Límites y Continuidad

Universidad de Sonora División de Ciencias Eactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Límites y Continuidad Problemas Resueltos Dr. José Luis Díaz Gómez Versión. Abril de 005 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

Universidad de Sonora... Dr. José Luis Díaz Gómez... Problemas Resueltos de Límites y Continuidad.... I. Noción Intuitiva de límite.... II. Solución de Limites utilizando la Definición Precisa de Límite.... 8. Definición formal de límite:... 8 III. Cálculo de Límites.... 0 a) Con Tablas y Gráficas.... 0 b) Aplicando los Teoremas de Límites.... c) Por Sustitución Directa.... 4 d) La indeterminación 0 0... 5 IV. Límites Laterales... V. Límites que Involucran el Infinito... 5 (a) Indeterminaciones: y -... 0 b) Indeterminación -... VI. Asíntotas..... Asíntotas verticales.... Asíntotas Horizontales... VII. Continuidad... 7 VIII. TAREA DE LÍMITES y CONTINUIDAD... 4 IX. Bibliografía.... 5 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

Problemas Resueltos de Límites y Continuidad. I. Noción Intuitiva de límite. Problema. Un aterrizaje de un avión proporciona una visión intuitiva del concepto de límite de una función. El avión sobrevuela a lo largo de la pista (variable ), mientras que su altura (variable y) va disminuyendo hasta hacerse 0. La pista es en este caso asíntota horizontal de la trayectoria del avión. En este caso el límite de la altura y, cuando la distancia crece es cero. Problema. Considere un resorte colgado por uno de sus etremos en una barra y con un peso p en el otro etremo. Se sabe que el resorte se rompe si el peso p es igual o mayor que 5 kilos. Supongamos que deseamos determinar la longitud máima l que se estira el resorte sin romperse. Para resolver esta cuestión realizaremos el eperimento de cambiar el peso p colocado en el etremo libre del resorte de manera creciente y medir la longitud l que se estira con cada peso, como se observa en la figura. Cuando el peso colocado en el resorte se acerca a los 5 kilos, tendremos que colocar pesos cada vez más pequeños para no llegar al máimo de los 5 kilos y que no se rompa el resorte. Registrando las longitudes sucesivas del resorte, debemos de poder determinar la longitud máima L a la cual se aproima l cuando el peso p se aproima a su valor máimo de 5 kilos. Simbólicamente escribimos: l L, cuando p 5 Problema. Considere el problema siguiente: Una persona se contagia de una enfermedad y entra en contacto con varias personas que a su vez se contagian y estas contagian a aquellas con las que se cruzaron Cuánta gente se contagiará de la enfermedad? Un inicio apropiado para responder la pregunta es recopilar datos estadísticos concretos. Al recopilar los datos y graficarlos obtenemos lo siguiente : Esto es lo qué se llama una curva logística. La razón de que los datos sigan este patrón es porque muchas personas en la población serán inmunes, y otra es el de que muchas de las personas que entren en contacto con la enfermedad tendrán ya la enfermedad. Así el crecimiento no es eponencial. Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

Vemos que aunque el número de contagios puede continuar creciendo nunca se sobrepasa el número 700. Este límite superior a menudo se llama una asíntota horizontal; sin embargo, es mejor caracterizarlo como el límite de la función cuando el tiempo crece. La idea del límite en la grafica anterior es predecir el comportamiento a largo plazo o global de la grafica a partir de los datos conocidos, es decir, cuál es la tendencia del contagio de la enfermedad a largo plazo? Problema 4. Suponga que tenemos el mismo conjunto de datos pero que deseamos conocer cuanta gente se contagió el miércoles de la tercera semana. Tenemos la información eacta para el sábado de la semana (50), y el sábado de la semana (00). Qué podemos decir acerca del miércoles de la semana? Si hacemos la suposición de que la tasa de infección crece con una cierta regularidad entonces el patrón de crecimiento debe obtenerse a partir de la gráfica. De hecho con una cierta certeza podemos decir que se puede obtener uniendo los puntos con una curva suave, por ejemplo como en el gráfico de abajo. El miércoles de la semana corresponde a.5 en nuestra gráfica. Ahora simplemente leemos la altura de nuestra función en este punto. Con esto obtenemos aproimadamente 0 personas contagiadas. Este segundo ejemplo es similar al primero, en el se utiliza un número finito de valores bien conocidos para deducir el comportamiento del contagio en un tiempo determinado, es decir localmente. Este concepto es también el límite de la función cuando el tiempo se acerca al miércoles de la semana. Estas dos inferencias sobre una función basada en el comportamiento de su gráfica comprenden la idea central de límites. Problema 5. Si se depositan $000 en un banco que paga un interés compuesto del 6%, entonces la cantidad en depósito después de un año es dada por la función. C (t) 000( 0.6t) /t () Donde t es el tiempo. Si el interés es compuesto cada seis meses entonces t, si es compuesto cada trimestre entonces t, si es compuesto mensualmente entonces 4 t y así sucesivamente. Utilizaremos la función () para calcular el capital después de intervalos de tiempo más cortos. 4 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

Componiendo anualmente: C () 000(.06) $060.00 Componiendo semestralmente C 000(.0) $060.9 Componiendo trimestralmente: C 4 000(.05) $06.6 4 Componiendo mensualmente: C 000(.005) $06.67 Componiendo diariamente: C 65 000(.0006) $06.8 65 Componiendo cada hora: C 8760 000(.0000068) $06.8 8760 Obsérvese que a medida que el tiempo se acerca más y más a cero C (t) se acerca al valor $06.8. Decimos que $06.8 es el límite de C(t) al acercarse a cero, y escribimos. Ct ( ) $06.8 t 0 Problema 6. Qué le sucede a f() Solución: La figura.5 corresponde a la gráfica de esta función. En ella podemos ver que entre más cerca se encuentren de, los valores de, entonces los valores de f() se encuentran más cercanos a. La tabla.5 de valores refuerza esa percepción gráfica. Podemos ver que en la tabla a medida que tomamos valores de más próimos a, tanto para valores mayores que tres como para valores menores que, los valores de f() se aproiman a. La respuesta a la pregunta es: f() se acerca a cuando se acerca a. Esto se epresa diciendo que el límite de f() es cuando se acerca a. Tabla.5 cuando se acerca a? hacia por la izquierda ( < ) hacia por la derecha ( > ).5.9.99.999.00.0..5 f() 9.5.4.940.99400.00600.060.6 5.5 f() hacia por la izquierda f() hacia por la derecha 5 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

4 Problema 7. Si, f ( ) a qué valor se aproima f() si se aproima a? Solución: La figura 6. muestra la gráfica de la función. Podemos ver que, aún cuando la gráfica presenta una ruptura (hueco) en el punto (, 4), las imágenes de valores de muy cercanos a son muy cercanas a 4. También una tabla de valores utilizando valores de próimos a tanto por la izquierda (menores que ) como por la derecha (mayores que ), nos convence de esa situación, ver la Tabla.6 Hacia por la izquierda Hacia por la derecha.5.9.99.999.00.0..5 f().5.9.99.999 4.00 4.0 4. 4.5 Hacia 4 por la izquierda 4 Hacia 4 por la derecha Problema 8. Considérese la función definida por f( ), ; el único punto en el cual la función f() no está definida es en, pero, en puntos muy cerca de, la función si se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente pregunta: Se aproima f() a algún valor específico, cuando se aproima a? Para investigarlo en las tablas siguientes se hace un seguimiento de f(), cuando se aproima a por la izquierda (valores menores que ) y por la derecha de (valores mayores que ). Hacia el por la izquierda 0 0. 0.5 0.75 0.9 0.95 0.99 0.995 0.999 0.9995 0.9999 f().6.5.8.9.98.99.998.999.9998 Hacia el por la derecha.7.5.5..05.0.005.00.0005.000 f() 5 4.4 4.0.5...0.0.00.00.000 La observación atenta de ambas tablas sugiere una respuesta a la pregunta formulada antes. Nótese que a medida que los valores de, se "acercan" a, sin tomar el valor de, los valores de f() se "acercan" a. Dándole a la palabra límite un significado intuitivo, se dice que: El "límite" de la función f() es cuando tiende a. La afirmación anterior frecuentemente se epresa simbólicamente por cualquiera de las formas: f ( ), cuando (Se lee: f() tiende a cuando tiende a ). 6 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

O también, f ( ) (se lee: el límite cuando tiende a de f() es ). Problema 9. Consideremos la función g(), 0. Esta función no está definida para 0, pero si podemos preguntarnos Hacia donde van los valores de f() cuando se acerca a 0? Solución: En su gráfica vemos que si nos acercamos al cero por la derecha las imágenes son, mientras que si nos acercamos por la izquierda de 0 las imágenes son -, es decir, la gráfica presenta un "salto" y entonces las imágenes no se acercan a un mismo valor. Esto significa que cuando nos acercamos al 0, los valores de f() se acercan a dos valores distintos. Podemos ver que el límite no eiste. Hagamos una tabla como las de los ejemplos anteriores para verlo de otra manera, ver Tabla.8 Hacia 0 por la izquierda 0 Hacia 0 por la derecha -0,5-0, -0,0-0,00 0,00 0,0 0, 0,5 g() - - - - Hacia - por la izquierda - Hacia por la derecha Problema 0. Consideremos ahora la función f ( ), 0, para valores de cercanos a 0. En la figura.9 vemos que a medida que nos acercamos a 0 por la derecha, la gráfica de la función "sube iitadamente" sin aproimarse a ningún valor en particular. Si vamos por la izquierda de 0, la gráfica de la función "baja iitadamente'' y tampoco se aproima a ningún valor en particular. Podemos decir que el límite no eiste. La tabla.9 también indica esa tendencia. Hacia 0 por la izquierda 0 Hacia 0 por la derecha -0,5-0, -0,0-0,00 0,00 0,0 0, 0,5 g() - -0-00 -000 000 00 0 Hacia - por la izquierda? Hacia por la derecha 7 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

II. Solución de Limites utilizando la Definición Precisa de Límite.. Definición formal de límite: Definición. El límite de la función f cuando se aproima a a es igual a L, f ( ) L a si para todo número ε > 0 eiste un número δ > 0 tal que f() - L < ε para todo ( en el dominio de f) que satisface la desigualdad 0< a < δ. Problema. Dado el límite ( 5). Encontrar δ tal que f() L ( 5) - < 0.0. siempre que 0< < δ. Solución: En este problema, estamos trabajando con un valor dado de ε, ciertamente ε 0.0. Para encontrar un valor apropiado de δ trataremos de establecer una coneión entre los valores ( 5) - y. Simplificando el primer valor absoluto, obtenemos, ( 5) 6 Así, la desigualdad ( 5) - < 0.0 es equivalente a < 0.0, y tenemos, 0.0 < 0.005. Así, seleccionamos δ 0.005. Esta selección trabaja porque 0< < 0.005 implica que ( 5) 6 < (0.005) 0. 0, como se observa en la gráfica.0 Problema. Utilizar la definición ε-δ para demostrar que ( ) 4. Solución. Necesitamos demostrar que para toda ε > 0, eiste una δ > 0 tal que ( ) 4 < ε siempre que 0 < < δ. Puesto que nuestra elección de δ depende de ε, trataremos de establecer una relación entre el valor absoluto de ( ) 4 y. Simplificando el primer valor absoluto, tenemos ( ) 4 6 Así, la desigualdad ( ) 4 < ε requiere < ε y de esta forma tenemos 8 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

ε <. Finalmente, seleccionamos δ ε/. Esto funciona porque ε 0 < < δ Implica que e ( ) 4 6 < ( ) ε. Como se muestra en la figura. Problema. Utilizar la definición ε-δ para probar que 4. Solución: Debemos de demostrar que para toda ε > 0, eiste una δ > 0 tal que 4 < ε siempre que 0 < < δ. Empezamos reescribiendo 4. Para toda en el intervalo (, ), sabemos que < 5, (porque -5< <5, o bien -7< <). De esta manera se tiene que 4 < δ. Por lo tanto si tomamos a δ como el mínimo de ε/5 y, se sigue que siempre que 0 < < δ, tendremos ε 4 < (5) ε, como se muestra en la figura. 5 Problema 4. Sea f() 4 -. Si f ( ). Halle δ para ε 0.0 tal que f ( ) < 0.0cuando 0 < < δ. Solución: f ( ) ( ) 4 4 ; por lo tanto se quiere que 0.0 4 < 0.0 cuando 0 < < δ o bien < 0. 005 cuando 4 0 < < δ. Si se toma δ 0.005, se tiene ( 4 ) < 0.0 cuando 0 < < 0. 005. Es importante darse cuenta que cualquier número positivo menor que 0.00 se puede emplear en vez del δ pedido. Es decir, si 0 < λ < 0.005, entonces ( 4 ) < 0.0 cuando 0 < < λ. En este ejemplo se hallaron varios δ para un ε dado; para mostrar que el valor del ite es, basta tomar un solo δ. Problema 5. Mostrar que ( ) 0. Solución: En este caso la estrategia es escribir a donde M es una constante, es decir se factoriza a como: f ( ) L g( ) a M a, a a partir de f ( ) L. Veamos 9 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

( ) 0 9. Ahora, si tomamos la distancia entre y de una unidad es decir, <, tenemos que - < <. Resolviendo esta desigualdad obtenemos que < < 4. Operando algebraicamente esta desigualdad tenemos, 4 < < 8, y 4 < < 8, de donde llegamos a que 7 < <. Así que <. Pero ε < ε entonces <. Lo cual nos dice que debemos de tomar a δ min. (, ε/); entonces f( ), ( ) 0 < ε cuando 0 < < δ. Problema 6. Pruebe que el 5. Solución: Sea ε un número positivo cualquiera. Estamos buscando una δ tal que 0< < δ tal que 5 Ahora, para, y simplificando ( )( ) < ε 5 5 ( ) 5 ( ) < ε, de aquí ( ) ε <. Esto indica que si tomamos δ ε/ funcionará. Así, ε 5 δ ( ) < ε. La cancelación del factor (-) es válida porque 0< implica que. III. Cálculo de Límites. a) Con Tablas y Gráficas. Problema 7. Obtener el valor de Solución: Nótese que la función f() ( ) / ( - ) no está definida cuando, lo cual no importa ya que la definición f ( ) dice que se consideren valores de a cercanos a a pero no iguales a a. En la tabla siguiente se proporcionan valores de f() para valores de que tienden a (pero distintos de ) 0 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

< f () > f () 0.5 0.666667.5 0.400000 0.9 0.566. 0.47690 0.99 0.505.0 0.4975 0.999 0.50050.00 0.499750 0.9999 0.50005.000 0.499975 Con base en los valores de la tabla, suponemos que 0. 5 Problema 8. Consideremos la función por secciones siguiente: f ( ), 5 0, > 5. F() 4.9 6.9 4.99 6.99 4.999 6.999 Calcular el f ( ). 5 Solución: hacemos una tabla de valores acercándonos al 5 por la 5. 4.9 5.0 4.99 5.00 4.999 izquierda y por la derecha y allí se observa que cuando se acerca por derecha los valores de f() se acercan al valor de 5 y cuando se acerca por la izquierda el valor de f() se acerca al valor de 7. Esto también se observa en la grafica de f(). En este caso puesto que cuando se acerca al 5 la función se acerca a dos valores decimos que el límite de la función no eiste. Es decir f ( ) no eiste. 5 9 Problema 9. Encontrar. 0 Solución: Para encontrar el ite de la función construimos una tabla para valores cercanos al cero. En la tabla de la derecha se muestra la tabla.cuando tiende a cero, los valores de la función parecen tender a 0.666666 y de esta manera se propone 9 que 0 6 Problema 0. Dada la función definida por: si 4 f( ) 5 si 4. Encontrar el f ( ). 4 9 t 0. 0.66 0.0 0.666 0.00 0.6666-0. 0.67-0.0 0.667-0.00 0.6667 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

Solución: Se muestra la gráfica de f(), y en ella se aprecia que f() es una recta que tiene un corte en el punto 4, es decir una discontinuidad, el valor de f() en 4 es y 5 y no y, el valor que debería de tomar f() si la recta fuera continua. Sin embargo la tabla de valores cerca de 4, nos dice que f() está muy cerca del valor...5.8.9.99.999 f() 0 0.0 0.5 0.8 0.9 0.99 0.999 5 4.9 4.5 4. 4. 4.0 4.00 f().9.5...0.00 En este ejemplo f ( ) f(4) 4 f( ), pero f(4) 5; por lo tanto 4 Problema. Encontrar si eiste. 0 ² Solución: En la tabla se observa que cuando se aproima a cero, el valor de / se vuelve muy grande, tanto si nos acercamos por la izquierda como por la derecha del cero. En efecto, de la gráfica de la función f() / mostrada en la Figura podemos ver que los valores de f() se pueden hacer arbitrariamente grandes, asignando a valores suficientemente cercanos a cero. De esta manera, los valores de f() no tienden a ningún número, así que (/ ²) no eiste. 0 ² ² b) Aplicando los Teoremas de Límites. Problema. Calcular Solución: Problema. Calcular Solución: Problema 4. Calcular. - 0.5 4-0.5 4 0. 5-0. 5 0. 00-0. 00 0.05 400-0.05 400 0.0 0,000-0.0 0,000 0.00,000,000-0.00,000,000 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

Solución: () 6 Problema 5. Calcular Solución: ( ) () 8 Problema 6. Encontrar. Solución: ( ) () 7 Problema 7. Evaluar ( ). Problema 8. Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 Problema 9. Encontrar (6 )( ) Solución: (6 )( ) (6 ) ( ) ( 6 )( ) (6 )( ) (6() )(() ) ()(). Problema 0. Encontrar (4 5) (4 5) ( 4 5) (4 5) (4() 5) (7) 49 Problema. Determinar Solución:. ( ) 6 4 Problema. Evaluar Solución: 7 0 7 9 7 7 7 7 0 ( 0) 0 (7) 0 4 0 4 7 7 7 Problema. Encuentre 4 9 Solución: 4 9 4 4 4 ( 9) 9 4 4 9 4 4 ( ) 9) 4 4 4 4 9 5 4 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

c) Por Sustitución Directa. Si la función f es un polinomio o una función racional y a pertenece al dominio de f, entonces f ( ) f( a) siempre que el valor del denominador para a no sea cero, en el a caso de una función racional Problema 4. Evaluar ( 4). Solución: 5 5 ( 4) () () 4 9 5 9 Problema 5. Calcular 9 () 9 0 Solución: 0 4 4 5 Problema 6. Determinar 6 4 5 4() 5 8 5 Solución: 6 () () 6 4 6 6 6 Problema 7. Calcular 5 ( 4). Solución: 5 ( 4) 5 () (() 4) 0 5 5 Problema 8. Evaluar Problema 9. Determinar Solución: 8 8 8 8 4 0 4( 8) 0 0 5 4 7 0 6 8 6 5 4 5 7 0 6 7() 0() () 6 68 () 6() 8 si Problema 40. Encontrar f ( ) donde f( ) 4 si Solución: Esta función está definida en y f () 4, pero el valor del ite cuando tiende a no depende del valor de la función en. Puesto que f(), para, tenemos f( ) ( ) () 6. 4 si 5 0 Problema 4. Calcular f ( ) y f ( ), donde f( ) si 0< < 5 6 6 si 5 0 Solución: En esta función el valor de, esta en el dominio de la función f() -4, por lo tanto f( ) ( 4) () 4. 6 4 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

De la misma manera el valor de 6 esta en el dominio de la función lo tanto f( ) ( 6) (6) 6 0 6 6 f( ) 6, por d) La indeterminación 0 0 ) En un cociente de polinomios. Regla : para einar la indeterminación 0 0 en un cociente de polinomios en, se factorizan numerador y/o denominador y se einan los factores comunes en el límite de la función. (Al aplicar el límite a la función, los factores einados son diferentes de cero). En los siguientes ejercicios primero comprueba que al calcular el ite de la función se obtiene una indeterminación. Recuerda que podemos calcular el ite porque se están considerando valores de próimos al valor de a y porque a. 4 Problema 4. Calcular, - 0 4 ( )( ) Solución: ( ) 4 ( ) Problema 4. Calcular 4, 0 ( )( ) ( ) Solución: 4 ( )( ) ( ) 4 Problema 44. Evaluar 0 Solución: 9 Problema 45. Calcular 6, 0 ( )( ) ( ) 9 ( )( ) ( ) 6 Solución: 6 ( )( ) ( ) 5 Problema 46. Hallar el Solución: 0 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ). 5 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

Problema 47. Evaluar, - 0 Solución: ( )( ) Problema 48. Determinar - 0 ( )( ) ( ) Solución: ( )( ) ( ) Problema 49. Calcular el ite - 0 5 6 ( )( ) ( ) Solución: 5 5 6 ( )( ) ( ) Problema 50. Determinar el valor del ite 5 6-0 5 6 ( )( 6) ( 6) 6 Solución: ( )( ) ( ) 0 Problema 5. Encuentre el - 0 6 0 ( )( 5) ( 5) 7 Solución: 6 ( )( ) ( ) 5 7 Problema 5. Halle el - 0 Solución: 7 ( )( 9) 9 () () 9 7 Problema 5. Calcular Solución: 4-0 4 ( )( ) ( ) 4 4 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 6 Problema 54. Determinar 5 4 4-0 5 ( )( ) ( ) Solución: 4 4 ( )(4 ) (4 ) 4 7 6 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

Problema 55. Calcular el a - a 0 a a Solución: ( a ) ( ) a a a a a a a a ( )( a ) ( )( a ) ( a ) ( )( a ) ( a)( a) ( a) a a a ( )( )( ) a ( )( ) ( ) a a a a a Problema 56. Hallar el 8-0 8 ( ) ( )( ) Solución: 8 8 8 8 ( )( ) ( ) ( )(8 ) (8 ) 64 5 ) Forma indeterminada 0 0 en una fracción con radicales. Regla. Para einar la indeterminación 0 0 en una función en la que el numerador o el denominador contienen radicales, se racionaliza la parte irracional en el límite de la función y se simplifica el resultado. Una manera de racionalizar es, multiplicar por el conjugado del término irracional. Problema 57. Hallar el 4, 4 0 4 ( )( ) ( ) () 4 Solución: 4 4 4 4 4 ( 4)( ) ( 4)( ) ( 4)( ) 4 4 4 Problema 58. Calcular el 4 4 4, 4 0 Solución: 4 ( 4)( 4) ( 4)( 4) ( 4)( 4) 4 4 4 4 4 ( 4)( 4) ( 4) 4 7 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

4 4 4 0 4 a Problema 59. Calcular el, a 0 a a a ( a)( a) ( ) ( a) Solución: a a a a ( a)( a) ( a)( a) ( a) a a ( a)( a) ( a) a Problema 60. Calcular 7 Solución: 7, 7 0 4 ( )( ) ( 4 )( 4 ) ( )( ) 7 7 4 7 4 7 7 7 4 ( 4) ( ) ( 7)( 4 ) ( 7)( 4 ) 4 7 4 7 7 7 Problema 6. Determinar el Solución: 4 4 4, 4 0 i i ( )( )( ) [( ) () ]( ) 4 4 ( )( )( ) [( ) ( ) ]( ) ( 9)( ) ( 4)( ) ( ) 4 4 4 ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4 ) 4 4 ( (4) ) 6 Problema 6. Encontrar el Solución: 6 6 ( )( 6 ) ( )( 6 ) i 6 6 ( 6 ) ( ) 6 9 ( )( 6 ) ( )( 6 ) ( )( 6 ) ( ) ( )( ) 8 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

6 6 ( ) 6 Problema 6. Calcular el -8 0 8 8 Solución: En este caso tenemos una raíz cúbica, para racionalizar tomaremos en cuenta la factorización de la diferencia de cubos a - b (a b)( a ab b ). En este caso a y b. ( ) (( ) ) ( )(( ) ) i 8 8 8 8 8 (( ) ) ( 8)(( ) ) ( ) () ) 8 ( 8)(( ) ) ( 8)(( ) ) ( ) 8 8 8 0 Problema 64. Encontrar el 0 Solución: Para racionalizar la epresión utilizamos de nuevo la factorización de la diferencia de cubos solo que en este caso a 0 y b. 0 0 ( 0 ) 0 ) i ( 0 ) 0 ) ( 0 ) 08 ( )( 0 ) 0 ) ( )( 0 ) 0 ) ( ) ( )( 0 ) 0 ) ( 0 ) 0 ) 4 4 Problema 65. Hallar el 0 0 Solución: En este ite tenemos un raíz cuarta para racionalizar utilizaremos la 4 4 factorización de una diferencia de cuartas; a b ( a b)( a a b ab b ), 4 4 tomando a y b 0 4 0 0 4 ( ) ( ) ( ) ( ) i ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 (( ) ( ) ( ) ( ) ) 9 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

4 4 4 4 ( ) ( ) 0 4 (( 4 4 4 ) ( ) 4 4 ( ) ( ) ) 4 ( ) 0 4 4 4 4 4 4 (( ) ( ) ( ) ( ) ) 4 4 0 4 4 4 4 4 4 (( ) ( ) ( ) ( ) ) 0 4 (( 4 4 4 ) ( ) 4 4 ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 4 4 4 4 4 4 ) Cambio de variable. Las epresiones irracionales se reducen, en muchos casos a una forma racional introduciendo una nueva variable. Problema 66. Calcular el - 0, utilizando un cambio de variable. Solución: El propósito de un cambio de variable es el tratar de evitar los radicales así que buscaremos una variable con un eponente que sea divisible entre para einar la raíz cuadrada. De esta manera proponemos hacer el cambio de y. Entonces, como 0, se tiene que y 0 y por lo tanto y 0. Para hacer el cambio de variable reemplazamos todas las de la función por y y en lugar de 0, escribimos y 0. y y y 0 0 y y y y y 0( y )( y ) y 0( y ) Problema 67. Calcular el 4, utilizando un cambio de variable. Solución: En este caso buscamos el eponente menor que sea divisible entre y 4. Así que tomaremos y. Entonces como, se tiene que y y por lo tanto y. 4 y y ( y )( y y y ) ( y y y ) 4 4 y 4 y y y ( y )( y y ) y y ( y y ) Problema 68. Hallar el 64 8 4 64 0, utilizando un cambio de variable. Solución: Haciendo y 6 Entonces como 64, se tiene que y 6 64 y por lo tanto y 6 64, de donde y. 0 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

6 8 y 8 y 8 ( y )( y y 4) ( y y 4) 4 y 4 y 4 ( y )( y ) ( y ) 64 y 6 y y y Problema 69. Calcular el 0 Solución: Hagamos y 6. Como, 0., entonces y 6, por lo tanto y. 0 6 y y ( y )( y y ) ( y y ) 0 y 6 y y ( )( ) y y y y y ( y ) Problema 70. Determinar el, - 0 ( ) Solución: tomando y. Entonces como, se tiene que y y por lo tanto y. ( y ) y ( ( y ) y y y ( ) y ( ) y ( y ) y ( y ) ( y ) ( y ) ( y y ) ( y y ) y y IV. Límites Laterales. Problema 7. Consideremos la función g ( ) eiste. 9 Solución: Nótese que g () 4. Esta es una función por partes y con dominio partido, la distribución del dominio lo muestra la figura siguiente. si 0 <, g ( ) 4 si, determinar si 5 si < Para determinar el límite de g() cuando tiende a primero investigaremos la conducta de g() para valores muy cerca de, pero mayores de, por consiguiente las imágenes g() las calculamos con la función y 5- que le corresponde a este intervalo (, ]. Esto se muestra en la siguiente tabla...0.00 g() 5-.4.7.97.997 parece que f() tiende a cuando tiende a, con valores de >, pero muy cerca de. Esto se llama el límite por la derecha y se epresa así: Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

g ( ) 5 5 () De la misma manera nos acercamos al uno con valores menores que y por consiguiente los valores de g() los calculamos con la epresión g(). Esto se muestra en la tabla siguiente: 0.8 0.9 0.99 0.999 g().6.8.98.998 La tabla nos muestra que g() se acerca al cuando se acerca al con <. Esto se epresa diciendo que el ite por la izquierda de la función g() es cuando tiende a, en otros términos, g ( ) (). En conclusión, puesto que g ( ) g ( ), entonces g ( ) eiste y es igual a. Problema 7. sea si < 0 f( ). Calcular si 0 < 5 Solución: Obsérvese que la función no esta definida en 0, sin embargo recordemos que podemos calcular el ite aun cuando la función no este definida en un valor del dominio. Ahora, el punto 0 es un valor que parte el dominio de la función, los valores de f() se encuentran con el intervalo - < 0 y los valores de f() se encuentran con el intervalo 0 < 5. f ( ), si eiste. 0 Así, si nos acercamos por la izquierda hacia el cero los valores de están en - < 0 y los de f() a través de f(), si nos acercamos hacia el cero por la derecha los valores de están en 0 < 5 y los de f() a través de f(). Por lo tanto calculamos dos límites para dar respuesta a la pregunta, el ite por la izquierda de 0 f ( ), y el ite por la derecha de cero f( ) 0 0 0 y f ( ) y son los siguientes: 0 f( ). 0 0 En virtud de que los dos límites son distintos es decir, que f ( ) no eiste. Esto se observa en la grafica de f(). 0 0 0 0 f ( ) f( ) decimos Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

4 si < Problema 7. Sea g ( ), si > encontrar cada uno de los siguientes ites, si eisten: g ( ), g ( ), g ( ). Solución: Obsérvese que la función no está definida en. Es deseable dibujar la grafica de f y el diagrama de abajo para ayudarnos a visualizar el problema. Ahora, g ( ) (4 ) 4, y g ( ) ( ) Puesto que g ( ) g ( ), entonces g ( ) eiste y es igual a. si < Problema 74. Consideremos la función h ( ) si calcular los siguientes si > ites: (a) h ( ), (b) h ( ), (c) h ( ), (d) h ( ), (e) h ( ) 5 Solución: La función h es una función con dominio partido y la distribución del dominio se muestra en la siguiente figura (a) Si nos acercamos por la izquierda o la derecha hacia el valor de - el valor de siempre esta en el intervalo <, entonces h ( ) ( ). (b) Si nos acercamos hacia el por la izquierda, los valores de están en el intervalo < y le corresponden a la función f(), en consecuencia h ( ) 9. (c) Si nos acercamos hacia el por la derecha, los valores de están en el intervalo >, y le corresponden a la función h(), por lo tanto h ( ) () 9. (d) Puesto que h ( ). h ( ) h ( ) 9 entonces h ( ) 9. Observa que h() (e) Si nos acercamos con valores muy próimos por la derecha o por la izquierda hacia el valor de 5, siempre estamos en el intervalo > por lo tanto Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

h ( ) (5) 5 5 Problema 75. Encuentre el límite cuando tiende a de la siguiente función f ( ). Solución: El dominio de esta función es el intervalo [, ), por esto solo podemos hablar del ite de la función cuando tiende a por la derecha, ya que no podemos acercarnos al uno por la izquierda, porque estos números no forman parte del dominio de la función, de esta manera tenemos f( ) 0 En conclusión no eiste f ( ), solo el ite por la derecha f( ) 0 Problema 76. En la grafica de la función f dada encuentra los siguientes ites: (a) 0 f ( ), (b) f ( ), (e) f ( ), (c) f ( ), (f) f ( ), (h) f ( ). Solución: (a) f( ) ; (b) (c) f ( ) no eiste, porque 0 f ( ), (d) f ( ), (g) f( ) 4 ; f ( ) f( ) ; (d) f( ) 0 ; (e) f ( ) f( ) 4 ; (f) f( ) 4 (g) f( ) 4 porque f( ) f( ) 4 ; (h) f( ). Problema 77. Consideremos la función Solución: Por la definición de valor absoluto sabemos que si > 0 o bien > ( ) si < 0 o bien < De esta manera entonces si > entonces f se convierte en f( ) ( ) f( ). Encontrar el f ( ). y si <, entonces f se convierte en f( ). De esto claro que cuando ( ) se acerca al por la izquierda el límite es -/, es decir f( ), y cuando se 4 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

acerca al por derecha se tiene f( ). Por consiguiente f ( ) no eiste. Problema 78. Encontrar el límite de h() cuando se aproima a. 4, si < h ( ) si > 4 Solución: Estamos interesados en valores cerca de, mas que en. Así, para <, h() está dado por el polinomio h() 4, y por consiguiente podemos calcular directamente el límite por la izquierda, para obtener, h ( ) 4 4. Para >, h() está dado por la función h() 4, y por sustitución directa calculamos el ite por la derecha, h ( ) 4 4. Puesto que los dos ites laterales eisten y son iguales, entonces tenemos que h ( ). V. Límites que Involucran el Infinito Problema 79. Considere la función cuya grafica se muestra en el recuadro. Obsérvese que a medida que el valor de crece iitadamente el valor de f() se aproima al valor de. En estas circunstancias, decimos que es el límite de f() cuando tiende mas infinito, esto se denota por el siguiente simbolismo: f( ). En este caso la recta y se llama una asíntota horizontal de y f() Problema 80. De igual manera observa la función cuya grafica se muestra a la derecha. A medida que la toma valores grandes y negativos, los valores de f() se acercan al valor de y -. En este caso decimos que el ite de f() cuando tiende a menos infinito es igual a -, en símbolos esto se epresa de la siguiente manera; f( ). A la recta y -, se le llama una asíntota horizontal de y f(). Problema 8. Consideremos la función f( ). Nos interesa analizar que sucede con 5 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

f() cuando (a) se aproima al cero y cuando (b) crece indefinidamente. Solución: (a) Analicemos cuando se aproima al cero. Primero nos aproimamos por la izquierda, es decir con valores menores que cero - -.5..0.00.000 f() - - -0-00 -000-0000 A partir de la tabla y de la grafica se observa que cuando tiende a cero por la izquierda f() es muy grande y negativo, es decir. 0 Ahora nos aproimamos al cero por la derecha, con valores mayores que cero pero cerca del cero..5..0 0.00 0.000 f() 0 00 000 0000 En la tabla de la derecha y la grafica se observa que f() es muy grande y positivo, es decir, que. 0 (b) Veamos en la siguiente tabla que sucede si la adquiere valores de muy grandes y 0 00 000 0000 f() 0.5 0. 0.0 0.00 0.000 positivos. En ella se observa que f() se aproima a cero, es decir que En la tabla de la derecha el valor de toma valores muy grandes y negativos y los 0 - - -0-00 -000-0000 f() - -0.5-0. -0.0-0.00-0.000 valores de la función se aproiman a cero, es decir 0. Puesto que 0 cuando o, decimos que 0 cuando crece o decrece sin cota. Problema 8. Encontrar el 0,si eiste. 6 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

Solución: De la tabla vemos que cuando se aproima a cero, también se aproima al valor 0, así que / se vuelve muy grande. En efecto, de la gráfica de la función f() / mostrada en la Figura de la derecha podemos ver que los valores de f() se pueden hacer arbitrariamente grandes, asignando a valores suficientemente cercanos a cero. De esta manera, los valores de f() no tienden a ningún número, así que 0 Problema 8. Encontrar el ± ±0.5 ±0. ±0. ±0.0 ±0.00 f() 4 5 00 0,000,000,000 si eiste. Solución: De manera directa tenemos. Pero -/0 puede ser o -. Para 0 tener una mejor idea del ite es necesario calcular los siguientes límites,, y. Antes factorizamos el numerador y analizamos el signo de la ( ) epresión racional.. Si esta muy próimo a y <, entonces es positivo y (-) es negativo por lo tanto (-) es negativo, y ( ) es negativo. En conclusión si está próimo a y <, entonces tiene signo positivo. Así. De la misma manera, si se aproima a y >, 0 0 entonces ( ) es negativo y positivo, de esta manera ( ) es negativo, y (-) es positivo de donde tiene signo negativo. De esta manera. de lo anterior podemos concluir que no 0 0 eiste. Otra manera de decirlos es:. Esto se observa en la grafica de f. Problema 84. Encontrar el,, si eiste. 7 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

4 Solución: De manera directa tenemos. de la misma manera que en 0 el anterior problema calcularemos los ites laterales de. (a) ( )( ) El límite del numerador es 4, encontremos el límite del denominador, ( )( ) 0i 4 0. Así el límite del denominador es 0, cuando el denominador se aproima a 0 a través de valores positivos. En consecuencia, (b) ( )( ) Como en (a), el límite del numerador es 4. Para encontrar el límite del denominador. ( )( ) 0i 4 0 En este caso, el límite del denominador es de nuevo 0, pero puesto que el denominador se aproima a cero a través de valores negativos, entonces,. En resumen, no eiste. Problema 85. Encuentre el 5 6 Solución: 5 6 ( )( ) Cuando, vemos que ( ) 5, ( ) -, y ( ) 0 ; entonces el numerador tiende a 5, pero el denominador es negativo y tiende a cero. Por lo tanto concluimos que 5 6 Teorema : si f( ) L 0 y g ( ) 0, entonces a a 8 Problema 86. Encontrar 5 5 Solución: Por el teorema anterior, puesto que 5 f ( ) no eiste a g ( ) ( 8) 8 y ( 5) 0. a 8 Entonces el no eiste, eso nos indica que el límite se va a ±. Pero esto no 5 5 nos ayuda mucho sobre el comportamiento de la función cerca del 5. Lo mejor sería factorizar el denominador y analizar los límites laterales. Se deja como ejercicio al lector. Operaciones con infinito 8 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

Sea c un número real., c, c - -,. Si c > 0 entonces c,, c (- ) -,, c c. Si c < 0 entonces c -,, c (- ), c c c 4. 0 5. -,, INDETERMINACIONES Problema 87. Hallar el 6. Solución: 6 6( ). Problema 88. Encontrar el Solución: 00 00 ( ) 00 00 Problema 89. Determinar el Solución: 4 ( )( 5) 4 ( )( 5) ( 4 )( 5) ( )( ) 4 Problema 90. Encontrar el ( 5) 4 4 4 4 Solución: 0 ( 5) ( 5) Problema 9. Determinar el 4 Solución: 4 4 ( ) 4 Regla. El ite de una función polinomial cuando o ( - ) es igual al límite del monomio que contiene la mayor potencia de. esto es válido solo para funciones racionales y no es válido para funciones irracionales. Problema 9. Encontrar el ( ) Solución: Si hacemos un reemplazo directo tenemos; ( ) lo cual es una indeterminación, aplicando la sugerencia del recuadro tenemos ( ) Problema 9. Calcular el ( 9 4) 9 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

Solución: ( 9 4) ( ) Problema 94. Determinar el Solución: 00 00 ( ) ( ) ( ) () 00 00 (a) Indeterminaciones: y -. Regla 4. Para einar la indeterminación en el límite de una función algebraica racional, se divide entre la mayor potencia de la variable que esté en el numerador y/o denominador y se evalúa el resultado. a) Indeterminación. En los siguientes problemas, primero comprueba que se tiene. Problema 95. Calcular el 0 Solución: Al evaluar el ite obtenemos la indeterminación /, así que dividimos entre la variable de mayor eponente, que es. 0. 0 0 0 0 0 Problema 96. Encontrar el Solución: Dividimos entre 5. 5 0 0 5 5 5 0 5 5 5 5 6 Problema 97. Determinar el 8 4 Solución: Dividimos entre. 5 6 6 6 6 0 0 6 6 8 4 8 4 8 4 8 4 0 0 0 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

( )( ) Problema 98. Hallar el (6 4) Solución: Si desarrollamos y efectuamos operaciones nos daremos cuenta que la variable con mayor eponente en esta fracción es, por consiguiente dividimos entre. ( )( ) ( )( ) i (6 4) (6 4) 6 4 4 6 ( 0) 4 (6 0) 6 6 4 Problema 99. Hallar el Solución: Dividimos entre. 4 4 4 4 4 0 0 Problema 00. Hallar el Dividimos entre por ser la variable con el eponente mayor. ( ) 0 0 ( ) Problema 0. Calcular el Solución: La variable con el eponente mayor es. Así que dividimos entre. ( ) 0 0 ( ) Si f() es una función racional y a n n y a m m son monomios en el numerador y denominador, respectivamente, con las mayores potencias de, entonces Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

n a n a n f( ) y f( ) m b b n 4 Problema 0. Calcular el 5 Solución: Aplicando la observación del recuadro anterior tenemos 5 Problema 0. Determinar el ( ) 4 4 ( ) ( )( ) Solución: 0 ( ) 9 6 9 9 9 Problema 04. Solución: Calcular el n n m 5 4 5 5 5 5 4 4 4 4 5 5 5 b) Indeterminación -. Problema 05. Hallar el Solución: Este es un caso de indeterminación -. En este caso para evitar la indeterminación multiplicaremos por el conjugado, para llevar la epresión a una en la que se puedan emplear las propiedades de límite. ( )( ) ( ) ( ) i 0 0 Problema 06. Encontrar el ( 9 ) Solución: Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 9 9 ( ) ( ) 9 9 9 9 l 9 9 9 0 0 9 9 9 Problema 07. Determinar el Solución: 4 ( )( ) ( ) 4 4 4 ( ) 4 ( ) ( ) ( 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ( 4 ) 4 4 4 VI. Asíntotas.. Asíntotas verticales. La recta c es una asíntota vertical en la grafica de y f() si alguno de los cuatro postulados siguientes es verdadero.. f( ),. f( ) c c. f( ) 4. f( ) c c. Asíntotas Horizontales La recta y b es una asíntota horizontal de la gráfica de y f() si f ( ) b o f ( ) b Problema 08. Encuentre las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de y f() si f( ). Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

Solución: En general, las asíntotas verticales de una función son los puntos donde el denominador es cero, y en esta función es en el punto, puesto que y. Por otro lado, y Por lo que y es una asíntota horizontal. Problema 09. f( ). Encontrar las asíntotas verticales y horizontales de la función Solución: Primero factoricemos el denominador. f( ) ( )( ) Los valores para los cuales el denominador es cero son y -. Estos valores son las posibles asíntotas horizontales. Así que calcularemos los límites laterales de - y. Si está cerca de - pero < -, entonces (-) es negativo, y () es negativo, por tanto (-)() es positivo y es positivo, por lo tanto f() es positivo. De esta manera ( )( ). Si se acerca a -, pero > -, entonces (-) () es negativo y puesto que siempre es positivo, en consecuencia f() es negativo. De esta manera ( )( ) Haciendo un análisis semejante para, encontramos que ( )( ) y ( )( ) Esto comprueba que - y, son asíntotas verticales de la función. Ahora calculamos los límites al infinito para determinar si eisten asíntotas horizontales y 4 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

Con esto comprobamos que la función tiene una asíntota horizontal en y. Problema 0. horizontales: f( ) Determinar si la función siguiente tiene asíntotas verticales y 5 4 Solución: Observa que la epresión 4 del denominador nunca se hace cero, por lo tanto esta función no tiene asíntotas verticales. Para investigar las asíntotas horizontales calcularemos los ites cuando, y -. Primero, si 0, tanto si reescribimos el denominador como que el denominador es positivo así, 4 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 Ahora si, < 0, entonces denominador es es negativo y en consecuencia, por lo tanto el 4 4 4 5 5 5 4 4 4, por lo 4 4 tenemos 5 5 5 Por lo tanto la grafica de la función f, tiene dos asíntotas 4 horizontales; y 5, y, y -5. Problema. f( ) Halle las asíntotas verticales y horizontales, si eisten de la función Solución: El denominador puede escribirse así, ( )( ) por lo que eisten dos valores para los cuales es igual a cero;, y -. Esto indica que puede haber asíntotas en estos dos valores, calculemos los límites laterales para estos valores. 5 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

Obsérvese que f() puede escribirse así f( ) 4 4 4 Iniciemos con -. Si esta próimo a - y < -, entonces ( - )( ) tiene signo positivo, el numerador siempre es positivo. Por lo tanto y 0 4 Si - y > - entonces el denominador es negativo, por consiguiente 0 4 Así comprobamos que - es una asíntota vertical. Un análisis parecido nos muestra que también es una asíntota vertical. Para determinar las asíntotas horizontales calculemos los límites al infinito., y, 0 4 Puesto que los ites no eisten, f no tiene asíntotas horizontales. Problema. Determina las asíntotas verticales y horizontales si eisten de la siguiente 4 función: f( ) 4 Solución: La función la podemos reescribir de la siguiente manera, 4 ( 4) f( ) 4 ( )( ).. 0 4 Así que el denominador es cero, cuando, y. Por otro lado ninguno de estos valores hace cero el numerador, así que no hay indeterminación 0/0. Es fácil comprobar que cuando -, f() -, y que cuando, f(), y que cuando -, f(), y que si, f() -. Por lo tanto y, son asíntotas verticales. 4 4 Ahora, y. Por 4 4 lo tanto la recta y, es una asíntota horizontal. 6 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

VII. Continuidad. Definición: Una función es continua en c si y solo si se satisfacen las siguientes condiciones:. f ( ) eiste. c. f(c) eiste, es decir, que c pertenezca a dominio de f.. f ( ) f( c) c Si al menos una de las condiciones no se satisface, entonces es f discontinua en c. Problema. Considere la función f( ). Es continua en? Solución: Puesto que f() no está definida, entonces la función es discontinua en. No se cumple el punto de las condiciones de continuidad. Ver la grafica de la derecha. Pero es continua en todos los demás valores de su dominio. Problema 4. Considera la función si g ( ) es continua en?. si Solución: Veamos si se cumplen las condiciones de la definición.. f(), se cumple la primera. ( )( ). Esto muestra que el límite eiste y es igual a. Se cumple la segunda. Tenemos que f(), y f( ). Esto muestra que f ( ) f(). En conclusión no se cumple la tercera condición. Por lo tanto es discontinua en. Este tipo de discontinuidad se llama removible, porque si definimos la función de la siguiente manera si g ( ) hacemos que f(), y con esto se cumple la tercera si condición f( ) f(), y por lo tanto f será continua en. Se puede demostrar que toda función polinomial es continua en todo punto de su 7 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

dominio. Problema 5. Demuestre que la función h() 5, es continua en 7. Solución: Debemos de verificar las tres condiciones. Primero que h está definida en 7. Puesto que h(7) 5, f está definida en 7. Segundo, Tercero, en 7. h ( ) 5 5. Por lo tanto el límite eiste. 7 7 h ( ) h(7) 5. Puesto que se cumplen las tres condiciones, h es continua 7 Problema 6. Demostrar que g ( ), es continua en -. Solución: Verifiquemos si se cumplen las tres condiciones.. g(-) (-). Por lo tanto g está definida en -. g ( ) ( ). El límite eiste y es igual a.. Puesto que g( ) g( ). Entonces g es continua en -. Problema 7. Encuentre los puntos de discontinuidad de la función f( ) 4. Solución: Por la observación toda función polinomial es continua en todo punto, por lo tanto no tiene puntos de discontinuidad. Se puede demostrar que una función racional es discontinua en denominador es igual a cero y continua todos los demás puntos. los puntos donde el Problema 8. Encuentre los puntos de discontinuidad de la función f( ). 8 Solución: Factorizamos el denominador de la función: f( ) 8 ( 4)( ) De acuerdo con la observación anterior los valores par los cuales el denominador es cero son -4 y. Puesto que f(-4) y f() no eisten, entonces f es discontinua en estos puntos. Problema 9. si < 0 Sea g ( ) si 0 si > 0 Encuentra los puntos de discontinuidad de la función. 8 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

Solución: La función esta compuesta por dos funciones constantes y un punto, las funciones constantes son dos rectas paralelas al eje. El dominio de la función es el intervalo - < <. El único punto posible de discontinuidad puede ser el valor de donde se corta el dominio de la función, es decir el valor de 0. Veamos si se cumplen las tres condiciones en 0.. g(0). La función si está definida en 0.. g ( ). Para calcular este ite necesitamos calcular los ites laterales 0 cuando 0. g ( ) y 0 0 g ( ). Esto verifica que el límite g ( ) no 0 0 eiste. Por consiguiente g no es continua en 0. Problema 0. si < f( ) 5 si 6 si > Encontrar los puntos de discontinuidad de la función: Solución: La función compuesta f está formada por funciones polinomiales, estas son continuas, pero el dominio de la función - < < ; tiene un corte en el punto, este es el único posible punto de discontinuidad. Veamos si es continua o discontinua en este punto.. f() 5. Por consiguiente cumple la primera condición. f( ) 4. f( ) Esto implica que f( ) 4. f( ) ( 6) 4. Puesto que f() 5 f( ) 4. No se cumple la tercera condición, por lo tanto es discontinua en. Pero es continua en todos los demás valores de su dominio. Problema. en todo su dominio? Sea 5 7 si 5 h ( ) si < si < 4 0 Es h una función continua 9 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

Solución: La función está formada con segmentos de líneas rectas, las cuales son continuas. El dominio de la función es el intervalo -5 4. La posibilidad de que se de una discontinuidad es en los puntos de corte de los dominios que en este caso son - y. Así que verificaremos si h es discontinua en estos puntos. Primero en -.. h(-) -. Por tanto h está definida en -. 5 7 h ( ) ( ) h h ( ). Por lo tanto el h ( ), eiste.. Nótese que h( ) h( ). Por tanto es continua en -. Veamos si es continua en.. h(). Por lo tanto está definida en. h ( ). h ( ) De donde h ( ), eiste. h ( ). Puesto que h() h( ), la función es continua en. Problema. Sea si g ( ). Es g continua en todo su dominio? si 0 Solución: En este caso el dominio de la función esta formado por la unión de dos intervalos [-, -] [0, ], no hay un valor que corte este dominio. La función está compuesta por dos segmentos de recta y las rectas son continuas en su dominio. Por lo tanto la función g es continua en todo su dominio. Definición: Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todo número del intervalo. Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) y además, f ( ) f( a) y f ( ) f( b) a b Es decir, es continua por la derecha en a, y continua por la izquierda en b. Problema. Si h ( ) 4, demostrar que h es continua en el intervalo 40 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

cerrado [-, ]. Solución: Mostraremos primero que es continua en el intervalo (-, ). Sea a cualquier número en el intervalo (-, ). Verificaremos que se cumplen las tres condiciones de continuidad en a.. ha ( ) 4 a. Ya que a está en el dominio de h, y (4 ) >0 h(a) esta definida.. ( ) 4 4 a a h a. Por lo tanto también eiste el límite.. Puesto que ha ( ) h ( ) 4 a entonces h es continua en (-, ). a Debemos de mostrar también que la función es continua por la derecha del - y por la izquierda del. Por lo tanto debemos de demostrar que h(-) está definida y que h ( ) eiste y que estos dos valores son iguales. También debemos de demostrar que h() h ( ). Es fácil ver que 4 0 h( ), ]., y que 4 0 h(). Por lo tanto h es continua en [- 4 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

VIII. TAREA DE LÍMITES y CONTINUIDAD I. Repaso de Conceptos. En los ejercicios a 8 diga si la afirmación dada es falsa o verdadera (eplique).. Si f es una función tal que Lim f ( ). Si f(5) no está definido entonces Lim f ( ) 5 7 entonces podemos asegurar que f() 7. no eiste.. Para cualquier función polinomial p se tiene que Lim p ( ) p ( 4) 4. Si f y g son funciones tales que Lim f ( ) g ( ) c asegurar que Lim f ( ) y Lim g( ) eisten. c c 4 eiste entonces podemos ( ) ( ) /5, ( ) 5. Si Lim f / g entonces podemos asegurar que Lim g es diferente de 0. ( ) 6. Si Lim f es diferente de c c ( ) ( ) Lim f g eiste y es diferente de 0. 7. Si Lim f ( ) Lim g( ) 8 8 Lim g( ) es diferente de 0 entonces c entonces podemos asegurar que f(8) g(8). 8. Sea f una función tal que Lim f ( ) 8.. Con base en esto diga cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas ( por qué?). (a) Necesariamente f() 8. (b) Para valores de "suficientemente próimos" a, los valores de f() son suficientemente próimos a 8. (c) Necesariamente eiste un valor c muy cercano a tal que f(c) 8. (d) Necesariamente, a partir de un cierto valor de cercano a los valores de f() son iguales a 8. II. En los ejercicios 9 a 9 escoja la opción que conteste o complete correctamente el enunciado propuesto. 9. Si Lim f ( ) y Lim g ( ) (a) (d) 0 entonces podemos asegurar que f ( ) ( ) Lim g Lim f ( ) ( ) g no eiste, (b) 0 f ( ) ( ) Lim g 0. Si f ( ) entonces ( ). El valor de Lim, (c) ( ) Lim f ( ) ( ) g no eiste, Lim f es igual a: (a) (b) 5 (c) 8 (d) 0 es: (a) (b) (c) - (d) 0 4 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

/ /. El límite es igual a: (a) 0 (b) / (c) -/9 (d) No eiste. El límite es igual a: (a) (b) - (c) 0 (d) No eiste 4. El límite es igual a: (a) (b) - (c) (d) No eiste h h 5. El límite es igual a: (a) (b) h (c) 0 (d) No eiste 0 h 6. Una función cuyo límite no eiste cuando tiende es la siguiente: 6 ( a) f ( ) ( b) f ( ) ( c) f ( ) 7. Para cierta función f se obtuvieron las siguientes tablas de valores: Hacia por la izquierda Hacia por la derecha 0,8 0,88 0,888... 0,8...8,0......,00,0, f()...... De acuerdo con esto, sobre Lim f ( ) podemos decir que (a) es igual a (b) es igual a (c) es igual a algún número en el intervalo [,] (d) no eiste III. Problemas y preguntas de desarrollo 8. La figura.49 representa la gráfica de una función f. Con base en ella dé el valor de cada límite o establezca que el límite no eiste. a Lim f b Lim f c Lim f d Lim f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 0 4 9. La figura.50 representa la gráfica de una función g. Con base en ella dé el valor de cada límite o establezca que el límite no eiste ( a) Limg( ) ( b) Limg( ) ( c) Limg( ) ( d) Limg( ) ( e) Limg( ) 8 8 0 4 8 0. La figura.5 representa la gráfica de una función h. En cada caso determine el valor de cada límite o establezca que el 4 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.

límite no eiste. ( a) Lim h( ) ( b) Lim h( ) ( c) Lim h( ) ( d ) Lim h( ) 0.Considere la función f ( ) siguiente tabla Utilice una calculadora para completar la 0,0 0,0 0,00-0,00-0,0-0, f().de acuerdo con los resultados obtenidos, es posible que eista? 0.Completando una tabla como la del ejemplo anterior estime el valor de 0 en caso de que eista. Puede dar un valor eacto o solamente una aproimación? IV. En los ejercicios 4 a 7 calcule el límite indicado utilizando los teoremas sobre límites y los límites de la función identidad y la función constante, justifique cada paso. ( 4. Lim 4) 5. 0 6. s s s 7. Lim ( 4) / V. En los ejercicios 8 a 0 encuentre los límites que se piden suponiendo que ( ) ( ) Lim f 4 y Lim g c c ( ) 8. f ( ) 4g( ) 9. f ( ) g ( ) c c ( ) ( ) ( ) ( ) g f 0. c f g VI. En los ejercicios a 5 calcule el límite que se pide o determine que no eiste. 49. 7 7.. t 7 t t t 4. t 4 t 4 t 4 5. 4 6. Lim 4 7. 5 0 Lim 5 5 8. 4 4 44 Dr. José Luis Díaz Gómez. Edif. K. Módulo 7, Cubículo.