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Contenido: Tema 09 9. Teoría de Hamilton-Jacobi 9.1 Función Principal de Hamilton 9.2 Función característica de Hamilton 9.3 Separación de variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi 9.4 Variables angulares y de acción 1 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 1/29 29

Función Principal de Hamilton Ecuación de Hamilton-Jacobi Recordemos que el objetivo de una transformación canónica es simplificar el problema de tal manera que encontremos coordenadas cíclicas en el sistema de coordenadas transformado. Ahora, si pudieramos encontrar una transformación tal que (q, p) en t (q 0, p 0 ) en t = 0; q 0, p 0 = ctes. q = q(q 0, p 0, t) & p = p(q 0, p 0, t), por tanto la misma transformación nos da la solución del problema en cuestión. El nuevo set (Q, P ) que cumple con lo anterior, cumple de igual manera con las ecuaciones de Hamilton para el nuevo Hamiltoniano K(Q, P, t) K P i = Q i = 0, K Q i = P i = 0. lo cual da como solución K = 0. 3 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 3/29 29

Función Principal de Hamilton Ecuación de Hamilton-Jacobi Ahora, recordando la relación entre Hamiltonianos en una transf. canónica, K = H + F F, H(q, p, t) + t t = 0. Por tanto, se debe encontrar la función generatriz de esta transformación, la cual es del tipo F 2 (q, P, t), 1 en donde se debe cumplir: p i = F 2 q i, Q i = F 2 P i, reescribiendo la ecuación de transformación en las mismas variables, ( H q 1, q 2,..., q n ; F 2, F 2,..., F ) 2 ; t + F 2 = 0, q 1 q 2 q n t lo cual se conoce como la ecuación de Hamilton-Jacobi y representa una ec. diferencial parcial en F 2 de (n + 1) variables q 1, q 2,..., q n ; t. 1 de entre las cuatro posibles, Jacobi seleccionó F 2 para su desarrollo. 4 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 4/29 29

Función Principal de Hamilton Definición de la función principal de Hamilton A la función F 2 de la ecuación anterior se le conoce como función principal de Hamilton, F 2 S = S(q 1, q 2,..., q n ; α 1, α 2,..., α n+1 ; t). Al aparecer S como derivada en la ecuación de Hamilton-Jacobi, se tiene que si S = S es una solución entonces S = S + S 0 S 0 = cte. también lo es: S(q 1, q 2,..., q n ; α 1, α 2,..., α n ; t). Ahora, de la def. de F 2 = F 2 (q, P, t) y las derivadas relacionadas: P i = α i, p i = F 2 S(q, α, t) =, Q i = F 2 S(q, α, t) = = β i, q i q i P i α i invirtiendo las ecuaciones de p i y q i : q i = q i (α, β, t), p i = p i (α, β, t), obteniendo la sol. completa de las ecs. de movimiento de Hamilton. 5 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 5/29 29

Función Principal de Hamilton Interpretación física de la función principal de Hamilton Calculemos la derivada total de S(q, α, t), pero recordemos, ds dt = S q i + S q i t p i = S q i, & H + S t = 0, relacionando ecuaciones, por tanto, ds dt = p i q i H = L, S = Ldt + cte. S(t) es la acción evaluada a lo largo de una trayectoria dinámica. 6 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 6/29 29

Función principal de Hamilton Ejemplo: oscilador armónico El Hamiltoniano para un oscilador armónico es, H = 1 ( p 2 + m 2 ω 2 q 2) ω 2 = k 2m m, en donde la función principal de Hamilton viene expresada como: S = S(q, P, t) p = S q. Construyendo de lo anterior la ecuación de Hamilton-Jacobi, ( H q, S ) q, t + S = 0 t 1 ( ) S 2 + mω2 2m q 2 q2 + S = 0. t Ahora, proponiendo una solución para S por separación de variables entre q y t: S = S 1 (t) + S 2 (q). 7 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 7/29 29

Función principal de Hamilton Ejemplo: oscilador armónico (cnt.) Por tanto, sustituyendo en la ec. de Hamilton-Jacobi tenemos, 1 2m De lo anterior se llega a: Ṡ1(t) = 1 2m ( S2 (q) q Resolviendo para S 1 (t), ( ) 1 S 2 + mω2 2m q ( S2 (q) q 2 q2 + S t = 0, ) 2 + mω2 2 q2 + Ṡ1(t) = 0. ) 2 + mω2 2 q2 = α, α = cte. de separación. Ṡ 1 (t) = α, S 1 (t) = αt. 8 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 8/29 29

Función principal de Hamilton Ejemplo: oscilador armónico (cnt.) Resolviendo para S 2 (q), 1 2m ( S2 (q) q ) 2 + mω2 2 q2 = α S 2 q = 2mα m 2 ω 2 q 2, por tanto, S viene dada como, S(q, α, t) = dq 2mα m 2 ω 2 q 2 αt. Recordemos de la transformación canónica S(q, α, t): P i = α i, p i = S q i, entonces, para Q tenemos, β = Q = S α = m Q i = S α i = β i, ( dq 2α mω 2 q 2) 1/2 t. 9 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 9/29 29

Función principal de Hamilton Ejemplo: oscilador armónico (cnt.) Integrando la ec. anterior, β + t = = q(t) = ( ) 1/2 m dq 1 mω2 2α 2α q2, ( ) 1 mω2 ω ArcSen 2α q, 2α k Sen ω(β + t), ω = mω2 m. Para obtener el momento conjugado, usamos p = S q = S 2(q) = 2mα m q 2 ω 2 q 2, p(t) = 2mαCos ω(β + t). 10 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 10/29 29

Función principal de Hamilton Ejemplo: oscilador armónico (cnt.) Finalmente, hallando el significado de las constantes α y β, usamos las ecs. para q(t) y p(t), 2α q(t) = mω 2 Sen ω(β + t) q2 (t) = 2α mω 2 Sen2 ω(β + t), p(t) = 2mαCos ω(β + t) p 2 (t) = (2mα)Cos 2 ω(β + t), relacionando los resultados anteriores, mω2 2α q2 + p2 2mα = 1 1 ( m 2 ω 2 q 2 + p 2) = α = E, 2m por tanto, α es la energía conservada del sistema E. Para β reconocemos de la ec. q(t) que representa al tiempo inicial t 0, β = t 0, la energía y el tiempo son variables canónicas conjugadas. 11 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 11/29 29

Función característica de Hamilton Hamiltonianos independientes del tiempo Cuando el Hamiltoniano no depende del tiempo, la función principal de Hamilton se puede expresar como: S(q, α, t) = W (q, α) α 1 t en donde W (q, α) es la función característica de Hamilton. La ec. de Hamilton-Jacobi queda expresada de la sig. manera: ( H q i, S ) ; t + S = 0 q i t ( H q i, W ) = α 1 q i en donde H tendrá un valor constante igual a α 1. Recordando la transf. del Hamiltoniano con función generatriz W (q, α), K = H + W t K = H = α 1. Lo anterior indica que W (q, α) arroja una transformación canónica en la cual todas las coordenadas son cíclicas. 13 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 13/29 29

Función característica de Hamilton Hamiltonianos independientes del tiempo En el caso de la función característica, tendremos ahora las siguientes relaciones, S(q, α, t) W (q, α) S(q, α, t) W (q, α) P i = α i, p i =, Q i =. q i q i α i α i Ahora, por otro lado, para conocer el significado físico de W (q, α), calculemos su derivada total, dw (q, α) = W q i, dt q i dw (q, α) dt = p i q i, integrando la ec. anterior, W = p i q i dt, W = p i dq i, lo cual representa la acción abreviada del principio de mínima acción de Hamilton. 14 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 14/29 29

Separación de variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi Fundamentos Se dice que la coordenada q j es separable en la ec. de Hamilton-Jacobi cuando la función principal de Hamilton se puede separar en dos partes aditivas, una dependiente de q j y la otra independiente de ella. Si q 1 es una coordenada separable, entonces podemos expresar S(q 1, q 2,..., q n ; α 1, α 2,..., α n ; t) = S 1 (q 1 ; α 1, α 2,..., α n ; t) +...... +S (q 2,..., q n ; α 1, α 2,..., α n ; t), y además la ec. de Hamilton-Jacobi se puede separar en dos ecuaciones, una para S 1 y otra para S. Cuando en la ec. de Hamilton-Jacobi todas las coordenadas son separables, se habla de un sistema completamente separable, entonces S = i S i (q i, α 1, α 2,..., α n ; t) ( H i q i ; S ) i ; α 1, α 2,..., α n ; t + S i q i t = 0 H = i H i. 16 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 16/29 29

Separación de variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi Fundamentos Para el caso de que H H(t), entonces para cada S i tenemos, S i (q i ; α 1, α 2,..., α n ; t) = W i (q i ; α 1, α 2,..., α n ) α i t entonces el Hamiltoniano queda expresado como, ( H i q i ; W ) i ; α 1, α 2,..., α n = α i q i en donde α i se le conoce como las constantes de separación. Consideremos el caso cuando tenemos una coordenada cíclica q 1 en el sistema, p 1 = γ = cte, por tanto la ec. de Hamilton-Jacobi es ( H q 2,..., q n ; γ; W,..., W ) = α 1. q 2 q n Aplicando ahora la separación de variables para q 1, tenemos W = W 1 (q 1, α) + W (q 2,..., q n ; α) de donde observamos que la ec. de Hamilton-Jacobi anterior involucra solamente a W. 17 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 17/29 29

Separación de variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi Fundamentos Por tanto, la solución para W 1 vendrá dada como, p 1 = γ = W 1 q 1, lo cual nos arroja que γ es una constante de separación, y cuya solución para W 1 viene dada como: W 1 = γq 1, W = W + γq 1. Generalizando, si tenemos s coordenadas no-cíclicas de las n totales, entonces el Hamiltoniano es H(q 1,..., q s ; α 1,..., α n ) con s n W (q 1,..., q s ; α 1,..., α n ) = W i (q i ; α 1,..., α n ) + q i α i, i=1 i=1+s quedando s ecuaciones de Hamilton-Jacobi ha ser resueltas, ( H q i, W ) i ; α 2,..., α n = α 1. q i 18 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 18/29 29

Variables angulares y de acción Sistemas de un grado de libertad Consideremos sistemas que sean conservativos: H(q, p) = α 1 p = p(q, α 1 ) periódicos: libración y rotación. Libración órbita cerrada. p, q son funciones periódicas con la misma frecuencia. la posición inicial q 0 se encuentra entre dos ceros de la energía cinética. Ejem: oscilador armónico unidimensional. 20 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 20/29 29

Variables angulares y de acción Sistemas de un grado de libertad Rotación órbita abierta. p es una función periódica de q con cierto periódo q 0. ejem: un cuerpo rígido rotando alrededor de un eje con q como el ángulo de rotación q q + 2π no produce cambios en el sistema. q no está acotado y se puede incrementar indefinidamente en el tiempo. 21 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 21/29 29

Variables angulares y de acción Sistemas de un grado de libertad Para un sistema en cualquier movimiento periódico, introducimos una nueva cantidad conocida como variable de acción, J = pdq en donde se integra sobre el periodo completo del movimiento. 2 Como p = p(q, α 1 ), J = J(α 1 ), H = H(J) H α 1. Como el sistema es conservativo, 3 entonces la función principal se puede expresar como S(q, α 1, t) = W α 1 t W = W (q, J). 2 ya sea de libración o rotación. 3 H H(t) 22 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 22/29 29

Variables angulares y de acción Sistemas de un grado de libertad La coordenada generalizada conjugada de J se le conoce como variable de ángulo, y se obtiene de las ecuaciones de transformación 4 w = W J, y la ecuación de movimiento para w, apliando las ecs. canónicas, viene dada como: ẇ = H(J) = ν(j) ν(j) = cte. J w = νt + β, por tanto, w es una función lineal en el tiempo. Para conocer el significado físico de w, consideremos el cambio que sufre w en un ciclo completo de libración o rotación, w w = q dq. 4 Q i = S/ α i 23 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 23/29 29

Variables angulares y de acción Sistemas de un grado de libertad Considerando el cambio antes mecionado, y la def. de w en términos de la función característica W : w = w q dq = 2 W q J dq, debido a que J es una cte., puede salir de la integral, w = d W dj q dq = d pdq 5 = 1. dj Ahora, por otro lado w = νt + β, w = ν t t = τ, Relacionando resultados, 1 = ντ ν = 1/τ, por tanto, ν es la frecuencia asociada con el movimiento periódico de q. 5 p i = S/ q i 24 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 24/29 29

Variables angulares y de acción Sistemas completamente separables Para sistemas completamente separables y conservativos podemos considerar, siendo, S(q; α; t) = W i (q i ; α 1,..., α n ) α i t, p i = S = W i(q i ; α 1,..., α n ), q i q i de donde se obtiene p i = p i (q i ; α 1,..., α n ) lo cual representa la ecuación de la órbita de la proyección del sistema puntual en el plano (q i, p i ) del espacio fase. Podemos definir variables de ángulo y acción para el sistema cuando todos los sets (q i, p i ) describen órbitas cerradas (libración) o funciones periódicas en q (rotación): J i = p i dq i, i = 1,..., n. 25 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 25/29 29

Variables angulares y de acción Sistemas completamente separables Para el caso que la coordenada q i sea cíclica p i = cte. La órbita en el plano (q i, p i ) se reduce a una recta horizontal. Representa el caso límite de periodicidad tipo rotatorio. Entonces se le puede asignar un período arbitrario a q i : p i τ i = 2π. q i Por tanto, calculando J i para este caso, se obtiene: J i = p i dq i = 2πp i, para todas las variables cíclicas. 26 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 26/29 29

Variables angulares y de acción Sistemas completamente separables Regresando a la expresión general para las variables de acción J i, Wi (q i ; α 1,..., α n ) J i = p i dq i = dq i, q i entonces de la ec. anterior podemos obtener, J i = J i (α 1, α 2,..., α n ), α i = α i (J 1, J 2,..., J n ). Por tanto, la función característica puede expresarse en las nuevas variables de acción, W = W (q 1, q 2,..., q n ; J 1, J 2,..., J n ) = j W j (q j ; J 1, J 2,..., J n ), siendo el Hamiltoniano expresado también en J i s, H = α 1 = H(J 1, J 2,..., J n ). 27 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 27/29 29

Variables angulares y de acción Sistemas completamente separables Tal como el caso de solo una variable, podemos definir la variable de ángulo conjugada, w i = W J i = j W j (q j ; J 1,..., J n ) J i, w i = w i (q 1,..., q n ; J 1,..., J n ), donde las variables de ángulo cumplen con las ecuaciones de movimiento, ẇ i = H(J 1, J 2,..., J n ) J i = ν i (J 1, J 2,..., J n ). Debido a que ν i s son constantes, entonces integrando w i = ν i t + β i. Analizando ahora el cambio de w i en un periodo de la coordenada q i mientras las otras se mantienen fijas: wi k w i = dq k. q k 28 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 28/29 29

Variables angulares y de acción Sistemas completamente separables Desarrollando la expresión anterior: k w i = wi dq k, = q k 2 W q k J i dk como J i no depende de q k, entonces puede salir de la integral, k w i = W dq k = p k dq k = J k = δ ki. J i q k J i J i Ahora, recordemos: w i = ν i t + β i, i w i = ν i τ i, τ i = t. Relacionando los resultados anteriores: ν i = 1 τ i, lo cual representa la frecuencia del movimiento correspondiente q i. 29 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 29/29 29