La imaginación es más importante que el conocimiento. Albert Einstein Unidad 6 Suma y resta d e monomios y polinomios Objetivos
mat emát ic as 1 Introducción C uando estábamos en primaria la maestra nos decía que sumar dos veces una cantidad era lo mismo que multiplicar por dos: 5 + 5 = 2 x 5, 8 + 8 = 2 x 8. Esto es siempre verdadero? Podemos escribir que para cualquier número a, a + a = 2 a? En esta unidad estudiaremos las relaciones entre las cantidades sin importar si se trata de un cinco o un ocho. Revisaremos afirmaciones del estilo de las que inferimos junto con nuestros maestros de primaria y secundaria y cobrarán un sentido diferente en función de las relaciones que se establecen entre las cantidades. 6.1. Suma y resta de monomios Antes de comenzar el estudio mismo de la suma y resta de monomios, que es nuestro objetivo central en esta unidad, es conveniente volver sobre, quizás, el concepto más simple y más importante de las matemáticas: la igualdad. Recuerda que un monomio es una expresión algebraica que consta de un coeficiente y de una parte literal al estilo de 3 x 2 y 5. Cuándo son iguales dos monomios? Cuándo son iguales dos monomios? Establecemos que dos monomios son iguales si tienen el mismo coeficiente y la misma parte literal. Ejemplos: 1. L os monomios (2 x 3 ) y (5 x 3 ) no son iguales ya que difieren en su coeficiente. 2. L os monomios (2 a 3 ) y (2 b 3 ) no son iguales ya que difieren en su parte literal. 3. Los monomios (2 x 3 ) y (2 x 4 ) no son iguales ya que difieren en su parte literal (exponente). 4. L os monomios (2 x 3 ) y ( 2 x 3 ) no son iguales ya que difieren en su coeficiente (signo). En cambio: 5. L os monomios h y (0.5 h 5 ) sí son iguales. Recuerda que = 0.5 6. Los monomios (3 x 5 y 7 ) y (3 y 7 x 5 ) sí son iguales. Fíjate que sus coeficientes son iguales y recuerda que la multiplicación es conmutativa por lo que x 5 y 7 = y 7 x 5. Pero: 243
Unidad 6 Puede decir se que dos monomios iguales r epr esentan una identidad? 7. L os monomios (5x 2 y 3 ) y (5x 3 y 2 ) no son iguales. Fíjate que 5 x 2 y 3 = 5 x x y y y mientras que 5x 3 y 2 = 5xxxyy, que evidentemente no son iguales. Muchas veces ocurre que lo que es evidente para una persona no lo es para otra. En álgebra es muy habitual que cuando una persona comprende la lógica que subyace detrás de determinada relación, ésta aparece como evidente, pero mientras dicha lógica no es construida, las relaciones no parecen establecerse en forma lógica o consecuente. En el caso anterior podemos reforzar la diferencia entre los dos monomios hallando su valor numérico para valores arbitrarios de x y de y. 8. Calcula los valores numéricos de (5x 2 y 3 ) y (5x 3 y 2 ) para x = 2, y = 3. Solución: 5 x 2 y 3 = 5 (2) 2 (3) 3 = 5 (4) (27) = 540 5 x 3 y 2 = 5 (2) 3 (3) 2 = 5 (8) (9) = 360 Que, ahora sí, son evidentemente diferentes! El hallar el valor numérico de una expresión algebraica es una forma fácil y rápida de establecer si una relación es falsa, pero lamentablemente no asegura que sea verdadera. Con referencia al caso anterior, analiza los siguientes ejemplos: 9. Calcula los valores numéricos de (5 x 2 y 3 ) y (5 x 3 y 2 ) para x = 2, y = 0. Solución: 5x 2 y 3 = 5 (2) 2 (0) 3 = 5 (4) (0) = 0 5x 3 y 2 = 5 (2) 3 (0) 2 = 5 (8) (0) = 0 Que son evidentemente iguales, pero las expresiones no son iguales! Si los valores numéricos de dos monomios coinciden en uno o más valores de sus literales, es los monomios sean iguales? 10. Calcula los valores numéricos de (5 x 2 y 3 ) y (5 x 2 y 2 ) para x = 4, y = 1. Solución: 5x 2 y 3 = 5 (4) 2 (1) 3 = 5 (16) (1) = 80 5x 2 y 2 = 5 (4) 2 (1) 2 = 5 (16) (1) = 80 Que son evidentemente iguales, aunque en este caso las expresiones tampoco son iguales. Como viste en los capítulos anteriores, existen dos números que tienen propiedades específicas: el cero y el uno. El primero, por ser el neutro de la adición: a + 0 = a. Para cualquier número a que se tome. Y además posee la propiedad por la cual si se multiplica por cualquier número, se obtiene el propio cero, es decir a 0 = 0. 244
mat emát ic as 1 El segundo (el uno), por ser el neutro de la multiplicación: a 1 = a, para cualquier número a que se tome. Por ello, cuando uses el valor numérico para analizar si una expresión algebraica es igual o no a otra, no uses ninguno de estos dos números, ya que sus propiedades particulares pueden esconder la relación general de la expresión. Si dos monomios son iguales, sus valor es numér icos coincidirán par a todos los valor es de sus liter ales? Ejercicio 1 Contesta V si es verdadera o F si es falsa cada una de las siguientes proposiciones: 1. 0.3 x 2 = x 2 Verdadero Falso 2. 7 x 2 y = 7 y x 2 Verdadero Falso 3. 7 x 2 y = 7 y x 2 Verdadero Falso 4. 0.7 x 2 y = y x 2 Verdadero Falso 6.1.1. La adición y la suma; la sustracción y la resta o diferencia El lenguaje es un bien preciado que no debemos perder, ya que cuando una persona es capaz de expresar un concepto claramente es porque lo ha comprendido realmente (al revés no siempre es cierto, verdad?). elemental. Qué diferencia existe entre la adición y la suma? Volvamos a los viejos tiempos de la adición 12 sumandos + 15 27 suma La operación que acabamos de realizar se llama adición. L os elementos involucrados en la adición se llaman sumandos y el resultado se llama suma. Esto quiere decir que cuando hablamos de la suma de 12 y 15 no estamos hablando de la operación sino del 27, que es la suma (el resultado) de 12 y 15. La sustracción, como ya habrás descubierto, es el nombre de la operación que se acostumbra llamar resta, mientras que la resta o diferencia es el resultado. Pero existe una diferencia importante 245
Unidad 6 entre la adición y la sustracción. En la primera operación a los elementos involucrados los llamamos sumandos independientemente de cuál de ellos hablemos. En la sustracción no sucede esto. El primer elemento (al que se le resta el otro) se llama minuendo y el segundo (el que resta) sustraendo. 54 minuendo 31 sustraendo 23 resta o diferencia A qué se debe esta diferencia de términos? Posiblemente ya lo hayas inferido. Una característica importante que posee la adición y que no posee la sustracción es que la suma es conmutativa. Por ello es irrelevante cuál de los dos números es sumado al otro. En la sustracción en cambio existe una sutileza que cobra mucha importancia en el álgebra. Cuando decimos 54 31 = 23, es el 31 el que resta al 54, por ello es importante distinguir el minuendo del sustraendo. Es lo mismo 54+ 31? También es importante comentar que para efectuar la adición se sigue un procedimiento llamado algoritmo. Por algoritmo entendemos un procedimiento que conduce a un resultado. Existen algoritmos para efectuar las diferentes operaciones; por ejemplo, cuando estábamos en primaria la maestra nos explicó que para sumar dos o más números, debemos colocarlos en una columna y sumar unidades con unidades, decenas con decenas, etc. Recuerdas cuánto te costó aprender cuando debías llevarte una unidad a las decenas? El problema fundamental es que confundíamos el procedimiento para sumar (algoritmo) con la operación misma. La suma de 14 + 27 es 41, independientemente de si hacemos la operación en forma vertical, como nos enseñaron en primaria, en una calculadora o de cualquier otra forma. Recuerdas el algoritmo de la división tratado en este mismo libro? A modo de ejemplo lee el algoritmo geométrico para multiplicar dos números dado al final de esta unidad. 6.1.2. Supuestos implícitos o la complejidad de un número cualquiera El lenguaje matemático es muy compacto. Con este adjetivo queremos decir que cada símbolo tiene detrás muchas implicaciones que hacen a veces oscura su comprensión. Tomemos por ejemplo el número 2. Cuando comenzaste a aprender matemáticas, el 2 te servía para contar primero tus años y luego la cardinalidad de cualquier conjunto que se correspondiera con tus dedos índice y mayor. 246
mat emát ic as 1 Luego aprendimos a sumar y a restar. Al conocer el algoritmo de la sustracción vimos que existían números negativos. Esto supone que los otros, los conocidos hasta entonces, tenían una característica en la cual no reparamos: eran positivos. Es decir, que cuando escribimos el número 2, en realidad queremos escribir el + 2. Pero aquí no termina la historia. Recuerdas cómo haces para sumar una fracción a un número entero? Le agregas un uno abajo : Por qué puedes agregar un 1 abajo del 2? Sencillamente porque, al igual que el signo + que tiene el 2 en forma implícita, también tiene un 1 abajo que quiere decir que al entero lo partí en 1 parte y tomé 2. Por ello, los enteros entraban dentro de las fracciones (racionales): Z Q Entonces, cuando escribimos el 2, en realidad queremos escribir + Pero aún más. Recuerdas cómo hacías para sumar decimales con un entero? Al entero le agregabas un punto decimal y tantos ceros a su derecha como necesitaras para igualar el número de decimales del otro sumando: 2 2.000 + 0.532 + 0.532 Y por qué puedes agregar esos ceros? Claro!, porque esos ceros están implícitos en el concepto de número entero. Cuando escribimos el número 0.532 queremos hablar del número que tiene 0 unidades, 5 décimas, 3 centésimas y 2 milésimas. De la misma manera, cuando queremos hablar del número que tiene 2 unidades, 0 décimas, 0 centésimas, 0 milésimas, etc., escribimos sencillamente 2, pero recuperamos su significado cuando lo necesitamos. H as escuchado decir vale menos que un cero a la izquierda? Un cero a la izquierda de un número entero no tiene valor. Cuando escribimos el número 547, queremos hablar de aquel que tiene 7 unidades, 4 decenas y 5 centenas. El número 2 es aquel que tiene 2 unidades, 0 decenas, 0 centenas, etcétera. Y esto lo usas cuando sumas un número entero que tiene menos cifras que otro. Por ejemplo: 547 547 + 2 + 002 Aunque la costumbre hace que no escribamos esos ceros, cuando escribimos el número 2, queremos escribir: 247
Unidad 6 D onde los puntos suspensivos quieren decir que hay una cantidad infinita de ceros. Por otro lado, sabemos que un exponente significa las veces que se multiplica la base por sí misma. Así 5 3 quiere decir 5 x 5 x 5. Cuando escribimos un número sin ningún exponente significa que ese número está una sola vez. En otras palabras, cuando no colocamos ningún exponente, asumimos que tiene el exponente 1. (Una confusión habitual es asumir un exponente cero cuando no colocamos ninguno. Éste es un buen momento para que repases las definiciones de exponentes de las unidades pasadas y veamos que a 0 = 1 si a 0) Cuando escribimos el número 2, en realidad estamos escribiendo: Por último, y esta parte es importante para la comprensión de la escritura de monomios, debemos recordar que el igual quiere decir igual. Por ello son válidas las expresiones como: 5 + 3 = 8 o Y en particular dos que son verdaderas para cualquier número y que implican las propiedades de los neutros para la adición y la multiplicación: a = 0 + a y a = 1 a Donde intencionalmente usamos la propiedad de simetría de la igualdad escribiendo estas relaciones al revés de como las habíamos visto con anterioridad, porque es de esa manera como las usaremos en los monomios y más tarde en las ecuaciones. Por ello, cuando escribimos el 2, estamos suponiendo: 0 + 1 Entonces, cuando escribimos un número natural como el 2, estamos suponiendo que: 248
mat emát ic as 1 6.1.3. Suma algebraica de monomios Desde hace mucho tiempo sabemos que si hemos caminado 8 metros y luego caminamos otros 4 metros, en total hemos caminado 12 metros.* A los científicos les gusta simplificar las cosas (aunque a veces parezca lo contrario). Por ello una convención estableció el Sistema Internacional de Unidades que expone que en lugar de escribir toda la palabra metros, escribamos solamente el símbolo m que tú ya usas desde primaria. Entonces en lugar de escribir 8 metros, escribiremos 8 m. Si te fijas bien, 8 m es un monomio cuyo coeficiente es la cantidad de unidades medida y la parte literal la unidad elegida. Esta parte literal (m) está elevada a la potencia 1, es decir, que en lugar de escribir 8 m 1, escribimos simplemente 8 m. Entonces podemos simplificar la notación de lo caminado en el ejemplo anterior, traduciéndolo al lenguaje algebraico como: 8 m + 4 m = 12 m Lo que hicimos fue sumar dos monomios semejantes: 8 m y 4 m. Cómo se suman entonces los monomios semejantes? Cómo r eportas la medida de una La suma de dos monomios semejantes es otro monomio con la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma algebraica de los coeficientes de los monomios sumandos, esto es, entendemos como suma algebraica la suma o resta de monomios. Ejemplos: 11. 13 m + 6 m = 19 m 12. 2.5 x 2 + 3.8 x 2 = 6.3 x 2 * Aunque esta propiedad nos resulta tan natural, es de gran importancia e implica la aditividad de las magnitudes involucradas en la operación. Para entender mejor lo que estamos diciendo veamos alguna magnitud que no sea aditiva. Si un comercio anuncia que sobre un artículo aplicará 50% de descuento más 25%, no está anunciando 75% de descuento sino uno de sólo 62.5%, verifícalo! 249
Unidad 6 13. a 3 + a 3 = a 3 14. a 3 b + a 3 b = 1 a 3 b Cuando el coeficiente sea 1, vamos a convenir en no escribirlo como parte de los supuestos que vimos para cualquier número, por lo tanto: a 3 b + a 3 b = a 3 b 15. 13 m 6 m = 7 m 16. 2.5 x 2 3.8 x 2 = 1.3 x 2 17. a a a 18. Cuando el coeficiente sea 1, vamos a convenir en no escribir el 1, pero el signo sí debe escribirse para no confundirse con el coeficiente 1; por lo tanto: Pero, en general, podemos sumar y restar más de dos monomios semejantes. Vamos a mostrar cómo y luego a ejercitarnos. Verifica que las siguientes operaciones estén correctamente resueltas: 19. (3 m) + (8 m) + (5 m) (4 m) = 12 m Solución: Si usamos la propiedad distributiva al revés, vemos que: (3 m) + (8 m) + (5 m) (4 m) = (3 + 8 + 5 4) m = 12 m 250
mat emát ic as 1 20. ( 4 x 2 ) + ( 5 x 2 ) = 9 x 2 Solución: Por la ley de los signos, vemos que: x x x x x Recuerda que cuando las dos cantidades son negativas, el resultado es negativo. 21. ( 5.4 x y 3 ) (5.4 x y 3 ) = 10.8 x y 3 Solución: ( 5.4 x y 3 ) (5.4 x y 3 ) = ( 5.4 5.4) x y 3 = 10.8 x y 3 22. ( 5.4 x y 3 ) ( 5.4 x y 3 ) = 0 x y 3 = 0 Solución: Si usamos la propiedad distributiva y la ley de los signos, vemos que: ( 5.4 x y 3 ) ( 5.4 x y 3 ) = [( 5.4) ( 5.4)] x y 3 = ( 5.4 + 5.4) x y 3 = 0 x y 3 = 0 ya que ( 5.4 x y 3 ) = + 5.4 x y 3 = 5.4 x y 3 Ejercicio 2 Realiza las siguientes sumas algebraicas de monomios: 1. 3 m + 6.7 m = 2. 0.5 x 2 + 14.75 x 2 = 3. a 3 + 0.5 a 3 = 4. a 3 b + ba 3 = 251
Unidad 6 5. 3 m 6.7 m = 6. 0.5 x 2 14.75 x 2 = 7. a 3 0.5 a 3 = 8. a 3 b ba 3 = 9. (4 a b 2 ) + ( 3 a b 2 ) = 10. (0.5 h j 3 k 2 ) (h j 3 k 2 ) + (0.35 h j 3 k 2 ) = 11. + (0.3 x 3 y 2 ) = 12. (2 x 2 y) (3 x y 2 ) = Fíjate que para reducir monomios, éstos deben ser semejantes. Ahora bien, si los monomios no son semejantes, no tiene sentido sumar 5 metros con 6 kilogramos o 3 metros con 7 metros cuadrados! Y entonces, a qué es igual 3 a + 5 b? Éste es un binomio (dos monomios, recuerdas la unidad anterior?) y no se puede expresar de otra manera. Por lo tanto 3 a + 5 b = 3 a + 5 b. 252
mat emát ic as 1 6.2. Suma y resta de polinomios Como habrás notado en el problema 12 del ejercicio 2, si dos monomios no son semejantes la suma o la resta es expresable solamente en forma implícita. Qué sucede, entonces, al sumar dos polinomios? 6.2.1. Suma de polinomios Para sumar dos polinomios se reducen los monomios semejantes y se expresan implícitamente los demás. Con todo lo dicho hasta ahora podemos sumar polinomios y sobre los ejemplos aclarar dudas. Ejemplos: Realiza las siguientes sumas de polinomios: 23. (3 x 2 + 5 x + 4) + (2 x 2 + x + 7) = Existen dos formas habituales para realizar esta suma. Una, imitando el algoritmo aprendido para números, consiste en colocar un polinomio debajo del otro de tal suerte que cada término se encuentre debajo del monomio semejante correspondiente al otro polinomio, de esta manera: 3 x 2 + 5 x + 4 + 2 x 2 + x + 7 5 x 2 + 6 x + 11 La otra forma es realizar la suma horizontalmente asociando mentalmente los monomios semejantes. Al principio la primera forma aparece como más clara y sencilla, pero habitualmente uno termina acostumbrándose a la segunda forma porque ahorra escritura. La segunda forma es: (3 x 2 + 5 x + 4) + (2 x 2 + x + 7) = 5 x 2 + 6 x + 11 Donde el monomio 5 x 2 se obtuvo de la suma de 3 x 2 + 2 x 2. El monomio 6 x de la suma de 5 x + x (fíjate que x tiene un coeficiente 1 aunque no se escriba y por lo tanto 5x + x = 6x. Por último, el 11 se obtuvo de 4 + 7. En otras palabras, cuando operamos horizontalmente usamos explícitamente la propiedad asociativa, agrupando los monomios semejantes, es decir: (3 x 2 + 5 x + 4) + (2 x 2 + x + 7) = (3x 2 + 2x 2 ) + ( 5 x + x)+ (4 + 7) = (3 + 2) x 2 + (5 + 1) x + (4 + 7) = 5 x 2 + 6 x + 11 La suma de dos polinomios de igual númer o de términos es otro polinomio con ese númer o de tér minos? 253
Unidad 6 24. ( 8 x 2 2 x 4) + (5 x 2 + 7 x 9) = H agámosla de la primera forma para ir acostumbrándonos. 8 x 2 2 x 4 + 5 x 2 + 7 x 9 3 x 2 + 5 x 13 25. (4 x 2 5 x 4) + ( 5 x 2 + 5 x + 1) = 4 x 2 5 x 4 + 5 x 2 + 5 x + 1 x 2 0 x 3 O sencillamente (4 x 2 5 x 4) + ( 5 x 2 + 5 x + 1) = x 2 3 26. (8 a + 5 b + c) + ( 4 a 3b + 2c) = 8a + 5b + c + 4a 3b + 2c 12a + 2b + 3c 27. (2 x 2 + 7 x 1) + (3 x 2 + 2 x + 9) + (3 x 2 2 x + 4) = 2 x 2 + 7 x 1 + 3 x 2 + 2 x + 9 3 x 2 2 x + 4 8 x 2 + 7 x + 12 Es decir (2 x 2 + 7 x 1) + (3 x 2 + 2 x + 9) + (3 x 2 2 x + 4) = 8 x 2 + 7 x + 12 28. (5 x 2 + 1) + (3 x 2 3 x) + (7 x + 5) = Fíjate que para poder realizar la suma, debemos ubicar en las mismas columnas los términos semejantes para lo cual es preciso dejar huecos como se ve en este ejemplo: 5 x 2 + 1 + 3 x 2 3 x 7 x + 5 8 x 2 + 4 x + 6 254
mat emát ic as 1 O bien: (5 x 2 + 1) + (3 x 2 3 x) + (7 x + 5) = (5 + 3) x 2 + ( 3 + 7) x + (1 + 5) = 8 x 2 + 4 x + 6 29. (3 x 2 + a) + ( 5 y b) = Como en este caso no existen monomios semejantes, no existe otra forma de expresar la suma que en forma implícita, es decir: (3 x 2 + a) + ( 5 y b) = 3 x 2 + a + 5 y b 30. (4 x 2 + 3 x + 2 y 2 ) + (y 2 + 7 y + 6 x 2 ) = En este caso los polinomios no están ordenados de la misma forma. Para poder sumarlos en forma vertical debemos colocar los monomios semejantes en la misma columna. 4 x 2 + 3 x + 2 y 2 + 6 x 2 + y 2 + 7 y 10 x 2 + 3 x + 3 y 2 + 7 y D onde no es el único orden posible. También son verdaderas las respuestas: 10 x 2 + 7 y + 3 x + 3 y 2 o 3 y 2 + 3 x + 10 x 2 + 7 y Ejercicio 3 Realiza las siguientes sumas de polinomios: 1. (4 x 2 + 5 x 7) + (4 x 2 + 5 x 7) = 2. (4 x 2 5 x 7) + ( 4 x 2 + 5 x + 7) = 3. (4 x 2 5 x 7) + ( 4 x 2 + 5 x 7) = 4. (12 x 2 + 9 x 2) + (3 x 2 + x + 8) + (7 x 2 + 6 x + 2) = 5. (4 y + 4) + (3 x + 5 y 3) = 6. (a b) + (b c) + (c d) + (d e) = 7. (8 x 2 + 5 xy + 2 y 2 ) + (3 x 2 + 7 xy + 9 y 2 ) = H asta aquí, para aprender a sumar polinomios intencionalmente hemos evitado una dificultad: la operación de los coeficientes siempre estaba dada sobre el conjunto de los números enteros. Pero decíamos que un monomio es una expresión que consta de un coeficiente y este 255
Unidad 6 número puede ser una fracción o un número real cualquiera. Veamos algunos ejemplos donde los coeficientes no sean sólo enteros. Ejemplos: Realiza las siguientes sumas de polinomios. 31. (0.5 a + 2.3 b) + (4.1 a 1.8 b) = Realicemos esta suma horizontalmente. (0.5 a + 2.3 b) + (4.1 a 1.8 b) = (0.5 + 4.1) a + [2.3 + ( 1.8)] b = 4.6 a + (2.3 1.8) b = 4.6 a + 0.5 b 32. 33. (0.5 x + 2 y 1.75 z) + = La dificultad en este ejemplo estriba en que unos coeficientes están expresados en forma decimal y otros en forma de fracción. Para poder operar deben ser llevados a la misma forma por lo que debemos hacer transformaciones. En este caso es totalmente equivalente convertir los decimales a fracción o las fracciones a decimales, por ello lo haremos de las dos formas para practicar. Sin embargo, esto no siempre es válido, por ello lo analizaremos en el ejemplo siguiente. Como: = 1.5 = 0.4 y = 0.25 256
mat emát ic as 1 Entonces: (0.5x + 2y 1.75z)+ = (0.5x + 2y 1.75 z) + (1.5 x + 0.4 y + 0.25 z)= = (0.5 + 1.5) x + (2 + 0.4) y + ( 1.75 + 0.25) z = 2 x + 2.4 y 1.5 z O bien como, y Entonces, (0.5x + 2y 1.75z)+ = equivalentes. Verifica que las dos expresiones, la dada en forma decimal y la de la forma fraccionaria, son 34. (0.5 x + 2 y 1.75 z + 3.2) + = Generalmente en principio uno prefiere optar por la forma decimal ya que puede ser operada fácilmente por calculadora; sin embargo, esta forma tiene algunas dificultades como veremos en este ejemplo. Si quisiéramos convertir 1/3 a decimal, observaremos que obtenemos una expresión periódica infinita: = 0.3333333... Donde los puntos suspensivos quieren decir que se repite la secuencia, en este caso el 3 y que habitualmente expresamos: Fíjate que no es posible expresar a esta fracción con una expresión decimal finita ya que (recuerda que en matemáticas igual quiere decir igual ) 257
Unidad 6,, Por más que pongas muchos 3. L o mismo sucede con las fracciones ya que 2/7 = 0.285714285714... = 0.285714 4/9 = 0.444444... = 0.4 Por ello, cualquier expresión finita que usemos de estos números va a ser necesariamente incompleta y, por lo tanto, no dará una igualdad. En estos casos no queda otra alternativa que operar con fracciones. (0.5 x + 2 y 1.75 z + 3.2) + = H ay otros casos interesantes: cuando los números involucrados contienen raíces no exactas: 35. ( 2 x + 3 y) + (4 x + 5 y) = Como vimos en las unidades anteriores, la expresión decimal de 2 no es finita. Las primeras cifras son: 2 = 1.414213562... Pero por ser un número irracional no vamos a encontrar ningún periodo en su expresión decimal. L o mismo sucede con otros números irracionales como 3 = 1.732050808... 5 = 2.236067977... = 3.141592654... Para operar en estos casos debemos recuperar la propiedad asociativa de la suma de la siguiente forma ( 2 x + 3 y) + (4 x + 5 y) = ( 2 + 4) x + (3 + 5) y. 258
mat emát ic as 1 Pero mientras que el segundo término (3 + 5) puede ser operado explícitamente, no hay forma de obtener una igualdad diferente para el primer término, debiendo dejar la suma implícita. Claro está que en algunos casos será necesario obtener una expresión aunque sea aproximada (no igual) para lo cual podremos tomar dos, cuatro o los decimales que sean necesarios para la aproximación deseada del irracional involucrado. Esto es lo que hacemos cuando calculamos perímetros o áreas de circunferencias o círculos donde tomamos a como 3.14 (como hacíamos en primaria) o como 3.1416 (que de cualquier manera no deja de ser una aproximación). Por todo esto ( 2 x + 3 y) + (4 x + 5 y) = ( 2 + 4) x + 8 y. Ahora practica los criterios anteriores: Cuáles denominadores de una sola cifra pueden pr oducir una expresión decimal per iódica? Ejercicio 4 1. (3.05 a + 22.7 b) + ( 2.1 a 18.8 b) = 2. 3. 4. 5. ( 2 x + 3 y) + ( 8 x + y) = Considera la siguiente resta de polinomios: (9 x 2 + 3 x + 2) (4 x 2 + 5 x + 7) = Para realizar esta resta existen dos formas. Una de ellas supone colocar un polinomio debajo del otro de tal suerte que coincidan los monomios semejantes. Sin embargo, hay que tener presente que el signo menos está afectando a todo el polinomio 4 x 2 + 5 x + 7, lo cual significa que cada término debe restar a su correspondiente. Esto es equivalente a cambiar el signo de cada monomio. Es decir que: (4 x 2 + 5 x + 7) = 4 x 2 5 x 7. Ahora la resta de polinomios se convierte en la suma del polinomio minuendo más el sustraendo con los signos cambiados. 259
Unidad 6 9 x 2 + 3 x + 2 9 x 2 + 3 x + 2 4 x 2 + 5 x + 7 + 4 x 2 5 x 7 5 x 2 2 x 5 Ejemplos: 36. (9 x 2 + 3 x + 2) (4 x 2 5 x + 7) = Solución: 9 x 2 + 3 x + 2 9 x 2 + 3 x + 2 4 x 2 5 x + 7 o bien + 4 x 2 + 5 x 7 5 x 2 + 8 x 5 5 x 2 + 8 x 5 Fíjate que un signo menos delante de un paréntesis cambia todos los signos de los términos que se encuentren dentro de él, mientras que un signo más (explícito o implícito) no lo hace. Esto hace falta remarcarlo porque es muy importante. Un signo de agrupación (paréntesis, corchete o llave) precedido de un signo más puede ser quitado dejando cada término con los signos que tenía. En símbolos: + (a + b c) = a + b c signo explícito O simplemente (a + b c) = a + b c signo implícito Pero Un signo de agrupación (paréntesis, corchete o llave) precedido de un signo menos, para ser quitado es necesario cambiar los signos de cada término. En símbolos: (a + b c) = a b + c el signo siempre debe ser explícito 260
mat emát ic as 1 La otra forma consiste en colocar los polinomios que se van a restar entre signos de agrupación para diferenciar el minuendo del sustraendo; eliminar los signos de agrupación y reducir los términos semejantes. Ejemplos: 37. (9 x 2 + 3 x + 2) (4 x 2 + 5 x + 7) Eliminando los signos de agrupación tenemos 9 x 2 + 3 x + 2 4 x 2 5 x 7 Reduciendo términos semejantes 5x 2 2x 5 38. (5a + 2b 3c) ( 2a + b + 4c) = 5a + 2b 3c + 2a b 4c = 7a + b 7c Ejercicio 5 1. (3a + 2b c) (4a b + 2c) = 2. ( 2a 3b + c) ( 6a + 2b)= 3. (3a + 4b + 5c) (2a + 3b c)= 4. (7 x 2 + 5 x + 2.75) (4 x 2 + 5 x 2.75) = 5. (2 x 2 + x + 0.6) (4 x 2 5 x + ) = polinomios. Ahora podemos generalizar todo lo visto en el capítulo, sumando y restando todo tipo de 261
Unidad 6 Ejemplos: Verifica que los siguientes ejercicios estén bien resueltos: 39. (6 a + 7 b 4 c 5 d) + (3 a 4 b 4 c + 2 d) = 9 a + 3 b 8 c 3 d 40. (6 a + 7 b 4 c 5 d) ( 3 a + 4 b + 4 c 2 d) = 9 a + 3 b 8 c 3 d 41. (x 2 + xy) + (yx + y 2 ) = x 2 + 2 xy + y 2 42. (x 2 xy) + ( yx + y 2 ) = x 2 2 xy + y 2 43. (x 2 xy) + (yx y 2 ) = x 2 y 2 44. (3 a 5 b + 7 c) + (8 a 4 b 5 c) (12 a + 3 b 3 d) = a 12 b + 2 c + 3 d 45. (3 x + 2 y) { (4 x 5 y) [(2 x 5 y) ( 4 y 3 x)] (5 x 2 y)} + (4 x + 3 y) = En este último caso tenemos varios signos de agrupación: paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }. Para poder operar correctamente debemos quitarlos operando de adentro hacia afuera, es decir, que no podemos quitar la llave si no hemos quitado primero los corchetes y los paréntesis. Sin embargo, el primer y último paréntesis sí pueden ser quitados ya que no se ven afectados por otros. Entonces: (3 x + 2 y) { (4 x 5 y) [(2 x 5 y) ( 4 y 3 x)] (5 x 2 y)} + (4 x + 3 y) = = 3 x + 2 y { (4 x 5 y) [2 x 5 y 4 y + 3 x] (5 x 2 y)} + 4 x + 3 y = = 3 x + 2 y { 4 x 5 y 2 x + 5 y + 4 y 3 x 5 x + 2 y} + 4 x + 3 y = = 3 x + 2 y 4 x + 5 y + 2 x 5 y 4 y + 3 x + 5 x 2 y + 4 x + 3 y = = (3 4 + 2 + 3 + 5 + 4) x + (2 + 5 5 4 2 + 3) y = 13 x y 46. Cuál es la expresión que sumada a (x 2 + 3 x 5 y) da (4 x 2 2 x + 4 xy)? Encontrar una expresión que sumada a otra que está dada dé como resultado una tercera expresión, es equivalente a restar las expresiones datos. Entonces a la expresión que es el resultado (4 x 2 2 x + 4 xy) debemos restar la primera, es decir: 4 x 2 2 x + 4 xy 4 x 2 2 x + 4 xy x 2 + 3 x 5 y + x 2 3 x + 5 y 3 x 2 5 x + 4 xy + 5 y La expresión buscada es el cuatrinomio 3 x 2 5 x + 4 xy + 5 y. 262
mat emát ic as 1 Ejercicio 6 Resuelve los siguientes ejercicios: 1. (a 2 + ab) + (ba + b 2 ) = 2. (a 2 ab) + ( ba + b 2 ) = 3. (a 2 + ab) + ( ba b 2 ) = 4. ( a 2 ab) (ba + b 2 ) = 5. (4 x 2 + 3 x) + (3 x + 9) = 6. (x 3 + 2 x 2 y) + (x 2 y + xy 2 ) + (2 xy 2 + y 3 ) = 7. (x 3 2 x 2 y) (x 2 y xy 2 ) ( 2 xy 2 y 3 ) = 8. (2.3 x 4.01 y + 5.2 x) + (4 x 4 y 5 z) (1.2 x 2.3 y 3 y) = 9. (2a + 5b) { ( 5a + 3b) [(2a 3b) ( 4b 3a)] (5b 2a)} (4b + 3b) = 263
mat emát ic as 1 Respuestas a los ejercicios Ej. 1 1. F 2. V 3. F 4. V Ej. 2 1. 3 m + 6.7 m = (3 + 6.7) m = 9.7 m 2. 0.5 x 2 + 14.75 x 2 = (0.5 + 14.75) x 2 = 15.25 x 2 3. a 3 + 0.5 a 3 = (0.6 + 0.5) a 3 = 1.1 a 3 o bien a 3 + 0.5 a 3 = a 3 + a 3 = a 3 4. a 3 b + ba 3 = a 3 b ya que = 1 y a 3 b = ba 3 Y entre los supuestos que vimos, el factor 1 no lo vamos a escribir (aunque si lo escribiste no está mal ya que sí es igual). 5. 3 m 6.7 m = (3 6.7) m = 3.7 m 6. 0.5 x 2 14.75 x 2 = (0.5 14.75) x 2 = 14.25 x 2 7. a 3 0.5 a 3 = (0.6 0.5) a 3 = 0.1 a 3 o bien a 3 0.5a 3 = a 3 a 3 = a 3 8. a 3 b ba 3 = a 3 b = a 3 b 9. (4 a b 2 ) + ( 3 a b 2 ) = [4 + ( 3)] a b 2 = (4 3) a b 2 = a b 2 265
Unidad 6 10. (0.5 h j 3 k 2 ) (h j 3 k 2 ) + (0.35 h j 3 k 2 ) = (0.5 1 + 0.35) h j 3 k 2 = 0.15 h j 3 k 2 11. + (0.3x 3 y 2 ) = = x 3 y 2 12. (2 x 2 y) (3 x y 2 ) = 2 x 2 y 3 x y 2 es un binomio que no puede ser expresado de otra forma ya que los términos involucrados no son semejantes. Ej. 3 1. (4 x 2 + 5 x 7) + (4 x 2 + 5 x 7) = (4 + 4) x 2 + (5 + 5) x + ( 7 7) = 8 x 2 + 10 x 14 2. (4 x 2 5 x 7) + ( 4 x 2 + 5 x + 7) = [4 + ( 4)] x 2 + ( 5 + 5) x + ( 7 + 7) = 0x 2 + 0 x + 0 = 0 3. (4 x 2 5 x 7) + ( 4 x 2 + 5 x 7) = [4 + ( 4)] x 2 + ( 5 + 5) x + [ 7 + ( 7)] = 0x 2 + 0x 14 = 14 4. (12 x 2 + 9 x 2) + (3 x 2 + x + 8) + (7 x 2 + 6 x + 2) = = (12 + 3 + 7) x 2 + (9 + 1 + 6) x + ( 2 + 8 + 2) = = 22 x 2 + 16 x + 8 O bien: 12 x 2 + 9 x 2 + 3 x 2 + x + 8 7 x 2 + 6 x + 2 22 x 2 + 16 x + 8 5. (4 y + 4) + (3 x + 5 y 3) = (4 + 5) y + 3 x + (4 3) = 9 y + 3 x + 1 Nota que el término en x no tiene otro semejante por lo que queda tal como estaba. Por otra parte, el 1 no se escribe cuando está multiplicando una parte literal 6. (a b) + (b c) + (c d) + (d e) = a b + b c + c d + d e = a e Como delante de los paréntesis hay signos positivos, los paréntesis pueden quitarse manteniendo los signos de cada término. 266
mat emát ic as 1 7. (8 x 2 + 5 xy + 2 y 2 ) + (3 x 2 + 7 xy + 9 y 2 ) = (8 + 3) x 2 + (5 + 7) xy + (2 + 9) y 2 = 11 x 2 + 12 xy + 11 y 2 Recuerda que dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal, no si tienen el mismo coeficiente. Por ello 11 x 2 no se puede sumar a 11 y 2. Ej. 4 1. (3.05 a + 22.7 b) + ( 2.1 a 18.8 b) = 3.05a 2.1a + 22.7b 18.8b = 0.95 a + 3.9 b. 2. Te diste cuenta de las simplificaciones que hicimos? Siempre que trabajes con fracciones trata de llegar a la irreductible, es decir, a aquella que no se pueda simplificar más. 3. (2.5 x + z 0.75 y) + = 2.5 x + 0.6 z 0.75 y + 0.5 x + 0.5 z + 0.40 y 3 x + 1.1 z 0.35 y 4. (0.5 x + 3 y 0.75 y + 1.4 z) + = Observa que 3 + 3 es igual a 2 3, de la misma forma que 5 + 5 = 2. 5, o a + a = 2a, pero no se puede expresar de otra manera la suma 2 3 0.75. 267
Unidad 6 5. ( 2 x + 3 y) + ( 8 x + y) = ( 2 + 8 ) x + (3 + ) y Entonces: Ya que 1 cosa más 2 cosas (de la misma especie) son 3 de esas cosas. Entonces: ( 2 x + 3 y) + ( 8 x + y) = 3 2 x + (3 + ) y Fíjate que en este contexto no es una incógnita o una variable, sino que representa el número irracional que es la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia, es decir, = 3.141592654... Ej. 5 1. (3a + 2b c) (4a b + 2c)= a + 3b 3c 2. ( 2a 3b + c) ( 6a + 2b) = 4a 5b + c 3. (3a + 4b + 5c) (2a + 3b c) = a + b + 6c 4. (7 x 2 + 5 x + 2.75) (4 x 2 + 5 x 2.75) = 3 x 2 + 5.5 5. (2 x 2 + x + 0.6) (4 x 2 5 x + ) = 2 x 2 + x + 0.2 268
mat emát ic as 1 Ej. 6 1. (a 2 + ab) + (ba + b 2 ) = a 2 + 2 ab + b 2 2. (a 2 ab) + ( ba + b 2 ) = a 2 2 ab + b 2 3. (a 2 + ab) + ( ba b 2 ) = a 2 b 2 4. ( a 2 ab) (ba + b 2 ) = a 2 2 ab b 2 = ( a 2 + 2 ab + b 2 ) 5. (4 x 2 + 3 x) + (3 x + 9) = 4 x 2 + 6 x + 9 6. (x 3 + 2 x 2 y) + (x 2 y + xy 2 ) + (2 xy 2 + y 3 ) = x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3 7. (x 3 2 x 2 y) (x 2 y xy 2 ) ( 2 xy 2 y 3 ) = x 3 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3 8. (2.3 x 4.01 y + 5.2 x) + (4 x 4 y 5 z) (1.2 x 2.3 y 3 y) = 10.3 x 2.71 y 5 z 9. (2 a + 5 b) { ( 5 a + 3 b) [(2 a 3 b) ( 4 b 3 a)] (5 b 2 a)} (4 b + 3 b) = 10 a 7 b 269
Unidad 6 Anexo: algoritmo geométrico para multiplicar dos números Imagínate que tienes un sistema de ejes coordenados como el de la figura 6.1. Para multiplicar, Luego unimos el 2 con el 1 (que es el neutro multiplicativo) ubicado en el eje de las ordenadas. Si ahora trazamos una paralela al segmento que une el primer factor (el 2) con el 1, y que pase por el segundo factor (el 3), este segmento cortará al eje de las abscisas en el producto de 2 y 3 (el 6) como lo muestra la figura. Figura 6.1. el algoritmo? Veamos. Figura 6.2. 270
mat emát ic as 1 Figura 6.3. Si lo analizas bien, verás que hemos encontrado un algoritmo que multiplica correctamente. La operación de multiplicación, sin embargo, no es ni este algoritmo, ni el babilónico comentado en otro capítulo, ni siquiera el que nos enseñaron en primaria. No existe un algoritmo más verdadero que otro. Pese a ello, sí podemos afirmar que el que utilizamos habitualmente es más eficiente que el geométrico, y quizás pienses con toda validez que el uso de la calculadora es todavía más eficiente que el que acostumbramos a usar. A modo de juego podrías utilizar este algoritmo para hallar otras multiplicaciones interesantes. Calcula: a) 3 2 ( Es importante cuál de los dos factores colocas en el eje de la abscisas? Por qué?) b) 0 a (siendo a cualquier número). c) Cómo podrías usar este algoritmo para dividir dos números? Piensa que dividir 6 entre 2 es lo mismo que hallar el número que multiplicado por 2 te da 6. d) El inverso multiplicativo de 2. El inverso multiplicativo de 2 es un nombre pomposo de 1/2, sin embargo fíjate que esto significa dividir 1 entre 2. e) El inverso multiplicativo de 7. f) El inverso multiplicativo de 0 (cero) ( Existe? qué sucede cuando intentas usar el algoritmo para dividir uno entre cero?) 271
Matemáticas 1 (Álgebra 1) Unidad 6. Suma y resta de monomios y polinomios Nombre: Grupo: Profesor: Número de cuenta: Campus: Autoevaluación 1. Decimos que dos monomios son iguales si tienen iguales: a) Coeficientes. b) Partes literales. c) Coeficientes y partes literales. d) Coeficientes, partes literales y exponentes. 2. D ecimos que dos monomios son semejantes si tienen iguales: a) Coeficientes. b) Partes literales, con el mismo exponente. c) Coeficientes y partes literales. d) Coeficientes, partes literales y exponentes. 3. (7 x 2 + 5 x + 2.75) (4 x 2 + 5 x 2.75) = a) 3 x 2 + 11/2 b) 11 x 2 + 10 x + 5.5 c) 3 x 2 + 10 x + 5.5 d) 3 x 2 + 5 4. ( a 2 ab) (ba + b 2 ) = a) a 2 2 ab + b 2 b) a 2 + 2 ab + b 2 c) (a 2 + 2 ab + b 2 ) d) a 2 + b 2 5. ( 2 x + 3 y) ( 8 x + y) = a) 3 2 x + (3 ) y b) 2 x + (3 ) y c) ( 2 + 8 ) x + (3 + ) y d) ( 2 + 8 ) x + (3 ) y 273
6. a) 2 x 3 y x 3 yz 4 + 7 xy 2 + b) 2 x 3 y x 3 yz 4 + 5 xy 2 + c) 2 x 3 y x 3 yz 4 7 xy 2 + d) 2 x 3 y x 3 yz 4 + 3 xy 2 + 7. (3 x 2 + 5 x 7) + (4 x 2 8 x + 6) (5 x 2 9 x + 3) = a) x 2 6 x 2 b) 2 x 2 12 x 4 c) 12 x 2 12 x + 2 d) 2 x 2 + 6 x 4 8. (x 4 2 x 3 y 2 ) (x 3 y 3 xy 2 ) ( 2 xy 2 y 3 ) = a) x 4 x 3 y 3 2 x 3 y 2 x y 2 y 3 b) x 4 + x 3 y 3 2 x 3 y 2 x y 2 y 3 c) x 4 x 3 y 3 2 x 3 y 2 + x y 2 + y 3 d) x 4 x 3 y 3 2 x 3 y 2 + 3 x y 2 + y 3 9. (2 x + 5 y) { ( 5 x + 3 z) [(2 x 3 y) ( 4 y 3 x)] (5 z 2 x)} (4 y + 3 z) = a) 10 x 4 y z b) 10 x 6 y + z c) 10 x + 4 y + z d) 10 x 6 y z 274