SOLUCION DE MODELOS EMPRESARIALES POR COMPUTADORA

Tema 2 SOLUCION DE MODELOS EMPRESARIALES POR COMPUTADORA 2.1 SOFTWARE PARA SOLUCION DE MODELOS PL Programas típicos para resolver problemas de Programación Lineal: - QSB - SOLVER - GLP QSB (Quantitative System Businees) es un programa muy potente y versátil que funciona bajo la plataforma de Windows, con capacidad de resolver 19 tipos diferentes de problemas relacionados con la Investigación de Operaciones. Los problemas empresariales más frecuentes que se pueden resolver utilizando este programa son: - Problemas de programación lineal (PL) - Programas de programación lineal entera (PLE) - Problemas de Transporte (TRP) - Problemas de Inventarios - Modelos de Pronóstico - Modelo PERT y CPM SOLVER es un complemento de EXCEL y su aplicación permite el uso de las herramientas gráficas que ofrece el ambiente de Windows, particularmente porque se integra con las aplicaciones de Office de Microsoft. Aunque WINQSB puede aplicarse en la solución de los problemas enumerados anteriormente, en principio usaremos el SOLVER, porque permite observar el proceso de construcción del modelo a partir de sus componentes físicos. Sin embargo, en el tema 5 se aplicará WINQSB para la solución del modelo PERT CPM. Recientemente, Microsoft liberó un programa conocido como Graphic LP Optimizer (GLP), que ofrece la posibilidad utilizar el método gráfico para la solución bajo el ambiente Windows, de problemas de Programación Lineal con 2 variables de decisión. Solución Gráfica de un modelo PL utilizando GLP Este programa utiliza dos archivos principales: - GLP.EXE para ejecutar el programa - GLP.HELP para la ayuda en línea

Estos archivos deben copiarse en una carpeta para guardar posteriormente los ejemplos desarrollados. Desde esa carpeta se puede hacer doble clic en el icono de ejecución, con lo cual aparece la una ventana similar a la que se muestra en la figura 2.1. Figura 2.1 Ventana inicial de GLP El siguiente ejemplo muestra los pasos que deben seguirse para la solución gráfica de un problema PL con 2 variables de decisión. Ejemplo 2.1: Solución Gráfica del Ejemplo 1.4 utilizando GLP, cuya formulación es max U = 6x1+ 7x2 s.a. R1: 2x1+ 3x2 24 R2: 2x1+ x2 16 R3: x 6 2 El uso del programa GLP requiere de los siguientes pasos: Paso 1: Fijar opciones de escala de los ejes, usando las casillas de la parte superior derecha: X Min = 0 X Zoom = 50 X Max = 10 Y Zoom = 30 Y Min = 0 Decimal number = 0 Y Max = 10 2-2 Tema 2 - SOLUCION DE MODELOS EMPRESARIALES POR COMPUTADORA

Paso 2: Rotular los ejes, utilizando las casillas de la parte superior izquierda: X = X1 Y = X2 Paso 3: Introducir las restricciones utilizando las casillas de la parte superior. Se puede incluir un rótulo al comienzo, para identificar el significado de cada restricción: Maquina1: 2X1 + 3X2 <= 24 Maquina2: 2X1 + X2 <=16 Demanda: X2 <= 6 Las restricciones se entran en forma natural, utilizando los signos +, -, <, >, = para formular las diferentes restricciones. A medida que se completa una restricción el programa presenta la recta que representa su igualdad y el rótulo correspondiente. El rótulo de cada restricción, puede ser arrastrado con el ratón hacia una zona conveniente en la gráfica. Se puede pulsar el botón toggle label (T de color azul) en la barra de herramientas, para cambiar entre desplegar o no estos rótulos. Paso 4: Establecer la Región Factible. Haciendo click en la herramienta toggle trim line (tijeras con líneas rojas), se pueden eliminar los segmentos de rectas, para delimitar la región factible (RF). Haciendo click en la herramienta toggle color (letra C color verde) se puede cambiar el color de la RF a verde claro. Usando el botón toggle grey puede lograrse una RF de color gris. Paso 5: Introducir la ecuación de la FO, en la casilla de la parte superior identificada como PAYOFF, utilizando un valor arbitrario de su contorno. Por ejemplo: 6X1 + 7X2 = 42 En este caso no se permite utilizar un rótulo. Automáticamente el programa genera el rótulo como Payoff y dibuja el contorno de la FO para el valor arbitrario indicado. Una vez concluido este paso, se puede guardar el problema pulsando el botón Save en la barra de comandos. El archivo correspondiente es guardado con extensión *.glp en la carpeta donde se almacenaron los dos archivos del programa GLP. Paso 6: Resolver el problema, pulsando en la el botón auto max de la barra de herramientas (flecha doble hacia arriba) porque nuestro problema es de maximización. La solución óptima se observa en la barra de tareas en la parte inferior, como Optimal Decisions(X1,X2): ( 6, 4) La solución gráfica se muestra en la figura 2.2.

X2 10 9 8 7 Payoff: 6 X1 + 7 X2 = 64 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Optimal Decisions(X1,X2): ( 6, 4) Maquina1: 2X1 + 3X2 <= 24 Maquina2: 2X1 + 1X2 <= 16 Demanda: 0X1 + 1X2 <= 6 X1 Figura 2.2 Solución gráfica del ejemplo 2.1 usando GLP La máxima utilidad aparece en el LD de la ecuación del contorno de la FO: Payoff: 6X1 + 7X2 = 64 máxima utilidad = $64 Solución de un modelo PL utilizando SOLVER El programa SOLVER está incorporado en el grupo Complementos de EXCEL, que pueden haber sido incorporados o no en la instalación básica. Si no ha sido utilizado por primera vez debe activarse usando el menú Herramientas/Complementos de la versión Office 2003, tal como se muestra en la figura 2.3. Figura 2.3 Complemento SOLVER en EXCEL 2003 2-4 Tema 2 - SOLUCION DE MODELOS EMPRESARIALES POR COMPUTADORA

En la versión Office 2007, el menú Opciones se consiguen pulsando el botón de Office en la parte superior, tal como se muestra en la figura 2.4. Figura 2.4 Opciones de EXCEL 2007 Pulsando la pestaña Opciones de Excel se consigue la siguiente ventana, donde se observa la opción Complementos. Seleccionado con el cursor, se consigue la ventana de la figura 2.5, a través de la cual se puede activar el complemento SOLVER. Figura 2.5 Complementos de EXCEL 2007

En la ventana de la figura 2.5 se debe seleccionar la opción Solver y pulsar el botón Ir en la parte inferior. Se abre una ventana similar a la figura 2.3, donde se puede activar el complemento SOLVER. Una vez activado debe aparecer su icono en la página principal de EXCEL en el extremo derecho del menú Datos, tal como se muestra en la figura 2.6 Figura 2.6 Complemento SOLVER en EXCEL 2007 Una vez activado el SOLVER, es necesario seguir el siguiente procedimiento para crear la estructura del modelo: Paso 1: Introducir los rótulos para la documentación del modelo. - identificación del problema - nombre de las variables de decisión - nombres de cada restricción - otros rótulos: función objetivo (FO), valor óptimo logrado, holgura/exceso Estos los rótulos se muestran en la figura 2.7 y deben ser cortos porque son utilizados por SOLVER para generar los reportes finales. Paso 2: Establecer la solución inicial. - introducir valores iniciales para las variables de decisión [B4:C4] - estos valores (arbitrarios) son utilizados por SOLVER para calcular el modelo 2-6 Tema 2 - SOLUCION DE MODELOS EMPRESARIALES POR COMPUTADORA

Figura 2.7 Estructura del Ejemplo 2.2 para solución en SOLVER Paso 3: Introducir la estructura de la Función Objetivo: - coeficientes de la FO [B7:C7] - introducir la fórmula para calcular la FO [F7] =SUMAPRODUCTO(B7:C;B4:C4) Paso 4: Introducir las restricciones, agrupándolas según el signo de la desigualdad. - coeficientes de las ecuaciones asociadas con cada restricción [B10:C12] - crear la fórmula para calcular del Lado Izquierdo (LI) de la primera restricción R1 [D10] =SUMAPRODUCTO(B10:G10;$B4:$C4) Copiar esta fórmula para crear del LI de las otras restricciones [D11:D12] - introducir los símbolos de cada restricción (solo documental): <=, >=, = Rango [E10:E12] - introducir los valores del Lado Derecho (LD) de cada restricción [F10:F12] - crear la fórmula para calcular la holgura/exceso (diferencia entre LD y LI) de la primera restricción: [G10] =F10-D10 Copiar esta fórmula para las otras restricciones [G11:G12] Paso 5: Resolver el problema. Colocar el cursor en la celda de la FO [F7] Activar el SOLVER usando:

- menú Herramientas/Solver en EXCEL 2003. - menú Datos/Solver en EXCEL 2007. Debe aparecer la ventana Parámetros de Solver mostrada en la figura 2.8. Figura 2.8 Ventana para ajuste de parámetros de SOLVER 5.1 En esta ventana aparece automáticamente Celda objetivo [$F$7] Por haber colocado el cursor en esta celda, antes de activar SOLVER. 5.2 Establecer el criterio óptimo: Máximo (por defecto). 5.3 Definir rango de variables de decisión o Celdas cambiantes [$B$4:$C$4] 5.4 Pulsando el botón Agregar... se puede introducir cada restricción, con lo cual aparece la ventana Agregar restricción mostrada en la figura 2.9. Figura 2.9 Ventana para agregar restricciones a. En Referencia de celda establecer el rango de las celdas que contienen el LI: $D$10:$D$12 b. Seleccionar el signo de la restricción <= c. En Restricción establecer el rango de las celdas que contienen el LD: $F$10:$F$12 d. Pulsar el botón Agregar para incluir el grupo de restricciones. 2-8 Tema 2 - SOLUCION DE MODELOS EMPRESARIALES POR COMPUTADORA

e. Una vez incluidas todas las restricciones, pulsar el botón Aceptar para regresar a la ventana Parámetros de Solver. El resultado de muestra en la figura 2.10, donde se observan todos los parámetros necesarios para la solución del problema. Figura 2.10 Parámetros para la solución del modelo PL En la ventana Parámetros de Solver pulsar el botón Opciones. Aparece la ventana de Opciones de Solver mostrada en la figura 2.11, cuyos valores generalmente se dejan sin modificar. Figura 2.11 Opciones de solución de SOLVER Sin embargo, en nuestro caso verificamos que las opciones Adoptar modelo lineal y Asumir no negativos estén seleccionadas. Pulsamos el botón Aceptar para regresar a la ventana de la figura 2.10.

5.5 Finalmente pulsar el botón Resolver. Debe aparecer la ventana Resultados de Solver de la figura 2.12, donde el programa informa si se obtuvo o no una solución factible, que satisfaga todas las restricciones. Figura 2.12 Ventana de Resultados de Solver Es necesario leer el mensaje que SOLVER presenta en la parte superior de la ventana de la figura 2.12, antes de aceptar la solución. Si el resultado es satisfactorio, se puede pulsar el botón Aceptar para regresar a la hoja de cálculo del problema. También se pueden seleccionar los Informes de Respuestas y Sensibilidad, que son guardados en hojas adicionales dentro del mismo libro de trabajo. El informe Límites no tiene mayor aplicación práctica. El uso de estos informes será considerado en la sección 2.2, cuando se trate el problema de interpretación de resultados. Ejemplo 2.2: Resolver el Ejemplo 2.1 usando SOLVER e interpretar resultados respecto de costo reducido (CR) y precio dual (PD). La formulación se desarrolló en el ejemplo 1.1 y se resume a continuación: max U = 6x1+ 7x2 s.a. R1: 2x1+ 3x2 24 R2: 2x1+ x2 16 R3: x 6 2 Los parámetros necesarios para la solución usando SOLVER se muestran en la figura 2.13, los cuales se tomaron de la ventana de la figura 2.10. Se observa que las restricciones se agruparon en un solo bloque, en razón de que son del tipo < =. El modelo de cálculo y los resultados se muestran en la figura 2.14, donde se observa que la forma típica de la estructura usada por SOLVER, donde las variables de decisión serán identificadas como Producto A y Producto B, en lugar de X1 y X2. 2-10 Tema 2 - SOLUCION DE MODELOS EMPRESARIALES POR COMPUTADORA

Parámetros de SOLVER: Celda Objetivo (Función Objetivo) Objetivo: Celdas que cambian (variables de decisión) Restricciones: $F$7 Maximizar $B$4:$C$4 $D$10:$D$12 <= $F$10:$F$12 Figura 2.13 Parámetros para la solución del ejemplo 2.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C D E F G H Ejemplo 2.2 - Fabricar dos productos A y B utilizando dos máquinas M1 y M2 Producto A Producto B Variables de decisión 6 4 Función Objetivo Utilidad Total 6 7 64 Restricciones: LI LD H/E Tiempo Máquina 1 2 3 24 <= 24 0 horas Tiempo Máquina 2 2 1 16 <= 16 0 horas Demada producto B 0 1 4 <= 6 2 und Figura 2.14 Modelo de cálculo y solución del Ejemplo 2.2 usando SOLVER El resultado de la figura 2.14 se corresponde con la solución gráfica presentada en la sección 1.6. Más aún se pueden realizar las siguientes interpretaciones: - Las dos variables de decisión Producto A y Producto B forman parte de la solución y por lo tanto su CR=0. - En las restricciones R1: Tiempo de Máquina 1 y R2: Tiempo de Máquina 2 se observa que LI=LD, luego no tienen holgura/exceso. Por lo tanto son efectivas y su PD 0. En la sección 1.7 se demostró gráficamente que esto ocurre porque las restricciones R1 y R2 contribuyen a formar el vértice objetivo. - En la restricción R3: Demanda producto B resulta LI<LD, luego tiene una holgura de 2 und y es no efectiva. Por lo tanto su PD=0. Solución de problemas de transporte utilizando SOLVER La solución de problemas de transporte como modelos PL a través de SOLVER no tiene mayor diferencia con la solución de otros modelos PL. Sin embargo, la forma como se definen los recursos y restricciones del modelo, establece una estructura particular, que analizaremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.3: Usando SOLVER, resolver el Ejemplo 1.2 (problema de transporte). Se trata de una fábrica de jabones que debe despachar unidades de 1.000 cajas desde tres (3) Plantas hacia cinco (5) Almacenes, minimizando costos de transporte. La formulación del problema se desarrolló en el ejemplo 1.2 y se resume a continuación: FO: min C = 120 X 11+ 150 X12 + 80 X13 + 250 X14 + 180 X15 + 210X21 + 220X22 + 150X23 + 100X24110X25 + 25X + 170 X + 150X + 240X + 200X 31 32 33 34 35 A1: X 11+ X21+ X31 = 50 A + + = 2: X12 X22 X32 10 A + + = 3: X13 X23 X33 60 A4: X14 + X24 + X34 = 30 A5: X15 + X25 + X35 = 20 Requerimientos de pedidos P + + + + 1: X 11 X12 X13 X14 X15 100 P2: X 21+ X22 + X23 + X24 + X25 60 P + + + + 3: X 31 X32 X33 X34 X35 50 Capacidad de cada planta La estructura típica usada por SOLVER para el modelo de transporte se muestra en la figura 2.15, la cual facilitará la interpretación de resultados en los reportes que genera el programa. Como se demostrará en la sección 2.2, las variables de decisión serán identificadas como: P1A1, P1A2, P1A3,, en lugar de X11, X12, X13, A B C D E F G H I 1 2 Ejemplo 2.3 Modelo de Transporte Costo por enviar 1.000 cajas 3 Hasta Desde A1 A2 A3 A4 A5 4 P1 120 150 80 250 180 5 P2 210 220 150 100 110 6 7 P3 150 170 150 240 200 Costo total 18.000 8 Cantidades despachadas Hasta Total Capacidad A1 A2 A3 A4 A5 9 Desde enviado de la Planta 10 P1 40 0 60 0 0 100 <= 100 11 P2 0 0 0 30 20 50 <= 60 12 P3 10 10 0 0 0 20 <= 50 13 Total recibido 50 10 60 30 20 14 = = = = = 15 Requerimientos 50 10 60 30 20 Figura 2.15 Solución del modelo de transporte usando SOLVER 2-12 Tema 2 - SOLUCION DE MODELOS EMPRESARIALES POR COMPUTADORA

Según la figura 2.15, los parámetros necesarios para la solución se resumen en la figura 2.16. Parámetros de SOLVER: Celda Objetivo (FO) Objetivo: $I$7 Minimizar Celdas de cambio (variables de decisión) $B$10:$F$12 Restricciones $B$13:$F$13 = $B$15:$F$15 Pedidos almacenes $G$10:$G$12 < = $I$10:$I$12 Capacidad plantas Figura 2.16 Parámetros para la solución del Ejemplo 2.3 usando SOLVER En los resultados de la figura 2.15 se observa que: - El programa de envíos y el costo mínimo es el siguiente: Ruta P1-A1: 40.000 cajas Ruta P1-A3: 60.000 cajas Ruta P2-A4: 30.000 cajas Ruta P2-A5: 20.000 cajas Ruta P3-A1: 10.000 cajas Ruta P3-A2: 10.000 cajas Total envíos: 180.000 cajas Costo mínimo logrado: $18.000 - Solo 6 rutas forman parte de la solución y por lo tanto su CR=0. - Existen 9 variables de decisión que están fuera de la solución y por lo tanto su CR 0. - En las 5 restricciones de requerimientos de cada almacén se observa que LI=LD, como resultado de la formulación del problema y por lo tanto no poseen holgura/exceso. Luego son efectivas y su PD 0. - En la restricción de capacidad de la planta P1 resulta LI=LD y por lo tanto su holgura es cero. Luego es efectiva y su PD 0. - En las restricciones de capacidad de las plantas P2 y P3 se obtiene LI<LD, tienen un sobrante en su capacidad (holgura) de 10 y 30 unidades (mil cajas) respectivamente. Luego son no efectivas y por lo tanto su PD=0. 2.2 INTERPRETACION DE RESULTADOS POR COMPUTADORA Reporte resumen SOLVER presenta un resultado para la solución óptima de un problema PL, en base a condiciones específicas establecidas por los coeficientes de la Función Objetivo y por las diferentes restricciones. El reporte resumen incluye:

- Reporte Solución: Solución óptima, Estatus de las restricciones y Holgura/Exceso. - Reporte Sensibilidad: Solución óptima, Costo reducido, Límites de cambio de coeficientes de la FO, Precio Dual y Límites de cambio del LD de cada restricción. - Reporte Límites: Para cada variable de decisión muestra el valor óptimo junto con los valores mínimo y máximo que se pueden usar, sin violentar las restricciones. La figura 2.17 muestra el Reporte Solución para el Ejemplo 2.2. Se observa que este reporte no presenta ningún valor agregado respecto de los datos que reporta la solución de la figura 2.14. Por esta razón, no será considerado en aplicaciones posteriores. La figura 2.18 presenta el Reporte de Sensibilidad, con algunos cambios en los rótulos de las columnas, para adaptarlos a la terminología utilizada en la sección 1.8 y para corregir errores en los rótulos de las dos últimas columnas. Modelo Ejemplo 2.2: Reporte Solución Celda objetivo (Máximo) Celda Nombre Valor original Valor final $F$7 Utilidad Total 13 64 Variables de Decisión Celda Nombre Valor original Valor final $B$4 Producto A 1 6 $C$4 Producto B 1 4 Restricciones Celda Nombre Valor de la celda fórmula Estado H/E $D$9 Tiempo Máquina 1 24 $D$9<=$F$9 Obligatorio 0 $D$10 Tiempo Máquina 2 16 $D$10<=$F$10 Obligatorio 0 $D$11 Demada producto B 4 $D$11<=$F$11 Opcional 2 Informe de sensibilidad para Ejemplo 2.2 Figura 2.17 Reporte solución de SOLVER Variables de Decisión Costo Coeficiente Aumento Reducción Solución Celda Nombre reducido actual permisible permisible $B$4 Producto A 6 0 6 8 1,33333333 $C$4 Producto B 4 0 7 2 4 Restricciones Valor Precio Restricción Aumento Reducción Celda Nombre Igual Dual LD permisible permisible $D$9 Tiempo Máquina 1 24 2 24 4 8 $D$10 Tiempo Máquina 2 16 1 16 8 4 $D$11 Demada producto B 4 0 6 1E+30 2 Figura 2.18 Informe de Sensibilidad de SOLVER 2-14 Tema 2 - SOLUCION DE MODELOS EMPRESARIALES POR COMPUTADORA

El Informe de Sensibilidad es el más importante y se presenta en dos partes: - La parte superior presenta el estatus de las variables de decisión, representada en los valores de solución, costo reducido y cambio permitido en los coeficientes de la FO. - La parte inferior corresponde al estatus de las restricciones, caracterizado por el precio dual y el rango de modificación del LD de cada restricción, dentro del cuál es válido dicho precio dual. Los valores de este reporte se corresponden con los calculados en la sección 1.8, utilizando la interpretación gráfica de la solución. En efecto: - Como las 2 variables de decisión forman parte de la solución, su CR=0. - Los límites de cambio de los coeficientes de la FO para que no cambie la solución, son: Coeficiente de X1 (Producto A): Desde 6 1.33= 4.67 hasta 6+ 8= 14 Coeficiente de X2 (Producto B): Desde 7 4= 3 hasta 7+ 2= 9 - El PD de las 3 restricciones es: PD-R1 (Máquina 1): PD-R2 (Máquina 1): +2 $und efectiva holgura = 0 +1 $und efectiva holgura = 0 PD-R3 (Demanda B): 0 $/und no efectiva holgura = 2 - Estos valores son válidos en los siguientes intervalos de cambio de LD: PD-R1 (Máquina 1): PD-R2 (Máquina 2): +2 $und LD: Desde 24 8 = 16 hasta 24 + 4 = 28 +1 $und LD: Desde 16 4 = 12 hasta 16 + 8 = 24 PD-R3 (Demanda B): 0 $/und LD: Desde 6 2= 4 hasta 6 + = Análisis e interpretación de resultados Utilizando el segundo reporte (informe de sensibilidad) es posible responder algunas preguntas del tipo qué pasaría si?, cuando se modifican algunas condiciones dadas en la formulación inicial del problema. Las respuestas a estas preguntas se consiguen sin necesidad de formular y resolver nuevamente el problema, aplicando los siguientes conceptos: - Costo reducido (CR). - Límites de cambio de los coeficientes de la FO. - Precio dual (PD). - Límite de cambio del LD de una restricción

Ejemplo 2.4: Obtener solución de SOLVER para el Ejemplo 2.3 (Problema de Transporte). El modelo de cálculo y los resultados se mostraron en la figura 2.15. La figura 2.19 presenta el Reporte de Sensibilidad. Reporte de Sensibilidad para Ejemplo 2.3 Variables de Decisión Costo Coeficiente Aumento Reducción Celda Nombre Solución Reducido objetivo permisible permisible $B$10 P1 A1 40 0 120 10 40 $C$10 P1 A2 0 10 150 1E+30 10 $D$10 P1 A3 60 0 80 40 110 $E$10 P1 A4 0 180 250 1E+30 180 $F$10 P1 A5 0 100 180 1E+30 100 $B$11 P2 A1 0 60 210 1E+30 60 $C$11 P2 A2 0 50 220 1E+30 50 $D$11 P2 A3 0 40 150 1E+30 40 $E$11 P2 A4 30 0 100 140 100 $F$11 P2 A5 20 0 110 90 110 $B$12 P3 A1 10 0 150 40 10 $C$12 P3 A2 10 0 170 10 170 $D$12 P3 A3 0 40 150 1E+30 40 $E$12 P3 A4 0 140 240 1E+30 140 $F$12 P3 A5 0 90 200 1E+30 90 Restricciones Valor Precio Valor Aumento Reducción Celda Nombre LI Dual LD permisible permisible $G$10 P1 Total enviado 100-30 100 10 30 $G$11 P2 Total enviado 50 0 60 1E+30 10 $G$12 P3 Total enviado 20 0 50 1E+30 30 $B$13 Total recibido A1 50 150 50 30 10 $C$13 Total recibido A2 10 170 10 30 10 $D$13 Total recibido A3 60 110 60 30 10 $E$13 Total recibido A4 30 100 30 10 30 $F$13 Total recibido A5 20 110 20 10 20 Figura 2.19 Reporte de Sensibilidad del ejemplo 2.4 A partir de reporte anterior, responder las siguientes preguntas: 1. Cuál es el plan óptimo producción y de envíos, y cuál es el costo final? De la parte superior de la figura 2.19: Variables de decisión, obtenemos P1 a A1 = 40.000 cajas P2 a A4 = 30.000 cajas P3 a A1 = 10.000 cajas P1 a A3 = 60.000 cajas P2 a A5 = 20.000 cajas P3 a A2 = 10.000 cajas Plan de Producción = 170.000 cajas (suma de los valores anteriores) 2-16 Tema 2 - SOLUCION DE MODELOS EMPRESARIALES POR COMPUTADORA

Costo mínimo de Transporte: C min = 40 120 + 60 80 + 30 100 + 20 110 + 10 150 + 10 170 =$ 18.000 que corresponde al valor mostrado en el modelo de cálculo de la figura 2.15. 2. Suponga que por razones de política se deben enviar por los menos 1.000 cajas desde la planta P1 al almacén A5 (ruta P1A5) Aumentaría el costo? Cuánto aumentaría? Clave de respuesta: Interpretación del Costo Reducido. La ruta P1A5 (variable de decisión) está fuera de la solución. El costo de incorporar una unidad en la solución es de $100 (Costo Reducido), el cual se observa en el Reporte de Sensibilidad de la figura 2.19. Por lo tanto el Costo de Transporte aumentaría a: 18.000 + 100 = $ 18.100 si se envían las 1.000 cajas (1 und) por esta ruta. 3. Suponga que se considera un programa de Mercadeo para aumentar las ventas en los almacenes. Cuál almacén generaría el mayor beneficio y cuál el menor? Clave de respuesta: Interpretación del Precio Dual. Un aumento en las ventas de un almacén implica entregarle más cajas de las solicitadas inicialmente. Esto implicaría aumentar el LD de las últimas 5 restricciones de la figura 2.19, que corresponden a los 5 almacenes. El PD de cada restricción indica el aumento o disminución en la FO cuando se envía 1 unidad (1.000 cajas) a cada almacén. Como todos los valores son positivos, un aumento de 1.000 cajas en las ventas de cada almacén aumentaría el valor de la FO (mayor costo). Sin embargo: Menor costo: Almacén A4 Mayor costo: Almacén A2 4. Suponga que la planta P1 puede crecer 10% si se usa tiempo extra, a un costo de $1.000 ; debería aceptarse la propuesta? Por qué? Clave de respuesta: Interpretación del Precio Dual. Un aumento en la planta P1 equivale a aumentar el LD de la primera restricción. Como su PD es negativo, por cada unidad adicional (1.000 cajas) que entregue la planta P1, la FO se reduce en $30. El 10% equivale a 10 unidades más, que está dentro del límite de aumento del LD. Luego, se puede aplicar el concepto de PD: Reducción en costo por aumento de capacidad = 10 30 = 300 $ Costo adicional de producción = 1.000 $ Luego, no debe aceptarse la propuesta.

5. En el plan óptimo no se envían cajas de la planta P1 al almacén A5 ( P1A 5= 0). Suponga que se logra un descuento de 50% en el costo de esa ruta. Conviene aceptar esta oferta? Clave de respuesta: Interpretación de Rango de variación de coeficientes de FO y Costo Reducido. De acuerdo con el reporte de sensibilidad de la figura 2.19, el coeficiente de la variable PA 1 5 se podría cambiar desde 180 100 = 80 $ hasta sin cambiar la solución. Con el descuento de 50% se lograría una reducción hasta 0.5 80 = 90 $. Luego si se acepta estaría dentro del límite anterior y no modificaría la solución (Plan de producción y envíos). Sin embargo, el CR-P1A5 es de + $ 100. Esto indica que por cada unidad (1.000 cajas) que se envíen por esta ruta, aumentaría el valor de la FO en $100, contra un beneficio de $90 de descuento en el costo de transporte. Luego no debe aceptarse la oferta. Presencia de soluciones alternas Analizando los resultados de la tabla final (Reporte de Sensibilidad) es posible identificar soluciones óptimas alternas. De acuerdo con la interpretación gráfica de la sección 1.7, esta situación ocurre cuando la recta de la FO coincide con una de las restricciones. Ejemplo 2.5: Considerar el Ejemplo 2.2, asumiendo que se cambia la utilidad marginal de cada producto A y B para modificar la FO, sin modificar las restricciones: max U = 6x + 9x 1 2 La solución gráfica usando GLP se muestra en la figura 2.20. 9 8 Payoff: 6 X1 + 9 X2 = 72 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Optimal Decisions(X1,X2): ( 6, 4) ( 3, 6) Figura 2.20 Solución gráfica del ejemplo 2.5 2-18 Tema 2 - SOLUCION DE MODELOS EMPRESARIALES POR COMPUTADORA

En este caso, la pendiente del contorno de la FO coincide con la restricción R1; por lo tanto, de acuerdo con la interpretación gráfica, existirían dos vértice óptimos B(6,4) y C(3,6). En otras palabras, estamos ante la presencia de una solución alterna. En efecto, la utilidad máxima para estas dos soluciones es: U = 6x + 9x = 6(6) + 9(4) = 72$ B 1 2 U = 6x + 9x = 6(3) + 9(6) = 72$ C 1 2 El reporte de Sensibilidad se muestra en la figura 2.21. Reporte de Sensibilidad del Ejemplo 2.5 Variable de Decisión Solu- Costo Coeficiente Aumento Reducción Celda Nombre ción Reducido objetivo permisible permisible $B$4 Producto A 3 0 6 0 6 $C$4 Producto B 6 0 9 1E+30 0 Restricciones Valor Precio Restricción Aumento Reducción Celda Nombre LI Dual LD permisible permisible $D$9 Tiempo Máquina 1 24 3 24 4 6 $D$10 Tiempo Máquina 2 12 0 16 1E+30 4 $D$11 Demada producto B 6 0 6 2 2 Figura 2.21 Reporte de sensibilidad del ejemplo 5.5 En el reporte anterior se observa que en las restricciones R1 y R3, LI=LD y por lo tanto son efectivas y son las que forman el vértice C, considerado como solución óptima. Si estas dos restricciones son efectivas, deben tener un PD. Sin embargo el reporte indica que el PD-R3 es cero, lo cual es una contradicción y es suficiente para indicar la presencia de una solución alterna en el vértice B, tal como se comprobó en la figura 2.20. En general, existen dos situaciones que permiten identificar la presencia de una solución alterna en el reporte de sensibilidad: 1. Cuando el valor de una variable de decisión es cero y su Costo Reducido es cero. 2. Cuando una restricción es efectiva y su Precio Dual es cero. La primera situación se observó en el caso del ejemplo 2.5. La segunda será considerada en la solución del ejemplo 1.3, cuando se analice el Caso de Estudio sobre Interpretación de Resultados.