto son análogas a las que hemos visto en R 2, R 3. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.2. Conceptos métricos en el espacio eucĺıdeo 24 / 43

25 1.2 Conceptos métricos en el espacio eucĺıdeo Definición (Producto escalar en R n ) Sean vectores u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) en R n. El producto escalar de u y v se define por u, v = u v = n i=1 u iv i. Se cumplen las mismas propiedades que las que hemos visto en dimensiones 2 y 3. Para todo u, v, w en R n y λ R, tenemos lo siguiente: i) Positividad: u u 0, con igualdad si y solo si (ssi) u = 0. ii) Conmutatividad: u v = v u. iii) Asociatividad: λ( u v) = (λ u) v = u (λ v). iv) Distributividad: u ( v + w) = u v + u w. La norma de un vector v es v = ( v v) 1/2, igual que en R 2, R 3. ( ) El ángulo entre vectores no-nulos u, v R n es θ = arccos u v u v, igual que en R 2, R 3. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.2. Conceptos métricos en el espacio eucĺıdeo 25 / 43

26 1.2 Conceptos métricos en el espacio eucĺıdeo Seguimos teniendo pues la ecuación u v = u v cos(θ). Como cos(θ) 1, deducimos el resultado importante siguiente: Desigualdad de Cauchy-Schwarz en R n Sean vectores u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) cualesquiera en R n. Entonces tenemos u v u v, es decir u 1 v u n v n (u u 2 n) 1/2 (v v 2 n ) 1/2. (3) Un caso particular que suele ser muy útil es cuando u = (1,..., 1). La desigualdad de Cauchy-Schwarz nos dice en este caso que para todo v R n se tiene v v n n (v v 2 n ) 1/2. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.2. Conceptos métricos en el espacio eucĺıdeo 26 / 43

27 1.2 Conceptos métricos en el espacio eucĺıdeo Otra desigualdad muy útil e importante es la siguiente: Desigualdad triangular para la norma eucĺıdea en R n Sean vectores u, v cualesquiera en R n. Entonces u + v u + v. Prueba. Tenemos u + v 2 = ( u + v) ( u + v) = u u v + v 2. Tenemos u v u v, y la desigualdad de Cauchy-Schwarz nos dice que u v u v. Por lo tanto tenemos u + v 2 u u v + v 2 = ( u + v ) 2. Tomando raices cuadradas, obtenemos la desigualdad triangular. Ejercicio: demostrar que se tiene también u v u v. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.2. Conceptos métricos en el espacio eucĺıdeo 27 / 43

28 1.2 Conceptos métricos en el espacio eucĺıdeo Otra propiedad métrica interesante es la siguiente: Ley del paralelogramo en R n Sean u, v vectores cualesquiera en R n. Tenemos entonces u + v 2 + u v 2 = 2 u v 2. Prueba. Tenemos u + v 2 + u v 2 = ( u + v) ( u + v) + ( u v) ( u v). Desarrollemos estos productos (usando la distributividad). Obtenemos que esto es igual a u 2 + v u v + u 2 + v 2 2 u v = 2 u v 2. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.2. Conceptos métricos en el espacio eucĺıdeo 28 / 43

29 1.3. Curvas y superficies de nivel Motivación: Imaginemos que queremos representar en un mapa los relieves de algún terreno (montañas, cordilleras, valles, etc). Lo que estaríamos haciendo entonces es representar una función que a cada (x, y) (posición en el mapa) asocia un valor z (la altura en esa posición). Vamos a formalizar este tipo de representación. Consideraremos usualmente un subconjunto U de R n (las funciones que vamos a tratar no estarán necesariamente definidas en todo R n ). Definición. (Función escalar) Una función escalar sobre (un subconjunto de) R n es una aplicación f : U R n R, (x 1,..., x n ) f (x 1,..., x n ). Definición. (Función vectorial) Una función vectorial sobre R n es una aplicación F : U R n R m, (x 1,..., x n ) (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n )), para algún m N. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.3. Curvas y superficies de nivel 29 / 43

30 1.3. Curvas y superficies de nivel Nótese: una función vectorial F : U R n R m viene dada por m funciones escalares f i : R n R, i = 1,..., m, donde f i (x 1,..., x n ) nos da la coordenada i-ésima de F (x 1,..., x n ). Ejemplos: Sea F : (0, ) 2 R 3, (x, y) ( log(x), y x log(x), sin(xy) ). Aquí f 1 (x, y) = log(x), f 2 (x, y) = y x log(x), f 3 (x, y) = sin(xy). Ejemplo físico: T : R 3 R podría ser la función escalar que da la temperatura en cada punto del espacio. Otro ejemplo físico: V : R 4 R 3 podría ser la función que da la dirección y velocidad de un fluido en cada punto (x, y, z) del espacio en cada instante t. A continuación vamos a ver cómo se pueden representar gráficamente las funciones escalares y vectoriales. Empezamos con las funciones escalares. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.3. Curvas y superficies de nivel 30 / 43

31 1.3. Curvas y superficies de nivel Definición (Gráfica de una función escalar) Sea U R n y sea f : U R una función escalar. La gráfica de f es el siguiente subconjunto de puntos de R n+1 : gra(f ) = {( x 1,..., x n, f (x 1,..., x n ) ) R n+1 : (x 1,..., x n ) U }. Veamos unos ejemplos de gráficas en bajas dimensiones. n = 1: n = 2: Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.3. Curvas y superficies de nivel 31 / 43

32 1.3. Curvas y superficies de nivel Para n 3, no podemos dibujar gráficas de funciones f : R n R. No obstante, se puede representar estas funciones usando otro concepto. Definición (Conjunto de nivel) Sea U R n, sea f : U R una función escalar, y sea c R. El conjunto de nivel c de f es el conjunto de puntos {P U : f (P) = c}. Para n = 2, llamaremos tales conjuntos curvas de nivel; para n = 3, los llamaremos superficies de nivel. Veamos como se puede representar tales conjuntos gráficamente Curvas de nivel Consideramos la gráfica de f : R 2 R. Tomamos su intersección con el plano z = c. Esta intersección nos da una curva (posiblemente no conexa) en el espacio. La curva de nivel c de f se obtiene entonces proyectando esta curva del espacio al plano xy. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.3. Curvas y superficies de nivel 32 / 43

33 Curvas de nivel Vamos a ver unos ejemplos de curvas de nivel que, además de su interés propio, serán muy útiles para nosotros más adelante. En estos ejemplos, se nos dará una función escalar R 2 R. Empezaremos mirando las curvas de nivel de la función, y esto nos hará entender mejor la gráfica de f, que miraremos a continuación. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.3. Curvas y superficies de nivel 33 / 43

34 Curvas de nivel Ejemplo 1: Sea f : R 2 R, (x, y) x 2 + y 2. Esta función da la longitud (o magnitud) al cuadrado del vector de posición del punto (x, y). La curva de nivel c 0 de f es un círculo de radio c centrado en el orígen. La gráfica de f es una superficie llamada paraboloide de revolución, pues se puede obtener como unión de las rotaciones de una parábola alrededor de su eje de simetría. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.3. Curvas y superficies de nivel 34 / 43

35 Curvas de nivel Ejemplo 2: Sea f : R 2 R, (x, y) x 2 y 2. Miremos las curvas de nivel c. c 0: tenemos una curva con ecuación y = ± x 2 c. Para c > 0, es una hipérbola contenida en la región {(x, y) : y < x}. Para c < 0, es una hipérbola contenida en {(x, y) : y > x}. c = 0: tenemos la curva y = ±x. La gráfica de f es una superficie llamada paraboloide hiperbólico. También se conoce como superficie de silla de montar, por su apariencia. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.3. Curvas y superficies de nivel 35 / 43

36 Curvas de nivel Ejemplo 3: Sea f : R 2 R, (x, y) x 2 + 4y 2. De nuevo, miremos primero las curvas de nivel para obtener conocimiento geométrico de la superficie. Para cada c 0, la curva de nivel c es una elipse, con ecuación x 2 + 4y 2 = c. (Para c < 0 la curva es el conjunto vacío.) La gráfica de f es una superficie llamada paraboloide eĺıptico. El paraboloide de revolución visto anteriormente es el caso particular de paraboloide eĺıptico en el cual las elipses de nivel son círculos. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.3. Curvas y superficies de nivel 36 / 43

37 Curvas de nivel Resumiendo: para las funciones del tipo f (x, y) = a 1 x 2 + a 2 y 2 + a 3 (con coeficientes fijos a i R, con a 1, a 2 no nulos), las gráficas se pueden clasificar del modo siguiente. 1) Cuando a 1, a 2 tienen el mismo signo: la gráfica de f es un paraboloide eĺıptico. Caso particular: cuando a 1 = a 2, la gráfica es un paraboloide (eĺıptico) de revolución. 2) Cuando a 1, a 2 tienen signo distinto: la gráfica de f es un paraboloide hiperbólico (silla de montar). Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.3. Curvas y superficies de nivel 37 / 43

38 Curvas de nivel Ejemplo 4: Sea f : R 2 R, (x, y) sin 2 (x 2 + y 2 ). Este ejemplo sirve para ilustrar la idea general siguiente: para entender una función (dibujar su gráfica, en particular) es útil buscar primero simetrías de la función, es decir cambios de las variables que dejan invariante el valor de la función. Esto a menudo permite reducir la aparente complejidad de la función y así facilitar su estudio. En el caso de f aquí, observamos la simetría siguiente: no cambia f (x, y) si cambiamos x, y de forma que se mantenga igual el valor de x 2 + y 2, es decir la distancia de (x, y) al orígen. Dicho de otra forma, f es invariante por rotaciones de (x, y) alrededor de (0, 0). Esto sugiere cambiar (x, y) a coordenadas polares para simplificar la expresión de f. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.3. Curvas y superficies de nivel 38 / 43

39 Curvas de nivel Ejemplo 4 (continuación): f : R 2 R, (x, y) sin 2 (x 2 + y 2 ). Ponemos: { x = r cos θ y = r sin θ Substituimos en f (x, y). Obtenemos f (r, θ) = sin 2 (r 2 ) independiente de θ! Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.3. Curvas y superficies de nivel 39 / 43

40 1.3.2 Superficies de nivel La idea aquí es la misma que para las curvas de nivel, pero ahora, típicamente, ya no podemos dibujar la gráfica de f. Ejemplo 1: Sea f : R 3 R, (x, y, z) x 2 + y 2 + z 2. No podemos dibujar la gráfica de esta función. Pero podemos dibujar sus superficies de nivel! Para c 0, la superficie de nivel c de f tiene ecuación x 2 + y 2 + z 2 = c. Esto da una esfera centrada en el orígen y de radio c. (Para c < 0 la superficie de nivel es.) Se puede ver este ejemplo como una versión en dimensión 4 del paraboloide de revolución. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.3. Curvas y superficies de nivel 40 / 43

41 1.3.2 Superficies de nivel Ejemplo 2: Sea f : R 3 R, (x, y, z) x 2 + y 2 z 2. De nuevo, podemos mirar las superficies de nivel c para varios valores de c, y hacernos así una idea de la geometría de la gráfica de f. Aquí la superficie de nivel c es interesante tanto para c < 0 y c = 0 como para c > 0. Este ejemplo se puede ver como una versión en dimensión 4 del paraboloide hiperbólico. Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.3. Curvas y superficies de nivel 41 / 43

42 1.3.2 Representar funciones vectoriales Es habitual llamar tanto a las funciones vectoriales como a sus representaciones campos vectoriales (sobre todo en física). Para representar gráficamente una función vectorial F definida en U, se dibuja, en varios puntos x U, el vector con punto inicial x, y punto final x + F (x). Haremos esto sobre todo para campos vectoriales R 2 R 2 ; se puede hacer también para campos R 3 R 3. Ejemplos: Representar los campos vectoriales dados por F 1 : R 2 R 2, (x, y) (1, 1), y F 2 : R 2 R 2, (x, y) (x, y). Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.3. Curvas y superficies de nivel 42 / 43

43 1.3.2 Representar funciones vectoriales Dado un campo vectorial F : R 2 R 2, podemos ver cada vector en cada punto como indicando la dirección y velocidad que seguiría una particula en ese punto. Se suele llamar un campo vectorial interpretado de esta manera un campo de velocidad, y sus vectores vectores de velocidad (por ejemplo en dinámica de fluidos). Problema: colocamos una partícula en un punto P R 2 y dejamos que evolucione según el campo de velocidades. Podemos hallar la trayectoria que describirá la partícula? Problema inverso: Cómo y bajo qué condiciones se puede obtener (reconstruir) un campo vectorial a partir de un conjunto de trayectorias? (Mencionaremos estos problemas de nuevo más adelante.) Capítulo 1. Introducción al espacio de varias variables 1.3. Curvas y superficies de nivel 43 / 43