Ejercicios Resueltos Tema 4

Transcripción

1 Ejercicio 1 Estudiar si la aplicación f : R 2 R 2 R definida por f ((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = x 1 y 1 3x 1 x 2 es una forma bilineal. Solución. No es forma bilineal ya que y f (α(x 1, x 2 ) + β(x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = f ((αx 1 + βx 1, αx 2 + βx 2 ), (y 1, y 2 )) = (αx 1 + βx 1 )y 1 3(αx 1 + βx 1 )(αx 2 + βx 2 ) M.A.García y T. Ramírez Proyecto OCW de la UPV/EHU. 1 / 18

2 αf ((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) + βf ((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = α(x 1 y 1 3x 1 x 2 ) +β(x 1 y 1 3x 1 x 2 ) = (αx 1 + βx 1 )y 1 3αx 1 x 2 3βx 1 x 2 y ambas expresiones no coinciden. Por ejemplo, si α = 2 (x 1, x 2 ) = (1, 1), β = 1, (x 1, x 2 ) = (1, 0), entonces f (2(1, 1) + (1, 0), (y 1, y 2 )) = f ((3, 2), (y 1y 2 )) = 3y 1 18 y 2f ((1, 1), (y 1, y 2 )) + f ((1, 0), (y 1, y 2 )) = 3y 1 6. M.A.García y T. Ramírez Proyecto OCW de la UPV/EHU. 2 / 18

3 Ejercicio 2 Hallar la matriz asociada de la forma bilineal f : R 3 R 3 R definida por f ((x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 )) = 3x 1 y 1 2x 1 y 2 + 5x 2 y 1 + 7x 2 y 2 8x 2 y 3 + 4x 3 y 2 x 3 y 3 respecto de la base B R 3 = {(2, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 0, 1)} Solución. Sea A Mat 3 3 (R) la matriz asociada a la forma bilineal f respecto de la base B R 3. Por definición de matriz asociada a una forma bilineal, el elemento a ij de la matriz es f (v i, v j ). Por tanto, f ((2, 1, 0), (2, 1, 0)) = 25 f ((2, 1, 0), (1, 1, 1)) = 6 f ((2, 1, 0), (0, 0, 1)) = 8 f ((1, 1, 1), (2, 1, 0)) = 25 f ((1, 1, 1), (1, 1, 1)) = 8 f ((1, 1, 1), (0, 0, 1)) = 9 M.A.García y T. Ramírez Proyecto OCW de la UPV/EHU. 3 / 18

4 f ((0, 0, 1), (2, 1, 0)) = 4 f ((0, 0, 1), (2, 1, 0)) = 4 f ((0, 0, 1), (0, 0, 1)) = 1 Por tanto la matriz pedida es A = M.A.García y T. Ramírez Proyecto OCW de la UPV/EHU. 4 / 18

5 Ejercicio 3 Sea f ((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = 2x 1 y 1 4x 1 y 2 4x 2 y 1 + bx 2 y 2 una forma bilineal simétrica sobre R 2. Determinar b de manera que f sea degenerada. En tal caso, hallar (R 2 ) Solución. Por definición de forma bilineal simétrica degenerada, f es degenerada si y sólo si el núcleo de f es no nulo. Ahora, (R 2 ) = {(x 1, x 2 ) R 2 f ((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = 0, (y 1, y 2 ) R 2 } = {(x 1, x 2 ) R 2 f ((x 1, x 2 ), (1, 0)) = 0 = f ((x 1, x 2 ), (0, 1))} = {(x 1, x 2 ) R 2 2x 1 4x 2 = 0 = 4x 1 + bx 2 }. M.A.García y T. Ramírez Proyecto OCW de la UPV/EHU. 5 / 18

6 Pero el sistema de ecuaciones lineales { 2x 1 4x 2 = 0 4x 1 + bx 2 = 0 es compatible indeterminado si y sólo si la matriz del sistema es de rango 1, o sea tiene determinante nulo. Por tanto, la condición que debemos imponer es: 0 = b = 2b 16 y f es degenerada si y sólo si b = 8. En este caso, (R 2 ) = {(x 1, x 2 ) R 2 2x 1 4x 2 = 0} = {(2x 2, x 2 ) x 2 R}. M.A.García y T. Ramírez Proyecto OCW de la UPV/EHU. 6 / 18

7 Ejercicio Calcular la signatura de la matriz A = Mat 3 3 (R) Solución. Para calcular la signatura de A necesitamos buscar una matriz diagonal D que sea congruente con A. Si interpretamos A como la matriz asociada a una aplicación bilineal simétrica f : V V R, donde V es de dimensión 3, respecto de la base B V = {v 1, v 2, v 3 }, observamos que v 1, v 2 son dos vectores no isotropos ortogonales entre sí, luego para construir una base ortogonal de V necesitamos un tercer vector w 3 que sea ortogonal tanto a v 1 como a v 2. Ahora, M.A.García y T. Ramírez Proyecto OCW de la UPV/EHU. 7 / 18

8 < v 1, v 2 > = { α iv i (α 1 α 2 α 3 ) = (α 1 α 2 α 3 ) = 0} = { 3 α iv i α 1 + α 3 = 0 = α 2 + 2α 3 } = {α 1 v 1 2α 1 v 2 α 1 v 3 α 1 R} y la base ortogonal que buscamos es {v 1, v 2, v 1 2v 2 v 3 }. Respecto de esta base la matriz asociada a f es D = Por tanto, la signatura de A es (1, 2). M.A.García y T. Ramírez Proyecto OCW de la UPV/EHU. 8 / 18

9 Ejercicio 5 Sea V un R-espacio vectorial de dimensión 3 y f : V V R una forma bilineal simétrica con matriz asociada respecto de la base B = {v 1, v 2, v 3 } A = (i) Demostrar que f es definida positiva. (ii) Calcular la forma cuadrática asociada a f. Solución. (i) Aplicando el Criterio de Sylvester basta con demostrar que los determinantes de los menores principales son todos positivos (a) 5 > 0; 5 2 (b) = 6 > 0; M.A.García y T. Ramírez Proyecto OCW de la UPV/EHU. 9 / 18

10 (c) = 4 > 0. (ii) Por definición de forma cuadrática: ψ( α 1 α i v i ) = (α 1 α 2 α 3 ) α α 3 = 5α α 1α 2 + 6α 1 α 3 + 2α α 2α 3 + 3α3 2 M.A.García y T. Ramírez Proyecto OCW de la UPV/EHU. 10 / 18

11 Problemas Resueltos Tema 4 Problema 1 Sea f : V V R la forma bilineal simétrica que satisface: f (e 1, 2e 2 ) = 2, f (e 1, e 3 ) = 2, f (3e 2, 3e 3 ) = 6, f (e 1, e 1 ) = f (e 3, e 3 ) = 0, f (e 2, e 2 ) = 1, siendo B = {e 1, e 2, e 3 } una base arbitraria de V. Calcular: (i) La matriz asociada a f respecto de la base B y f (v 1, v 2 ) con v 1, v 2 V. (ii) Determinar la matriz asociada a f respecto de la base B = {u 1, u 2, u 3 }, siendo u 1 = e 1 + e 2, u 2 = e 1 + e 3, u 3 = e 2 + e 3. M.A.García y T. Ramírez Proyecto OCW de la UPV/EHU. 11 / 18

12 Problemas Resueltos Tema 4 Solución. (i) Por definición de matriz asociada a la forma bilineal f respecto de una base se tiene que si A = (a ij es la matriz asociada a f respecto de la base B, entonces a ij = f (e i, e j ), luego A = Además, empleando la expresión matricial de una forma bilineal, 3 3 se tiene que si v = α i e i y w = β i e i, entonces β 1 f (v, w) = (α 1 α 2 α 3 ) β β 3 = β 1 α 2 + 2β 1 α 3 + β 2 α 1 β 2 α 2 β 2 α 3 + 2β 3 α 1 β 3 α 2 M.A.García y T. Ramírez Proyecto OCW de la UPV/EHU. 12 / 18

13 Problemas Resueltos Tema 4 (ii) Por la relación que existe entre matrices asociadas a la misma forma bilineal, sabemos que si B es la matriz asociada a f respecto de la base B, entonces B = M B t B AM B B t = = M.A.García y T. Ramírez Proyecto OCW de la UPV/EHU. 13 / 18

14 Problemas Resueltos Tema 4 Problema Sea V un R-espacio vectorial de dimensión 4 y A = la matriz asociada a la forma bilineal f con respecto a la base B = {e 1, e 2, e 3, e 4 }. (i) Hallar f (v, w), siendo v, w V. Es f simétrica? (ii) Determinar, si es posible, una base ortogonal respecto de f y calcular la matriz D asociada respecto de la misma. (iii) Localizar P matriz inversible tal que D = P t AP. M.A.García y T. Ramírez Proyecto OCW de la UPV/EHU. 14 / 18

15 Problemas Resueltos Tema 4 Solución. (i) De la expresión matricial de f se deduce que si v = w = 4 β i e i, entonces 4 α i e i y β 1 f (v, w) = (α 1 α 2 α 3 α 4 ) β β β 4 = β 1 α 1 + β 1 α 3 + 2β 2 α 2 + 3β 2 α 3 + 4β 2 α 4 + β 3 α 1 + 3β 3 α 2 + 3β 3 α 3 + 5β 3 α 4 + 4β 4 α 2 + 5β 4 α 3 + 4β 4 α 4 M.A.García y T. Ramírez Proyecto OCW de la UPV/EHU. 15 / 18

16 Problemas Resueltos Tema 4 La forma bilineal f es simétrica porque su matriz asociada es simétrica. (ii) Observamos que los vectores e 1 y e 2 son ambos no isótropos y además f (e 1, e 2 ) = 0, luego son ortogonales. Por tanto, para localizar una base ortogonal necesitamos dos vectores más que sean ortogonales entre sí y ortogonales a e 1 y e 2. Ahora, < e 1, e 2 > = { α i e i f ( α i e i, e 1 ) = 0 = f ( α i e i, e 2 )} = { = { 4 α i e i α 1 + α 3 = 0 = 2α 2 + 3α 3 + 4α 4 } 4 α i e i α 3 = α 1, α 4 = α 4, α 2 = 3 2 α 1 2α 4 } = < e e 2 e 3, 2e 2 + e 4 > M.A.García y T. Ramírez Proyecto OCW de la UPV/EHU. 16 / 18

17 Problemas Resueltos Tema 4 El vector 2e 2 + e 4 es ortogonal a e 1, e 2 y es no isotropo, luego puede formar parte de una bse ortogonal junto a e 1 y e 2. Para hallar el último vector que nos falta calculamos < e 1, e 2, 2e 2 + e 4 > = { α i e i f ( α i e i, e 1 ) = 0 = f ( α i e i, e 2 ) = { = { f ( 4 α i e i, 2e 2 + e 4 ) = 0} 4 α i e i 0 = α 1 + α 3 = 2α 2 + 3α 3 + 4α 4 = α 3 4α 4 } 4 α i e i α 1 = α 2 = α 3 = 4α 4 } =< 4e 1 + 4e 2 4e 3 + e 4 > M.A.García y T. Ramírez Proyecto OCW de la UPV/EHU. 17 / 18

18 Problemas Resueltos Tema 4 Por tanto, la base ortogonal buscada es B = {e 1, e 2, 2e 2 + e 4, 4e 1 + 4e 2 4e 3 + e 4 } y la matriz asociada a f respecto a ella es: D = (iii) Por la relación existente entre matrices asociadas a la misma aplicación lineal, se sigue que P = M B B, esto es, P = M.A.García y T. Ramírez Proyecto OCW de la UPV/EHU. 18 / 18