GIRO DE LOS EJES CONTENIDO. Ecuaciones de giro. Ejercicios Ya tratamos el procedimiento, mediante el cual, con una translación paralela de ejes, simplificamos las ecuaciones en particular de las curvas cónicas. Ahora simplificaremos, presentando un proceso llamado giro de los ejes de coordenadas, mediante el cual transformaremos la ecuación de la forma A B y C y D E y F en otra que carece del término By, que siempre está cuando los ejes focales de la parábola, elipse hipérbola están inclinados respecto a los ejes de coordenadas. Cuando en un sistema de coordenadas rectangulares y consideramos un nuevo par de ejes 'y' con el mismo origen, y referimos un punto del primer sistema coordenado al segundo, efectuamos un giro de ejes. También en el giro de ejes eiste una relación entre las coordenadas de un punto (, y) y las coordenadas del mismo punto (', y') referido al nuevo sistema de ejes coordenados; con el objeto de obtener dicha relación, llamaremos Φ a la magnitud del ángulo medido en sentido positivo desde la parte positiva del eje, hasta la parte positiva del nuevo eje ', como se muestra en la figura adjunta. Según la figura, considerando el punto P(, y), y y son los ejes originales, en tanto ' y y' son los nuevos ejes, después de haber girado un ángulo Φ alrededor del origen. A ; A P y Que son las coordenadas primitivas de P(, y). Y que B ; B P, que son las nuevas coordenadas del mismo punto P.. Ecuaciones de giro. De la figura anterior se observa que: A C - A C ; pero como A C B D, queda que: 9-
A C - B D...() De la misma manera; se observa que: A P A D D P ; pero como A D B C, queda que: A P B C D P...() Ahora en el triángulo rectángulo BC de la figura se tiene por definición trigonométrica que: C Φ. Por tanto depejando a : C B Φ...() B B C sen Φ. Por tanto despejando a : B C B sen Φ...( ) B Por otra parte en el triángulo rectángulo BDP, de la misma figura se tiene también que: B D sen Φ. Por tanto despejando a : B D B P sen Φ...() B P D P Φ. Por tanto despejando a : D P B P Φ...( ) B P Sustituyendo () y () en () y (), respectivamente tenemos: A B Φ - B P sen Φ A P B sen Φ B P Φ Pero según la figura: A A P y ; B ; B P Por lo que al sustituir en las epresiones anteriores quedan como: Φ - sen Φ...(I) y sen Φ Φ...(II) Que son las ecuaciones de giro de los ejes, aplicables para cualquier posición del punto P y cualquier valor de Φ. Veremos la aplicación de estas dos formulas que se usan para simplificar ecuaciones mediante un giro de ejes, o para encontrar las coordenadas de un punto, pasando de un sistema de coordenadas a otro en que los ejes hayan sido girados en determinado ángulo. 9-
. Ejercicios. Haciendo girar los ejes un ángulo de 5, probar que la ecuación y y, representa una elipse. SOLUCIÓN Las ecuaciones de giro, (I) y (II) son, sabiendo que sen 5 ; 5 : Sustituyendo quedan: 5 - sen 5 y sen 5 5 - - Las sustituimos en la ecuación dada: ( - ) ( - ) ( ) ( ) Desarrollando y quitando denominadores: - - Simplificando términos semejantes: y La ecuación representa a una elipse.. La ecuación de una cónica es: y y - y. Aplicar una rotación apropiada de los ejes para que en esta ecuación desaparezca el término rectangular By. Aplicamos las ecuaciones de giro: φ - sen φ y sen φ φ SOLUCIÓN Que las sustituimos en la ecuación dada: ( φ - sen φ ) ( sen φ φ ) ( φ - sen φ ) ( sen φ φ ) ( φ - sen φ ) - ( sen φ φ ) 9-
Desarrollando: φ- 8 senφφ sen φ senφφ sen φ senφφ φ- senφφ- φ φ- senφ- senφ- φ sen φ Factorizando: ( ( sen φ senφ φ sen φ ) φ - senφ φ φ ) ( ( φ - sen φ - senφ ) φ - 6 senφ φ ) - ( senφ φ ) () Para que de esta ecuación desaparezca el término rectangular, debe ser nulo el coeficiente respectivo. O sea que: Igualando a cero tenemos: φ - sen φ - 6 sen φ φ Factorizando: ( φ - sen φ ) - ( sen φ φ )...() Pero se sabe por conocimientos de trigonometría que: Y que: φ - sen φ φ sen φ φ sen φ Sustituyendo en () estas epresiones: φ - sen φ φ sen φ Rearreglando la ecuación tenemos: sen φ tan φ φ Pero se sabe que: tan φ tan φ - tan φ O sea sustituyendo el valor de tan ϕ: tan φ - tan φ 9-
Simplificando: tan φ - tan φ Rearreglando la ecuación y efectuando las operaciones: tan φ - tan tan φ φ tan φ - Resolviendo la ecuación de segundo grado anterior para tan ϕ, se obtiene: tan tan - φ φ - 5 ± 9 6 - ± 5 Sabemos que por definición cateto opuesto tanϕ cateto adyacente Con esto se obtiene según el triangulo rectángulo adjunto: Y por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa es 5. Por lo que: sen φ 5 ; φ 5 La ecuación reducida se obtiene sustituyendo estos valores en la ecuación (): 6 8 8-5 5 5 5 5 5 Simplificando: ( 8 5-8 5 ) - ( 5 6 5 ) y 5-5 y Despejando: 5 La ecuación representa a una parábola.. Hallar el ángulo de rotación de ejes necesario para eliminar el término By de la 9-5
ecuación: 7-6 y y 6 SOLUCIÓN Sustituyendo en la ecuación dada las ecuaciones de giro: φ - sen φ y sen φ φ Obtenemos: 7 ( φ - sen φ ) (' senφ Desarrollando: (7 ' - 6 y' φ) 6 φ - sen φ φ 7 y' ( φ - sen φ) ( sen φ φ) sen φ) - - 6 ' sen φ φ φ - sen φ - y' sen φ 6 sen φ φ Simplificando y factorizando. (7 ϕ - 6 sen φ φ sen φ ) [ sen φ φ - 6 ( φ - sen φ )] sen φ φ) φ 6 (7 sen φ 6 sen φ φ φ) 6...() Igualando a cero el coeficiente de y para eliminarlo. 6 ( sen φ φ ) - 6 Pero se sabe que: ( φ - sen φ) sen φ φ sen φ Y que: φ - sen φ φ Sustituyendo queda: 6 sen φ - 6 6 sen φ 6 sen φ 6 φ 6 φ φ Es decir que: tan φ 9-6
9-7 Y apoyándonos en el triangulo anterior: 6 tan Luego: φ 6 6 φ Por tanto: sen Sustituyendo estos valores, la ecuación () se reduce: 6 y' 6 7-6 7 Haciendo operaciones: 6 y 9 8 7 8-6 y 6 6 6 6 y y La ecuación representa a una elipse
Nombre de archivo: giro de los ejes Directorio: C:\Geometria_analitica Plantilla: C:\WINDOWS\Application Data\Microsoft\Plantillas\Normal.dot Título: GIRO DE LOS EJES Asunto: Autor: Pablo Fuentes Ramos Palabras clave: Comentarios: Fecha de creación: 8// :58 A.M. Cambio número: Guardado el: 5/6/ :5 P.M. Guardado por: Pablo Fuentes Ramos Tiempo de edición: 556 minutos Impreso el: 5/6/ 6: P.M. Última impresión completa Número de páginas: 7 Número de palabras: 87 (apro.) Número de caracteres:,775 (apro.)