Variable Compleja Teoria, problemas resueltos y propuestos

Variable Compleja Teoria, problemas resueltos y propuestos Dr. Carlos Lizama Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencias Departamento de Matemática y C.C.

Introducción El presente texto de apuntes de Variable Compleja corresponde al curso del mismo nombre (hoy Cálculo IV) impartido por el autor a la carrera de Ingeniería Matemática durante varios semestres consecutivos. Agradecimientos a Daniela Vilches, quien logró dar forma casifinal a estos apuntes durante el primer y segundo semestres del 202. Santiago, Marzo 203.

Índice general. Preliminares 4.. Introducción....................... 4.2. Propiedades algebraicas................ 6.3. Representación Geométrica............... 9.4. Ecuación del Círculo y de la Recta.......... 3.5. Proyección Estereográfica................ 4.6. Topología en C..................... 6.7. Funciones Básicas.................... 8 2. Funciones de Variable Compleja 25 2.. Funciones analíticas................... 25 2.2. Algunas funciones de variable compleja......... 37 3. Series 43 3.. Series de Taylor..................... 43 3.2. Representaciones por series de Taylor......... 48 3.3. Serie geométrica..................... 50 3.4. Extensión analítica................... 53 2

3 3.5. Prolongación analítica................. 54 3.6. Transformaciones conformes.............. 56 4. Integración 57 4.. Definición y propiedades................ 57 4.2. Formula de Cauchy................... 59 4.3. Teoría de indice y homotopía............. 62 4.4. Teoremas fundamentales................ 63 5. Polos y residuos 74 5.. Desarrollo en serie de Laurent............. 74 5.2. Residuos......................... 80 5.3. Cálculo de integrales.................. 88 5.4. Aplicaión del Teorema de Residuos.......... 89 5.5. Fórmula de Poisson................... 96 5.6. Fórmula de Jensen................... 0 5.7. Automorfismos del disco unitario........... 04 6. Ejercicios 09 6.. Ejercicios resueltos................... 09 6.2. Ejercicios propuestos.................. 73

Capítulo Preliminares.. Introducción La primera noción de un número complejo fue descubierta en conexión con resolver ecuaciones cuadráticas. Consideremos, por ejemplo, la ecuación z 2 +. Obviamente, esta no tiene soluciones reales, ya que para cualquier real x, x 2 0 y x 2 + > 0. La idea es escribir, formalmente, z = ± ; pero no existe número real cuyo cuadrado de. Luego, si la ecuación tiene una solución, debe ser en un sistema de números mayor que el conjunto de los números reales. Este fue el problema planteado a matemáticos por alrededor de 700 años: Extender los reales a un sistema mayor de números en el cual la ecuación z 2 + puede tener una solución. C. Gauss (780-840) fue el primer matemático en usar sistemática- 4

CAPÍTULO. PRELIMINARES 5 mente números complejos. La serie Hipergeométrica + ab a(a + )b(b + ) x + c c(c + ) 2 x2 +... Se comprende mejor al analizar los complejos x <. (Note que si b = c y a = se obtiene la serie geométrica). Gauss Demostró: Toda ecuación a n z n + a n z n +... + a 0 = 0 tiene n-soluciones en C. A. L. Cauchy dió la estructura central al desarrollo de variable compleja a través de la idea de la integral de línea: f(z)dz, γ la cual da sentido a la fórmula integral de Cauchy: f(z) = 2πi γ f(ζ) ζ z dζ.

CAPÍTULO. PRELIMINARES 6.2. Propiedades algebraicas El conjunto de los números complejos C es un cuerpo con la suma y el producto definido de la siguiente forma: C = {(a, b) R R / (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)}. C = {(a, b) R R / (a, b)(c, d) = (ac bd, bc ad)}. Las unidades aditivas y multiplicativas son (0, 0) y (, 0), respectivamente. Veamos: (a, b) + (0, 0) = (a, b) y (a, b)(, 0) = (a, b). Además, cada elemento no cero, tiene inverso. Para (a, b), su inverso es ( a, b). Definimos i = (0, ), entonces podemos escribir el par (a, b) de la siguiente forma: (a, b) = a(, 0) + b(0, ) = a + ib. Esta es la notación que se ocupará desde ahora. Bajo la suma y producto, C es un cuerpo conmutativo. Observación Consideremos i = (0, ), entonces: i 2 = (0, )(0, ) = (0, 0 + 0) = (, 0) =. Luego, i 2 =.

CAPÍTULO. PRELIMINARES 7 Como i 2 =, la ecuación z 2 + tiene al menos una raíz en C. En efecto: Más generalmente: z 2 + = (z + i)(z i). z 2 + w 2 = (z + iw)(z iw). Si z = a R y w = b R, entonces (para a 0, b 0) a 2 + b 2 = (a ib)(a + ib) a + ib = a ib a 2 + b 2, con lo cual se tiene una fórmula para el recíproco de un número complejo. Notación 2 z = a ib es el conjugado de z = a + ib z = (a 2 + b 2 ) 2 es el valor absoluto de z. Con las notaciones anteriores, tenemos: z = z z 2, si z 0 Definición 3 Si z = a + ib, diremos que a es la parte real de z y escribimos: a = Re(z). Análogamente, diremos que b es la parte imaginaria de z y escribimos: b = Im(z)

CAPÍTULO. PRELIMINARES 8 En consecuencia, z = Re(z) + iim(z). Del mismo modo, podemos escribir el conjugado de z en función de su parte real e imaginaria, es decir, z = Re(z) iim(z). Además, podemos escribir la parte real e imaginaria en función de z y z. Sumando, se obtiene: Re(z) = (z + z). 2 Por otro lado, restando, se tiene: Im(z) = (z z). 2i Note además que Re(z) z y Im(z) z. Propiedades Básicas. z + w = z + w 2. z = z 3. wz = wz 4. zw = z w 5. z = z Proposición 4 (Desigualdad Triangular) z + w z + w

CAPÍTULO. PRELIMINARES 9 Demostración. z + w 2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = zz + zw + wz + ww = z 2 +2Re(zw)+ w 2 z 2 +2 zw + w 2 = z 2 +2 z w + w 2 = ( z + w ) 2.3. Representación Geométrica En el caso de la forma polar tenemos que cos θ = a r y sin θ = b r, entonces, a = r cos θ y b = r sin θ. Se observa que r = z. Y definimos θ = Arg(z). El problema en general es que Arg(z) es una función multivariable. De esta forma, tendremos que elegir un rango de valores admisibles para θ. Propiedad: Arg(zw) = Arg(z) + Arg(w). Demostración. Sea z = a+ib = r cos θ +ir sin θ = r(cos θ +i sin θ) = z (cos θ +i sin θ) Entonces, consideramos z = z (cos θ + i sin θ)

CAPÍTULO. PRELIMINARES 0 y w = w (cos φ + i sin φ). Luego: zw = z w (cos θ + i sin θ)(cos φ + i sin φ) = z w (cos(θ) cos(φ) + i sin(φ) cos(θ) + i sin(θ) cos(φ) sin(θ) sin(φ)) = z w [(cos(θ) cos(φ) sin(θ) sin(φ)) + i(sin(φ) cos(θ) + sin(θ) cos(φ))] = z w [cos(θ + φ) + i sin(θ + φ)] Entonces: Arg(zw) = θ + φ = Arg(z) + Arg(w).

CAPÍTULO. PRELIMINARES Consideremos las siguientes figuras: Definición 5 Definimos cos θ + i sin θ = e iθ como la ecuación exponecial. También se puede escribir como cis(θ) o exp(θ). Consideremos f(θ) := cos(θ) + i sin(θ). Sea θ = 0, entonces, f(0) = cos(0) + i sin(0) =. Además f(θ)f(φ) = (cos(θ) + i sin(θ))(cos(φ) + i sin(φ)) = cos(θ + φ) + i sin(θ + φ) = f(θ + φ). Entonces, cualquier función que cumpla estas dos propiedades se llama ecuación de Abel y se escribe como: f(x) = e kx. Propiedades función exponencial. e i(θ+φ) = e iθ e iφ 2. e (iθ)α = e iθα 3. e (iθ) n = e iθ n 4. e iθ = e iθ 5. e iθ e iθ =

CAPÍTULO. PRELIMINARES 2 Una propiedad interesante de la función exponcial y que ayuda a encontrar las raíces de una ecuación es: e 2kiπ =, z Z. Entonces, una forma de resolver la ecuación z n siguiente: z n = = e 2kiπ. =, es hacer lo Por lo tanto z = e 2kiπ n. Otra propiedad interesante es: z n = w = w e iarg(w) Luego: = w e iarg(w)e2kiπ = w e i(arg(w)+2kπ). z = w n e i(arg(w)+2kπ) n.

CAPÍTULO. PRELIMINARES 3.4. Ecuación del Círculo y de la Recta z z 0 = r z z 0 2 = r 2 (z z 0 )(z z 0 ) = r 2 (z z 0 )(z z 0 ) = r 2 zz zz 0 z 0 z + z 0 z 0 = r 2 zz zz 0 z 0 z + ( z 2 r 2 ) = 0 Luego, la ecuación de un círculo en el plano complejo es: zz zz 0 z 0 z + α = 0, α R. Veamos ahora la ecuación de una recta. Sabemos que la ecuación de una recta es: y = mx + n. Si consideramos x = Re(z) = z + z 2 e y = Im(z) = z z. Y reemplazando estos valores en la ecuación 2i nos queda: z z = m z + z + n 2i 2 z z = im(z + z) + 2in z z = imz + imz + 2in z imz zim z 2in = 0 z( im) z( + im) 2in = 0 z(m + i) + z(m i) + 2n = 0 Si hacemos z 0 = m i, z 0 = m + i y β = 2n, lo que se obtiene es la ecuación de la recta: zz 0 + zz 0 + β = 0.

CAPÍTULO. PRELIMINARES 4.5. Proyección Estereográfica Si consideramos f(z) = y con z = 0, se obtiene f(0) =. Con z esto se define el siguiente conjunto: Ĉ := C { }. Ecuaciones de la proyección. Dado B determinar Q = π(b) Sea L : t(0, 0, ) + ( t)(u, v, w),tratemos de encontrar t 0 tal que la recta anterior, L, intersecta al plano complejo. La recta la podemos reescribir como: Buscamos t 0 tal que: L : (( t)u, ( t)v, t + ( t)w). t 0 + ( t 0 )w = 0 t 0 + w wt 0 = 0 t 0 = w w = w w, w t 0 = w w = w w w Por lo tanto Q = π(b) es : 2. Dado A determinar P(A) Q = ( w u, v, 0) w = w L : t(0, 0, ) + ( t)(x, y, 0).

CAPÍTULO. PRELIMINARES 5 Encontramos t 0 tal que la recta L intersecta a la esfera. Esto es: [( t)x] 2 + [( t)y] 2 + t 2 = ( t) 2 x 2 + ( t) 2 y 2 = t 2 = ( t)( + t) / ( t) 2 x 2 + y 2 = + t t ( t)(x 2 + y 2 ) = + t (x 2 + y 2 ) t(x 2 + y 2 ) = + t x 2 + y 2 = t[ + x 2 + y 2 ] t 0 = x2 + y 2 x 2 + y 2 + Luego: t 0 = x2 + y 2 x 2 + y 2 + = 2 x 2 + y 2 + Por lo tanto P(A) es: 2x P (A) = ( x 2 + y 2, 2y x 2 + y 2, x2 + y 2 x 2 + y 2 + ). Si hacemos z = x + iy y z = x iy, de donde se tiene: Entonces: z z i = 2y = i(z z) = i(z z). P (A) = ( z + z i(z z), z 2 + z 2 +, z 2 z 2 + ).

CAPÍTULO. PRELIMINARES 6.6. Topología en C La forma común de calcular la distancian en C es: (C, d), con d = distancia, que es d(z, w) = z w Otras formas son: y d (z, w) = z w + z w d (z, w) Conceptos d 2 (z, w) = 2 z w [(+ z 2 )(+ w 2 )] 2. Convergencia de una sucesión: Dada (z n ) C, entonces z n L ε > 0, N N tal que z n L < ε. 2. C es completo (Toda sucesión de Cauchy converge). En efecto: Sea z n C sucesión de Cauchy. Entonces z n z m 0 cuando n, m. x n = Re(z n ) z n y entonces, x n x m z n z m 0. Además y n = Im(z n ) z n entonces, y n y m z n z m 0. De aquí se tiene que: x n R y y n R son sucesiones de Cauchy en R que sabemos es completo. Luego, existen x 0, y 0

CAPÍTULO. PRELIMINARES 7 R tales que: y x n x 0 y n y 0 Por lo tanto: z n x o + iy 0. 3. Función Continua: f : Ω C C, f es continua en z 0 si: z n z 0 f(z n ) f(z 0 ).

CAPÍTULO. PRELIMINARES 8 Ejemplo 6. Funciones cotinuas. 2. f(z) = Re(z), g(z) = Im(z). 3. f(z) = z. 4. p(z, z) = n,m a n,m z n (z m ). 5. p(z, z) q(z, z) es continua en el abierto Ω = {z C/q(z, z) 0}. 6. Dominio: Es unn abierto conexo..7. Funciones Básicas. Traslación: f(z) = z + b; b C f(0) = b f() = + b f(2) = 2 + b f(t) = t + b f(b) = 2b f( + b) = + 2b

CAPÍTULO. PRELIMINARES 9 2. Dilatación o Contracción: f(z) = kz; k R; k > 0 f(0) = 0 f() = a f(i) = ia 3. Rotación: f(z) = e iθ z; θ R f(i) = e iθ f(0) = 0 f() = e iθ f(t) = te iθ

CAPÍTULO. PRELIMINARES 20 4. Inversión: f(z) = z f() = f(t) = t f(it) = i t f(e iθ ) = e iθ 5. Transformaciones de Möbius o lineales fraccionales f(z) = az + b cz + d ; ad bc 0; a, b, c, d C Esta función tiene inversa, f (z) =? para encontrarla se ocupa la transformación de Möbius. T. de Möbius Matrices invertibles 2x2 az + b cz + d a b c d Se invierte la matriz y queda como: Entonces: f (z) = f )(z) = z. d c b a ad bc. dz b. Y además se tiene que (f cz + a Proposición 7 Una transformación de Möbius es la compuesta de traslacioes, dilataciones, rotaciones e inversiones. Demostración. S(z) = az + b cz + d = a c + bc ad c cz + d

CAPÍTULO. PRELIMINARES 2 z c z c e iarg(c) z = cz cz + b bc ad cz + d c cz + d Entonces: S(z) = (T R D I T R D)(Z). bc ad c cz + d az + b cz + d. Proposición 8 Una transformación de Möbius está únicamente determinada por la imagen de tres puntos distintos. Demostración. Unicidad: Sean S y T transformaciones de Möbius tales que: S(z ) = w T (z ) = w z = T (w ) S(z 2 ) = w 2 T (z 2 ) = w 2 z 2 = T (w 2 ) S(z 3 ) = w 3 T (z 3 ) = w 3 z 3 = T (w 3 ) Por demostrar: S = T En efecto, ya que S y T son invertibles, tenemos: S(T (w )) = w (S T )(w ) = w S(T (w 2 )) = w 2 (S T )(w 2 ) = w 2 S(T (w 3 )) = w 3 (S T )(w 3 ) = w 3 Por lo tanto S T tiene 3 puntos fijos. Los puntos fijos de:

CAPÍTULO. PRELIMINARES 22 Son soluciones de la ecuación: (S T )(z) = az + b cz + d = z az + b = z(cz + d) az + b = cz 2 + dz cz 2 + z(d a) b = 0 que son a lo más 2. Para que tenga más de 2 puntos fijos, la Transformación de Möbius que sirve es T (z) = z = Id(z). Entonces: S T = Id S = T. Existencia: Sean z, z 2, z 3 C distintos y w, w 2, w 3 C distintos. Sea: S(z ) = w S(z 2 ) = w 2 S(z 3 ) = w 3 Cuánto es S(z), para cualquier z? Comentarios: T (z) = az + b cz + d, T ( ) = a c z C (c 0) T (z) = dz b cz + a T ( ) = d c T ( d c ) =

CAPÍTULO. PRELIMINARES 23 Basta encontrar una Transformación que lleve z en 0, z 2 en y z 3 en T (z) = z z, (a =, b = z, c = 0, d = ) T (z) = z z z 2 z, (a =, b = z, c = 0, d = z 2 z ) T (z) = (z z )(z 2 z 3 ) (z z 3 )(z 2 z ), ( a = z 2 z 3, b = z (z 2 z 3 ), c = z 2 z, d = z 3 (z 2 z )) Luego: W (z) = z w z w 3 (w 2 w 3 ) (w 2 w ) Luego, la transformación de Möbius buscada es: S(z) = (W T )(z) Teorema 9 Una Transformación de Möbius lleva círculos o rectas en círculos o rectas. Demostración. Sea C un círculo con ecuación zz + αz + αz + k 0 = 0; k 0 R, α C Consideremos las funciones básicas:. T (z) = z + b 2. T (z) = az; a C, a = re iθ

CAPÍTULO. PRELIMINARES 24 3. T (z) = z Si z = w b, el crculo queda como: (w b)(w b) + α(w b) + α(w b) + k 0 = 0 ww wb bw + bb + αw αb + αw αb + k 0 = 0 ww + ( b + α)w + ( b + α)w + bb (αb + αb) + k 0 = 0 ww + ( b + α)w + ( b + α)w + bb 2Re(αb) + k 0 = 0 Si w = az, entonces la fórmula anterior queda: w w a a + αw a + αw a + k 0 = 0 ww + αaw + k 0 aa = 0 ww + αaw + k 0 aa = 0 /aa Si w = z, entonces: w w + α w + α w + k 0 = 0 + αw + αw + k 0 ww = 0 /ww Ahora bien, si k 0 = 0, entonces la transformación lleva el círculo a una recta. Por otro lado, si k 0 0, entonces lo transforma en un círculo.

Capítulo 2 Funciones de Variable Compleja 2.. Funciones analíticas Definición 0 Sea f : Ω C una función definida en un abierto en el plano y z 0 Ω. Se dice que f(z) es derivable en z 0 (u holomorfa o analítica) si existe el límite: f (z 0 ) = lím z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0 Observación Una función f se dice analítica en un abierto Ω si es analítica en cada punto de Ω. Observación 2 Es fácil ver que si f es holomorfa en z 0 entonces f es continua en z 0. 25

CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 26 Ejemplo 3 ) f(z) = a, a C. Calculamos el cuociente f(z) f(z 0 ) z z 0 = a a z z 0 = 0 Tomando el límite z z 0, se obtiene f (z 0 ) = 0. Esta función, es la función constante. 2) f(z) = z. f es holomorfa en C y f (z) =. 3) g(z) = z n, n entero positivo. Calculamos el cuociente g(z) g(z 0 ) z z 0 = zn z n 0 z z 0 = z n + z n 2 z 0 +... + z n 0 Tomando el límite z z 0, obtenemos g (z 0 ) = nz n 0 4) Sea h(z) = z, Vamos a ver que no es derivable en z 0 = 0. Queremos ver si existe o no z lím z 0 z Si el límite existe, debe ser el mismo, no importa como nos aproximamos a 0. t Para z R, z = t, tenemos lím t 0 t =. Para z imaginario, z = it, tenemos lím t 0 it it =.

CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 27 Por lo tanto h no es analítica en z = 0. Ejercicio 4 Demuestre que f(z) = z 2 es derivable sólo en z 0 = 0. Sea (AF, +,, ) el conjunto de las funciones analíticas con la suma, el producto y la composición. Dadas f y g funciones analticas, entonces: (f + g)(z) = f(z) + g(z) (f g)(z) = f(z) g(z) (f g)(z) = f(g(z)) Donde los resultados son también funciones analíticas. Entonces, de aquí se desponde el siguiente teorema. Teorema 5 Si f y g son derivables, entonces: ) (f + g) = f + g 2) (fg) = f g + fg 3) 4) ( ) = g cuando g 0 g g 2 ( ) f = f g fg cuando g 0 g g 2

CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 28 Demostración. ) Tenemos (f + g)(z) (f + g)(z 0 ) z z 0 = f(z) f(z 0) z z 0 + g(z) g(z 0) z z 0 Si tomamos el límite para z z 0 obtenemos la fórmula. 2) (fg)(z) (fg)(z 0 ) z z 0 = f(z) f(z 0) z z 0 g(z) + f(z 0 ) g(z) g(z 0) z z 0 Tomamos el límite para z z 0 y usamos el hecho de que g es continua en z 0, obteniendo f (z 0 )g(z 0 ) + f(z 0 )g (z 0 ) 3) Usando 2) 0 = ( g ) = g g g + g ( ) g Luego, ( ) = g g g 2 4) ( ) ( f = f ) = f g g g + f g = f g fg g 2 g 2

CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 29 Corolario 6 Toda función racional r(z) = a nz n +... + a 0 es derivable en el abierto Ω = {z : b m z m +...+b 0 }. En particular, la función b m z m +... + b 0 es derivable en C\{0}. z Ejemplo 7 Sea g(z) = az + b ; ad bc =. g es derivable, excepto cz + d en z 0 = d c, además: g (z) = (cz + d) 2. En efecto, g (z) = a(cz + d) c(az + b) (cz + d) 2 = ad bc (cz + d) = 2 (cz + d) 2. Definición 8 ( Diremos ) que f(z) es derivable en z 0 = si la función g(t) = f, es derivable en t 0 = 0. t Observación. Lo anterior también se puede hacer para funciones continuas.

CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 30 Ejemplo 9 Tenemos g(t) = f f(z) = z + 2 3z 2 ( ) = t t + 2 3 t = t + 2t2 3 t 2 2 luego g (t) = ( + 4t)(3 t2 ) + 2t(t + 2t 2 ) (3 t 2 ) 2, de donde g (0) = 3. Por lo tanto f (0) = 3 Teorema 20 (f g) (z) = f (g(z))g (z) Demostración. f(g(z)) f(g(z 0 )) = f(g(z)) f(g(z 0)) z z 0 g(z) g(z 0 ) g(z) g(z 0 ) z z 0 Sea f : Ω R 2 R 2. Se dice que f es diferenciable en el punto (x 0, y 0 ) Ω si existe una transformación lineal L tal que: f(x, y) f(x 0, y 0 ) = L(x x 0, y y 0 ) + e(x x 0, y y 0 ) en que: e(x x 0, y y 0 ) (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 0

CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 3 cuando x x 0 y y y 0, esto es, el error es pequeño comparado con la norma. Observar que L : R 2 R 2 es una aplicación lineal cuya matriz, con respecto a las bases canónicas, es: f x (x f 0, y 0 ) y (x 0, y 0 ) [L] = f 2 x (x f 2. 0, y 0 ) y (x 0, y 0 ) La prueba del siguiente resultado se ve usualmente en cursos de cálculo por lo que no se mostrará aqui. Teorema 2 Si f x, f y existen y son continuas en (x 0, y 0 ) entonces f es diferenciable en ese punto. La siguiente es una de las principales caracterizaciones de funciones analiticas. Teorema 22 (Ecuaciones de Cauchy-Riemann) Sea f = u + v una función diferenciable en z 0 = (x 0, y 0 ). Entonces f es holomorfa en z 0 si y sólo si se cumplen las ecuaciones: u x = v y, u y = v x en el punto (x 0, y 0 ). Demostración. ( )Por definición, se tiene que f(z 0 + t) f(z 0 ) lím t 0 t = lím t 0 f(z 0 + it) f(z 0 ) t

CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 32 equivalentemente u(z 0 + t) + iv(z 0 + t) u(z 0 ) iv(z 0 ) lím t 0 t o bien = i lím u(z 0 + it) + iv(z 0 + it) u(z 0 ) iv(z 0 ) t 0 t [ u(z0 + t) u(z 0 ) lím + i v(z ] 0 + t) v(z 0 ) t 0 t t [ u(z0 + it) u(z 0 ) = lím + iv(z ] 0 + it) v(z 0 ). t 0 t t Observar que cuando t 0 u(z 0 + t) u(z 0 ) t = u(x 0 + t, y 0 ) u(x 0, y 0 ) t u x (x 0, y 0 ) y u(z 0 + it) u(z 0 ) t = u(x 0, y 0 + t) u(x 0, y 0 ) t u y (x 0, y 0 ). Reemplazando, obtenemos u x (z 0) + i v x (z 0) = i [ u y (z 0) + i v ] y (z 0). Luego y u x = v y v x = u y.

CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 33 ( ) Como f es diferenciable, existe tal que Df(x 0, y 0 ) = u x (z 0) v x (z 0) u y (z 0) v y (z 0) f(x, y) = f(x 0, y 0 ) + Df(x 0, y 0 ) x x 0 y y 0 + e(x x 0, y y 0 ), o equivalentemente u(x, y) + iv(x, y) = u(x 0, y 0 ) + iv(x 0, y 0 ) + u x (x 0, y 0 )(x x 0 ) Por hipótesis + u y (x 0, y 0 )(y y 0 ) [ v + i x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + v ] y (x 0, y 0 )(y y 0 ) + e (x x 0, y y 0 ) + ie 2 (x x 0, y y 0 ). f(z) f(z 0 ) = u x (z 0)(x x 0 ) + u y (z 0)(y y 0 ) [ +i u y (z 0)(x x 0 ) + u ] x (z 0)(y y 0 ) + e(x x 0, y y 0 ) f(z) f(z 0 ) = u x (z 0)(z z 0 ) i u y (z 0)(z z 0 ) + e(x x 0, y y 0 )

CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 34 Entonces f(z) f(z 0 ) z z 0 = u x (z 0) i u y (z 0) + e(x x 0, y y 0 ) z z 0 Tomamos el límite cuando z z 0, y nos queda f(z) f(z 0 ) lím z z 0 z z 0 = u x (z 0) i u y + lím z z 0 e(x x 0, y y 0 ) z z 0 e(x x 0, y y 0 ) Ya que lím = 0, se obtiene que existe f (z 0 ) lo z z0 z z 0 cual concluye la demostración. Observación 23 De la demostración del teorema anterior, tenemos que f (z 0 ) = u x (z 0) i u y (z 0) [ ] v = i x i v y Otra expresión para f (z) es la siguiente: Ya que f(z) = u(z)+iv(z), entonces f x f y (z) = u x (z) = u y (z) + i v (z) (2.) x (z) + i v(z) (2.2) y

CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 35 Haciendo (2.)-i(2.2), se obtiene finalmente f (z) i f x y (z) = u x f (z) = 2 (z) i u y [ ] f (z) i f x y (z) v (z) + i v (z) + x y (z) Ejercicio 24 ) Pruebe que en coordenadas polares, las ecuaciones de Cauchy-Riemann se escriben como u θ = r v r y v θ = r u r. 2) Pruebe que en notación compleja las ecuaciones de Cauchy- Riemann se escriben como f z = 0. Definición 25 Sea p : Ω C R, p se dice armónica si 2 p x + 2 p 2 y = 0. 2 Notación: p := 2 p x + 2 p se le llama el Laplaciano de p. 2 y2 Proposición 26 Si f = u + iv es analítica, entonces u y v son armónicas. Demostración. Debemos probar por definición que u = 0 y v = 0. Como f es analítica, entonces: f z = 0

CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 36 Como f = u + iv, entonces: u z + i v u = 0. Así, z z = 0 y v z = 0. Por lo tanto, 2 u z z = 0 y 2 v z z = 0. De esto se puede concluir que u = 0 y v = 0. Ejercicio 27 ) Sea f(x, y) = x 2 + y 2. Demuestre que f no puede ser la parte real o imaginaria de una función analítica. 2) Pruebe que si f es analítica y u es armónica, entonces f u es armónica.

CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 37 2.2. Algunas funciones de variable compleja. I. Función exponencial. Se define como: e z := e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y) Propiedades ) e z es una función analítica en C. 2) (e z ) = e z 3) e 0 =, e 2πin = n Z 4) e z+w = e z e w 5) e z 0, z C 6) e iy =, e z = e x Teorema 28 La única solución de la ecuación f = hf; h C y f(0) = A C es: Demostración. f(z) = Ae hz Solución: f (z) = Ahehz = hf(z). Demostremos la unicidad de la solución. Sea g que satisface g = hg con g(0) = A. Considerando: ( f g ) = f g g f g 2 = kfg hgf g 2 = 0.

CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 38 Entonces f g es constante. Pero: f(0) g(0) = A A =. Por lo tanto f = g. II. Funciones trigonométricas. Se definen como: sin z = eiz e iz ; cos z = eiz + e iz 2i 2 Propiedades ) (sin z) = cos z, (cos z) = sin z 2) sin z = 0 z = nπ, cos z = 0 z = (2n + ) π 2, n Z. 3) cos(z+w) = cos z cos w sin z sin w, sin(z+w) = sin z cos w+ sin w cos z 4) cos 2 z + sin 2 z = Teorema 29 Las soluciones de la ecuación f +kf = 0; k C son de la forma: f(z) = A cos( kz) + B sin( kz). Demostración. Calculamos la primera y la segunda derivada de f: f (z) = A h sin z h + B h cos z h f (z) = A h h cos z h B h h sin z h = hf(z) Con lo que queda demostrado el teorema.

CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 39 III. Función raíz enésima Se define como: n ( ( z = r n cos θ ) ( n + i sin θ n)) z = re iθ, π < θ < π, r > 0, n =, 2, 3,... Proposición 30 n z es analítica en Ω. Demostración. Ocupando las ecuaciones de Cauchy-Riemann en su forma polar, tenemos: u r = v r θ u θ = r v r θ Considerando u(r, θ) = r n cos n y v(r, θ) = r θ n sin n. Entonces: y u r = n r n cos θ n v θ = n r n cos θ n u θ = r n n sin θ n v r = n r n sin θ n.

CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 40 IV. Funciones hiperbólicas Se definen las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico como sigue: sinh z = ez e z 2 cosh z = ez + e z 2 Propiedades ) (sinh z) = cosh z, (cosh z) = sinh z 2) cosh 2 z sinh 2 z = 3) cosh(z + w) = cosh z cos w + sinh z sinh w, sinh(z + w) = sinh z cosh w + sinh z cosh w 4) sinh(iz) = i sin z, cosh(iz) = cos z Teorema 3 Las soluciones de la ecuación y = ky; k C son de la forma: y(z) = A cosh( kz) + B sinh( kz). V. Función logaritmo. Se define la función logaritmo como: para r > 0 y θ [ π, π]. ln z = ln r + iθ, Propiedades

CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 4 ) La función logaritmo es analítica en Ω. 2) (ln z) = z 3) e ln z = z, para todo z Ω.

CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 42 VI. Función potencia. La función potencia se define como: para cada w Ω. z w = e w ln z, Propiedades ) La función potencia es analítica en Ω. 2) d(zw ) = wz w dz Ejemplo: Calcular i i. Solución: Aplicando la definición de la función logaritmo, queda: ln i = ln + i π 2 = iπ 2 Entonces ii = e i(i π 2 ) = e π 2 Ejercicio 32 Calcule i ii.

Capítulo 3 Series 3.. Series de Taylor El siguiente es el resultado básico en series de potencias. Teorema 33 Considerar f(z) = a n (z z 0 ) n y sea R = n=0 lím n ( n a n ) el radio de convergencia. Entonces, (a) Para cada z C tal que z z 0 < R, la serie converge (absolutamente). (b) Para cada z C tal que z z 0 > R, la serie diverge. (c) La serie converge uniformemente en subconjuntos compactos (cerrado y acotado) del disco D(z 0, R) = {z C tal que z z 0 < R} Teorema 34 Sea a n z n convergente en D(0, R). Entonces f(z) = n=0 a n z n es analítica en D(0, R), y además f (z) = n=0 n= 43 na n z n la

CAPÍTULO 3. SERIES 44 cual es también convergente en D(0, R). Demostración. Analicemos la siguiente diferencia: f(z) f(z 0 ) z z 0 na n z0 n n=0 = a n z n a n z0 n n=0 n=0 z z 0 n= na nz0 n N N a n z n a n z0 n n=0 z z 0 n=0 N na n z0 n n= + + N n= n=n+ na n z n 0 a n z n z z 0 na n z0 n n= n=n+ a n z0 n El primer término tiende a cero cuando z tiende a z 0, ya que es la derivada del polinomio p(z) = N a n z n. n=0

CAPÍTULO 3. SERIES 45 El segundo término tiende a cero cuando N tiende a infinito, ya que la serie na n z n converge, lo que demostraremos más adelante. n= Para el tercer término se tiene que: a n z n a n z n 0 n=n+ n=n+ z z 0 = n=n+ a n z n z n 0 z z 0 Pero, z n z n 0 z z 0 = z n + z n 2 z 0 + z n 3 z 2 0 + + z n 0 Por lo tanto, z n z0 n z z 0 z n + z n 2 z 0 + z n 3 z 0 2 + + z 0 n Existe un r < R, tal que, z n z0 n z z 0 rn + r n 2 r + r n 3 r 2 + + r n Por lo tanto, z n z0 n z z 0 nrn Luego a n z n n=n+ z z 0 0, cuando N n=n+ a n z0 n n=n+ a n z n z0 n z z 0 n=n+ n a n r n

CAPÍTULO 3. SERIES 46 Ahora veamos que si h(r) = a n r n, entonces h (r) = n=0 n a n r n, con radio de convergencia R para ambas series. Si R = lím n a n es el radio de convergencia de h(r) y R el radio de convergencia de h (r), entonces R = lím n n a n = lím n n n a n = n an = R Veamos que na n z0 n converge en D(0, R): n= R = lím n n a n = lím n a n n= Ejemplo 35 Si f z n (z) = n! n= entonces f es analítica en C, y converge en C, esto es R =, f (z) = n= Haciendo m = n, tenemos: n zn n! = n= z n (n )! f (z) = m=0 De lo anterior se puede observar que, f (z) = f(z) y f(0) =, entonces f(z) = e z y por lo tanto, z m m! e z = n=0 z n n!.

CAPÍTULO 3. SERIES 47 Observación. Si f(z) = Sea g(z) = f (z), entonces g (z) = n(n )a n z n 2 n=2 a n z n y f (z) = n=0 Sea h(z) = g (z), entonces h (z) = n(n )(n 2)z n 3. n=2 na n z n. n= Detengámonos a analizar las funciones anteriores: f(z) = a 0 + a z + a 2 z 2 + a 3 z 3 + a 4 z 4 + = f(0) = a 0 f (z) = a + 2a 2 z + 3a 3 z 2 + 4a 4 z 3 + = f (0) = a f (0) = 2a 2 + 3 2a 3 z + 4 3a 4 z 2 + = f (0) = 2a 2 f (z) = 3 2a 3 + 4 3 2a 4 z + = f (0) = 3 2a 3. f (n) (0) = n!a n Por lo tanto a n = f (n) (0) n! Corolario 36 Si f (n) (z) es analítica para todo n, entonces f es de clase C.

CAPÍTULO 3. SERIES 48 3.2. Representaciones por series de Taylor. Función exponencial: e z = n=0 z n n! 2. Función seno: sin z = ez e z 2i [ = (iz) n 2i n! n=0 ] ( iz) n = n! 2i n=0 (i) n ( i) n n=0 n! Analicemos la expresión (i) n ( i) n : Si n es par: (i) 2k ( ) 2k (i) 2k = (i) 2k [ ( ) 2k ] = 0 Si n es impar: (i) 2k+ ( ) 2k+ (i) 2k+ = (i) 2k i[ ( ) 2k ( )] = 2(i) 2k i = (i 2 ) k 2i = ( ) k 2i Entonces sin z = n=0 ( ) n z 2n+ (2n + )!

CAPÍTULO 3. SERIES 49 3. Función coseno: cos z = n=0 ( ) n (2n + )z 2n (2n + )(2n)! = ( ) n z 2n n=0 (2n)! 4. Función seno hiperbólico: Sabemos que sinh iz = i sin z, para todo z, en particular para w = iz, entonces sinh w = i sin iw Por lo tanto Analicemos ( ) n ( iz) 2n+ sinh z = i sin iz = i (2n + )! n=0 ( iz) 2n+ = ( i) 2n+ z 2n+ = ( ) 2n ( )[i 2 ] n iz 2n+ = ( )( ) n iz 2n+ = ( i)( ) n z 2n+ Entonces sinh z = i 2 n=0 ( ) n ( ) n z 2n+ (2n + )!

CAPÍTULO 3. SERIES 50 = n=0 z 2n+ (2n + )! 5. Función coseno hiperbólico: cosh z = n=0 (2n + )z 2n (2n + )(2n)! = z 2n (2n)! n=0 3.3. Serie geométrica f(z) = z f (z) = f (z) = f (z) = ( z) 2 2 ( z) 3 3! ( z) 4 z = z n, z < n=0 Por lo tanto tenemos que f n (0) = n!

CAPÍTULO 3. SERIES 5 luego a n = f n (0) = n! así tendremos f(z) = a n z n = n=0 z n, z < R = n=o donde el radio de convergencia está dado por R = lím n a n Otros ejemplos de series geométricas son i) + z = ( ) n z n, z < n=0 ii) + z = ( ) n z 2n, z < 2 n=0 iii) ln( + z) = a n z n n=0 Sabemos que (ln( + z)) = + z = ( ) n z n n=0 luego integrando tenemos

CAPÍTULO 3. SERIES 52 ln( + z) = ( ) n z n+, z < n + n=0 Lo mismo ocurre con (arctan z) = + z = ( ) n z 2n 2 n=0 luego integrando tenemos arctan z = ( ) n z 2n+ n=0 2n +

CAPÍTULO 3. SERIES 53 3.4. Extensión analítica Si f(z) = n 0 a n (z z n 0 ), para z z 0 < R, tenemos f k (z) = a n n(n )...(n k + )(z z 0 ) n k n=k Para todo k = 0,, 2... Para cada k las series tienen el mismo radio de convergencia. En particular tenemos o f k (z 0 ) = n!a k a k = f k (z 0 ) k! La serie de potencias entonces puede escribirse como f(z) = n 0 f n (z 0 ) (z z 0 ) n n! y se llama serie de Taylor en torno al punto z = z 0. Consideremos Φ : R R una función posible de ser expresada en terminos de serie de Taylor, digamos Φ(x) = n 0 f n (x 0 ) (x x 0 ) n n! para x x 0 < R (x R), existe entonces una función analítica (única) definida por f(z) = n 0 (f n (x 0 )) (z x 0 ) n n! para z x 0 < R (z C) tal que f(x) = Φ(x) para x x 0 < R, (x R). La función f se denomina extensión analítica de Φ.

CAPÍTULO 3. SERIES 54 Ejemplo 37 Conocemos la serie de Taylor e x = x n. Se define n! n 0 la extensión analítica f(z) = z n. Observemos que esta serie n! n 0 converge para todo z C. Notemos que f (z) = n 0 nz n n! = n 0 z n (n )! = n 0 z n n! = f(z) y f(0) =, luego f(z) = e z 3.5. Prolongación analítica Sea R el radio de convergencia de la serie de Taylor de f(z) en torno a z 0. Si z z 0 < R, la serie de Taylor de f(z) en torno a z converge ciertamente para z z < R z z 0. Sin embargo, puede haber un radio de convergencia mayor R. Entonces tenemos definida la función analitica f(z) como función analítica en un dominio mayor. Este proceso se conoce como prolongación analítica. Ejemplo 38 Consideremos la función f(z) = ( z) n (3.) n=0 Se ve fácilmente que su radio de convergencia es. De este modo f(z) esta definida para z <. Sumando las series corespondientes a f( 2 ), f ( 2 )... encontramos la serie de Taylor f(z) = n=0 2 3 { 2 3 (z 2 )}n

CAPÍTULO 3. SERIES 55 Su radio de convergencia es 3 2, de este modo hemos prolongado f(z) al círculo z 2 < 3 2 que es exterior al círculo original z <. Mediante una sucesión de círculos podemos cubrir cualquier punto del plano z distinto del z =. Queda asi definida f(z) como una funcion analítica para z. De hecho f(z) = ( + z) Observación 39 El radio de convergencia R de la serie de Taylor de f(z) en torno a z 0 es igual a la distancia de z 0 a la singularidad de f(z) Ejemplo 40 La serie de Taylor ( ) n x 2n n=0 de la función real converge para x <, pero diverge para ( + x 2 ) x =, aun cuando es indefinidamente derivable para todo valor de x. La explicación radica en la extensión de la función ( + x 2 ) f(z) =. Esta función es singular en z = ±i. Luego su serie ( + z 2 ) de Taylor ( ) n x 2n en torno a z = 0 tiene radio de convergencia n=0 i 0 =. Si R =, la función f(z) es analítica para todo z. Una tal función se llama entera.

CAPÍTULO 3. SERIES 56 3.6. Transformaciones conformes Proposición 4 Una Transformación conforme es una función f : Ω C C, analítica tal que f (z) 0, z Ω Observación 42 Si f es conforme, entonces f preserva los ángulos Consideremos f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), f(z) = u + iv, luego vemos que Df(z 0 ) = u x v x u y v y Teorema 43 Si Ω es una región simplemente conexa (sin hoyos), entonces siempre existe f : Ω D biyectiva y analítica, o bien analítica y conforme

Capítulo 4 Integración 4.. Definición y propiedades Definición 44 Un camino o curva regular es una función γ : [a, b] C con derivada continua y no nula. Definición 45 Un cambio de parámetro es una función g : [α, β] [a, b] que es biyectiva y con derivada continua tal que g(α) = a y g(β) = b Ejemplo 46 ) γ(t) = ( t)p + tq, 0 t γ (t) = q p describe una recta desde el punto p al punto q 57

CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN 58 2) γ(t) = z 0 + Re it, t [0, 2π] describe una circunferencia de centro z 0 y radio R 3) γ(t) = (a cos(t), b sin(t)), t [0, 2π] describe una elipse 4) γ(t) = (a cosh(t), b sinh(t)) describe una hipérbola 5) γ(t) = a + b cos(t), t [a, b] describe una cardioide Definición 47 Sea f : Ω C C, se define b f(z)dz = f(γ(t))γ (t)dt γ a donde γ : [a, b] Ω es un camino regular Proposición 48 Si existe F tal que F = f, entonces f(z)dz = F (γ(b)) F (γ(a)) Demostración. Tenemos que γ γ f(z)dz = b a f(γ(t))γ (t)dt = F (γ(b)) F (γ(a)) Corolario 49 Si existe F tal que F = f y γ es una curva cerrada, entonces

CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN 59 γ f(z)dz = 0 4.2. Formula de Cauchy Teorema 50 (De Green) Sea Ω un dominio abierto y conexo, cuya frontera es regular, entonces γ= Ω (P dx + Qdy) = Ω ( Q x P y ) En notación compleja el Teorema de Green puede ser expresado como γ f f(z)dz = 2i Ω z dxdy Proposición 5 (Fórmula de Cauchy) Sea f analítica en Ω con frontera regular, entonces Ω f(z) z z 0 dz = 2πif(z 0 ); z 0 Ω

CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN 60 Ejemplo 52 ) dw donde γ es la región de la figura γ z 2 Podemos escribir la integral como (z )(z + ) dz = f(z) z + γ con f(z) = z analítica en γ y considerando z 0 =, la integral toma el valor γ 2πf( ) = 2π( 2 ) = πi 2) Si consideramos la integral anterior, pero con la región β, entonces podemos escribir β z 2 = 2 ( β z β z + ) con f(z) = analítica en β la integral toma el valor ((2πif()) (2πif( ))) = 0 2 Teorema 53 Una función f es analítica en Ω si y sólo si para todo z 0 en Ω existe una serie de potencias tal que Demostración. f(z) = a n (z z 0 ) n, z z 0 R n=0 ( ) Queda demostrado por lo visto antes

CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN 6 ( ) Consideremos la fórmula de Cauchy f(z) = 2πi C f(w) w z dw, C(t) = z 0 + re it entonces podemos escribir así w z = w z 0 = w z 0 [ z z 0 w w ] 0 n=0 (z z 0 ) n (w z 0 ) n, z z 0 < w z 0 f(z) = (z z 0 ) n f(w) 2πi C (w z n=0 0 ) n+dw f(w) = [ 2πi n=0 C (w z 0 ) } {{ n+dw] (z z 0 ) n } = a n (z z 0 ) n n=0 Corolario 54 f (n) (z 0 ) = n! 2πi C f(z) (z z 0 ) n+dz

CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN 62 4.3. Teoría de indice y homotopía Definición 55 Sea γ una curva cerrada, de clase C, y z C. Se llama Indice de z con respecto a γ al número Ind γ (z) = 2πi (w z) La expresión anterior es la fórmula de Cauchy con f(w) =. Reescribiendo tenemos que Ind γ = 2πi b a γ γ (t), γ : [a, b] C γ(t) z Observación 56 ) El índice indica. el número de vueltas que da la curva γ en torno a z, si z Int(γ) 2) Si z Ext(γ), entonces Ind γ (z) = 0 (por teorema de Cauchy) 3) Si Ind γ (z) 0, entonces z Int(γ) 4) Ind γ (z) Z{0} si z Int(γ) Definición 57 Dos curvas cerradas cuyas trayectorias estan en un conjunto Ω se dice que son homótopas en Ω si pueden deformarse continuamente entre sí, sin que las deformaciones se salgan de Ω. Esta ltima imgen muestra el caso en que no se cumple la homotopía, pues Φ impide la deformación continua. Mas precisamente, sea Ω C y γ 0 y γ curvas cerradas en Ω. γ 0 es homótopa a γ si existe una función continua H : [a, b] [0, ] Ω tal que H(t, 0) = γ 0 (t), H(a, s) = H(b, s) y H(t, ) = γ (t), t [a, b],

CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN 63 en tal caso se dice que t es una homotopía en Ω entre γ 0 y γ y se denota γ 0 γ Teorema 58 (Invarianza del Indice por homotopía) Si Ω C abierto, γ 0 y γ curvas cerradas en Ω tal que γ 0 γ, entonces Ind γ0 (z) = Ind γ (z) Teorema 59 Si γ 0 y γ son dos curvas cerradas en Ω y γ 0 γ, entonces: f(z)dz = γ 0 f(z)dz γ para cada función analítica f en Ω. Demostración. Por demostrar γ 0 \γ = 0, eso sigue del teorema de Cauchy. 4.4. Teoremas fundamentales Definición 60 Un abierto Ω C se dice simplemente conexo si es conexo y cualquier camino cerrado en Ω es homotópico a un punto en Ω Teorema 6 Sea Ω un conjunto simplemente conexo y sea f analítica (u holomorfa) en Ω entonces existe F tal que F = f

CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN 64 Demostración. Sea z 0 cualquier punto en Ω. Sea z Ω. Sea β un camino en Ω desde z 0 hasta z. Definimos F (z) = β f(s)ds. F está bien definida, pues si α es otro camino desde z 0 hasta z, entonces Entonces y calculamos ( α β(α) f(s)ds = 0 f(s)ds F (z + h) F (z) ) f(z) = h h β z+h z f(s)ds = 0 f(s)ds f(z) = h z+h Sea δ > 0 tal que h < δ f(z) f(z + h) < ε entonces h z+h z (f(s) f(z))ds h z+h z f(s) f(z) ds ε h z f(s) f(z) ds z+h z ds Afirmacion z + h ds = h z En efecto, sea γ(t) = z + th, t [0, ], un camino de z a z + h entonces z+h ds = γ (t) dt = h dt = h z h 0 h 0 Esto prueba la afirmación y el teorema. Corolario 62 Sea f una función holomorfa sin cero, definida en un abierto simplemente conexo, entonces existe una función g(z) tal que e g(z) = f(z)

CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN 65 o bien g(z) = ln f(z) Demostración. Consideremos la función f (z), holomorfa por f(z) hipotesis. Definimos g (z) = z z 0 f (s) f(s) ds es claro que g conexo. Además no depende del camino, pues Ω es simplemente g (z) = f (z) f(z) por teorema anterior. Sea h(z) := e g (z). Entonces h = e g g = e g f f así luego h f hf = 0 ( h f ) = 0 y con c = cte h f = c Por lo tanto h(z) = cf(z), c 0 pues h 0 Asi tendremos f(z) = c eg = e g (z)+c

CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN 66 Por lo tanto g(z) = g (z) + c entonces e g(z) = f(z) Ejemplo 63 ) Sea Ω:=C\{semieje real negativo}. Sea f(z) = z 2. Entonces f(z) es holomorfa y sin ceros en Ω simplemente conexo. Entonces existe log(z 2 ). Note que no se puede definir log(z 2 ) en Ω = C \ {0} pues no es simplemente conexo. 2) f(z)existe. En efecto: Definimos: f(z) = e 2 gz Recordemos el teorema de Cauchy: f(z)dz = 0 γ si f es analitica y γ el borde del camino donde f está definida. Nos preguntamos si existen otras funciones (que no sean analíticas) con la propiedad anterior. La respuesta es no. Teorema 64 (reciproco del teorema de Cauchy) Si f es una función continua definida en Ω y tal que f(z)dz = 0 γ sobre toda la curva en Ω tal que γ sea homotópica a un punto. Entonces f es holomorfa.

CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN 67 Demostración. Por hipotesis, F (z) = zf(w)dw z 0 está bien definida en z z 0 < r Ω. Además F (z) = f(z) (existe la derivada). Luego F (z) es holomorfa y por lo tanto: F (z) = n 0 a n (z z 0 ) n entonces f es holomorfa. f(z) = n 0 na n (z z 0 ) n Teorema 65 (Principio del Máximo) Sea f análitica en Ω, entonces f(z) no puede alcanzar su máximo en Ω, a menos que f(z) sea constante. Demostración. Observemos primero que f(z) constante implica f(z) constante. En efecto. Escribamos: f(z) = u(x, y) + v(x, y), z = x + iy entonces f(z) 2 = u(x, y) 2 + v(x, y) 2 Por hipotesis tenemos 0 = ( f(z) 2 ) x = 2u(x, y) u + 2v(x, y) v x x

CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN 68 Así tendremos que 0 = ( f(z) 2 ) y = 2u(x, y) u y + 2v(x, y) v y 0 = u(x, y) u + v(x, y) v x x 0 = u(x, y) u y + v(x, y) v y Por las ecuaciones de Cauchy Riemman tenemos u x = v y y u y = v x luego y 0 = u u x + v v x 0 = u u x + v v x o bien

CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN 69 0 0 = u v v u u x v x Caso : u 2 + v 2 = 0 (determinante de la matriz). Entonces f(z) 2 = u 2 + v 2 = 0, luego f(z) = 0 Caso 2: u 2 + v 2 0 Entonces u x = 0 y v x = 0 Además por las ecuaciones de Cauchy Riemman u y = 0 y v y = 0 Luego u(x, y) = cte y v(x, y) = cte Por lo tanto f(z) = cte Supongamos ahora que f(z) alcanza su máximo en Ω y no es idénticamente constante. Entonces existe z 0 Ω donde f(z) es máximo. Sea γ la frontera de un círculo de centro z 0 y radio r contenido en Ω (abierto). Entonces f(z 0 + re iθ ) < f(z 0 ) para cada θ (0, 2π). Luego f(z 0 ) = 2πi γ f(s) s z 0 ds = Entonces 2π f(z 0 + re iθ )dθ 2πi 0 f(z 0 ) 2π f(z 0 + re iθ ) dθ < f(z 0 ) 2π 0 lo cual es una contradicción

CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN 70 Corolario 66 Si f(z) es analítica en Ω y continua en Ω y si f(z) M sobre Ω entonces f(z) < M en Ω, a menos que f(z) sea constante. Teorema 67 (principio de reflexión de Schwartz) Sea f(z) holomorfa en un abierto Ω con [a, b] Ω, f es además continua en Ω [a, b]. Suponemos que f(x) es real si a x b. Entonces f se extiende al dominio Ω = Ω Ω [a, b] donde Ω := {z/z Ω}. Además, en Ω se tiene que f(z) = f(z) Demostración. Claramente la fórmula f(z) = f(z) para z Ω, extiende f(z) al dominio Ω Para demostrar que f es holomorfa en Ω calculamos γ f(z)dz donde γ es una curva en Ω homotópica a un punto. Si γ esta en Ω ó Ω no hay problema. Luego hay que analizar el caso en que γ se encuentre en ambas. Separamos γ en dos caminos. Puesto que la integral sobre cada uno se anula, se obtiene: γ f(z)dz = 0. En efecto γ f = lím + lím ɛ 0 γ ɛ 0 ɛ γ 2ɛ Luego por el teorema de Morera, f es holomorfa. Observación 68 Da lo mismo hacer una reflexión sobre el eje real o bien en una recta cualquiera. Por lo tanto, si f está definida por ejemplo en un rectángulo, por el principio de reflexión de Schwartz,

CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN 7 es posible extenderla a todo el plano. Análogamente se podría hacer con un triángulo. Proposición 69 (Desigualdad de Cauchy) Sea f(z) una función analítica en C (entera). Entonces donde M(r) = max z =r f(z) f n (0) n! r nm(r) Demostración. Tenemos por la fórmula de Cauchy con z 0 = 0 f n (0) = n! f(z) 2πi z n+dz donde C es el círculo z = re iθ con r > 0 y 0 θ 2π. Se obtiene: C f n (0) = n! 2πi 2π 0 f(re iθ ) r n+ e i(n+)θ rieiθ dθ n! 2π 2π 0 f(re iθ ) dθ r n n! 2πr nm(r) 2π 0 dθ = n!m(r) r n Teorema 70 (de Liouville) Sea f(z) una función analítica, entera y acotada, entonces f es constante. Demostración. Como f es acotada donde M = sup z C f(z). f n (0) n! r nm Luego haciendo r se obtiene f n (0) = 0 para n.

CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN 72 Como f es analítica, f(z) = f n (0) z n = f(0) + f (0) +... n!! n 0 Luego f(z) = f(0), por lo tanto f es constante. Teorema 7 (Fundamental del Algebra) Todo polinomio no constante p(z) = a n z n + a n z n +... + a 0 con a n 0 tiene n raíces en C. Demostración. Basta demostrar que tiene una raíz (luego se divide por ella y se obtiene un polinomio de grado menor donde se aplica denuevo el resultado ). Supongamos, por absurdo, que p(z) no tiene ninguna raíz.entonces h(z) = es analítica en C (entera). Vamos a demostrar que h(z) p(z) (y luego p(z)) es constante, por lo cual probamos que h(z) es acotada en C y usaremos el teorema de Liuville. En efecto: lím z p(z) = lím z a n z n +... + a 0 t n = lím t a n + a n t +...a 0 t = 0 n Luego, dado ɛ > 0 existe R > 0 tal que z R luego h(z) = p(z) ɛ. Por otra parte, si z R entonces h(z) M, pues h es continua y {z : z R} es compacto. Por lo tanto h(z) ɛ + M. Luego h es acotada, entonces h(z) es constante y así p(z) es constante. Contradicción.

CAPÍTULO 4. INTEGRACIÓN 73 Teorema 72 (Del Valor Medio) Si f es Analítica en un abierto Ω y {z : z z 0 r} Ω entonces f(z 0 ) = 2π f(z 0 + re iθ )dθ 2π 0 Demostración. Usamos la fórmula de Cauchy f(z 0 ) = f(z) 2πi z z 0 C donde C es el círculo z = z 0 + re iθ con 0 θ 2π. Entonces f(z 0 ) = 2πi = 2π 2π 0 2π 0 f(z 0 + re iθ ) rie iθ dθ re iθ f(z 0 + re iθ )dθ

Capítulo 5 Polos y residuos 5.. Desarrollo en serie de Laurent Teorema 73 Sea f(z) una función analítica en un anillo (o corona) r < z z 0 < R.Entonces f(z) se puede representar por una serie de la forma f(z) = n 0 a n (z z 0 ) n + n b n (z z 0 ) n que converge uniformemente en compactos de ese anillo. Además: ) La primera serie converge en z z 0 < R 2) La segunda serie converge en z z 0 > r Demostración. Sean γ y γ 2 circulos de radios r y R respectivamente, con r < r < R < R. 74

CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS 75 Por la fórmula de Cauchy en el anillo r z z 0 R se tiene: f(z) = f(s) 2π γ (s z) ds = f(s) 2π (s z) ds f(s) 2π (s z) ds γ 2 γ con γ = γ 2 γ Procedemos ahora como sigue: En γ 2 : (s z) = s z 0 + z 0 z = s z 0 z z = 0 s z 0 (s z n 0 0 ) n+(z zn 0 ) Entonces 2πi γ 2 f(s) (s z) ds = a n (z z 0 ) n n 0 En γ : s z = s z 0 + z 0 z = = z 0 z ( + s z 0 z 0 z ( s z 0 = z z 0 = n 0 n 0 z 0 z ) z z 0 ) (s z 0 ) n (z z 0 n ) (s z 0 ) n (z z 0 ) n+ para s z 0 < z z 0. Integrando término a término, lo cual es justificado por la convergencia uniforme sobre compactos de la serie, se obtiene:

CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS 76 2πi γ f(s) (s z) ds = n 0 Esto prueba el teorema. = n ( 2πi ( 2πi f(s)(s z 0 ) n ds) γ (z z 0 ) n+ f(s)(s z 0 ) n ) γ (z z 0 ) n Observación 74 De la demostración del teorema anterior se nota que: con k =, 2... Hay tres posibilidades : b n = f(s)(s z 0 ) k ds 2πi γ )b k = 0 para todo k =, 2... En este caso, la función es analítica en z z 0 < R 2)b k para todo k > m. En este caso f(z) = b m (z z m 0 ) +... b (z z 0 ) + a 0 + a (z z 0 ) +... y se dice que f(z) tiene un polo de orden m en z 0. Además : b m (z z 0 ) +... + b m (z z 0 ) se llama parte principal de f y b = f(s)ds = Res(f, z 0 ) 2πi se llama residuo. z z 0 3) Hay infinitos b k 0. En este caso se dice que f tiene una singularidad esencial.

CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS 77 Ejemplo 75 ) Desarrollo de f(z) = cos z z 3 en torno a z 0 = 0 Entonces cos z = z2 2! + z4 4! z6 6! +... f(z) = z 3 2z 3 + z 4! z3 6! +... Luego f(z) tiene un polo de orden 3 en z 0 = 0 2) Desarrollo de f(z) = e /z en torno a z 0 = 0. Entonces e u = n 0 u n n! = + u + u2 2! + u3 3! +... e /z = + z + z 2 2! + z 3 3! +... Luego e /z tiene una singularidad esencial en z 0 = 0 Teorema 76 (Casorati-Weierstrass) Sea z 0 una singularidad esencial de f(z). Entonces la imagen de cualquier vecindad de z 0 es densa en el plano complejo C. Es decir, f(d(z 0, r)) = C Demostración. Supongamos lo contrario. Entonces existe un δ > 0 ɛ > 0 y w 0 C tales que z z 0 < δ entonces f(z) w 0 ɛ. Consideremos h(z) = f(z) w 0 Claramente h es analítica en D(z 0, ɛ). Pero como h es acotada h(z) ɛ ; se tiene que h(z) es también analítica en z 0 (Tiene un

CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS 78 desarrrollo en serie de Laurent y si tuviera un número infinito de potencias negativas, entonces no podria ser caotada h(z) = b 2 (z z 0) 2 + b (z z 0 ) + b 0 + b (z z 0) + b 2 (z z 0 ) 2 +... y h(z) < ɛ para todo z D(z 0, δ), luego b = b 2 =... = 0. Entonces h(z) = b 0 + b (z z 0 ) + b 2 (z z 0 ) 2 +... luego h es analítica en z 0 f(z) w 0 = b 0 + b (z z 0 ) + b 2 (z z 2 0 +...) = c 0 + c (z z 0) +... Entonces f(z) = w 0 + c 0 + c (z z 0 ) +....Asi f es analítica en z 0. Contradicción. Otro caso es que f(z) w 0 = = = b n (z z 0 ) n + b n+ (z z 0 ) n+ +... b n (z z 0 ) n ( + b n+ b n (z z 0 ) +...) b n (z z 0 ) n(c 0 + c (z z 0 ) +...) c 0 Luego f(z) = w 0 + b n(z z 0 ) + c +... n b n (z z 0 ) n Asi f tiene un polo de orden n en z 0. Contradicción

CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS 79 Definición 77 Una función f se dice meromorfa en Ω si es el cuociente de dos funciones analíticas, esto es: f = p q donde q 0 Observación 78 Las singularidades de una función meromorfa, corresponden a los ceros de q (pueden ser polos o singularidades esenciales). Note además, que los ceros de una función analítica son discretos. En efecto: Sea z 0 Ω tal que f(z 0 ) = 0, entonces existe una vecindad de z 0 tal que f(z) = a n (z z 0 ) n = a (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) 2 +... n 0 Sea n 0 el primer entero tal que a n0 0 entonces f(z) = (z z 0 ) n 0 (a n0 + a n0 +(z z 0 ) +...) } {{ } g(z) Por lo tanto hay una vecindad de z 0 donde f(z) 0 excepto por z 0. En efecto : Sea z n Z 0 tal que f(z n ) = 0. Entonces 0 = f(z n ) = (z n z 0 ) n 0 g(z n ) Asi g(z n ) = 0 para todo n. Luego g(z n ) = 0. Contradicción.

CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS 80 5.2. Residuos Teorema 79 (De residuos) Sea f meromorfa en Ω. Sea K compacto en Ω con borde γ. Entonces f(z)dz = 2πi γ n Res(f, z i ) Observación 80 Hay solo un numero finito de singularidades en K. En efecto, si hubiese una suceción de singularidades, esta tendria un punto de acumulación en K y luego en Ω, digamos z. Pero z tiene una vecindad D(z, R) \ {z }, en la cual f es holomorfa, lo cual es una contradiccion pues en esta vecindad siempre habran puntos de la sucesión de polos y por lo tanto f no puede ser holomorfa. i= Demostración. Sean C i pequeos círculos en torno a z i. La función f(z) es holomorfa fuera de la union de sus discos. Por el teorema de Cauchy f(z)dz = 2πi γ 2πi = 2πi n i= n i= C i f(z)dz z z i f(z)dz = n Res(f, z i ) i=

CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS 8 Proposición 8 Si f(z) = p(z) q(z) meromorfa, es tal que p(z 0) 0, q(z 0 ) = 0 y q (z 0 ) 0. Entonces Demostración. Res(f, z 0 ) = p(z 0) q(z 0 ) q(z) = q(z 0 ) + q (z 0 )(z z 0 ) +... = q (z 0 )(z z 0) +... Entonces (z z 0 )f(z) = (z z 0 )p(z) q (z 0 )(z z 0 ) + q (z 0 )(z z 0) 2 2! +... Luego Por otra parte = p(z) q (z 0 ) + q (z 0 )(z z 0 ) 2! +... lím (z z 0)f(z) = p(z 0) z z 0 q (z 0) Así Luego f(z) = a (z z 0 ) + a 0 + a (z z 0 ) +... (z z 0 )f(z) = a + (z z 0 )a 0 + a (z z 0 ) 2 +... lím (z z 0 )f(z) = a = Res(f, z 0) z z 0

CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS 82 Por lo tanto Res(f, z 0 ) = p(z 0) q (z 0 ) Ejemplo 82 Calcular el residuo de tan z en z 0 = π/2 Tenemos que tan z = sin z cos z, donde y Así tendremos que sin(π/2) = 0 cos(π/2) = 0 sin(π/2) = Res(tan z, π/2) = = Observación 83 Si la función f del Teorema de Residuos es, además, analítica en todo punto del plano exterior a C entonces, en vez de calcular podemos calcular C C f(z)dz = 2πi m Res(f, z i ) k= f(z)dz = 2πiRes( z 2f( ), 0) z En efecto. Primero hacemos el desarrollo de Laurent de f en torno a z =. Por definición esto significa que debemos hacer el desarrollo en serie de Laurent de f( z ), en torno a z = 0; digamos f( z ) = a 2 z 2 + a z + a 0 + a z + a 2 z 2 +...

CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS 83 si z < R, de manera que f(w) = a 2 w 2 + a w + a 0 + a z + a 2 z 2 +... si w > R, es el desarrollo en serie de Laurent de f en torno a z =. En particular, note que siempre el desarrollo en serie de Laurent de f en torno a z = tiene entonces la forma: f(w) =... + b 2 w 2 + b w + b 0 + b w + b 2 w +... si w > R. Además por definición Res(f, ) = b. Construyamos ahora la expresión z 2f( ) a partir de la expresión z anterior: Luego f( z ) =... + b 2z 2 + b z + b 0 + b z + b 2 +..., z < R z2 asi z 2f( z ) =... + b 2 + b z + b 0 z + b +..., z < R 2 z3 Res( z 2f( z ), 0) = b = Res(f(z), ) Ahora notemos que C f(z)dz + C f(z)dz = 0 Luego C f(z)dz = f(z)dz C

CAPÍTULO 5. POLOS Y RESIDUOS 84 Pero tenemos que C f(z)dz = 2πiRes(f, ) Por lo tanto f(z)dz = 2πiRes(f, ) = 2πiRes( z 2f( z2), 0) C que era la afirmación. analítica en todo z ex- Ejemplo 84 Consideremos f(z) = 5z 2 z(z ) terior a z = 2. Entonces f( z(5 2z) ) = z z luego z 2f( z ) = 5 2z z( z) así C 5z 2 dz = 2πi(5) = 0πi z(z ) Teorema 85 (Principio del Argumento) Sea f meromorfa en el interior de γ. Sea a, a 2,...a n los ceros de f y b, b 2,...b n los polos de f. Entonces F (z) f (z) 2πi γ f(z) dz = n F (a i ) + i= m F (b i ) i=