Vectores en el plano

Vectores en el plano Magnitudes escalares y vectoriales En las aplicaciones de las Matemáticas, se denominan magnitudes escalares a todas aquellas propiedades de las cosas que se pueden medir; esto es, a las que se les puede asignar unívocamente un número real que constituye su medida, cuando la unidad de la escala está determinada. Tal sucede con las dimensiones de los cuerpos (longitudes, área, volúmenes) y con otras propiedades físicas como el tiempo, la masa, la temperatura, etc. Para asignar un número a una magnitud escalar es necesario fijar algún patrón que se toma como unidad así como los múltiplos y divisores de la misma. Por ejemplo, para medir longitudes se toma el metro patrón que tiene una definición física, más o menos precisa, en términos de un fenómeno físico fácilmente reproducible y prácticamente invariable; dependiendo de lo que se vaya a medir se toman múltiplos (Dm, Hm, Km, etc.) o divisores (dm, cm, mm, etc.) de dicho patrón. Sin embargo, en muchas situaciones, un único número no basta para determinar aquello que se pretende medir. Tal ocurre con las llamadas magnitudes vectoriales (o dirigidas) tales como los desplazamientos, velocidades, aceleraciones y fuerzas en física. Una escala puede representar la longitud de un desplazamiento pero no su dirección. Si me desplazo, en el plano, desde A hasta B, necesito conocer dos números: la dirección del desplazamiento (dada, por ejemplo, por la pendiente de la recta AB) y la magnitud del desplazamiento (longitud del segmento AB). También puedo determinar el desplazamiento desde A hasta B mediante los desplazamientos en dos direcciones determinadas (ejes de coordenadas: x, y en el plano; direcciones geográficas: meridiano Norte-Sur, paralelo Este-Oeste; en una pared: horizontal, vertical; etc.). Vector de traslación o desplazamiento Consideremos un punto A que se desplaza hasta ocupar una nueva posición A. Esta transformación se representa por una flecha (segmento dirigido) de origen A y extremo A ; este desplazamiento está determinado, a partir de A, dando la dirección de la recta AA y la magnitud del desplazamiento que es la distancia AA. Denotaremos esa flecha por AA. Diremos que las flechas AA y BB, con la misma dirección, tienen además el mismo sentido a) Si las rectas AA y BB no coinciden, cuando A y B quedan en el mismo semiplano respecto de la recta AB A B A B Figura 1. b) Si las rectas AA y BB coinciden, cuando existe alguna flecha CC, siendo C exterior a AA y tal que AA tiene el mismo sentido que CC y CC tiene el mismo sentido que BB. 1

C C A A B B Figura 2. Si consideramos el desplazamiento simultáneo de todos los puntos del plano, en la misma dirección y sentido y de la misma magnitud, llamamos a esa transformación una traslación del plano con esa dirección, sentido y magnitud. Llamamos a la acción que produce este desplazamiento vector de dicha traslación. La representaremos por una cualquiera de las flechas, pero teniendo en cuenta que el punto donde la coloquemos carece de importancia. Si denotamos al vector por vk, y A es el trasladado de A por vk, escribimos: A+vK= A Un vector está caracterizado geométricamente por: a) su módulo: es la distancia entre su origen y su extremo; también se denomina longitud o tamaño del vector. (En Física, cuando un vector representa una fuerza FK, su módulo se suele llamar magnitud de FKy se le representa simplemente por F ). El módulo de vkse representa por vk. Un nitario es aquel que tiene módulo 1. b) su dirección: es la de la recta que contiene a su origen y a su extremo. El vector nulo carece de dirección pero es preferible en la práctica considerar que tiene cualquier dirección. La pendiente de la dirección (tangente del ángulo que forma con la dirección positiva del eje x) es: m si l0. l Ejercicio 1. Determinar la dirección de un vector si se anula su primera componente. Dos vectores que tienen la misma dirección se denominan colineales. c) su sentido: establece una orientación entre los vectores, representada por una flecha que va desde su origen a su extremo; AB y BA, tienen sentidos opuestos. Decimos que dos vectores tienen el mismo sentido cuando al aplicarlos a un mismo origen sus extremos caen en la misma semirrecta; en otro caso decimos que tienen sentidos opuestos. Igualdad de vectores Dos flechas representan el mismo vector si y sólo si tienen iguales sus módulos, sus direcciones y sus sentidos. Ejercicio 2. Usando regla y escuadra, dibujar una flecha representando un K. a) Dibujar otra flecha paralela a la anterior que también represente a uk. b) Dibujar una flecha distinta sobre la misma línea que la primera que también represente a uk. 2

Operaciones con vectores Suma de vectores Definimos la suma de dos vectores uky vk, como el K+vKtal que: P + (uk+ vk)=(p + uk)+vk= P + vk= P es decir (ver figura), tal que PP +P P = PP (igualdad de Chasles). P P" P +v Figura 3. La suma de vectores cumple las propiedades: asociativa. (uk+ vk)+wk= uk+ (vk+ wk) conmutativa. uk+ vk= vk+ uk +w +v vector (u+v)+w=u+(v+w) Figura 4. P vector w +v P" P +u 3 Q Figura 5. vector nulo. 0K+ uk= uk

El vector nulo tiene módulo 0 pero dirección y sentido indeterminados (se le puede asignar cualquier dirección y sentido). vector opuesto. Dado cualquier vector, existe otro que sumado con él lo anula: uk+ uk=0k Notemos que el opuesto de un vector tiene su mismo módulo y dirección pero sentido opuesto. También, se define la diferencia de dos vectores como la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo: uk vk=uk+ ( vk) vector v v +v Figura 6. 0K 0K Producto de un escalar por un vector Sea t R y ukun vector cualquiera, definimos su producto como nulo si alguno de los dos, el escalar, el vector o ambos, es nulo uk 0 uk= t 0K= Si ninguno de ellos es nulo, entonces t ukes un vector caracterizado por: a) t uktiene la misma dirección que uk b) si t>0, t uky uktienen igual sentido; si t<0, tienen sentidos opuestos vk c) t uk = t uk El producto de escalares por vectores, tiene las siguientes propiedades: uk uk asociatividad mixta. t(s uk) = (ts) distributividad de escalares respecto a vectores. t(uk+ vk) = t uk+ t distributividad de vectores respecto a escalares. (s + t)uk= s uk+ t la unidad por un vector es el mismo vector. 1 uk= De esta propiedad y de la distributiva, se deduce que: ( 1) uk= uk. Las 8 propiedades anteriores caracterizan en el álgebra abstracta la estructura algebraica denominada espacio vectorial. Así, podemos resumir diciendo que el conjunto de los vectores geométricos del plano es un espacio vectorial real (esta última referencia es a los escalares que usamos). 4

Notemos que para todo Kno nulo, es decir con r = vk >0, el K= 1 r vkes unitario. Vectores en geometría analítica SeaRel conjunto de los números reales, cuyos elementos se representan por puntos en la recta graduada, esto es, en la que se ha dado un sistema de referencia constituido por dos puntos (origen y unidad) que determinan una escala; por eso, al los números reales los llamamos también, a menudo, escalares. Denotamos porr 2 al producto cartesiano: R R={(x, y) x, y R} Fijando unos ejes de coordenadas rectangulares, los elementos de R 2 identifican puntos del plano de los cuales son sus coordenadas. En particular, el origen es O = (0, 0); los puntos del eje horizontal tienen la forma (x, 0) y los del eje vertical (0, y). Por otro lado, dados dos puntos del plano P = (x, y) y P = (x, y ), al desplazarnos desde el primero al segundo variamos nuestra posición horizontalmente. en l =x x verticalmente. en m = y y (2,3) =(4,5) m=3 ( 2)=5 ( 2, 2) l=2 ( 2)=4 Figura 7. Notemos que vkestá determinado por los dos desplazamientos l y m en las direcciones de los ejes, denominado las componentes de vk. Escribimos: vk=(l, m) El desplazamiento nulo está representado por el vector 0K= (0, 0). Notemos que muchos pares de puntos determinan el mismo vector y que los elementos der 2 se pueden interpretar tanto como definiendo puntos del plano como vectores desplazando un punto a otro. El K= (l, m) no sólo traslada P en P, sino que define una transformación del plano entero en sí mismo, que llamamos traslación (o desplazamiento) de K, que denotaremos por T vk, definida, por (x, y) T vk(x+l, y + m) 5

Ejercicio 3. Representa en el plano cartesiano los vectores uk=(2, 3), vk=( 3, 0) y wk= (5, 2). Ejercicio 4. Si A = (1,2) obtener geométrica y analíticamente los puntos B = A + uk, C = A + vky D = A + wk. Podemos imaginar un punto P como la posición en la que colocamos una pelota de golf en el campo y el vector como el «golpe» que la lleva a una nueva posición P. Notemos que, por el teorema de Pitágoras: vk= (l, m) vk = l 2 + m 2 0 Ejercicio 5. Comprobar que, si un Ktiene módulo r > 0 y forma un ángulo θ con la semirrecta x > 0, entonces: vk= (r cos(θ), r sen(θ)) Vector de posición Un Kdesplaza el origen de coordenadas O a un punto dado V. Las coordenadas de V son iguales a las componentes de vk, al que se denomina vector de posición de V. Por eso, por abuso de lenguaje, en lugar de OV escribiremos simplemente V. Notemos que si vk= PP entonces P +vk= P, de donde se puede escribir: vk= P P (también V = P P ) entendiendo esta diferencia como una resta de vectores de posición. Operaciones con vectores en término de componentes La suma de dos vectores uk= (u x, u y ) y vk= (v x, v y ) se realiza componente a componente: uk+ vk=(u x + v x, u y + v y wk ) Ejercicio 6. Con los datos del ejercicio 1, obtener geométrica y analíticamente los vectores: uk+ vk+ wk, uk vk, 2 uk, 3 uk+ 2 vk Para multiplicar un número por un vector se multyiplica por cada una de sus componentes: tuk= t(u x, u y ) =(tu x, tu y jk ) Si denotamos por ik= (1, 0) y jk= (0, 1), respectivamente a los vectores unitarios en las direcciones y sentidos positivos de los ejes de coordenadas, x e y, entonces: vk= (l, m)=(l, 0)+(0, m)=l(1, 0)+m(0, 1)=liK+ m Ejercicios 1. Hallar las componentes de un vector si tiene módulo 25 y su dirección forma 136 con la semirrecta x > 0. 2. Hallar el módulo y determinar la dirección del K= (5, 12). 3. Comprobar que los vectores ak=(1, 3) y bk= ( 4, 12) son paralelos. 6

4. Determinar un vector que sea perpendicular a wk= (1, 3) y tenga módulo 1. 5. Encontrar el ángulo formado por los vectores: ak= (4, 6) y bk=( 1, 8 ). 6. Los vectores uky vk, forman entre sí un ángulo de 45. Si el primero tiene módulo 3, cuál ha de ser el módulo del segundo para que uk vksea perpendicular a uk? 7. Dado el cuadrilátero ABCD de vértices A=(2, 1), B =(6, 3), C = (7, 1) y D =(3, 1): a) demostrar que es un rectángulo b) hallar su perímetro y su área 8. Un barco marcha 60 millas rumbo Norte; luego desvía éste y navega dirigiéndose a cierto punto en el Sur-Este, situado a 50 millas del punto de partida y en una dirección E20, 6 N respecto de él. Determinar la longitud y el rumbo de la segunda parte de la travesía 9. Un avión vuela con viento cruzado. El piloto enfila la proa directamente hacia el Norte y su indicador de velocidad en el aire marca 120 km/h (esto significa que si el aire estuviese completamente en calma el avión se movería directamente hacia el Norte a esa velocidad). Supongamos que del Este empieza a soplar un viento constante de 50 km/h. Cuál será la velocidad del avión respecto a la Tierra? 10. Sean uky vkdos vectores, tales que el primero duplica la longitud del segundo y forman entre sí un ángulo de 60. Dibuja ambos vectores así como 5 uk, 3vK, uk± vk, 2 3 uk+ 3 4 vk. 11. Hallar las componentes de un vector de módulo 5 cuya dirección forma un ángulo de 120 con la direccion positiva del eje x. 12. Hallar la longitud del K= ( 6, 8). Dibujarlo y hallar las componentes de dos vectores de longitud 5 en su misma dirección. 13. El ángulo que forman los vectores uk= (2, 1) y vk= (6, 10), es agudo u obtuso? 14. Hallar la proyección ortogonal del vector ak=(3, 2) sobre el vector bk= (5, 1). 15. Si ABCD es un paralelogramo con vértices A = ( 1, 2), B = (1, 1) y C = (4, 0), cuáles son las coordenadas del otro vértice D? 16. Un perro intenta cruzar un río a nado perpendicularmente a su curso. Si es capaz de nadar a 6m/s y la corriente del río lleva una velocidad de 6m/s, cuál es su dirección efectiva? 17. Las componentes de un nitario se llaman cosenos directores. Por qué? 18. Los vectores unitarios en las direcciones de los ejes son iky jk. Hallar los vectores unitarios en las direcciones de ik+ jky 2iK 3jK. 19. Sean A y B dos puntos del plano. Pueden existir puntos X del plano tales que se cumplala siguiente condición? a) XA + XB = AB b) XA XB = AB. 20. Dados A y B, construir P tal que: PA+2PB = AB. 7

21. Si ABCD es un cuadrilátero, cuánto vale AB + BC + CD? Qué relación hay entre AB + BC y CD+DA? 22. Cómo son las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio en la relación de cada una de ellas con la resultante de las demás? 23. Dados A y B, demuestra que existe P tal que: PA+2PB =0K. 24. Sea 0 < θ < 1 y AB un segmento de módulo m. Demostrar que existe un punto M en AB, que está a distancia θm de A y (1 θ)m de B. 25. Demuestra que si ABCD es un cuadrilátero cualquiera, al unir los puntos medios de sus lados se obtiene un paralelogramo. 26. Demuestra que en un triángulo ABC, el segmento que une los puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud. 27. Expresa los vectores lados de un hexágono regular en función de dos cualesquiera de ellos consecutivos. 28. Demuestra que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. 29. Justifica que el baricentro (centro de gravedad) de un triángulo dista de cada vértice 2/3 de la longitud de la mediana correspondiente. 8