Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática MATEM 013 -Décimo Año- -Modalidad bienal- I EXAMEN PARCIAL 013 Nombre: código: Colegio: Sábado 5 de mayo de 013
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal INSTRUCCIONES 1. El tiempo máximo para resolver este examen es de 3 horas.. Lea cuidadosamente, cada instrucción y cada pregunta, antes de contestar. 3. Este examen consta de tres partes. La primera de ellas es de respuesta corta (10 puntos), la segunda es de selección única (15 puntos) y la tercera es de desarrollo (5 puntos). 4. Las respuestas de la parte de respuesta corta y de la parte de selección debe ser contestadas en la hoja de respuestas que se le dará para tal efecto. 5. En el desarrollo debe escribir, en el espacio indicado, su nombre, código y el nombre del colegio en el cual usted está matriculado. En caso de no hacerlo, usted asume la responsabilidad sobre los problemas que se pudieran suscitar por esta causa. 6. En los ítems de selección y de respuesta corta puede usar el espacio al lado de cada ítem del folleto de examen para escribir cualquier anotación que le ayude a encontrar la respuesta. Sin embargo, sólo se calificarán las respuestas indicadas en la hoja para respuestas. 7. En los ítems de desarrollo debe aparecer todo el procedimiento que justifique correctamente la solución y la respuesta de cada uno de ellos. Utilice únicamente bolígrafo de tinta azul o negra. 8. Trabaje con el mayor orden y aseo posible. Si alguna pregunta está desordenada, ésta, no se calificará. 9. Recuerde que la calculadora que puede utilizar es aquella que contiene únicamente las operaciones básicas. 10. Trabaje con calma. Le deseamos el mayor de los éxitos.
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal I Parte. Respuesta corta. Total de puntos 10 INSTRUCCIONES: En la columna de la izquierda se presentan 10 ecuaciones con incógnita x. Resuélvalas y escriba en el espacio correspondiente en la columna de la derecha el conjunto de todos los números reales que son solución de cada una de ellas. Ecuación Conjunto solución 1. =. 7=0 3. 4= con, R; 0; 0 y 4. + +8 =0 5. 8= 6. +1 =0 7. = con R! " 8. 6+1=3+ 9. 11+4=0 10. 5=0
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal II Parte. Selección única. Total de puntos 15 puntos INSTRUCCIONES: A continuación se le presentan 15 enunciados, cada uno con cuatro opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Marque una equis (x) sobre la letra que antecede a la opción que completa de forma correcta cada enunciado. 1. La factorización completa de la expresión 49' () 63'( ( ) es: 1) 7'( )'7 9() ) 7' ()'7( 9) 3) 7' ()'9( 7) 4) 7' ()'7 9(). En la factorización de la expresión 4 ++6 uno de sus factores corresponde a: 1) +3 ) 1 3) + 4) 3 3. Sea N, al factorizar completamente la expresión 3 + ( 6 + ( 4 + ( + se obtiene 1) 3 + ( ' ( 8() ) 3 + ( '+4()' () 3) 3 + ( ' 4()'+() 4) 3 + ( ' ( 8()
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal 4. Un factor de la expresión, - +7. corresponde a: 1), +3, +9 - ), 3, +9-3), +6, +9-4), 6, +9-5. Al racionalizar el denominador de la expresión / 0 se obtiene: 1) 14 3+5 ) 914 3+5 3) 914 3+5 4) 14 3+5 6. Para racionalizar el denominador de la expresión /3+ 56 se puede 4 03 multiplicar tanto el numerador como el denominador por la expresión 56 1) 45 ( 56 ) 45. ( / 3) 45 ( 4) 45. ( /
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal 7. El residuo que se obtiene al dividir el polinomio 7')= - + 8 +4+1 por ' 1) es: 1) - ) -. - 3) -. - 4) - 8. Al simplificar la expresión 68 895: se obtiene 1) : ) :6 ': )6 3) 4) : 9. Al resolver ; : - se obtiene 1) '+ ) ) '+1) 3) '+ )' ) 6 / 4) / '+ )' ) 6
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal 10. El resultado de efectuar + = =+ es 1) ) 3) 4) 11. Al resolver 0 6 6 ++ 0 ; se obtiene: 1) 6 + 0 ; ) 6 + 0 ; 3) 6 0 ; 4) /6 + 0 ; 1. Una ecuación equivalente a 7 ' 3) =3'4+1) es 1) 3 1=0 ) 3 10=0 3) 4+6=0 4) 8+=0
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal 13. Los valores de? para los cuales la ecuación 9 +?+1=0 tiene una solución real corresponden a: 1) 1 ( 5 ) 5 ( 1 3) 4 ( 8 4) 8 ( 4 14. El conjunto solución de las ecuaciones 7')=0 y @')=0 es respectivamente S = { 3,0,,7} y { 3, 1,0, } 1 S = Con certeza se puede garantizar que un subconjunto del conjunto solución de la ecuación 7')+6 @')=0 es 1) A =B 3,0,C ) A =B3,0, C 3) A =B 18,0,1C 4) A =B 3, 1,0,,7C 15. Al despejar D en la expresión EF GH =I 1) D = EFG J ) D = EFGJ J 3) D = GEF J 4) D = GJEF J
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática -Décimo Año- -Modalidad bienal- I EXAMEN PARCIAL 013 Sábado 5 de mayo de 013 Nombre: código: Colegio: Respuestas de la I parte: Conjunto solución 1. 6. Conjunto solución. 7. 3. 8. 4. 9. 5. 10. Respuestas de la II parte: Escriba en cada espacio el número correspondiente a la respuesta que seleccionó como correcta (1 3 4) en cada ítem. Ítem 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 Respuesta
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal III Parte. Desarrollo. Total de puntos 5 INSTRUCCIONES: A continuación se le presentan 4 ejercicios. Resuélvalos en forma clara, correcta y ordenada. Deben aparecer todos los procedimientos necesarios para obtener la respuesta correcta. 1. Racionalice el denominador de la siguiente expresión y simplifique al máximo el resultado. 5 ; 5 ; 4 puntos
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal. Efectúe la operación indicada y simplifique al máximo el resultado. K3 +3 1 L K 1 3 +1 L 1 5 puntos
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal 3. Halle el conjunto solución de la ecuación + 6 = 0 6 5 puntos
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal 4. Halle el conjunto solución de la ecuación +1=+ 3 6 puntos.
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal 5. Una tarjeta de 4cm de largo por 1 cm de ancho se encuentra impresa dejando un margen del mismo ancho por los cuatro lados y de forma tal que la parte impresa ocupa un área de 0 cm. Calcule el ancho del margen. 5 puntos
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal SOLUCIÓN I Parte. Respuesta corta. Total de puntos 10 INSTRUCCIONES: En la columna de la izquierda se presentan 10 ecuaciones con incógnita x. Resuélvalas y escriba en el espacio correspondiente en la columna de la derecha el conjunto de todos los números reales que son solución de cada una de ellas. Ecuación Conjunto solución 1. = S= { }. 7=0 3. 4= con, R; 0; 0 y 4. + +8 =0 5. 8= 6. +1 =0 x = 7 x = 7 x = ± 7 S = { 7, 7} ax -bx = ( b) x a = x = a b S = a b ( x ) x x + + 4 = 0 x = x + x + = S = 0 4 0 { 0} < 0 x 8 = 4 x = 1 S = { 1} x + 1 = 0 x + 1 = 0 x = 1 x = { } S =
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal 7. 6a 4 = x x 0 3a = x = con R!" S = { 3a } 6x + 1 = 6x + 1 8. 6+1=3+ S =R 9. 11+4=0 10. 5=0 ( x )( x ) 8 3 = 0 x = 8 x = 3 S = { 3,8} x 4 = 5 3 x 4 = 15 x = 19 S = { 19} II Parte. Selección única. Total de puntos 15 puntos INSTRUCCIONES: A continuación se le presentan 15 enunciados, cada uno con cuatro opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Marque una equis (x) sobre la letra que antecede a la opción que completa de forma correcta cada enunciado. 1. La factorización completa de la expresión 49' () 63'( ( ) es: 1) 7'( )'7 9() 49' () 63'( ( ) =49' () 63(' () ) 7' ()'7( 9) =7' ()'7 9() 3) 7' ()'9( 7) 4) 7' ()'7 9(). En la factorización de la expresión 4 ++6 uno de sus factores corresponde a: 1) +3 1 4 1 6 3 3 3 6 ) 1 1 1 0 3 es un cero del polinomio entonces x 3 3) + es un factor.
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal 4) 3 3. Sea N, al factorizar completamente la expresión 3 + ( 6 + ( 4 + ( + se obtiene 1) 3 + ( ' ( 8() ) 3 + ( '+4()' () 3) 3 + ( ' 4()'+() 4) 3 + ( ' ( 8() ( ) 3x y x xy 8y 4a+ 1 a 1 ( )( ) 4a+ 1 a 1 = 3x y x 4y x + y 4. Un factor de la expresión, - +7. corresponde a: 1), +3, +9 - ), 3, +9-3), +6, +9-4), 6, +9 - ( m + 3a 3 x)( m 4 3m a 3 x + 9a 6 x ) 5. Al racionalizar el denominador de la expresión 1) 14 3+5 ) 914 3+5 3) 914 3+5 4) 14 3+5 / 0 se obtiene: 18( 5 + 4 3) 18( 5 + 4 3) = ( 5 4 3)( 5 + 4 3) 50 48 18( 5 + 4 3) 9( 5 4 3) = = +
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal 6. Para racionalizar el denominador de la expresión /3+ 56 se puede 4 03 multiplicar tanto el numerador como el denominador por la expresión 56 1) 45 ( 56 ) 45. ( / 56 45 ( 56 45. ( / =5( 3) 45 ( 4) 45. ( / 7. El residuo que se obtiene al dividir el polinomio 7')= - + 8 +4+1 por ' 1) es: 1) - ) -. - 1 1 1 1 1 1+ 4 + 64 69 P = + 8 + 4 + 1 = = 64 16 4 64 64 3) 4) -. - - 8. Al simplificar la expresión 68 1) : ) :6 895: se obtiene ( n n )( n ) ( n )( n ) n a = a = a + 1 1 + 1 1 1 ': )6 3) 4) :
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal 9. Al resolver ; : - se obtiene 1) '+ ) ) '+1) ( 1) 6 6 ( 1)( + 1) x x x x x i = = x x + 1 3 x 1 3 1 ( x ) ( ) 3) 4) '+ )' ) 6 / / '+ )' ) 6 10. El resultado de efectuar + = =+ es 1) ) 3) 4) ( + 1) ( ) ab + a ab + a a a b ab = = a b b + 1 b b + 1 11. Al resolver 0 6 6 ++ 0 ; se obtiene: 1) 6 + 0 ; ) 6 + 0 ; 3) 6 0 ; 4) /6 + 0 ; ( ) ( ) 9x 5x x 1 x + x + 3 3 15x 9x 5x + 5x x x 3 = = 3 15x ( x + x ) 3 1 = = 15x 15x 5x 3x + 3x 3 x + x 1 3 3 3
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal 1. Una ecuación equivalente a 7 ' 3) =3'4+1) es 1) 3 1=0 ) 3 10=0 3) 4+6=0 4) 8+=0 ( ) ( ) 7x 4x 1x + 9 1x + 3 = 0 7 4 + 1 9 1 3 = 0 x x x x 3x 1 = 0 13. Los valores de? para los cuales la ecuación 9 +?+1=0 tiene una solución real corresponden a: 1) 1 ( 5 = + k 36 = 0 ) 5 ( 1 3) 4 ( 8 4) 8 ( 4 k k ( ) 4k + 4 36 = 0 4k 3 = 0 ( k )( k ) 8 + 4 = 0 k = 8 k = 4 14. El conjunto solución de las ecuaciones 7')=0 y @')=0 es respectivamente S = { 3,0,,7} y { 3, 1,0, } 1 S = Con certeza se puede garantizar que un subconjunto del conjunto solución de la ecuación 7')+6 @')=0 es 1) A =B 3,0,C ) A =B3,0, C 3) A =B 18,0,1C ( ) = ( + 3)( )( 7) 1( ) ( ) = ( + 3)( + 1)( ) 1( ) ( ) + 6 ( ) = ( + 3)( )( 7) 1( ) + 6 ( + 3)( + 1)( ) 1( ) ( ) + 6 ( ) = ( + 3)( ) ( 7) ( ) + 6( + 1) ( ) P x x x x x P x Q x x x x x Q x P x Q x x x x x P x x x x x Q x P x Q x x x x x P1 x x Q1 x 4) A =B 3, 1,0,,7C
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal 15. Al despejar D en la expresión EF GH =I 1) D = EFG J ) D = EFGJ J 3) D = GEF J 4) D = GJEF J R r 1 = TV W TV R r = W TV R = r W RW TV = r W
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática -Décimo Año- -Modalidad bienal- I EXAMEN PARCIAL 013 Sábado 5 de mayo de 013 Nombre: código: Colegio: Conjunto solución Respuestas de la I parte: Conjunto solución S = 1. S= { } 6. { } S = 7. S = { 3a }. { 7, 7} 3. S = a b 0 8. S =R 4. S = { } 9. S = { 3,8} 5. S = { 1} 10. S = { 19} Respuestas de la II parte: Escriba en cada espacio el número correspondiente a la respuesta que seleccionó como correcta (1 3 4) en cada ítem. Ítem 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 Respuesta 4 4 3 3 1 3 1 4
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal III Parte. Desarrollo. Total de puntos 5 INSTRUCCIONES: A continuación se le presentan 4 ejercicios. Resuélvalos en forma clara, correcta y ordenada. Deben aparecer todos los procedimientos necesarios para obtener la respuesta correcta. 1. Racionalice el denominador de la siguiente expresión y simplifique al máximo el resultado. 5 ; 5 ; 4 puntos Solución: 3 3 3 ( x 5)( x + 5)( 5x ) + 5x 3 + x 4 3 3 3 3 3 ( 5x x )( ) 5x + 5x 3 + x 4 3 3 3 ( x 5)( x + 5)( 5x ) + 5x 3 + x 4 5x x 3 3 3 ( x 5)( x + 5)( 5x ) + 5x 3 + x 4 x ( 5 x) 3 3 3 ( x 5)( 5x ) 5x 3 x 4 + + + x = = =. Efectúe la operación indicada y simplifique al máximo el resultado. Solución: K3 +3 1 a a a + 3 3 a 1 = a a a ( a 1) 3( a + 1) a 1 a 1 ( a + 3)( a 1) ( a )( a + 1)( a 1) 3 = a a a 1 a a 3a 3 ( )( ) L K 1 3 +1 L 1 5 puntos
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal ( a a ) ( a + a ) ( a )( a + ) a a ( a 5a 3) 3 3 1 3a 3a 6 a a 3 ( )( ) a 5a 3 ( a 3)( a + 1) ( a )( a + 1) ( )( ) + = a a + 1 a 3 a + 1 = 1 = 3. Halle el conjunto solución de la ecuación x + 4 5x 4 + = 0 x( x ) ( x )( x + ) x ( x + 4)( x + ) 5xx + 4x( x + ) x( x )( x + ) x x x x x x + = 0 6 6 5 puntos = 0 { } + 6 + 8 5 + 4 + 8 = 0 0,, 14x + 8 = 0 4 x = 7 4 S = 7 4. Halle el conjunto solución de la ecuación +1=+ 3 ( x + 1) = ( x + x 3) x + 1 = 4x + 4x x 3 + x 3 4 4x = 4x x 3 6 x = x x 3 ( 6 x ) ( ) = x x 3 ( ) 4 36 1x + x = x x 3 36 1x + x = x 3x 36 = 9x 4 = x x = ± 4 4 6 puntos Si x = ( ) + 1 = + 3 5 = 5 Si x = ( ) ( ) ( ) { } + 1 + 3 5 3 S =
I Parcial MATEM-TEC-013 Décimo año - bienal 5. Una tarjeta de 4cm de largo por 1 cm de ancho se encuentra impresa dejando un margen del mismo ancho por los cuatro lados y de forma tal que la parte impresa ocupa un área de 0 cm. Calcule el ancho del margen. 5 puntos Si x es lo que mide el ancho del margen, entonces las dimensiones de la región impresa son 4 x y 1 x. Como su área es cumplir que ( x)( x) ( x) ( x) ( x)( x) = 4 1 = 0 1 6 = 0 1 6 55 + = 7 1x 6x x 55 x + x = 17 18 0 ( x)( x) 17 1 = 0 x = 17 x = 1 0 cm entonces se debe Como x debe ser menor que 6 (pues el ancho de la tarjeta es de 1) entonces el margen debe medir 1 cm.