Descomposición de Jordan Gonzalo Flores García Julio 7 Problema. Obtenga la descomposición de Jordan de la matriz A = 5 4 4 Solución. Se puede verificar que p A (λ) = A λi = ( λ) 4, con lo que el único valor propio de A es λ =, con multiplicidad algebraica α A () = 4. Busquemos los vectores propios para este valor propio. Para ello debemos resolver el sistema (A I)v =, es decir 5 4 Notamos inmediatamente que las filas, y 4 definen la misma ecuación (v 4 = v ). De la fila 3 se deduce que v = v 4 5v = v 5v = v. Así, obtenemos que la solución del sistema está dada por v = α + β, α, β R. De esta forma obtenemos que la multiplicidad algebraica del único valor propio es γ A () =. en particular, la matriz no es diagonalizable. Obtengamos ahora vectores propios generalizados para construir la descomposición de Jordan. Para ello, debemos estudiar el sistema (A I)v = u, para u perteneciente al subespacio vectorial generado por los vectores ya obtenidos. Más concretamente,
debemos resolver el sistema 5 4 α α β α para α, β R. Notamos que el sistema es incompatible si α = (viendo, por ejemplo, las filas y ). Luego, para tener soluciones debemos imponer α =. Imponiendo además β = (para no tener un lado derecho nulo) el sistema resulta 5 4 de donde como antes, se deduce que v 4 = v y,, v = v 4 5v + = v 5v + = v +, con lo que finalmente la solución resulta v = γ + δ + Antes de continuar, detallemos un poco lo recién realizado. Cuando llegamos a la conclusión de que α =, significa que el vector asociado (,,, ) no cuenta con vectores propios generalizados. Luego, la solución obtenida entrega un vector propio generalizado para (,,, ). Es decir, hasta ahora contamos con los vectores v = v = v, = γ + γ δ γ donde γ, δ R. La pregunta que surge ahora es que valores debemos asignar a dichas constantes. Para responder esto, debemos seguir con el procedimiento, ya que aun nos falta encontrar un vector para completar una base de R 4. Dichas constantes deben ser tales que el siguiente sistema a evaluar ((A I)v = v, ) no sea incompatible. Planteando el sistema nos queda que 5 4 γ + γ δ γ
Para que dicho sistema sea compatible, de las filas y vemos que γ+ = γ, es decir, = γ. En vista de esto, imponemos γ = / y δ =, con lo que / v, = / y el sistema a analizar queda como 5 4 / / Vemos así que v 4 = v + / y que v = v 4 5v = v + / 5v = v + /, con lo que la solución finalmente queda v = α + β + / / con lo que se obtuvieron los vectores buscados. Más precisamente, tenemos que v = v = v, = v, = donde hemos ponderado los vectores para evitar la aparición de fracciones (recordar que esto era posible para los vectores propios, y también lo es para los vectores propios generalizados, teniendo el cuidado de ponderar todos los vectores propios generalizados asociados a un vector propio dado por el mismo factor y ponderar dicho vector también). En virtud de lo anterior, podemos construir las matrices P y J como P =, 3
J = Resumen del método En general, para obtener la descomposión de Jordan de una matriz dada, debemos seguir los siguientes pasos:. Calcular el polinomio característico p A (λ) y hallar los valores propios de A.. Obtener una base de vectores propios para A. 3. Aquí tenemos casos: i) Si para todo valor propio las multiplicidades algebraica y geométrica coinciden, la matriz es diagonalizable. En este caso la matriz J es diagonal y P está conformada por los vectores propios de A. ii) Para cada valor propio tal que las multiplicidades algebraica y geométrica no coinciden, realizamos el siguiente proceso: (a) Definimos W como el subespacio propio asociado al valor propio actual, cuya base está dada por los vectores propios asociados. (b) Resolvemos el sistema (A λi)v = u para u W λ. Más precisamente, si {v,..., v k } es una base de W λ, entonces resolvemos el sistema (A λi)v = En la práctica, se resuelven los sistemas λ i v i. i= (A λi)v = v i. Si todos ellos resultan ser incompatibles, es necesario encontrar valores de λ i para obtener una combinación lineal que haga que el sistema tenga solución. De ser este el caso, debemos reemplazar uno de los vectores de la base de W λ por la combinación lineal mencionada (cualquiera que sea utilizado en dicha combinación). En cualquier caso, contaremos finalmente con una base de W λ tal que el último sistema escrito tiene solución para al menos uno de los vectores de dicha base. (c) Para cada elemento de la base de W tal que el sistema (A λi)v = v i tenga solución, realizamos el siguiente proceso: I. Resolvemos el sistema (A λi)v = v i, cuya solución es siempre un elemento de W más un vector constante, es decir (A λi)v = v i v = w + u, w W. II. Si el sistema (A λi)v = u es compatible, definimos v i, = u. Si 4
no, buscamos una combinación lineal de la base de W tal que el sistema (A λi)v = u + λ n v n sea compatible y definimos v i, como u más dicha combinación lineal. III. Iteramos el procedimiento, es decir, resolvemos el sistema (A λi)v = v i,j, de donde obtenemos u tal que v = u + w, con w W. Si el sistema (A λi)v = u es compatible, definimos v i,j+ = u. Si no, buscamos una combinación lineal de la base de W y vectores propios generalizados v i,,..., v i,j tal que j (A λi)v = u + λ n v n + µ n v i,n n= sea compatible, y definimos v i,j+ como dicha combinación lineal. Si tal combinación lineal no existe, ya hemos terminado con esta cadena. n= n= 5