Índice general. Introducción 1 Notación 3

Índice general Introducción 1 Notación 3 Capítulo 1. Espacios Vectoriales 5 1.1 Espacios vectoriales 5 1.2 Span y bases lineales 12 1.3 Operadores y funcionales lineales 17 1.4 Aplicaciones multilineales y producto tensorial 29 Capítulo 2. Espacios métricos 35 2.1 Espacios metricos y su topología 35 2.2 Aplicaciones continuas 45 2.3 Completitud 48 2.4 Los espacios (l p, d p ), 1 p + 56 Capítulo 3. Espacios normados 67 3.1 Normas vectoriales 67 3.2 Los espacios (L p, d p ), 1 p < + 71 3.3 Bases de Schauder 78 3.4 Espacios normados nitodimensionales 80 Capítulo 4. Espacios de Hilbert 83 4.1 Espacios de Hilbert 83 4.2 Ortogonalidad 88 4.3 Mejores aproximaciones y proyecciones ortogonales 90 4.4 Bases ortogonales y coecientes de Fourier 94 4.5 Series de Fourier y polinomios ortogonales 101 Capítulo 5. Operadores en espacios normados 103 5.1 Operadores continuos 103 5.2 Espacios de operadores continuos 112 5.3 Operadores en espacios de Hilbert 116 Capítulo 6. Introducción a la teoría espectral 125 6.1 Resolvente y espectro 126 6.2 Autovectores y sucesiones de Weyl 133 6.3 Principales resultados de teoría espectral 139

6.4 T. espectral de operadores autoadjuntos y unitarios 141 6.5 El operador posición en L 2 [a, b] 150 Apéndice A. Notación de Dirac 155 A.1 Dos productos escalares 155 A.2 Dualidad y notación de Dirac 157 A.3 Cálculos matriciales 159 A.4 Notación de la conjugación compleja 159 Apéndice B. Técnicas de demostración 161 B.1 Demostraciones ε - δ 161 B.2 El Principio de Inducción 163 Apéndice C. Contenidos de ampliación 165 C.1 Espacios cociente 165 C.2 Cardinalidad 168 C.3 Medida e integral de Lebesgue 170 Apéndice D. Ejercicios resueltos 181 Bibliografía 215 Índice alfabético 217

2 Espacios métricos Día 5 Adicional a la estructura de espacio vectorial, los espacios de Hilbert están dotados de un producto escalar. Esta estructura está muy relacionada con otras dos: la de norma y la de distancia. Las tres se introdujeron en el curso de Álgebra para los espacios R n. En este capítulo nos ocuparemos de la última de ellas. Ésta es independiente de la estructura de espacio vectorial, por lo que la veremos desde el punto de vista más general de espacios métricos. La distancia es la que nos permitirá hablar de conjuntos abiertos y cerrados, de convergencia de sucesiones, de continuidad de funciones, y de completitud de espacios. La mayor parte de los contenidos son sólo una generalización de los ya vistos en las asignaturas Análisis Matemático I y II y Métodos Matemáticos I. El único concepto realmente novedoso de este capítulo es el de completitud. 2.1 Espacios metricos y su topología 2.1.1 Distancia y espacios métricos Una distancia en un conjunto cualquiera es una asignación a cada par de puntos de un valor real, con unos requerimientos mínimos de sentido común para cualquier cosa que pueda llamarse distancia: la distancia de un punto a otro será igual que la del segundo punto al primero, será siempre positiva salvo que hablemos de la distancia de un punto a sí mismo (en cuyo caso será 0) y la distancia de ir de un punto a otro será siempre menor que si pasamos por un tercero de camino (propiedad llamada desigualdad triangular). Formalmente, tenemos la siguiente denición. 35

2.1 ESPACIOS METRICOS Y SU TOPOLOGÍA Denición 2.1.1 (Distancia, espacio métrico) Dado un conjunto no vacío X, diremos que d X X R es una distancia 1 o métrica en X si EM a) es simétrica: d(x, y) = d(y, x), x, y X, EM b) es positiva: d(x, y) 0, x, y X, EM c) es no degenerada: d(x, y) = 0 x = y, y EM d) verica la desigualdad triangular: d(x, z) d(x, y) + d(y, z), x, y, z X. Dado un conjunto no vacío X, diremos que (X, d) es un espacio 2 métrico si d es una distancia en X. Ejemplo 2.1.2 (AMI, MMI) El valor absoluto en R y el módulo en C son distancias. Ejemplo 2.1.3 (ALG) En R n y en C n, la métrica usual es una distancia: n 1/2 d u (v, w) = d 2 (v, w) = ( (v k w k ) 2 ). k=1 Figura 1. Distancia d u en el plano real R 2, visto como conjunto de puntos (d(x, z) d(x, y) + d(y, z)) y como espacio vectorial (d(u, w) d(u, v) + d(v, w)). 1 En ocasiones, se permite que las distancias estén denidas en R + {+ }. Haría falta, por ejemplo, si quiséramos extender las distancias del ejercicio 2.1.8 al espacio C(R) de funciones continuas en R. 2 Recordemos que aunque tengan nombre de espacio no tienen por qué ser espacios vectoriales. 36

CAPÍTULO 2 ESPACIOS MÉTRICOS Ejemplo 2.1.4 En S 1 r = {(x, y) R 2, x 2 + y 2 = r 2 }, la circunferencia de centro (0, 0) y radio r en R 2, la distancia intrínseca 3 de la circunferencia, determinada por la longitud del menor arco de circunferencia 4 entre los dos puntos, d i (x, y) = r ang(x, y), con al ángulo medido en radianes y siempre en [0, π], es una distancia. En S 1 r, la restricción de la métrica usual de R 2, d u S 1 r también es una métrica. Figura 2. Distancias intrínseca y usual de R 2 en una circunferencia. Ejemplo 2.1.5 Una matriz A M n n (R) se dice denida positiva si A = A t y para todo x = (x 1, x 2,..., x n ) R n { 0} el producto ( x 1 x 2 x n ) A x 1 x 2 x n es siempre un número estrictamente positivo. Entonces, si A es una matriz denida positiva, la función x 1 y 1 x d A (x, y) = ( x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n ) A 2 y 2 x n y n es una distancia en R n. Si A es la matriz identidad, d A es la distancia euclídea en R n. 3 Las métricas intrínsecas de curvas, supercies y variedades en general se verán en más profundidad en la asignatura Métodos Matemáticos IV. 4 Nótese que para puntos antipodales no existe un menor arco de circunferencia, pero como los dos arcos de circunferencia entre los puntos miden lo mismo no hay ningún problema de denición. 37 1/2

2.1 ESPACIOS METRICOS Y SU TOPOLOGÍA Este tipo de distancias son las que darán estructura de espacio de Hilbert a R n. Además, se verán más a fondo en la asignatura Métodos Matemáticos IV, al estudiar los tensores métricos de supercies. Ejercicio 2.1.6 Demostrar que, en K n, d 1 K n K n R (v, w) n k=1 v k w k es una distancia. Calcular d 1 ((2i, 2i, 1 3i), (0, 4i, 1)). Calcular d 1 ((2, 3), (3, 1)) e ilustrar grácamente que d 1 en R 2 es la distancia que tendríamos que recorrer de un punto a otro si únicamente se nos permite movernos por segmentos rectos paralelos a los ejes coordenados. Ejercicio 2.1.7 Demostrar que, en K n, d K n K n R (v, w) máx{ v k w k, k = 1,..., n} es una distancia. Calcular d ((2i, 2i, 1 3i), (0, 4i, 1)). Demostrar que d d 1. Ejercicio 2.1.8 Demostrar que en C[a, b], el conjunto de funciones reales y continuas denidas en [a, b], las funciones d 1 (f, g) = a b f(x) g(x) dx y d (f, g) = máx f(x) g(x) x [a,b] son distancias. Calcular d 1 (f, g) y d (f, g) para f(x) = x y g(x) = 1. Relacionar estas distancias con las grácas de las funciones. Obsérvese que, en este caso, d no es menor que d 1. Ampliación Para cualquier p en [1, + ) se puede denir la distancia n d p (v, w) = p v k w k p k=1 en K n y la distancia d p (f, g) = p b a f(x) g(x) p dx en C[a, b]. El nombre de d proviene de que d = lím p + d p en ambos casos. 38

2.1 ESPACIOS METRICOS Y SU TOPOLOGÍA Ejercicio 2.1.12 Describir y dibujar, en R 2, B d1 (0, r), Bd1 (0, r), B d (0, r) y B d (0, r) para las distancias de los ejercicios 2.1.6 y 2.1.7. En (C[a, b], d ), describir grácamente B d (f, 1) para f = x. Ejercicio 2.1.13 En la circunferencia de radio unidad de R 2, determinar las bolas centradas en el polo sur (0, 1) y de radio 2 para las distancias intrínseca y heredada del plano del ejemplo 2.1.4. Las bolas nos permiten hablar de convergencia de sucesiones. Una sucesión converge a un punto si, a partir de cierto índice, los elementos de la sucesión se van acercando, aunque quizás dando pequeños pasos atrás, a ese punto. Más formalmente, si para todo entorno del punto hay una cola de la sucesión enteramente contenida en ese entorno. Denición 2.1.14 (Convergencia, límite) (AMI, AMII, MMI) Dado un espacio métrico (X, d), y una sucesión (x n ) n=1 en X. Diremos que la sucesión converge a x X, o tiene como límite x, o que tiende a x, si para todo r > 0, existe un número natural N (N dependerá de r, por lo que podríamos decir N r N) tal que x m B(x, r) m > N: x = lím n x n r > 0, N N, d(x m, x) < r m > N. Por tanto, tenemos que x = lím n x n lím n d(x n, x) = 0. Se puede probar, de manera análoga a lo visto en cursos anteriores, que si una sucesión tiene límite este es único. Notación. Muchas veces, en lugar de escribir x = lím n x n escribiremos d x n x. Cuando necesitemos explicitar la distancia, escribiremos x n x, y cuando necesitemos indicar el íncide que marca la convergencia (por ejemplo, si hay dobles n n índices y sólo está variando uno) escribiremos x n x (o xn,m xm ). Ejemplo 2.1.15 Observar lo dicho antes de quizá dando pequeños pasos atrás en la convergencia de la sucesión 1 1 n + ( 1)n 2n en R. Ejercicio 2.1.16 Demostrar que, en C, η n 0 si η < 1 y η n no es convergente si η > 1. 40

CAPÍTULO 2 ESPACIOS MÉTRICOS Ejercicio 2.1.17 Considerando las distancias d 1 y d en C n, demostrar que d 1 d d u x k y xk y xk,m ym, m = 1,..., n, siendo x km la m-ésima coordenada de x k e y m la m-ésima coordenada de y. Ejercicio 2.1.18 Considerando las distancias d 1 y d en C[0, 1], demostrar que d d 1 f n f fn f. Demostrar que la armación recíproca no es cierta, usando para ello las funciones f n (x) = x n. La distancia d es llamada la distancia de la convergencia uniforme. Día 6 Además, las bolas nos permiten determinar la topología de un espacio métrico: sus subconjuntos abiertos y cerrados 6. Denición 2.1.19 (Abierto, cerrado) Dado un espacio métrico (X, d), diremos que un subconjunto A X es abierto si para todo punto x de A podemos encontrar alguna bola centrada en ese punto x y enteramente contenida en A: A X es abierto x A, r > 0, B(x, r) A. Además, diremos que el conjunto vacío es abierto 7. Diremos que un subconjunto B X es cerrado si su complementario (X B, X/B o B c ) es abierto. El conjunto total X es cerrado. Ejemplo 2.1.20 Los intervalos abiertos de R son abiertos. Dado un intervalo (a, b) y un punto x (a, b), podemos encontrar un r = mín{ a x, b x } > 0 tal que B(x, r) = (x r, x + r) (a, b). Los intervalos cerrados de R son cerrados. Dado un intervalo cerrado [a, b], su complementario es (, a) (b, + ), del que hay que probar que es abierto. Dado un punto x R [a, b], o bien x < a y B(x, a x ) R [a, b], o bien x > b y B(x, b x ) R [a, b]. 6 Para denir una topología no es necesario tener una distancia. Basta con denir una familia de subconjuntos, llamados abiertos, que veriquen ciertas propiedades; o, equivalentemente, denir una familia de subconjuntos, llamados cerrados, que veriquen otras propiedades; las recogemos en la proposición 2.1.25. No todas las topologías se pueden obtener a partir de una distancia, tan sólo las llamadas metrizables. En este curso este sí será el caso. 7 En realidad, esta denición es superua después de lo dicho anteriormente. Dado que el conjunto es vacío, no existe ningún elemento del conjunto que contradiga la armación anterior, por lo que el vacío es abierto. 41

CAPÍTULO 2 ESPACIOS MÉTRICOS Ejercicio 2.1.23 Demostrar que en el espacio métrico [0, 1] con la distancia usual, el intervalo [0, 1/2) es abierto. Ejercicio 2.1.24 Demostrar que la gráca de cualquier función continua f R R es cerrada en R 2 (con la distancia euclídea). Ampliación Las propiedades básicas de los abiertos y cerrados, con las cuales se puede denir una topología 8, son las siguientes. Proposición 2.1.25 Dado un espacio métrico (X, d), entonces AB a) dada una familia nita de abiertos de X, {A j, j = 1,..., n}, su interseccion, n j=1 A j, es otro abierto, AB b) dada una familia arbitraria de abiertos de X, {A j, j J}, su unión, j J A j, es otro abierto, y las versiones correspondiente para cerrados, CE a) dada una familia nita de cerrados de X, {C j, j = 1,..., n}, su unión, n j=1 C j, es otro cerrado, CE b) dada una familia arbitraria de cerrados de X, {C j, j J}, su intersección, j J C j, es otro cerrado. Una caracterización muy importante y útil de los conjuntos cerrados es la siguiente. Proposición 2.1.26 Dado un espacio métrico (X, d), un conjunto C X es cerrado si y sólo si para toda sucesión (x n ) n=1 convergente, con x = lím n x n sucede que si la sucesión está contenida en C entonces también el límite x está en C: C X es cerrado [ (x n ) n=1 C, x = lím n x n x C]. Dado un conjunto arbitrario D X, se puede distinguir entre tres tipos de puntos de X: los que están muy metidos en D, los que están lejos de D y los que están en su borde. 8 Junto con que el vacío y el total sean abiertos y cerrados. 43

CAPÍTULO 2 ESPACIOS MÉTRICOS La clausura de un conjunto D se puede describir como la intersección de todos los cerrados que contienen a D, o, de forma más sencilla, como la unión de su interior y su frontera. Proposición 2.1.30 Dado un espacio métrico (X, d) y un subconjunto D X, entonces D = int(d) fr(d). La clausura de un conjunto cerrado es el propio conjunto. Por tanto, un conjunto cerrado siempre contiene a su frontera. Además, las caracterizaciones anteriores en términos de sucesiones permite la siguiente caracterización x D (x n ) n=1 D tal que x n x. Nótese que, aunque rara vez sucede y no tiene mucha importancia, la bola cerrada B(x, r) no es siempre la clausura B(x, r) de la bola abierta. Por ejemplo, si consideramos X = [0, 1] [2, 3] con la distancia usual, tenemos que B(0, 2) = [0, 1] = B(0, 2), mientras que B(0, 2) = [0, 1] {2}. Ejercicio 2.1.31 Dado X el conjunto de funciones f [0, 2] R que son integrables y absolutamente integrables (es decir, f es también integrable 9 ) en sentido de Riemann, con la distancia d 1, demostrar que C[0, 2] no es cerrado, probando que f(x) = { 0 si x 1 1 si x > 1 está en su adherencia. Puede ser útil para ello recordar el ejercicio 2.1.18. Ejercicio 2.1.32 Demuéstrese que Q Q = Q 2 es denso en R 2 con la distancia euclídea. 2.2 Aplicaciones continuas La existencia de topología, abiertos, cerrados y convergencia de sucesiones, nos permite hablar de continuidad de funciones entre dos espacios métricos, extendiendo las nociones ya vistas en las asignaturas de Análisis Matemático I y II y de Métodos Matemáticos I. Denición 2.2.1 (Continuidad) (AMI, AMII, MMI) Dados dos espacios métricos X e Y, una función f X Y es continua en un punto x 0 X si verica cualquiera de las cuatro siguientes condiciones, que son equivalentes: 9 La función f(x) = 1 si x [0, 1] Q, f(x) = 1 si x [0, 1] Q es absolutamente integrable en el sentido de Riemann pero no integrable. La función g(x) = ( 1) n n si x (1/(n + 1), 1/n] (n N) es integrable (impropiamente) en sentido de Riemann pero no absolutamente integrable. 45

2.2 APLICACIONES CONTINUAS Cp a) ε > 0, δ > 0, [d X (x, x 0 ) < δ d Y (f(x), f(x 0 )) < ε], Cp b) (x n ) n=1, lím x n = x 0 lím f(x n ) = f(x 0 ), n n Diremos que una función f X Y es continua, si es continua en todo punto de X. Ampliación Se puede ver, además, que una función f X Y es continua si y sólo si cumple cualquiera de las siguientes dos condiciones equivalentes: C a) Si A es un abierto de Y, entonces f 1 (A) es un abierto de X, C b) Si C es un cerrado de Y, entonces f 1 (C) es un cerrado de X. Ejemplo 2.2.2 (AMI) f(x) = x 2 en R es una función continua. Ejemplo 2.2.3 (MMI) f(z) = e 1/z es una función continua en todo el plano complejo menos en el 0, donde no está denida. Por tanto, f C {0} C z e 1/z sí sería una función continua. Ninguna extensión f a todo el plano complejo, con f(z) = f(z) si z 0 y f(0) = a C, puede ser continua, ya que la singularidad que f presenta en ese punto no es evitable. Ejemplo 2.2.4 En R n con la distancia usual d u, d 1 o d, todos los funcionales lineales e j (x 1,..., x n ) = x j, j = 1,..., n, son continuos. Probémoslo para la distancia d 1. Tomemos x 0 = (x 0,1,..., x 0,n ) R n y un ε > 0. Si elegimos δ = ε, x con d 1 (x, x 0 ) < δ tenemos que d(e j (x), e j (x 0 )) = x j x 0,j x k x 0,k = d 1 (x, x 0 ) < ε. De forma análoga se prueba el resultado para d u y d. Por tanto, como en R n todo funcional lineal es combinación lineal de los e j, y como la suma de funciones continuas es continua y el producto de una función continua por un escalar es otra función continua, tenemos que todos los funcionales lineales sobre R n son continuos para las distancias anteriores. n k=1 46