FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS.

FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS. FUNCIÓN. Es toda aplicación entre dos conjuntos A y B formados ambos por números. f A --------> B Al conjunto A se le llama campo de existencia de la función o Dominio. Se representa por D. Al conjunto B se le llama recorrido de la función o imagen. Se representa por I. Tanto el conjunto A como el B pueden pertenecer a los números N (naturales), a los Z (enteros), a los Q (racionales), a los I (irracionales), a los R (reales) y en el caso mas general a los C (complejos). Llamaremos función real de variable real a toda aplicación de los números reales en los números reales. R ----> R Se le denomina función real porque la imagen o recorrido de la función es el conjunto R y se le llama de variable real porque su campo de existencia o Dominio es también el conjunto R. Es toda aplicación en la que x R se le hace corresponder una y R a la que llamaremos y = f(x) f x R ---------> y = f(x) R A la variable x se le denomina independiente, mientras que a la variable y se le llama dependiente, por depender de los valores de x. Toda función puede ser representada en unos ejes coordenados cartesianos, donde los pares (x,y) que se obtienen de la función y = f(x) determinaran el grafo de la función y con ellos obtendremos un conjunto de puntos, que una vez unidos determinaran la gráfica de la función y = f(x). A la variable x del par se le llama abscisa y se representa en el eje OX, mientras que a la variable y del par de le llama ordenada y se representa en el eje OY. Si el dominio A esta reducido a un conjunto de elementos, la gráfica será un conjunto de puntos aislados. Si el dominio A es un intervalo (a,b) de números reales o todo el campo de los números reales, entonces la gráfica será una línea recta o curva, según sea la función a representar.

DOMINIOS: a) Dominio de toda función polinómica : Son todos los valores de la variable x P(x) b) Dominio de y = ------ Son todos los valores de x reales excepto los valores de x que Q(x) anulen al denominador pero sin que anulen al numerador. D = x - { Q(x) = 0 } c) Dominio de y = P(x) Son todos los valores de x pertenecientes a la recta real que hacen que el radicando sea 0 D = x / P(x) 0 P(x) Se hallan las raíces de P(x) y de Q(x), se separa la recta d) Dominio de y = ------ ; real en intervalos (-,x 1 ), (x 1,x 2 ).. (x n, ) y se estudia Q(x) para un valor x en cada intervalo, que el radicando sea 0. P(x) e) Dominio de y = -------- Son todos los valores de x que hagan el radicando P(x) 0 Q(x) excepto los valores que hagan el denominador Q(x) = 0. P(x) f) Dominio de y = --------- D = x / Q(x) > 0 Q(x) g) Dominio de y = Ln P(x) Son todos los valores de x que hagan que la función a la que le aplicamos el logaritmo sea positiva. D = x / P(x) > 0 h) Dominio de las funciones e P(x), sen P(x), cos P(x) es el mismo dominio que tenga P(x) i) Dominio de las funciones inversas y = arc sen P(x), y = arc cos P(x) es la imagen de y = sen P(x) o de y = cos P(x) Función par: Cuando x R, al cambiar las x por x f(-x) = f(x). Es simétrica respecto al eje OY. y = f(x) = x 4 1, f(-x) = (-x) 4 1 = x 4 1 f(x) = f(-x) Función impar: Cuando x R, al cambiar x por x f(-x) = - f(x). Es simétrica respecto al origen de coordenadas. y = f(x) = x 3 + x, f(-x) = (-x) 3 + (-x) = - x 3 x = - (x 3 + x) f(-x) = - f(x) 2

Función inversa: Es aquella que resulta de considerar la variable dependiente como independiente y viceversa. Para resolverla, cambiamos las x por y, las y por x y a continuación despejamos la nueva y que será la f - -1 (x) Si la función es y = f(x) = x 2 + 1 ==> x = y 2 + 1 ==> y 2 = x - 1 ==> y = x 1 = f 1 (x) PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES. SUMA: (f + g)(x) = f(x) + g(x) x R. La imagen de la suma es la suma de las imágenes. Poseen las propiedades Asociativa, Conmutativa, existencia de fun-ción neutra y existencia de función opuesta y su estructura es la de grupo conmutativo con elemento neutro. PRODUCTO: (f.g)(x) = f(x).g(x) x R. La imagen del producto es igual al producto de las imágenes. Poseen las propiedades Asociativa, Conmutativa y existencia de función unidad y su estructura es la de semigrupo conmutativo con elemento unidad. Si además posee la propiedad distributiva suma-producto, junto con las operaciones suma y producto, el conjunto de las funciones posee estructura de anillo conmutativo con elemento neutro. PRODUCTO POR UNA CONSTANTE: f(k.x) = k.f(x) x R. La imagen del producto de una constante por una variable es igual al producto de la constante por la imagen de la variable. Posee las propiedades de distributiva respecto a la suma de variables, Distributiva respecto a la suma de escalares, asociativa respecto al producto de escalares y existencia del escalar unidad. En conclusión, el conjunto de las funciones que cumple las 4 propiedades de la suma y las 4 propiedades del producto por una constante, posee estructura de Espacio Vectorial sobre el cuerpo de los números reales. COMPOSICION DE FUNCIONES. (f o g)(x) = f(g(x)) Se sustituye la g(x) en todas las variables x de f(x). (g o f)(x) = g(f(x)) Se sustituye la f(x) en todas las variables x de g(x). x + 1 x + 1 x 2 + 2x + 1 f(x) = x 2 1 ; g(x) = ------ ; (f o g)(x) = f(g(x)) = ( ------ ) - 1 = -------------- - 1 = x x x 2 2 3

x 2 + 2x + 1 x 2 2x + 1 = ------------------ = -------- x 2 x 2 x 2 1 + 1 x 2 (g o f)(x) = g(f(x)) = ------------ = -------- x 2 1 x 2 1 LIMITES. TOPOLOGIA DE LA RECTA REAL. Llamamos intervalo abierto de extremos a y b (a<b) al conjunto de números reales mayores que a y menores que b. Se designara por (a,b) siendo (a,b) = { x R / a < x < b } Llamamos intervalo cerrado de extremos a y b (a<b) al conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Se designara por [a,b] siendo [a,b] = { x R / a x b } Los intervalos además pueden ser semiabiertos o semicerrados por la derecha o por la izquierda (a,b] o [a,b) es decir (a,b] = { x R / a < x b } [a,b) = { x R / a x < b } En general se denomina intervalo a todo conjunto A de la recta real, tal que dados dos puntos cualesquiera x e y A, existe un conjunto de puntos t A tal que x < t < y Además los intervalos pueden estar no acotados. (a, ) abierto no acotado por la derecha = { x R / x > a } [a, ) cerrado no acotado por la derecha = { x R / x a } (-,b) abierto no acotado por la izquierda = { x R / x < b } (-,b] cerrado no acotado por la izquierda = { x R / x b } El + o el - son símbolos que no representan a ningún punto de la recta real. 4

LIMITES. Sea y = f(x) una función real de variable real, definida en un subconjunto D de números reales y sea x = x o un punto de D. y Diremos que mi función y = f(x) tiene por limite finito L, si para cuando la variable x tienda a x o para valores mayores de x o, la y de la función tienda a L y que cuando la variable x tienda a x o para valores menores de x o, la x y de la función también tienda a L lim f(x) = L x->x o Algunas veces la función tiene limite finito L cuando la variable x tiende a infinito. Mas adelante serán las asindotas horizontales de f(x). y Significa que los valores que va tomando la función se van acercando a L siempre que los valores de x sean lo suficientemente grandes o pequeños ( ) lim f(x) = L x-> x Otras veces la función tiene limite infinito ( ) cuando la variable x tiende a un valor finito x o. Mas adelante serán las asindotas verticales de f(x). y Significa que los valores de la función son suficientemente grandes o pequeños para cualquier valor de x alrededor de x o x o x lim f(x) = x->x o Por ultimo, la función puede tener limite infinito cuando la variable x tiende a infinito. Serán las asindotas oblicuas de la función. y Significa que los valores de la función son suficientemente grandes o pequeños para cualquier valor de x sean lo suficientemente grandes o pequeños ( ) x lim f(x) = x-> 5

Operaciones. a) El limite de la suma o diferencia de un numero finito de funciones es siempre igual a la suma o diferencia de los limites de cada una de las funciones. b) El limite del producto de dos funciones definidas en un mismo intervalo es siempre igual al producto de los limites de dichas funciones. c) El limite del producto de una constante k por una función es siempre igual al producto de la constante por el limite de la función. d) El limite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los limites de ambas funciones, siempre que el limite del denominador sea distinto de cero. e) El limite de una función elevada a un numero es siempre igual al limite de dicha función elevado a dicho numero. f) El limite de la raíz enésima de una función es igual a la raíz enésima del limite de la función. g) El limite de un numero elevado a una función es siempre igual al numero elevado al limite de la función. Al calcular los limites de cualquier función pueden aparecer las siguientes operaciones L + = ; L - = - ; + = ; - Indeterminado ; - - = - L 0 = 0 ; L ( ) = ; 0 0 = 0 ; 0 ( ) Indeterminado ; ( ) ( ) = L 0 = ; L = 0 ; 0 L = 0 ; 0 0 Indeterminado ; 0 ( ) = 0 ( ) L = ; ( ) 0 = ; ( ) ( ) Indeterminado. 0 0 Indeterminado ; 0 Indeterminado ; 1 Indeterminado ; 0 = 0 Limites laterales. Son aquellos en los que el entorno que se toma de x o, es solo, bien por la derecha, bien por la izquierda de dicha variable x o. Llamaremos limite de mi función f(x) cuando x --> x o por la derecha, al valor L 1 al que tienda la función. lim f(x) = L 1 x->x o + Llamaremos limite de mi función f(x) cuando x --> x o por la izquierda, al valor L 2 al que tienda la función. lim f(x) = L 2 x->x o - 6

La condición necesaria y suficiente para que una función f(x) tenga limite en un punto x o, es que existan los limites laterales por la derecha y por la izquierda del punto y que ambos limites laterales coincidan Si lim f(x) = L 1 x->x o + lim f(x) = L 2 x->x o - L1 = L2 ===> lim f(x) = L 1 = L 2 = L x->x o Por ejemplo: x si x<1 Sea la función f(x) = Ver si tiene limite en x = 1 2 si x>1 lim f(x) = lim 2 = 2 x->1 + x->1 + No existe lim f(x) lim f(x) = lim x = 1 x->1 - x->1 + x->1 CONTINUIDAD FUNCIÓN CONTINUA. Sea f(x) una función real de variable real, definida en un intervalo D R y sea x o un punto interior, perteneciente a dicho intervalo. Diremos que f(x) es continua en x o, si se verifica que: a) f(x o ) b) lim f(x) = L ===> x->x o lim f(x) = L x->x o + lim f(x) = L x->x o - c) f(x o ) = L El limite coincide con el valor de la función. 7

Si en la figura, llamamos x - x o = x o podemos decir y y que f(x) es continua en x o si lim f(x o + x o ) = f(x o ) ==> x o ->0 f(x o ) f(x o + x) lim [f(x o + x o ) - f(x o )] = 0 ===> lim f(x o ) = 0 x o x o + x x x o ->0 x o ->0 x Si x o es el incremento de la variable y f(x o ) es el incremento de la función, diremos que f(x) es continua en x o, si para un incremento infinitesimo de la variable, le corresponde un incremento infinitesimo de la función. Diremos que f(x) es continua a la derecha de x o, si lim f(x) = f(x o ) x->x o + Diremos que f(x) es continua a la izquierda de x o, si lim f(x) = f(x o ) x->x o - Diremos que f(x) es continua en un intervalo abierto (a,b) si lo es en cada uno de sus puntos interiores. Bastara con que f(x) este definida en el intervalo (a,b) Diremos que f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si lo es en cada uno de sus puntos interiores y a la vez a la izquierda de a y a la derecha de b. DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Cuando la función falla en alguna de las condiciones para que sea continua, diremos que la función es discontinua en x o Existen tres tipos de discontinuidades, aunque una de ellas es evitable. 1) Evitable a) Si existen los limites laterales de mi función y coinciden, es decir si existe el limite de la función en el punto x o pero no existe f(x o ) real, en este caso basta con definir de nuevo la función, de forma que f(x o ) coincida con el limite y así evitar la discontinuidad. b) También será evitable, si existiendo el limite de la función, existe también la función en el punto pero f(x o ) L. Bastara con redefinir la f(x) en el x o y darle el valor L para que sea continua. 8

2) 1ª especie. a) Existen los limites laterales de la función, pero son distintos y además la función f(x o ) no existe pues no es real. En este caso existe un salto único de amplitud finita y de valor la diferencia entre los limites. b) Existen los limites laterales de la función, pero son distintos y además la función esta definida en x o. Esta f(x o ) puede ser o no, igual a uno de los limites. Si f(x o ) L 1 L 2 habrá salto doble finito. Si f(x o ) = L 1 o f(x o ) = L 2 habrá salto único finito 3) 2ª Especie Si no existe alguno de los limites laterales, o no existe ninguno de los limites laterales existirá una discontinuidad de segunda especie. Si además f(x o ) puede o no existir, habrá salto doble o único pero siempre infinito. OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS. La suma, diferencia y producto de funciones continuas, es otra función continua. El cociente de funciones continuas, lo será también salvo en el caso de que los valores de x que anulen al denominador, sin anular a la vez al numerador. En este caso la función no estará definida en el punto y no será continua. Todas las funciones polinómicas serán continuas en toda la recta real. La función exponencial será continua siempre que lo sea su exponente. Las funciones sinusoidales ( sen x y cos x) serán continuas siempre que lo sea el ángulo. La función logarítmica será continua en su dominio. La función irracional será continua en su dominio. 9

PROPIEDADES ESPECIFICAS DE FUNCIONES CONTINUAS. A) Acotación. Una función real y continua en un intervalo cerrado [a,b] esta siempre acotada. B) Teorema de Bolzano-Weirstrass. Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces la función admite un máximo y un mínimo absoluto dentro de dicho intervalo. C) Teorema de Bolzano. Si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y en los extremos del intervalo toma valores de signos opuestos, esto nos asegura que la f(x) se anula por lo menos en un punto interior del intervalo. Es decir existe por lo menos un x o (a,b) / f(x o ) = 0 Geométricamente, para que el sign f(a) sign f(b), es necesario que la función continua corte al menos en un punto al eje de abscisas y = 0. 10

DERIVACION DE FUNCIONES. CONCEPTO DE DERIVADAS. Sea y = f(x) una función real definida en un dominio D y sea x o un punto interior a dicho dominio D. Diremos que f(x) es derivable en el punto de abscisa x = x o, si existe el siguiente limite f(x) f(x o ) lim --------------, dicho limite se representa por f (x o ) y recibe el nombre de derivada. x->x o x - x o Si llamamos a x x o = x o x = x o + x o y sustituyendo en el limite queda f(x o + x o ) f(x o ) f(x o ) lim -------------------- = lim ------- = f (x o ) x o ->0 x o x o ->0 x o Llamamos derivada de una función en un punto de abscisa x o, al limite si existe, del cociente entre el incremento de la función y el incremento de la variable, cuando ésta última tienda a cero. Diremos que la función y = f(x) es derivable en todo el dominio D, cuando lo sea en cada uno de sus puntos. Interpretación geométrica Sea f(x) una función continua en el (a,b) y sean A y C dos puntos cualesquiera suficientemente cercanos, A( x o,f(x o ) ) y C( x o + x o, f(x o + x o ) ). Sea AC la recta secante a la f(x) entre los dos puntos. C Sea AB = x o el incremento de la variable x. Sea BC = f(x o ) el incremento de la función y. Si en el triángulo ABC, calculamos la pendiente de la secante AC que será m s = tg o BC f(x o ) tg o = ---- = -------- AC x o o A B x o x o + x o 11

Si hacemos que x o -> 0, el punto C se desplaza sobre la curva hasta A, con lo que las secantes irán tendiendo a la tangente a la curva en el punto A y de esta forma el ángulo o tendera a valer. Calculando limites en la ecuación de la tg o queda: f(x o ) tg = lim tg o = lim ------- = f (x o ) tg = f (x o ) o -> x o -> 0 x o La derivada de una función en un punto de abscisa x o es la pendiente de la tangente geométrica a la función en dicho punto y que coincide con la tangente trigonométrica del ángulo que forma la tangente geométrica con el eje de abscisas. a) Calculo de la ecuación de la tangente a una curva y = f(x) en un punto P(x o,y o ) La ecuación en forma punto-pendiente es de la forma y y o = m t (x x o ) donde y o = f(x o ) y m t = f (x o ) Ejemplo: Sea la curva y = Ln(x+1), calcular la ecuación de la tangente en el punto de abscisa x = 0. x o = 0 y o = Ln(0+1) = Ln 1 = 0 1 1 y = ------- ; m t = y (0) = -------- = 1 x + 1 0 + 1 La ecuación de la tangente es y 0 = 1 (x 0) y = x b) Calculo de la ecuación de la tangente a la curva y = f(x) que sea paralela a la recta de ecuación y = mx + n Aquí la m t = m r por ser paralelas. Conocida la m t podemos calcular el x o con solo derivar la curva, particularizarla para x= x o, e igualarla al valor de m t. Una vez conocido la x o, la sustituimos en la y de la curva y calculamos el y o. Ejemplo: Sea la curva y = e x + 2, Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y que sea paralela a la recta y = x 12

La pendiente de la recta y = x es m r = 1 La pendiente de la tangente m t = m r = 1 por ser paralelas. f (x o ) = e xo = m t e xo = 1 Ln e xo = Ln 1 x o = 0 y o = e 0 + 2 = 3 La ecuación de la recta tangente será y 3 = 1 (x 0) y = x + 3 Derivadas laterales Para calcular la derivada de una función y = f(x), la cual esta definida y es continua en un intervalo cerrado [a,b], será necesario calcular las derivadas laterales tanto por la derecha como por la izquierda para un valor x o en el cual cambia de valor, tanto la f(x) como su derivada. Llamaremos derivada de la función por la derecha de x o al limite de la derivada correspondiente a los valores de x mayores que el x o y que coincide con la pendiente de la tangente geométrica trazada por la derecha de x 0 f (x o + ) = lim f (x) = m t + = tg x->x o + Llamaremos derivada de la función por la izquierda de x o al limite de la derivada correspondiente a los valores de x menores que el x o y que coincide con la pendiente de la tangente geométrica trazada por la izquierda de x 0 f (x - o ) = lim f (x) = m - t = tg - x->x o En el caso de que ambas derivadas laterales coincidan y coincidan con el valor de f (x o ), podremos asegurar que la función derivada es continua, lo que nos asegurara que la f(x) es derivable para el valor x = x o. Si una función y = f(x) es derivable en un punto de abscisa x o, esto implica que f(x) es continua en dicho punto. El reciproco no es siempre cierto, es decir, toda y = f(x) continua en un punto de abscisa x 0 no tiene porque ser siempre derivable en dicho punto. Esto sucederá cuando si existan las derivadas laterales, pero sus valores no coincidan. 13

Función Derivada. Sea f(x) una función real, definida y continua en un dominio D. Si a cada abscisa x o D Se le hace corresponder el valor de la f (x) en él, se obtendrá una nueva función y = f (x) a la que se llamara función derivada. La f (x) nos da una medida de la rapidez o razón de cambio de la variable y respecto de la variable x, para cada valor particular de x. Esta razón de cambio se le llama tasa de variación instantánea. Operaciones con derivadas. Si y = k u(x) y = k u (x) Si y = u(x) v(x) y = u (x) v (x) Si y = u(x) v(x) y = u (x) v(x) + u(x) v (x) u(x) u (x) v(x) - u(x) v (x) Si y = ------ y = --------------------------- v(x) [v(x)] 2 Si y = f [ g(x) ] y = f [g(x)] g (x) (Función de función) Cuadro de derivadas inmediatas. y = k y = 0 y = x y = 1 y = [u(x)] n y = n [u(x)] n-1 u (x) y = e u(x) y = a u(x) y = u (x) e u(x) y = u (x) a u(x) ln a u (x) y = Ln u(x) y = ------- u(x) u (x) 1 y = log a u(x) y = ------- ------ u(x) ln a 14

y = sen u(x) y = cos u(x) y = u (x) cos u(x) y = - u (x) sen u(x) u (x) y = tg u(x) y = ------------ = u (x) sec 2 u(x) = u (x) [ 1 + tg 2 u(x) ] cos 2 u(x) u (x) y = cotg u(x) y = - ------------ = - u (x) cosec 2 u(x) = - u (x) [ 1 + cotg 2 u(x) ] sen 2 u(x) y = sec u(x) y = u (x) sec u(x) tg u(x) y = cosec u(x) y = - u (x) cosec u(x) cotg u(x) u (x) y = arc sen u(x) y = ---------------- 1 [ u(x)] 2 - u (x) y = arc cos u(x) y = ---------------- 1 [ u(x)] 2 u (x) y = arc tg u(x) y = ------------- 1 + [u(x)] 2 - u (x) y = arc cotg u(x) y = ------------- 1 + [u(x)] 2 Derivación logarítmica. Sea y = [u(x)] v(x) Ln y = Ln [u(x)] v(x) ; Ln y = v(x) Ln u(x) ; Aplicamos la función derivada a los dos miembros. y u (x) -- = v (x) Ln u(x) + v(x) ------- y u(x) u (x) y = [ v (x) Ln u(x) + v(x) ------- ] [u(x)] v(x) u(x) 15

Derivadas sucesivas. Sea f(x) una función real, definida, continua y derivable dentro de un dominio D, es decir que si exista la f (x). Si la f (x) es de nuevo derivable en D, a la función derivada de la f (x), se le llama derivada segunda y se representa por f (x). Procediendo de igual forma podremos llegar a definir la derivada enésima como, la función derivada de la función f n-1 (x) y se representara por f n (x). Diferencial de una función. Dada una función y = f(x) que sea continua y derivable en un dominio contenido en R, Llamamos diferencial de la función y lo representaremos por dy, al producto de la derivada de la función por la diferencial de la variable x. dy = f (x) dx Teorema de Rolle Definida y continua en [a,b]. Hipótesis: Sea f(x) una función Derivable en (a,b) f (x) continua en (a,b). f(a) = f(b). La función toma el mismo valor en sus extremos. Tesis: Existe al menos un valor x o (a,b) / f (x) = 0 Rolle me asegura que existe por lo menos un x o en el que la función presenta un máximo o un mínimo con tangente horizontal de pendiente m t = 0. Además no puede ser un punto de inflexión (que también puede tener tangente horizontal) ya que entonces no se cumpliría que f(a) = f(b) Teorema de Lagrange o del valor medio. Hipótesis : Sea f(x) una función Continua en el [a,b] Derivable en (a,b) f(b) f(a) f (x o ) Tesis: Existe al menos un x o (a,b) / -------------- = ------- f(b) f(a) = f (x o ) (b a) b a 1 16

El teorema se le denomina del valor medio ( intermedio) porque si la función es derivable en un intervalo (a,b), siempre existirá un x o dentro del (a,b) tal que la diferencia de los valores que toma la función en los extremos del intervalo es siempre igual al producto de la longitud del intervalo por la derivada de la función particularizada en x o B Geométricamente, si trazamos la cuerda entra los extremos f(b)-f(a) A y B de la gráfica, podemos calcular la tangente trigonométrica A f(b) f(a) tg = ------------- nos la pendiente de la cuerda, pero por x o b-a a b-a b Lagrange tg = f (x o ) lo que nos indica que la recta tangente a la curva tiene que ser paralela a la cuerda entre A y B. Aplicaciones del teorema de Lagrange. Si una función f(x) es continua en el cerrado [a,b] y tal que f (x) = 0 para todo x (a,b), podemos asegurar que la función f(x) es función constante en [a,b]. Si una función f(x) es continua en el cerrado [a,b], derivable en el (a,b) y tal que f (x) > 0 para todo x (a,b), podemos asegurar que la función f(x) es creciente en [a,b]. Si una función f(x) es continua en el cerrado [a,b], derivable en el (a,b) y tal que f (x) < 0 para todo x (a,b), podemos asegurar que la función f(x) es decreciente en [a,b]. Regla de L Hôpital. Sean dos funciones f(x) y g(x) derivables en un entorno reducido de x o y que 0 f(x) 0 f (x) lim f(x) = lim g(x) = lim ----- = -- = lim ------- x->x o x->x o x->x o g(x) 0 x->x o g (x) Habrá que ir derivando numerador y denominador por separado, tantas veces como sea necesario hasta que desaparezca la indeterminación 0/0 o / 17

Calculo de limites indeterminados. a) Si la indeterminación es del tipo 0 f(x) 0 lim f(x) g(x) = 0 = lim ---------- = -- = L Hôpital x->x o x->x o 1 / g(x) 0 g(x) lim f(x) g(x) = 0 = lim ---------- = -- = L Hôpital x->x o x->x o 1 / f(x) b) Si la indeterminación es del tipo - 1) Si f(x) y g(x) son cocientes realizamos las operaciones necesarias para que aparezcan indeterminacioes 0, 0/0 o / 2) Si f(x) o g(x) son irracionales, multiplicaremos y dividiremos por su función conjugada y luego dividiremos numerador y denominador por la mayor potencia de x 1 / g(x) 1 / f(x) 3) Se puede realizar el cambio f(x) g(x) = f(x) [ 1 - g(x) / f(x) ] = --------------------- 1 / f(x) g(x) c) Si la indeterminación es del tipo 0 0, 1 o 0 lim [f(x)] g(x) = e p / p = lim g(x) Ln f(x) Si p sale indeterminada habrá que quitar la x->x o x->x o indeterminación con los casos anteriores. En el caso particular de indeterminación 1 polinomicas, en el que f(x) y g(x) son funciones lim [f(x)] g(x) = 1 = e p / p = lim g(x) [ f(x) 1 ] x->x o x->x o 18

ANALISIS DE LAS FUNCIONES MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN Es el estudio de las funciones crecientes y decrecientes, bien en un punto, bien en un intervalo. Los puntos en los que la función cambia de monotonía, se llaman puntos críticos y son los máximos y los mínimos relativos de mi función. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES. 1.- Una función es estrictamente creciente en un intervalo, si para dos valores cualesquiera x, x 1 pertenecientes al intervalo f(x+h) - f(x) x < x 1 ==> f(x) < f(x 1 ) o también que -------------- > 0 h 2.- Una función es creciente en un intervalo, si para dos valores cualesquiera x, x 1 pertenecientes al intervalo f(x+h) - f(x) x < x 1 ==> f(x) f(x 1 ) o también que --------------- 0 h 1.- Una función es estrictamente decreciente en un intervalo, si para dos valores cualesquiera x, x 1 pertenecientes al intervalo f(x+h) - f(x) x < x 1 ==> f(x) > f(x 1 ) o también que --------------- < 0 h 2.- Una función es decreciente en un intervalo, si para dos valores cualesquiera x, x 1 pertenecientes al intervalo f(x+h) - f(x) x < x 1 ==> f(x) f(x 1 ) o también que ---------------- 0 h MONOTONÍA EN FUNCIONES DERIVABLES.- Criterio 1. -- Si f (x) > 0 en todos los puntos de un intervalo, entonces la función es estrictamente creciente en él. -- Si f '(x) < 0 en todos los puntos de un intervalo, entonces la función es estrictamente decreciente en él. -- Si f '(x) = 0 no podremos afirmar si es creciente, decreciente o ninguna de las dos cosas. 19

Criterio 2. Si la primera derivada distinta de cero es de orden impar la función puede ser creciente o decreciente en un punto. -- Si f (2n+1 (a) > 0 ==> f(x) es estrictamente creciente en x = a -- Si f (2n+1 (a) < 0 ==> f(x) es estrictamente decreciente en x = a MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Máximo es el punto en el que la función pasa de creciente a decreciente. Mínimo es el punto en el que la función pasa de decreciente a creciente. Una función f(x) tiene en x = a un máximo relativo, si existe un entorno del punto a, tal que para todo x perteneciente a dicho entorno, se verifica: f(x) < f(a) Una función f(x) tiene en x = a un mínimo relativo, si existe un entorno del punto a, tal que para todo x perteneciente a dicho entorno, se verifica: f(x) > f(a) Si una función tiene máximos o mínimos relativos y es derivable en ellos, entonces su derivada se anula en dichos puntos. Criterio 1. -- Si a la izquierda de x = a, la f > 0 (función creciente) y a la derecha de x = a, la f < 0 (función decreciente), entonces la función alcanza un máximo relativo en ese punto (a,f(a)). -- Si a la izquierda de x = a, la f < 0 (función decreciente) y a la derecha de x = a, la f > 0 (función creciente), entonces la función alcanza un mínimo relativo en ese punto (a,f(a)). Criterio 2. -- Si f (a) > 0, la función alcanza un mínimo relativo en x = a. -- Si f (a) < 0, la función alcanza un máximo relativo en x = a. Criterio 3. -- Si la f (a) = 0 y la primera derivada distinta de cero es de orden par y positiva, la función alcanza un mínimo relativo en x = a -- Si la f '(a) = 0 y la primera derivada distinta de cero es de orden par y negativa, la función alcanza un máximo relativo en x = a 20

Extremos absolutos. Llamaremos máximo absoluto de f(x) en un dominio D, al valor f( x o ) tal que f(x o ) f(x), x D. Llamaremos mínimo absoluto de f(x) en un dominio D, al valor f( x o ) tal que f(x o ) f(x), x D. Una función y = f(x) puede tener o no máximo o mínimo absoluto, pero si lo tiene, ese valor es único y si la función es continua podemos asegurar la existencia de extremos absolutos por el teorema de Bolzano-Weirstrass. Un extremo relativo puede o no ser absoluto. Lo será si además de verificar las condiciones de extremo relativo, se verifica también que la f(x) es el mayor o el menor valor que puede tomar la función dentro del dominio D. 21

CURVATURA DE UNA FUNCIÓN Es el estudio de las funciones convexas y cóncavas, bien en un punto, bien en un intervalo. Los puntos en los que la función cambia de curvatura, se llaman puntos de inflexión. CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD. 1.- Una región es convexa cuando al unir dos puntos cualesquiera de la región, el segmento que determina, esta enteramente contenido en la región. Una región es cóncava cuando al unir dos puntos cualesquiera de la región, el segmento que determina, no esta todo contenido en la región. 2.- Una función es convexa en x = a, si la gráfica en un entorno del punto queda por encima de la recta tangente en el punto. Una función es cóncava en x = a, si la gráfica en un entorno del punto queda por debajo la recta tangente en el punto. 3.- Una función es convexa en un intervalo (a,b) si la cuerda trazada entre sus puntos extremos esta siempre por encima de los valores de la curva. Una función es cóncava en un intervalo (a,b) si la cuerda trazada entre sus puntos extremos esta siempre por debajo de los valores de la curva. CURVATURA EN FUNCIONES DERIVABLES. Criterio 1. -- Si f (x) es creciente en un intervalo (a,b), la función f(x) es convexa en dicho intervalo. -- Si f (x) es decreciente en un intervalo (a,b), la función f(x) es cóncava en dicho intervalo. Criterio 2. -- Si f (x) > 0 en un intervalo (a,b), la función f(x) es convexa en dicho intervalo. -- Si f (x) < 0 en un intervalo (a,b), la función f(x) es cóncava en dicho intervalo. 22

Criterio 3. Si la primera derivada distinta de cero es de orden par la función puede ser convexa o cóncava en un punto. -- Si f (2n (a) > 0 ==> f(x) es convexa en x = a -- Si f (2n (a) < 0 ==> f(x) es cóncava en x = a PUNTOS DE INFLEXIÓN. Son los puntos en los que la función pasa de convexa a cóncava y viceversa. Si f(x) pasa de convexa a cóncava, diremos que en x = a hay un punto de inflexión convexocóncavo. Si f(x) pasa de cóncava a convexa, diremos que en x = a hay un punto de inflexión cóncavoconvexo. Si una función f(x) tiene puntos de inflexión, entonces su derivada segunda se anula en dichos puntos. Criterio 1. -- Si a la izquierda de x = a, la f (a) > 0 (función convexa) y a la derecha de x = a, la f (a) < 0 (función cóncava) entonces x = a, es la abscisa de un punto de inflexión convexocóncavo. -- Si a la izquierda de x = a, la f (a) < 0 (función cóncava) y a la derecha de x = a, la f (a) > 0 (función convexa) entonces x = a, es la abscisa de un punto de inflexión cóncavoconvexo. Criterio 2. -- Si f (a) > 0, la f(x) tiene en x = a un punto de inflexión cóncavo-convexo. -- Si f (a) < 0, la f(x) tiene en x = a un punto de inflexión convexo-cóncavo. -- Si f (a) = 0, no podremos asegurar la existencia de punto de inflexión en x = a. Criterio 3. Si la primera derivada es distinta de cero y la siguiente derivada no nula es de orden impar, podremos asegurar que hay un punto de inflexión en x = a. -- Si f (2n+1 (a) 0, f(x) tiene un punto de inflexión en x = a. 23

ASINTOTAS. RAMAS INFINITAS. Las asintotas son rectas tangentes a la curva en el infinito. Existen tres tipos de asintotas que verifican una de las tres condiciones siguientes: lim f(x) = ; lim f(x) = b ; lim f(x) = x->a x-> x-> Asintotas paralelas al eje OY. Llamadas también asintotas verticales, son rectas x = a para las que se verifican que: lim f(x) = x->a Cuando x -> a la función tiene una rama infinita de forma que la distancia entre los puntos de la curva y los puntos de la asintota tiende a cero. Asintotas paralelas al eje OX. Llamadas también asintotas horizontales, son rectas de la forma y = b, para las que se verifican que: y = lim f(x) = b (b es un numero finito) x-> Cuando x -> la función tiene una rama infinita, de forma que la distancia entre los puntos de la curva y los puntos de la asintota tienden a cero. Asintotas oblicuas. Son rectas no paralelas ni al eje OX, ni al eje OY y de la forma y = m.x + n para las que se verifica que: lim f(x) = x-> f(x) 0 Asintota oblicua, Asintota horizontal. m = lim ---- = k Depende de n. x-> x Rama parabólica. 0 Asintota oblicua y = k.x n = lim ( f(x) - m.x ) = k' Asintota oblicua y = k.x + k' x-> Rama parabólica. Cuando x-> e y-> la función tiene una rama infinita, de forma que la distancia entre los puntos de la curva y los puntos de la asintota tienden a cero. 24

CALCULO DE PRIMITIVAS Primitiva de una función. Sea una función f(x) definida y continua en un intervalo (a,b). Llamamos primitiva de f(x) a otra función F(x) tal que F (x) = f(x) para cualquier valor de x perteneciente al intervalo, Si [F(x)] = f(x) f(x) s la derivada de F(x) F(x) es una primitiva de f(x) No existe una sola primitiva de f(x), cualquier función F(x) + C es también primitiva de f(x) ya que [ F(x) + C ] = [ F(x) ] + 0 = F (x) = f(x) Al conjunto de todas las primitivas de f(x) es lo que llamaremos integral indefinida de f(x) y se escribirá: f(x) dx = F(x) + C, C R y donde el símbolo dx (diferencial de x) solo nos indica cual es la variable de integración Nos da el incremento que se produce en la variable y, al variar la x, pero medido dicho incremento en la recta tangente. 1 1 t ------- dt = -- arc tg --- + C t 2 + 9 3 3 Esto será cierto si al derivar el segundo miembro de la ecuación me sale la f(x) 1 t 1 1/3 1 9 1 -- arc tg -- + C = -- ----------- = -- -------- = -------- 3 3 3 t 2 9 9 + t 2 t 2 + 9 1 + --- 9 Para concluir, la integral indefinida es la operación inversa de la derivación. Si integro f(x) me da la F(x), mientras que si derivo la F(x) me va a dar la f(x). Operaciones : a) La integral de la suma o diferencia de dos o mas funciones es igual a la suma o diferencia de las integrales de dichas funciones. ( f(x) g(x) ) dx = f(x) dx g(x) dx b) La integral de un numero real por una función es igual al producto del numero por la integral de la función k f(x) dx = k f(x) dx 25

c) La integral del producto o cociente de dos funciones nunca es igual al producto o cociente de las integrales de cada función. u(x) v(x) dx u(x) dx v(x) dx (ojo) Cuadro de integrales inmediatas: dx = x + C [u(x)] n+1 u (x) [u(x)] n dx = ----------- + C n - 1 n + 1 u (x) ------ dx = ln u(x) + C u(x) 1 u (x) a u(x) dx = ------ a u(x) + C ln a u (x) e u(x) dx = e u(x) + C u (x) sen u(x) dx = - cos u(x) + C u (x) cos u(x) dx = sen u(x) + C u (x) ----------- dx = u (x) [ 1 + tg 2 u(x) ] dx = tg u(x) + C cos 2 u(x) u (x) ----------- dx = u (x) [ 1 cotg 2 u(x) ] dx = - cotg u(x) + C sen 2 u(x) u (x) --------------- dx = arc sen u(x) + C 1 [u(x)] 2 u (x) -------------- dx = arc tg u(x) + C 1 + [u(x)] 2 26

Ejemplos: 1 x 5 x 5 x 1 x 5 1 5 + x 4 - --- dx = 5 x + --- - x 2 dx = 5x + --- - ----- = 5x + ---- + --- + C x 2 5 5-1 5 x x 2 7x + 1 x 2 7x 1 --------------- dx = ----- - ----- + -----. dx = (x 3/2 7 x 1/2 + x 1/2 ) dx = x x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 5/2 x 3/2 x 1/2 = ----- - 7 ----- + ---- = 2/5 x 5/2 14/3 x 3/2 + 2 x 1/2 + C 5/2 3/2 1/2 1 5 (x 3-2) 5 1 5x 2 ( x 3 2) 4 dx = 5 -- 3x 2 ( x 3 2) 4 dx = -- --------- = -- ( x 3 2 ) 5 + C 3 3 5 3 x 3 1 1 (x 4 + 2) 2 1 1 ------------ dx = x 3 (x 4 + 2) 3 dx = --- 4x 3 (x 4 + 2) 3 dx = --- ------------ = - -- ----------- + C (x 4 + 2) 3 4 4-2 2 (x 4 + 2) 2 e x + 1 -------- dx = Ln ( e x + x ) + C e x + x 2x 5 1 6x 5 1 ------- dx = 2 --- -------- dx = -- ln ( x 6 5 ) + C x 6 3 6 x 6 3 3 tg x dx = - ln (cos x) + C cotg x dx = ln (sen x) + C cos x e sen x dx = e sen x + C 27

x 1 2x 1 -------- dx = --- -------- dx = --- ln ( 1 + x 2 ) + C 1 + x 2 2 1 + x 2 2 1 1 1 2 3x dx = --- 3 2 3x dx = --- ----- 2 3x + C 3 3 ln 2 9 1 7 9 --------- dx = 9 --- ---------- dx = --- tg 7x + C cos 2 7x 7 cos 2 7x 7 1 1 / x --------------- dx = ------------- dx = - cotg (ln x) + C x sen 2 (ln x) sen 2 (ln x) - 6 1 1 3 ------------ dx = - 6 -------------- dx = - 6 --- -------------- dx = 2 arc sen (3x) + C 1 9x 2 1 (3x) 2 3 1 (3x) 2 3x x 1 2x 3 -------- dx = 3 ------------ dx = 3 --- ------------ dx = --- arc tg x 2 + C 1 + x 4 1 + (x 2 ) 2 2 1 + (x 2 ) 2 2 sen x - sen x ------------- dx = - ------------ dx = - arc tg (cos x) + C 1 + cos 2 x 1 + cos 2 x 1 1 / 4 1 1 1 1 / 2 -------- dx = -------------- dx = --- -------------- dx = --- 2 -------------- dx = 4 + x 2 4/4 + x 2 /4 4 1 + (x / 2) 2 4 1 + (x / 2) 2 = ½ arc tg (x / 2) + C sen 3 x sen 2 x cos x dx = --------- + C 3 28

cos 3 x cos 2 x sen x dx = - - sen x cos 2 x dx = - --------- + C 3 x 1 ( 1 x 2 ) 1/2 ----------- dx = x ( 1 x 2 ) -1/2 dx = - ½ - 2x ( 1 x 2 ) -1/2 dx = - --- ------------- = 1 x 2 2 1 / 2 = - 1 x 2 + C 1 1 x 2 (x 3 + 1) -7 dx = 1/3 3 x 2 (x 3 + 1) -7 dx = 1/3 (x 3 + 1) -6 / (-6) = - ---- ----------- + C 18 (x 3 + 1) 6 sen 3 x dx = sen 2 x sen x dx = ( 1 - cos 2 x) sen x dx = sen x dx - sen x cos 2 x dx = = - cos x (-1) - sen x cos 2 x dx = - cos x + cos 3 x / 3 + C e arc sen 3x e arc sen 3x 1 1 ----------------- dx = ------------------------ dx = ---- --------------- e arc sen 3x dx = ( 3 27x 2 ) 3 [ ( 1 9x 2 ) ] 3 ( 1 9x 2 ) arc sen 3x e = ------------ + C 3 1 cos 2x 1 cos 2x sen 2 x dx = { sen 2 x = -------------- } = -------------- dx = ½ dx ½ cos 2x dx = 2 2 = ½ x ½ ½ 2 cos 2x dx = ½ x ¼ sen 2x + C x 2 ---------------- dx = x 2 cos -2 ( x 3 + 9) dx = 1/3 3 x 2 cos -2 (x 3 + 9) dx = cos 2 (x 3 + 9) cos -1 (x 3 + 9) 1 = 1/3 ----------------- = - ------------------ + C - 1 3 cos (x 3 + 9) 29

Integración por partes. Sirve para integrar el producto de dos funciones cuando no son inmediatas y generalmente producto de polinomios, exponenciales, logaritmos, sinusoidales, y ciclometricas ( arcos seno y coseno). Si queremos integrar u(x) v(x) dx y resulta que : u (x) v(x) v (x) u(x) no nos queda mas remedio que hacer un cambio de variable. Si [ u v ] = u v + u v (u v) dx = u v dx + u v dx u v = v du + u dv u dv = u v - v du siendo dv = v dx v = v dx y du = u dx El cambio de variable me dará una parte ya integrada y una nueva integral de mas fácil resolución. La nueva integral será o inmediata o de nuevo integral por partes. Si la integral estuviera formada por una sola función, a esta la llamaríamos u y al dx lo llamaríamos dv. En algunas integrales de la forma e f(x) sen g(x) dx después de un par de cambios se vuelve a la integral de partida. A este tipo se le llama integral por partes recurrente. Ejemplos: u = x 3 du = 3 x 2 dx x 3 e x dx = = x 3 e x - 3 x 2 e x dx = dv = e x dx v = e x dx = e x u = x 2 du = 2 x u = x du = dx = = x 3 e x 3 [ x 2 e x 2 x e x dx ] = = dv = e x dx v = e x dv = e x dx v = e x = x 3 e x 3x 2 e x + 6 [ x e x - e x dx ] = x 3 e x 3 x 2 e x + 6 x e x 6 e x + C = e x ( x 3 3 x 2 + 6 x 6 ) + C 30

u = ln x du = (1 / x) dx x ln x dx = = ½ x 2 ln x - (x 2 / 2) (1 / x) dx = dv = x dx v = x dx = x 2 / 2 = ½ x 2 ln x ½ x dx = ½ x 2 ln x ½ x 2 / 2 = ½ x 2 ln x - ¼ x 2 + C u = x du = dx x sen x dx = = - x cos x - - cos x dx = dv = sen x dx v = sen x dx = - cos x = - x cos x + sen x + C u = cos x du = - sen x dx e x cos x dx = = e x cos x (-1) e x sen x dx = dv = e x dx v = e x dx = e x u = sen x du = cos x dx = e x cos x + e x sen x dx = = e x cos x + [e x sen x - dv = e x dx v = e x dx = e x - e x cos x dx ] = e x cos x + e x sen x - e x cos x dx I = e x cos x + e x sen x I 2 I = e x cos x + e x sen x I = e x cos x dx = ½ (e x cos x + e x sen x ) = ½ e x ( cos x + sen x) + C - 1 u = arc cos x du = ---------- dx - x arc cos x dx = 1 x 2 = x arc cos x - ---------- dx = dv = dx v = dx = x 1 x 2 = x arc cos x + x ( 1 x 2 ) ½ dx = x arc cos x ½ -2 x ( 1 x 2 ) ½ dx = (1 x 2 ) 1/2 = x arc cos x ½ ------------- = x arc cos x - 1 x 2 + C ½ 31

2 u = arc sen 2x du = ------------ dx 2x arc sen 2x dx = 1 4 x 2 = x arc sen 2x - ------------ dx dv = dx v = dx = x 1 4x 2 = x arc sen 2x - 2x ( 1 4x 2 ) -1/2 dx = x arc sen 2x (- ¼ ) (-4) 2x ( 1 4x 2 ) -1/2 dx = (1 4x 2 ) 1/2 = x arc sen 2x + ¼ ------------- = x arc sen 2x + ½ 1 4x 2 + C ½ u = 2x du = 2 dx 2x cos x dx = = dv = cos x dx v = cos 2x dx = ½ 2 cos 2x dx = ½ sen 2x = ½ 2x sen 2x ½ 2 sen 2x dx = x sen 2x ½ ( - cos 2x ) = x sen 2x + ½ cos 2x + C u = e x du = e x dx e x sen 2x dx = = dv = sen 2x dx v = sen 2x dx = ½ 2 sen 2x dx = - ½ cos 2x = - ½ e x cos 2x ( - ½ ) e x cos 2x dx = - ½ e x cos 2x + ½ e x cos 2x dx = u = e x du = e x dx = = dv = cos 2x dx v = cos 2x dx = ½ 2 cos 2x dx = ½ sen 2x = - ½ e x cos 2x + ½ [ ½ e x sen 2x - ½ e x sen 2x dx ] I = - ½ e x cos 2x + ¼ e x sen 2x ¼ I I + ¼ I = - ½ e x cos 2x + ¼ e x sen 2x 5/4 I = - ½ e x cos 2x + ¼ e x sen 2x e x sen 2x dx = 4/5 [ ¼ e x ( - ¼ cos 2x + sen 2x ) ] + C u = ln x du = 1 / x x 2 ln x dx = = 1/3 x 3 ln x - x 3 / 3x dx = dv = x 2 dx v = x 2 dx = 1/3 x 3 = 1/3 x 3 ln x 1/3 x 2 dx = 1/3 x 3 ln x 1/3 x 3 / 3 = 1/3 x 3 [ ln x - 1/3 ] + C 32

x e 3x dx = u = x du = dx = 1/3 x e 3x 1/3 e 3x dx dv = e 3x dx v = e 3x dx = 1/3 3 e 3x dx = 1/3 e 3x = 1/3 x e 3x 1/9 3 e 3x dx = 1/3 x e 3x 1/9 e 3x = 1/3 e 3x ( x 1/3 ) + C cos 2 x dx = u = cos x du = - sen x dx dv = cos x dx v = cos x dx = sen x = cos x sen x (-1) sen 2 x dx = cos x sen x + ( 1 - cos 2 x ) dx = cos x sen x + dx - cos 2 x dx 2 cos 2 x dx = cos x sen x + x cos 2 x dx = ½ (cos x sen x + x ) + C u = e 2x du = 2 e 2x dx e 2x sen x dx = = - e 2x cos x (-2) e 2x cos x dx = dv = sen x dx v = sen x dx = - cos x u = e 2x du = 2 e 2x dx = = - e 2x cos x + 2 [ e 2x sen x 2 e 2x sen x dx ] dv = cos x dx v = cos x dx = sen x I = - e 2x cos x + 2 e 2x sen x 4 I 5 I = - e 2x cos x + 2 e 2x sen x e 2x sen x dx = 1/5 e 2x ( cos x + 2 sen x) + C u = (ln x) 2 du = 2 ln x 1/x dx (ln x) 2 dx = = x (ln x) 2 2 x 1/x ln x dx = dv = dx v = dx = x u = ln x du = 1/x dx = x (ln x) 2 2 ln x dx = = x (ln x) 2 2 [ x ln x - x 1/x dx ] = dv = dx v = dx = x = x (ln x) 2 2x ln x + 2 dx = x (ln x) 2 2x ln x + 2x + C 33

Integración por cambio de variable. Este método se basa en la regla de la cadena de derivación de funciones compuestas. Sea la h(x) dx. Elegimos un cambio de variable u = (x) tal que x = (u) y que dx = (u) Al hacer el cambio podremos calcular una integral en función de u(x) mucho mas inmediata y en su resultado sustituiremos la u por (x). h(x) dx = h[ (u)] (u) du = f(u) du = F(u) = F[ (x)] + C Ejemplos: 3 dx 3 2 du 2 du ---------- = { x = 2u dx = 2 du } = ------------- = 3 ------------- = 3 arc sen u = 4 x 2 4 4 u 2 2 1 u 2 x = 3 arc sen --- + C 2 e 3x ----------- dx = { e x + 1 = u e x + 1 = u 2 e x = u 2 1 e x dx = 2u du } = e x + 1 e 2x e x dx ( u 2 1 ) 2 ------------- = ------------ 2 u du = 2 ( u 2 1 ) 2 du = 2 (u 4 2 u 2 + 1) du = u u u 5 u 3 ( e x + 1) 5 2 ( e x + 1) 3 = 2 ( ---- - 2 ---- + u ) = 2 ( ------------ - --------------- + e x + 1 ) + C 5 3 5 3 dx 3 u 2 u 2 du ----------- = { 3 x = u x = u 3 dx = 3 u 2 du } = --------- du = 3 -------------- x + 3 x u 3 + u u ( 1 + u 2 ) u 2u = 3 -------- du = 3 ½ -------- du = 3/2 ln (u 2 + 1) = 3/2 ln ( 3 x 2 + 1 ) + C 1 + u 2 u 2 + 1 x ----------- dx = { 3x 1 = u 3x 1 = u 2 x = 1/3 ( u 2 + 1 ) dx = 2/3 u du } = 3x 1 34

1/3 ( u 2 + 1 ) 2/3 u 2 u 3 = ------------------------- du = 2/9 ( u 2 + 1 ) du = --- ( --- + u ) = u 9 3 2 ( 3x 1 ) 3 = --- ( -------------- + 3x 1 ) + C 9 3 2x + 1 ---------- dx = { x + 3 = u x + 3 = u 2 x = u 2 3 dx = 2 u du } = x + 3 2 ( u 2 3 ) + 1 = ------------------ 2 u du = 2 [ ( 2u 2 6 ) + 1 ] dx = 2 ( 2u 2 5 ) dx = u u 3 4 = 2 ( 2 --- - 5u ) = --- ( x + 3) 3 10 x + 3 + C 3 3 1 2 x 3x 2 dx = { 3x 2 = u 3x 2 = u 2 x = --- ( u 2 + 2 ) dx = --- u du = 3 3 2 u 5 u 3 2 u 5 4 u 3 = 1/3 ( u 2 + 2 ) u 2/3 u du = 2/9 ( u 4 + 2u 2 ) du = --- ( --- + 2 --- ) = ----- + ----- = 9 5 3 45 27 2 ( 3x 2 ) 5 4 ( 3x 2 ) 3 = ----------------- + ----------------- + C 45 27 e 2x ( u + 1 ) ------- dx = { e x 1 = u e x = u + 1 e x dx = du } = ----------- dx = e x 1 u 1 = ( 1 + -- ) du = u + ln u = e x 1 + ln (e x 1) + C u 7 1/16 7 1 7 4 3/4 ----------- dx = 7 --------------- dx = --- --------------- dx = --- --- --------------- dx = 16 + 9x 2 1 + 9x 2 /16 16 1 + ( 3x/4) 2 16 3 1 + ( 3x/4) 2 7 = --- arc tg (3x / 4) + C 12 35

Integración de funciones racionales. P(x) Son de la forma ------- dx Q(x) Si la derivada de Q(x) es P(x), nos encontramos con una integral inmediata, cuya primitiva es Ln Q(x) + C. Si Q(x) P(x) utilizaremos el método de descomposición en fracciones simples. Lo primero es observar los grados de los dos polinomios. Si grado P(x) grado de Q(x) habrá que dividir los dos polinomios. P(x) Q(x) C(x) R(x) P(x) = Q(x) C(x) + R(x) ------ = --------------- + ------- Q(x) Q(x) Q(x) P(x) Q(x) C(x) R(x) R(x) ------ dx = --------------- dx + ------- dx = C(x) dx + ------ dx Q(x) Q(x) Q(x) Q(x) y donde grado de R(x) < grado de Q(X) Ahora en la nueva integral utilizaremos el método de descomposición en fracciones simples. Existen tres casos diferentes según sean las raíces del denominador Q(x) = 0 a) Las raíces de Q(x) = 0 son reales y distintas. Descomponemos el denominador en factores Q(x) = A (x x 1 ) (x x 2 ) (x x 3 ).. Descomponemos la fracción inicial en suma de fracciones simples, tantas como raíces reales distintas hayan salido. P(x) A B C A (x x 2 ) (x x 3 ) + B (x x 1 ) (x x 3 ) + C (x x 1 ) (x x 3 ) ------- = ------- + ------- + ------- = ---------------------------------------------------------------------------- Q(x) x x 1 x x 2 x x 3 (x x 1 ) (x x 2 ) (x x 3 ) Si los denominadores Q(x) y (x x 1 ) (x x 2 ) (x x 3 ) son iguales, podemos igualar los numeradores P(x) = A (x x 2 ) (x x 3 ) + B (x x 1 ) (x x 3 ) + C (x x 1 ) (x x 3 ) Y dándole a x los valores x 1, x 2 y x 3 podemos obtener A, B y C 36

Al sustituir en las tres integrales los valores de A, B y C obtendremos que la primitiva final será de la forma: A Ln(x x 1 ) + B Ln(x x 2 ) + C Ln(x x 3 ) + K b) Las raíces de Q(x) = 0 son reales pero múltiples (dobles, triples,..) Si Q(x) = (x x 1 ) n P(x) A B M N ------ dx = ----------- dx + ------------ dx +.. ---------- dx + -------- dx Q(x) (x x 1 ) n (x x 1 ) n-1 (x x 1 ) 2 x x 1 Operamos las fracciones descompuestas y sacamos los valores de A, B,.. M y N El resultado son integrales de potencias de exponente negativo salvo la ultima que nos da un neperiano. c) Las raíces de Q(x) = 0 no son reales, son complejas imaginarias. Mx + N Son del tipo --------------- dx ax 2 + bx + c Después de una serie de operaciones llegaremos a dos integrales, una que me dará un logaritmo neperiano y otra que me dará un arco tangente. Ejemplos: 2x + 1 3 a) ------------ dx ; x 2 x 6 = 0 x = x 2 - x 6 = (x 3) (x + 2) x 2 x 6-2 Son dos raíces reales y distintas, por lo que descomponemos en fracciones simples de la forma: 2x + 1 A B A (x + 2) + B (x 3) ------------ = ------- + ------- = -------------------------- x 2 x 6 x 3 x + 2 (x - 3) (x + 2) si x = 3 7 = 5A A = 7 / 5 2x + 1 = A (x + 2) + B (x 3) si x = -2-3 = - 5B B = 3 / 5 2x + 1 7/5 3/5 ------------ dx = ------ dx + ------- dx = 7/5 ln (x 3) + 3/5 ln (x + 2) + C x 2 x 6 x 3 x + 2 37

3x -1 b) -------------- dx ; x 2 + 2x + 1 = 0 x = raíces reales iguales x 2 + 2x + 1-1 3x A B -------------- dx = --------- dx + ------- dx = A (x + 1) -2 dx + B ln(x + 1) = x 2 + 2x + 1 (x + 1) 2 x + 1 (x + 1) -1 A = A ----------- + B ln(x + 1) = - ------- + B ln(x + 1) + C - 1 x + 1 3x A B A + B (x + 1) Calculemos A y B : -------------- = ---------- + ------ = ----------------- x 2 + 2x + 1 (x + 1) 2 x + 1 (x + 1) 2 3x = A + B (x + 1) x = -1-3 = A A = -3 x = 0 0 = A + B B = - A = 3 3x -3 3 -------------- dx = - ------ + 3 ln(x + 1) = ------ + 3 ln(x + 1) + C x 2 + 2x + 1 x + 1 x + 1 1 + 2x c) --------- dx ; x 2 + 1 = 0 No existen raíces reales, las soluciones son imaginarias. x 2 + 1 1 + 2x 2x 1 --------- dx = -------- dx + -------- dx = ln (x 2 + 1) + arc tg x + C x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 + 1 Mas adelante complicaremos el caso cuando el Q(x) tenga termino en x. Integrales trigonométricas. Integrales del tipo sen m x dx, cos m x dx a) Si m es impar, se descomponen en producto de impar por par sen 3 x dx = sen x sen 2 x dx = sen x (1 cos 2 x) dx = sen x dx - sen x cos 2 x dx = 38

cos 3 x = - cos x (-1) - senx cos 2 x dx = - cos x + ------- + C 3 b) Si m es par, se utilizan las ecuaciones trigonométricas 1 cos 2x 1 + cos 2x sen x = -------------- o cos x = --------------- para rebajar el grado de la potencia. 2 2 1 + cos 2x cos 4 x dx = (cos 2 x) 2 dx = ( -------------- ) dx = ¼ (1 + 2 cos 2x + cos 2 2x) dx 2 1 + cos 4x = ¼ [ x + 2 cos 2x dx + cos 2 2x dx ] = ¼ [ x + sen 2x + ------------- dx ] 2 = ¼ [ x + sen 2x + ½ x + ½ ¼ 4 cos 4x dx ] = ¼ ( x + sen 2x + ½ x + sen 4x ) + C 2 Integrales del tipo sen m x cos n x dx. Si algún exponente es impar se usara como el caso a) Si ambos exponentes son pares se usara como en el caso b) 1 cos 2x 1 + cos 2x 1 cos 2 2x sen 2 x cos 2 x dx = ( ------------- ) ( ------------- ) dx = -------------- dx = 2 2 2 1 + cos 4x = ½ dx ½ cos 2 2x dx = ½ x ½ ------------- dx = ½ x ½ [ ½ x dx + ½ cos 4x dx ] = 2 = ½ x ¼ x 2 / 2 ¼ cos 4x dx = ½ x 1/8 x 2 ¼ ¼ 4 cos 4x dx = ½ x 1/8 x 2 1/16 sen 4x + C 39

Integrales tipo sen mx cos nx dx Por trigonometría: sen (a+b) + sen(a-b) = 2 sen a sen b sen a sen b = ½ [ sen(a+b) + sen (a-b) ] * sen x cos 4x dx = [ sen 5x + sen (-3x) ] dx = = [ 5 sen 5x dx + (- ) (-3)sen(-3x) dx ] = [ - cos 5x + sen(-3x) ] + C Integrales tipo cos mx cos nx dx Por trigonometría: cos (a+b) + cos (a-b) = 2 cos a cos b cos a cos b = ½ [ cos(a+b) + cos(a-b) ] * cos x cos 2x dx = 1/2 ( cos 3x + cos (-x) ) dx = = 1/2 [ 1/3 3 cos 3x dx + (-1) - cos(-x) dx ] = 1/2 [ 1/3 sen 3x sen (-x) ] + C Integrales tipo sen mx sen nx dx Por trigonometría : cos (a+b) cos (a-b) = - 2 sen a sen b sen a sen b = - ½ [ cos(a+b) cos(a-b) ] * sen x sen 4x dx = - 1/2 [ cos 5x cos (-3x) ] dx = = - 1/2 [ 1/5 5 cos 5x dx (- 1/3-3 cos(-3x) dx ] = 1/2 [ 1/5 sen 5x + 1/3 sen (-3x) ] + C Por ultimo existen otras tres formas de calcular integrales trigonométricas a partir de cambios de variable dt 1) sen x = t cos x dx = dt dx = ---------- 1 t 2 cos x = 1 t 2 dx 2) cos x = t - sen x dx = dt dt = - ---------- 1 t 2 sen x = 1 t 2 40