Laboratorio 3 de Física 47 RED DE DIFRACCIÓN Objetivos: Caracterización de diferentes redes de difracción Estudio e identificación de diferentes fuentes espectrales por su espectro de emisión. Introducción teórica Una extensión directa del experimento de Young, consiste en aumentar el número de rendijas, con lo cual el ancho mitad de los picos disminuye; este dispositivo es denominado red de difracción, siendo inventado alrededor de 1785 por David Rittenhous y algunos años más tarde Joseph von Fraunhofer independientemente redescubrió el fenómeno y dio grandes contribuciones teóricas y técnicas al mismo. Hoy día, las redes de difracción son utilizadas en una gran variedad de equipos, en una impresionante variedad de rangos espectrales (ultravioleta, visible, infrarrojo) y en diversos tipos de experimentos, por ejemplo: Raman, Luminiscencia, Absorción, espectroscopia de modulación, etc. En resumen, las redes de difracción se utilizan en todas las experiencias en donde se necesita seleccionar un rango de longitudes de onda, una única longitud de onda o un barrido en un rango dado. En consecuencia, se han convertido en una de las mejores herramientas con que cuenta la ciencia para el análisis de espectros de infinidad de substancias y elementos químicos. En general se pueden crear redes de reflexión y transmisión siendo su análisis teórico básicamente el mismo. En el laboratorio 3 de Física se utilizarán redes de transmisión, por lo cual se analizarán éstas. El análisis de una red de difracción es muy semejante al del experimento de la rendija doble de Young, suposiciones generales: Los rayos de luz monocromática son paralelos e inciden perpendicularmente sobre la red de difracción Las rendijas o hendiduras en la red son lo suficientemente estrechas para que la difracción de cada una de ellas disperse la luz en un ángulo ancho (pantalla de visión muy lejos de la red o difracción Fraunhofer), en consecuencia la interferencia ocurre entre todas las rendijas.
Laboratorio 3 de Física 48 Fig. 5-1 Diagrama esquemático del fenómeno de difracción Al igual que en el experimento de Young, los rayos de luz que pasan sin desviarse (θ=0 ) interfieren constructivamente dando un punto o una línea brillante, ya que todo ellos están en fase, ver línea NM de la figura 5-1. Para obtener interferencia constructiva en otros ángulos debe cumplir que la diferencia de camino óptico sea un múltiplo entero de la longitud de onda. d sen θ = m λ (5-1) donde: d θ λ m Espaciamiento entre rendijas Ángulo entre la red y el frente de onda de los rayos dispersados longitud de onda de la radiación incidente orden de difracción En el experimento de Young, las intensidades de cada máximo de interferencia dentro de cada orden de difracción muestran varios valores, con un máximo central, pero en una red de difracción un solo máximo es visible. Esto se puede analizar por dos métodos: Geométrico o principio de Huygens Analítico utilizando análisis vectorial
Laboratorio 3 de Física 49 Según el principio de Huygens, cada punto donde incide una onda se convierte a su vez, en un centro de emisión para nuevas ondas secundarias, la envolvente de estas ondas para cada unidad de tiempo forma la nueva onda, ver figura 5-1, donde se muestra una pequeña región de la red con solamente cuatro rendijas. En la figura 5-1 se han trazado algunas líneas marcadas con: NM, AJ, AK que tienen interferencia constructiva, ya que son la envolvente de los máximos de las ondas secundarias; la intensidad de la onda resultante depende de la suma de estos máximos, ver tabla 5-1. Tabla 5-1 Interferencias constructivas Línea Descripción Orden NM máximo de todas las ondas al mismo tiempo cero (centro) AJ AK máximo de una onda y los anteriores en una unidad de tiempo cada una máximo de la onda y los anteriores en dos unidades de tiempo Primero Segundo De aquí podemos ver que el principio de Huygens explica la formación, intensidad y posición de los máximos de difracción en una red de difracción. Actualmente se utiliza el análisis vectorial, para analizar el fenómeno de difracción en las redes, cada onda es considerada un vector y su suma da la intensidad en cada punto de la pantalla de observación. Para cada orden de difracción (máximo) se debe cumplir dos condiciones: Una diferencia de fase ( φ) proporcional a 2π, ondas en fase. Una diferencia de camino óptico ( l) proporcional a la longitud de onda. Se puede realizar una relación entre estas dos condiciones ya que se deben cumplir simultáneamente que: φ l = 2π λ (5-2) En la construcción de las redes de difracción, las rendijas son trazadas en forma paralela y uniforme, por lo cual la diferencia de fase debe estar uniformemente distribuida entre todas las rendijas, o sea: φ= 2π/N (5-3)
Laboratorio 3 de Física 50 Siendo N el número total de rendijas. Si sustituimos en la ecuación (5-2) tenemos: l = λ/n (5-4) De la figura 5-1 la diferencia de camino óptico es: d sen θ = l, para el primer máximo, al sustituir (5-4) para un máximo cualquiera tenemos: d sen θ m = m λ / N (5-5) donde se incluye un subíndice para el ángulo, ya que pueden existir diferentes máximos en función del orden de difracción. Con la anterior expresión se puede obtener toda la información de la radiación dispersada por una red de difracción: posición, ancho de línea e intensidad. Características generales de las redes de difracción Ancho de la línea Se puede encontrar derivando (5-5) respeto de θ. θ m = m λ / N d cos θ m (5-6) De aquí podemos apreciar que cuando el número de rendijas sea alto (>300 líneas/mm), θ m debe ser muy pequeño para cada máximo, siendo esta es una de las mayores ventajas de este sistema Poder de Dispersión Definimos la dispersión angular de una rejilla de difracción como la razón de cambio del ángulo respecto de la longitud de onda dθ/dλ. Derivemos la ecuación 5-6 respecto de λ Cos θ dθ / dλ = m /d D = dθ / dλ = m /d cos θ (5-7) Donde apreciamos que la dispersión aumenta con el orden del espectro, por esto en las medidas prácticas únicamente se utilizan el 1 er y 2 do orden de difracción Poder de resolución El poder de resolución de una red es dado por la relación entre dos longitudes de onda al promedio de ellas. El criterio de separación utilizado es el criterio de Rayleigh que
Laboratorio 3 de Física 51 dice: Cuando el máximo de un pico coincide con el mínimo del otro la estructura se considera resuelta R = λ / λ Si se sustituye en esta expresión 5-6 y 5-7, obtenemos: R = N m Nota: En general los fabricantes de las redes de difracción dan entre sus especificaciones la densidad de líneas, pero en esta ecuación debemos utilizar el número de líneas utilizadas (iluminadas) de una red dada. Número de líneas (N) = densidad * longitud de la red. Métodos de Fabricación. La red matriz consiste en una serie de líneas o rayas igualmente espaciadas sobre su superficie, estas pueden ser realizadas de dos formas: Con un bisturí de diamante que crea una serie de hendiduras o líneas paralelas en la superficie de una placa de vidrio, creando una estructura parecida a un diente de sierra, el ángulo entre la horizontal y la pendiente del diente de sierra es denominado ángulo de acceso (Blaze), esta estructura disminuye la energía dispersada en el orden cero, aumentándola en los otros ordenes, por consiguiente mejorando la eficiencia de la red. Estas redes se consiguen comercialmente desde 300 hasta 1200 líneas/mm. Sobre una placa de vidrio o aluminio se deposita una capa de fotoresina y dos rayos láser exponen ésta con un patrón uniforme de interferencia, después de removida la fotoresina expuesta, queda un patrón de líneas rectas con sección transversal sinusoidal. Esta forma de fabricación dispersa menos luz y permite un mayor número de líneas por milímetro, por lo cual aumenta la resolución y respuesta de la red dada, pero son mucho más costosas. Estas redes se consiguen desde 1200 hasta 3600 líneas/mm. Sin importar el medio de fabricación de la red matriz, todas las redes comerciales son copia de anteriores, la copia es obtenida de la siguiente forma: Se coloca una capa diluida de colodión sobre la red matriz, después de secada es desprendida cuidadosamente y colocada sobre una placa de vidrio para su uso, si se desea una red de reflexión, se deposita una capa de aluminio sobre la copia. En el proceso de copiado, se introducen diversos defectos en la red; el costo de la red depende de la densidad de los defectos presentes.
Laboratorio 3 de Física 52 MÉTODO EXPERIMENTAL Realice el montaje del espectrómetro y su respectiva alineación óptica Busque las características de cada red de difracción: densidad de líneas (linea/mm), poder de dispersión y poder de resolución Busque la mejor red para medir el espectro de las fuentes desconocidas. Calibre el espectrómetro con la red seleccionada Estudie las fuentes desconocidas suministradas y determine que gas contiene. Montaje del espectrómetro. El espectrómetro debe ser calibrado según se indica en el apéndice sobre Uso de espectrómetro. El equipo debe ser alineado con todos los componentes ópticos del sistema, se sugiere para esto utilizar un nivel y una cinta métrica para alineación horizontal. Para cada lámpara que se coloqué, el espectrómetro deberá ser calibrado previamente antes de tomar una medida. Para dar un pequeño ejemplo de alineación del sistema (lámpara y Espectrómetro) utilizaremos el siguiente diagrama. En el diagrama, se puede apreciar que, cuando el rayo de luz atraviesa la red de difracción, la luz se difracta en varios ordenes de difracción. Estos ordenes, deben tener el mismo angulo con respecto al rayo principal de la luz. Cuando se logra que esos dos angulos sean iguales, el sistema estará completamente alineado para las medidas con esa
Laboratorio 3 de Física 53 fuente de luz, para cuando se reemplaza la fuente de luz deberá realizar nuevamente la calibración y/o alineación antes descrita. Características de la Red de difracción Coloque en el soporte del espectrómetro cada una de las redes suministradas, con la lámpara de sodio determine los ángulos de difracción para cada línea del doblete de sodio en diferentes órdenes. Con estos datos, determine el poder de resolución, la densidad de líneas de cada red. Con los datos anteriores y con un análisis teórico de las líneas más intensas de los tubos existentes en el laboratorio 3 de física, determine que red utilizará. Cambie la lámpara por una de mercurio, con la red seleccionada determine la calibración del espectrómetro para cada orden, para esto mida el ángulo de difracción para cada línea de emisión del mercurio, grafique λ (teórico) contra el ángulo; con esta curva es que determinará las longitudes de onda de los tubos de gases desconocidos. Grafique sus resultados y analíticamente determine el poder de dispersión para cada orden de difracción. Estudio de las fuentes desconocidas. Como los tubos de descargas utilizados en el laboratorio son de muy baja intensidad, se recomienda que en la alineación retire el riel y las lentes y coloque lo mas cercano posible el tubo de descarga a la rendija de entrada del colimador del espectrómetro. Coloque una por una las fuentes de emisión desconocidas suministradas, mida la posición angular de cada color en cada orden que sea posible. Con la curva de calibración, busque a qué longitud de onda corresponde. Con esta información y un estudio comparativo de los espectros característicos de diferentes gases, encuentre que elementos gaseosos contienen el tubo en estudio. Precisión en las medidas La precisión en las medidas experimentales se obtiene cerrando la rendija (colimador) de entrada, en general mientras más cerrado esté, más precisa será la medida, pero se debe tener cuidado que no se esté observando un espectro fantasma, producido por la difracción de la rendija o alguna reflexión dentro del tubo. Para verificar este punto abra ligeramente la rendija y las líneas deben ensancharse, pero no debe existir ningún otro movimiento, tampoco deben aparecer otras líneas más débiles alrededor de la principal.
Laboratorio 3 de Física 54 CUESTIONARIO 1. Qué diferencia existe entre una red de difracción y un prisma? 2. Deduzca la expresión (5-1) 3. Se utiliza una red para resolver el doblete de las líneas del sodio(d) (589,0 nm y 589,6 nm) Cuántas rendijas son necesarias? Si la distancia focal de la lente usada, colocada después de la red, es igual a 50 cm y si el ancho total de la red es 4 cm, Cuál es la separación lineal entre las dos líneas D en el plano focal? 4. Una red tiene 500 líneas Cuál es la razón de la intensidad de un máximo primario (m=0) a la intensidad del primer máximo secundario (m=1) 5. Mostrar que en el caso de incidencia normal de la luz sobre una red de difracción, la magnitud máxima de su poder de resolución no puede superar el valor de l/λ, donde l es el ancho de la red y λ la longitud de onda de la luz. 6. Qué se denomina dispersión angular? Qué se denomina dispersión lineal? Qué diferencia existe entre las dos ecuaciones para el poder de resolución de la red?