NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA CONTENIDO Sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas Coordenadas cartesianas de un punto Distancia entre dos puntos. Ejercicios 5 Área del triángulo. Ejercicios. Condición para que tres puntos estén alineados 5 División de un segmento de recta en partes proporcionales 5. Ejercicios 5 5. Punto medio de un segmento de recta 7 6 Ejercicios 7 -

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA Nociones Básicas de la Geometría Analítica. La Geometría Analítica es el estudio o tratamiento analítico de la geometría, por primera vez fue presentado por René Descartes en su libro llamado Géometrie que se publicó en el año de 67. En esta obra, se establecía la relación eplícita entre las curvas las ecuaciones podemos decir, que además de Descartes, todos los matemáticos de los siglos XVII XVIII, contribueron de una forma o de otra, al desarrollo de esta nueva teoría, que en la actualidad se estudia con el nombre de Geometría Analítica, que se fundamenta en el uso de Sistemas de Coordenadas Rectangulares o Cartesianas en honor de su fundador. La Geometría Analítica es una parte de las matemáticas que, entre otras cosas, se ocupa de resolver algebraicamente los problemas de la geometría. En esta materia se puede conocer una ecuación poder deducir su gráfica, o también conocer la gráfica de una curva determinar su ecuación. A estos dos problemas se les conoce como los Problemas Fundamentales de la Geometría Analítica. Sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas. En forma general se dice que la posición de un lugar cualquiera sobre la superficie de la tierra se identifica conociendo la latitud longitud de ese lugar, esto es, un Sistema de Coordenadas. Durante el desarrollo del curso, se describen los sistemas de coordenadas cartesianas o rectangulares las polares, para la localización de puntos. Esto nos crea la necesidad de establecer el procedimiento que permitirá ubicar la posición de un punto cualquiera. Empezaremos por el Sistema de Coordenadas Rectangulares o Cartesianas, el cual se describe a continuación. Este sistema está formado por dos rectas o ejes, perpendiculares entre sí, generalmente un eje es horizontal el otro vertical, que al intersectarse forman ángulos rectos dividen al plano donde están contenidos en cuatro partes llamados cuadrantes, las cuales se enumeran en el sentido contrario de las manecilla del reloj, como se muestra en la Figura. Sobre los ejes se marcan divisiones que corresponden a números enteros, siendo el cero el punto de intersección de dichos ejes llamado Origen de las Coordenadas. Considerando que cada eje es una recta numérica que contienen todos los números reales en forma creciente de izquierda a derecha en el eje horizontal de abajo a arriba en el eje vertical, es decir todos los números positivos están a la derecha arriba del origen los negativos a la izquierda abajo del mismo origen. -

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA Al eje horizontal se le llama eje de las X o de las Abscisas, al eje vertical de las Y o de las Ordenadas. Para la ubicación de un punto cualquiera en el plano se consideran las distancias a los ejes, que son sus Coordenadas. La distancia de un punto al eje de las Y es su Abscisa la distancia al eje de las X es su ordenada. Las Abscisas se representan por la letra X las Ordenadas por la letra Y, es decir que las coordenadas de un punto P son P(X, Y), las cuales se anotan como parejas ordenadas dentro de un paréntesis separadas por una coma. Coordenadas cartesianas de un punto. Se ha visto que al poner en movimiento a un punto nos engendra una línea, la cual al ponerse en movimiento engendra una superficie, ésta a su vez, al ponerse también en movimiento engendra un volumen, se puede concluir que todas las figuras geométricas tienen como base de formación el punto. Para su estudio, cuando menos por ahora, utilizaremos el Sistema Cartesiano de Ejes Rectangulares. Dentro de éste convendremos en que siempre que se hable de un punto conocido o de posición fija, designaremos sus coordenadas por las letras con índices, mientras que siempre que se trate de un punto móvil o de posición desconocida sus coordenadas serán simplemente sin índices. Por ejemplo (Ver Figura ), si tenemos una circunferencia de radio conocido, referida a un sistema de ejes, su centro es un punto conocido, de manera que al referirnos a él podemos decir, el punto C(, ), en tanto que si suponemos que esta circunferencia es descrita por el etremo libre del compás, dicho etremo es un punto cuas coordenadas cambian para cada posición, de tal manera que al mencionarlo podemos decir, el punto (, ) Ejemplo: Trazar un sistema de coordenadas rectangulares señalar los puntos siguientes: A (, ), B ( -, 5 ), C ( -, - ), D ( 6, - ) trazar además, el segmento de recta que une los puntos E ( -, - ) con F ( 5, 6 ). La Figura muestra la ubicación gráfica de los puntos dados, así como la recta pedida. -

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA Distancia entre dos puntos. Vamos a determinar una fórmula mediante la cual podamos calcular, en todos los casos, la distancia entre dos puntos de coordenadas conocidas. A(, ) B(, ) los representamos en el sistema de coordenadas, trazamos las perpendiculares A C B D al eje de las E F al eje de las. Así mismo, trazamos el segmento A B para obtener el triángulo ABE. La gráfica se muestra en la Figura. De la figura anterior, se tiene: O C O D,, C A D B Si aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABE de la Figura, obtenemos: A B Pero: A B d A E + E B...() -

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA Y: AE CD OD OC EB DB DE DB CA Sustituendo en (): d ( - ) + ( - ) Etraendo raíz cuadrada en ambos miembros, tenemos: d ± ( - ) + ( - )...(I) Que es la fórmula para obtener la distancia entre dos puntos de coordenadas conocidas. Esta igualdad, es posible epresarla en la siguiente forma, porque cualquiera que sea la diferencia, está elevada al cuadrado el cuadrado de la diferencia de dos números no varía cuando se invierte el orden de la resta. d ± ( - ) + ( - )...(I') Ambas fórmulas, se leen. La distancia entre dos puntos es igual a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de la diferencia de las abscisas, más el cuadrado de la diferencia de las ordenadas. Respecto al doble signo del radical, tomamos la raíz cuadrada positiva porque nos interesa únicamente la magnitud del segmento ésta es positiva. Para resolver un problema, se recomienda para todos los casos, se grafiquen los datos disponibles antes de hacer operaciones.. EJERCICIOS. Calcular la distancia entre los puntos: A(-,) B(,-). Aplicando la fórmula (I), la distancia entre dos puntos, tenemos: A B (- - ) + ( + ) 6 + 9 5 5. Calcular la distancia entre los puntos: P(6,5) Q(-7,-). Según la fórmula (I), se obtiene: P Q (6 + 7 ) + ( 5 + ) + 8 69 + 6 5.6-5

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA. Calcular el perímetro del triángulo cuos vértices son: A(-,6), B(6,) C(,-). Sustituendo valores en la epresión (I), en cada caso se tiene: A B (- - 6 ) + (6 - ) 00 +6 6 0.77 A C (- - ) + (6 + ) 6 +00 6.80 B C (6 - ) + ( + ) + 6 0 6. Por tanto, por conocimientos previos sabemos que: Perímetro A B + A C + B C 9.89 unidades lineales. Determinar todos los puntos que, además de distar 5 unidades del punto A(,), disten unidades del eje de las. Suponiendo que, por lo menos, haa un punto Q(, ) que satisfaga las condiciones del enunciado, se tendrá de acuerdo a la Figura 5, aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos que: Sustituendo datos en la fórmula (I), se tiene: Q A ( - ) + ( - ) 5 Elevando al cuadrado, se obtiene: ( - ) + ( - ) 5 () Pero como la distancia del punto Q al eje de las debe ser de unidades, dicha distancia no es más que la ordenada del punto Q, la que puede ser positiva o negativa, por lo que estamos en obligación de considerar los dos signos hacer las correspondientes sustituciones en la ecuación () Para, tenemos: ( - ) Por tanto : ( ) + ( - ) 5 5-6

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA Etraendo raíz cuadrada a ambos miembros: - ± 5 De la epresión anterior, se obtiene: - 5. - - 5. De donde : De donde : 6 - Así, los dos primeros puntos que resuelven nuestro problema, son: Q ( 6, ) ; Q ( -, ) De la misma manera, ahora para -, tenemos: ( - ) Por tanto : ( ) + (- - ) 5 5 9 9 Etraendo raíz cuadrada a ambos miembros: - ± De la epresión anterior, se obtiene: - - -.. De donde : De donde : - Por consiguiente, otras dos soluciones del problema están dadas por los puntos: Q (, - ) ; Q ( -, - ) 5. Determinar el centro de la circunferencia que pasa por los puntos: P(-,8), Q(,) R(,-6). Llamaremos C(, ) al centro tomaremos en cuenta que equidista de los puntos dados, por lo cual debe de tenerse: C P C Q...() C Q C R...() Y según la fórmula (I), podemos escribir: C P C Q C R ( + ) ( - ) ( - ) + ( - 8 ) + ( - ) + ( + 6 ) -7

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA Sustituendo los valores dados, de acuerdo a las igualdades () () En (): ( + ) + ( - 8 ) ( - ) + ( - ) Elevando al cuadrado, desarrollando simplificando, se tiene: + + + - 6 + 6 - + + - 8 + 6-8 - 8 Dividiendo entre 8 despejando a, se obtiene: - - 6. Por tanto : + 6...() Siguiendo los pasos anteriores. En (): ( - ) + ( - ) ( - ) + ( + 6 ) - + + - 8 + 6-8 + 6 + + + 6-0 Dividiendo entre : - 5 8...() Sustituendo () en (): - 5 ( + 6 ) - 5-0 8 8-8 Despejando a : 8-9 - Sustituendo en (): - 9 + - 7 Por tanto, el centro es: C 9 -, 7-6. Demostrar que los puntos A(,-), B(,) C(-,-5) son los vértices de un triángulo isósceles. -8

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA Para que el triángulo sea isósceles debe tener dos lados iguales, razón por la que tendremos que calcular las longitudes de cada uno de los tres lados, que de acuerdo a la fórmula (I) se tiene: A B (- ) + ( - - ) 9 +6 5 5 A C (+ ) + (- + 5 ) 6 + 9 5 5 B C ( + ) + ( + 5 ) 9 + 9 98 9.89 Como los lados A B A C resultaron iguales, queda demostrado que los puntos dados son los vértices de un triángulo isósceles. 7. Determinar los puntos cuas distancias al punto P(,) son de unidades cuas ordenadas son iguales a 5 (Ver Figura 6) Suponemos un sólo punto Q(,5), cua distancia al punto P debe ser igual a. Por lo que, según la fórmula (I) tenemos: Q P (-) +(5- ) (-) + Elevando al cuadrado simplificando: ( - ) ( - ) + 6 Etraendo raíz cuadrada a ambos miembros: - ±.6 Se tienen dos valores de que satisfacen la ecuación anterior, cuos valores son: -.6, por - -.6, por tanto : tanto : 5.6 -.6 Los dos puntos solicitados son: Q ( 5.6, 5 ) Q ( -.6, 5 ) 8. Determinar el centro de la circunferencia que pasa por los puntos: P(0,0), Q(-,) R(5,) Considerando que C(, ) es el centro sabiendo que los puntos son equidistantes de -9

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA éste, se tiene: C P C Q...() C P CR...() Sustituendo las coordenadas de los puntos dados en la fórmula (I), se tiene: C P C Q C R ( - 0 ) ( + ) ( - 5 ) + ( - 0 ) + ( - ) + ( - ) + Sustituendo en () se obtiene: + ( + ) + ( - ) Elevando al cuadrado ambos miembros desarrollando: + Simplificando: 6-6 - 8 + 6 + 9 + Dividiendo entre 6: - - Despejando a : - 6 + 9 +...() Sustituendo en (), se obtiene: + ( - 5 ) + ( - ) Elevando al cuadrado ambos miembros desarrollando: + - 0 + 5 + - 8 + 6 Simplificando: 0 + 8...() -0

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA Sustituendo () en (): 0 + 8 ( + ) 0 + 8 + 8 7 7 8 Sustituendo en (): 7 5 7 + 8 8 8 Por tanto, el centro de la circunferencia es: C 7 7, 8 8 Área del triángulo. Vamos a deducir una fórmula que nos permita calcular el área de un triángulo conociendo las coordenadas de sus vértices, de acuerdo a la Figura 7: De la Figura 7, se tiene la siguiente relación de áreas: A - A - A - A - A A T En donde: A A T A A A A Área del triángulo Área total del rectángulo de la figura Área del trapecio Área del triángulo Área del rectángulo Área del trapecio b h Se sabe que el área del triángulo es A, que la relación para obtener el área de un a + b trapecio es A h la de un rectángulo es A b h, por lo que: A ( - + )( - ) ( - - )( - ) - ( - - )( + ) -

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA ultiplicando por, desarrollando, simplificando factorizando, se obtiene: A - + - + - + + - - - - - + - + - ( - )+ ( - )+ ( - ) Dividiendo entre : + + A [ ( - ) + ( - ) + ( - ) ]...(II) Que es la relación que permite obtener el área de un triángulo en función de las coordenadas de sus vértices. Al aplicar esta fórmula, a veces el resultado es positivo otras negativo. En todos los casos se considerará el valor absoluto de dicho resultado. Por procedimiento, que justificaremos más adelante, o por simple comprobación con esta fórmula, se ha obtenido el siguiente determinante para calcular el área del triángulo, en función de las coordenadas de sus vértices. A...(II ). Ejercicios. Empleando las fórmulas (II) (II ), calcular el área del triángulo cuos vértices son: P(-,), Q(5,) R(,-) Aplicando la fórmula, tenemos: A 8.5 u A [ ( 5 - ) + ( + ) + (- ) ( - - 5 ) ] ( 6 + + 7 ) 57 Por el determinante: A - 5 - ( - 5-6 + - 0-8 - ) ( - 57 ) -

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA Como el área debe ser positiva, se toma el valor absoluto, obteniéndose: A 8.5 u. Calcular el área del triángulo cuos vértices son: P(-6,-6), Q(-,8), R(,) Aplicando la fórmula (II): A [- 6 ( - - ) + 8 ( + 6 ) + ( - 6 + ) ] ( 6 + 80-8 ) 08 5 u Aplicando el determinante, fórmula (II ): A - 6 - - 6 8-6 - ( - - 8 - - - + ) (-08) A - 5 5 u. Calcular el área del triángulo formado por los puntos P(-,), Q(5,) R(,0) Por medio del determinante, fórmula (II ): A A -.5-5 0.5 u - 5 ( 0-9 + 8-0 - 6 + 0) (-7) Aplicando la fórmula (II): A [ ( ( 5 - ) + ( + ) + 0 ( - - 5 ) ] ( + 5 + 0 ) ( 7 ).5 u. Condición para que tres puntos estén alineados Para que tres puntos tales como: A(, ), B(, ) C(, ) estén en línea recta es indispensable, como es natural, que no puedan formar un triángulo. Dicho de otra manera, se necesita que el área del triángulo que forman valga cero. Por lo anterior, se conclue: Para que tres puntos estén alineados debe satisfacerse la siguiente condición: -

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA 0 Ejemplo: Demostrar que los puntos: A(-,-), B(0,-) C(,5) están situados sobre una misma línea recta. Obteniendo el área del triángulo formado por los puntos A, B C, por medio del determinante, se obtiene: - - - 0-0 0 + + 5 + 0 + - 8 0 5 La Figura 8, muestra la solución gráfica: 5 División de un segmento de recta en partes proporcionales. Vamos a determinar las coordenadas de un punto que divida a un segmento de recta A B de etremos conocidos, en partes tales m que guarden entre sí la relación (Ver n Figura 9) De acuerdo a la Figura 9, consideramos el segmento AB, en donde A como B son puntos cualesquiera se designan con las coordenadas: A (, ) B (, ) El punto que divide el segmento es m P(, ) la proporción es, debe n aclararse que lo que se busca son las coordenadas del punto P. Los segmentos decir: P B guardan la misma relación que los segmentos A P P B, es A P A P m...() P B n -

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA Por otra parte: O P O B - P B...() Pero: O P, O B, O A Y: A P O P - O A - Despejando P B de la ecuación () sustituendo datos, se tiene: n A'P' n(op' OA') n( ) P'B' () m m m Sustituimos en la ecuación (): n ( - - m ) ultiplicando ambos miembros por m simplificando: m m m + n n ( m + - n ) n n + n + m + m Despejando a : n + m m + n...(iii) Siguiendo el mismo procedimiento para, se obtiene: n + m m + n... (IV) Estas fórmulas nos permiten determinar un punto que divida a un segmento de recta en partes proporcionales. 5. EJERCICIOS. Los etremos de un segmento de recta son: A(-,-) B(,). Determinar sobre dicho segmento un punto que diste de A el doble que de B. -5

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA Del enunciado del problema, se determina m que la relación es: ; es decir: m n n. Sustituendo valores en las relaciones (III) (IV) previas, se obtiene: ( ) + () + ( ) + () + + 8 5 + 0 0 El punto pedido es: P 5, 0 Para comprobar los resultados, se calcula las distancias de P a A de P a B, aplicando la fórmula (I), correspondiente a la distancia entre dos puntos: P A 5 + + ( 0) 5 5 + 9 + 6 96 + 9 9 0 9 85 9 85 PB 5 + (0 ) 5 + 7 + 9 6 + 9 9 85 9 85 De los resultados anteriores, se conclue que: PA PB La Figura 0 muestra los resultados gráficamente:. Dado el segmento de recta cuos etremos son A(-6,8) B(,-) Determinar el punto que lo divide en la relación, debiendo estar dicho punto más cerca de A que de B. Del enunciado, se determina que se obtiene: m. Sustituendo valores en las epresiones (III) (IV), n -6

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA ()(-6) + ()() + ()(8) + ()(-) + - 8 + 8 0 - - 5 5-0 5 5 El punto es: P ( -, ) Se deja al alumno comprobar los resultados obtenidos, realizando la gráfica correspondiente. 5. Punto medio de un segmento de recta. Las fórmulas para calcular las coordenadas del punto medio de un segmento de recta, se obtienen a partir de las epresiones (III) (IV) vistas anteriormente, considerando que mn, en cuo caso resulta: Partiendo de: n + m m + n, n + m m + n Con mn, tenemos: m + m m + m m + m m + m Resultando: m + m m m + m m m ( + m m ( + m ) + ) + +... (V) +... (VI) Que son las fórmulas para obtener las coordenadas del punto medio de un segmento de recta de etremos conocidos. 6 EJERCICIOS. Encontrar el punto medio del segmento PQ, sabiendo que: P(-8,-6) Q(,). Aplicando las fórmulas (V) (VI), se tiene: -7

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA m m 8 + 6 + Por tanto, el punto medio es: (, ) Se deja al alumno comprobar los resultados obtenidos, realizando la gráfica correspondiente.. Los vértices de un triángulo son: A(-,), B(,8) C(6,-6). Calcular la longitud de la mediana correspondiente al lado B C además demostrar que el segmento de recta que se obtiene al unir los puntos medios de dos de sus lados mide la mitad del tercero. Las coordenadas del punto medio del segmento B C son, según las ecuaciones (V) (VI): B B + + C C + 6 8-6 Por tanto, el punto medio de (,) B C es: Aplicando la fórmula (I) para calcular la distancia entre los puntos A, se tiene: A ( - - ) + ( - ) 6 + 65 8.06 Que es la longitud de la mediana del lado BC. Las coordenadas del punto medio del segmento AB son: A + B - + - A + B + 8 5 Por tanto, el punto medio de A B es: ( -, 5 ) -8

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA La distancia del segmento es: ( -- ) + ( 5 - ) 5 +6 La distancia del lado A C es: A C ( - - 6 ) + ( + 6 ) 00 + 6 De los resultados anteriores, se puede ver claramente que: A C Los resultados algebraicos están representados gráficamente en la Figura.. Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son: A(-6,), B(-,8) C(,-). Determinar el cuarto vértice: Partimos del principio que establece que las dos diagonales de todo paralelogramo se cortan en un punto medio. Por lo que, sustituendo datos en las epresiones (V) (VI) se tiene: A A + + C C - 6 + - - Por tanto, las coordenadas del punto medio son: (,0 ) Pero también: 0 B + D Sustituendo los valores de B, se obtiene: + D Despejando a D : D - + 0-9

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA Además: B + D Sustituendo los valores de B, se obtiene: 8 + 0 D Despejando a D : D 0-8 - 8 Por lo que el cuarto vértice es: D(0, 8 ) Como se comprueba en la Figura.. Los vértices de un cuadrilátero irregular son: A(-8,8), B(,), C(0,-) D(-,-). Demostrar que la figura resultante (Figura ) al unir los puntos medios de sus lados consecutivos es un paralelogramo. Aplicando las fórmulas (V) (VI), las coordenadas del punto medio del segmento AB son: A A + + B B 8 + 8 + 5 El punto medio de AB es: ( -, 5 ) Las coordenadas del punto medio del segmento BC son: B B + + C C + 0-0 -0

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA El punto medio de BC es: (, 0 ) Las coordenadas del punto medio del segmento CD son: C C + + D D 0 El punto medio de CD es: (, ) Las coordenadas del punto medio del segmento AD son: A A + + D D - 8 - - 6 8 - El punto medio de AD es: ( 6,) Aplicando la fórmula (I) de la distancia entre dos puntos: ( ) ( 6 + ) ( 6 + ) ( ) + ( 5 0 ) + ( + ) + ( 5 ) + ( 0 ) 6 + 5 6 + 5 9 + 9 9 + 9 8 8 De los resultados anteriores, se observa que: Como resultaron iguales los lados opuestos, la Figura es un paralelogramo. 5. La base de un triángulo isósceles tiene por etremos los puntos A(,-) B(-,); los lados iguales miden cada uno 7. Encontrar el vértice opuesto a la base. Considerando que el vértice opuesto es C(, ): -

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA Por medio de la fórmula (I) de la distancia entre dos puntos, para el segmento tiene: C B, se C B ( +) + ( - ) 7 Elevando al cuadrado ambos miembros desarrollando: + + + - + 7 Reduciendo términos semejantes: + +...() Para el segmento C A, se tiene: C A ( ) + ( + ) 7 Elevando al cuadrado ambos miembros desarrollando: + + + + 7 Reduciendo términos semejantes: + - +...() Restando miembro a miembro la ecuación () de la ecuación (): 6-6 0 Dividiendo entre 6: 0 Por tanto:...() Sustituendo () en () simplificando: + + 0 6 0 Resolviendo: - -

. NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA Según la ecuación (): - Se puede ver que el problema tiene dos soluciones: C(, ) C (,) Lo que se comprueba según la Figura. -

Nombre de archivo: nociones basicas Directorio: C:\Geometria_analitica Plantilla: C:\WINDOWS\Application Data\icrosoft\Plantillas\Normal.dot Título: Geometría Analítica Asunto: Nociones básicas de la Geometría Analítica Autor: Ing. Jesús Infante utillo Palabras clave: Comentarios: Fecha de creación: /0/0 08:8 A.. Cambio número: Guardado el: /05/0 0:8 A.. Guardado por: Pablo Fuentes Ramos Tiempo de edición:, minutos Impreso el: /05/0 0:8 A.. Última impresión completa Número de páginas: Número de palabras:,8 (apro.) Número de caracteres: 8,8 (apro.)