SECO 2014-II Félix Monaterio-Huelin y Álvaro Gutiérre 6 de maro de 2014 Índice Índice 33 Índice de Figura 33 Índice de Tabla 34 12.Muetreador ideal y relación entre y 35 13.Muetreo de Sitema en erie 38 14.ZOH: dipoitivo de retención de orden cero 39 15.Dicretiación de Funcione de Tranferencia 41 15.1. Dicretiación a la entrada ecalón o equivalencia ZOH...... 42 15.2. Dicretiación por aproximación lineal de = e T o por aproximación dicreta de la integral.................... 44 15.3. Dicretiación por igualación de cero y polo........... 47 15.3.1. Cero en el infinito con = 1............... 47 15.3.2. Cero en el infinito con =............... 48 Bibliografía 49 Índice de Figura 5. Muetreo de x(t) con un tren de impulo T (t)......... 35 6. Muetreador ideal.......................... 35 7. Caracterítica de la tranformación = e T. (a) Franja periódica en el Plano (Lo punto P1a,P1b,P1c e tranforman en P1,etc)(b) Círculo unidad en el Plano............. 36 8. Muetreador ideal con un prefiltro................. 37 9. Retención de Orden Cero...................... 39 10. Sitema en Lao Abierto Continuo................. 40 33
11. Sitema en Lao Abierto Híbrido con un ZOH........... 40 12. Etructura de Control de Lao Directo Híbrido.......... 42 Índice de Tabla 4. Método de dicretiación por aproximación lineal de = e T.. 45 34
12. Muetreador ideal y relación entre y Definimo un muetreador ideal como un dipoitivo que modula una eñal continua con un tren de impulo (tren de delta de Dirac, Dirac comb en inglé) T (t). La alida del muetrador ideal e una eñal muetreada. x(t) x (t) 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 10T t Figura 5: Muetreo de x(t) con un tren de impulo T (t) El tren de impulo e define de la iguiente forma: T (t) = δ(t kt ) (12.1) donde δ(t) e la función delta de Dirac. x(t) x (t) T (t) Figura 6: Muetreador ideal Sea x(t) la entrada al muetreador ideal y x (t) u alida (que e lee como x(t) etrella ) (Ver Figura 5 y 6). Se cumple que x (t) = T (t)x(t) = x(t)δ(t kt ) = x(kt )δ(t kt ) (12.2) Obteniendo la Tranfromada de Laplace L {x (t)} vemo que (Tabla 2 de la Sección 4 de la Parte I[1]) X () = x(kt )e kt (12.3) 35
La dicretiación exacta de x(t) e x(kt ), y u tranformada Z {x(kt )} (Tabla 1 de la Sección 4de la Parte I[1]) viene dada por X() = x(kt ) k (12.4) Comparando la expreione 12.3 y 12.4 vemo que la relación entre y cuando e muetrea una eñal continua con un muetreador ideal e = e T (12.5) Por lo tanto X() = X () = 1 (12.6) T Ln() Una caracterítica de la relación entre y e que = e T e periódica, ya que i = σ + jω C entonce = e σt e jωt = e σt e j(ωt +2nπ) (12.7) donde n Z y = σ D + jω D. Eto puede comprobare mediante la relación o fórmula de Euler dada por e jωt = co(ωt ) + j in(ωt ) (12.8) jω jω D j3π/t P 2b P 1b P 3b P 4b P 2a P 1a P 3a P 4a P 2c P 1c P 3c jπ/t 0 jπ/t plano σ 1 P 2 P 4 1 1 P 1 P 3 1 plano σ D P 4c j3π/t (a) (b) Figura 7: Caracterítica de la tranformación = e T. (a) Franja periódica en el Plano (Lo punto P1a,P1b,P1c e tranforman en P1,etc)(b) Círculo unidad en el Plano 36
Otra caracterítica cuya importancia etá relacionada con la etabilidad de lo itema, e que para valore de σ < 0 e obtienen valore de σ D < 1. E decir que punto perteneciente al emiplano iquierdo del plano complejo e tranforman mediante = e T en punto del interior del círculo unidad del plano complejo. Lo punto del eje imaginario = jω del plano complejo e tranforman en punto de la circunferencia unidad = e jωt, o = 1 del plano complejo como e muetra en la Figura 7(b). La periodicidad de = e T da lugar a franja periódica en el plano complejo cuando e muetrea una eñal continua. Se denomina franja principal al intervalo de ω que e tranforma en punto que recorren una ola ve todo lo punto del plano. Eto ocurre para lo valore de ω iguiente: ω [ π T, π T ] (12.9) Se denominan franja complementaria a la retante como e muetra en la Figura 7(a). Cada punto de la franja complementara también recorre una ola ve todo lo punto del plano, por lo que queda claro que on redundante en la repreentación dicreta, pero no pueden obviare en el proceo de muetreo ya que realmente la frecuencia continua pueden etar en cualquiera de la franja. Ete hecho plantea el problema de olapamiento o de enmacaramiento de frecuencia (aliaing en inglé) cuando e muetrea una eñal continua. La anchura de la franja principal ω depende del periodo de muetreo T, de hecho ω = 2π, por lo que para evitar el fenómeno de olapamiento de T frecuencia, deberá elegire T de tal manera que la franja principal abarque la máxima frecuencia de trabajo del itema continuo. Eta exigencia de que el intervalo de frecuencia de la eñal continua ea de banda limitada e conoce como criterio de Shannon, y la frecuencia máxima en que no e produce olapamiento e denomina frecuencia de Nyquit ω N, ω N = ω 2 (12.10) donde ω = 2π T. Por degracia la mayoría de la eñale continua no on de banda limitada por lo que debe realiare un prefiltrado de eta eñale ante de realiar u muetreo. En la Figura 8 e muetra eta idea. x(t) x(t) x (t) Prefiltro T (t) Figura 8: Muetreador ideal con un prefiltro 37
13. Muetreo de Sitema en erie Una caracterítica del muetreo de itema en erie G 1 () y G 2 () que debe tenere en cuenta e que [G 1 ()G 2 ()] G 1()G 2() (13.1) Por comodidad de notación ecribiremo Z {G()} = G () = 1 = G() (13.2) T Ln() Lo que ignifica eta relación e lo iguiente, Z {G()} = Z { L 1 {G()} } = Z {g(t)} = Z {g(kt )} = G() (13.3) Por lo tanto la deigualdad dada por 13.1 implica que Z {G 1 ()G 2 ()} = G 1 ()G 2 () (13.4) Para evitar cometer errore en la operacione con muetreadore emplearemo la notación G 1 ()G 2 () = G 1 G 2 () y Z {G 1 G 2 ()} = G 1 G 2 (). Sin embargo e atiface la iguiente igualdad: Z {G 1 ()G 2()} = G 1 ()G 2 () (13.5) Eto e aí porque (G 1 ()G 2()) = G 1()G 2(). Veamo un ejemplo de la deigualdad 13.4. Sean la iguiente funcione de tranferencia, G 1 () = 1 (13.6a) G 2 () = 1 (13.6b) + a Teniendo en cuenta el procedimiento 13.3 y utiliando la expreione 7.10 y 7.23 de la Sección 7 de la Parte I [1] e obtienen la Tranformada Z de ella, Z {G 1 ()} = G 1 () = (13.7a) 1 Z {G 2 ()} = G 2 () = e at (13.7b) Decomponiendo el producto en fraccione imple G 1 ()G 2 () = 1 ( 1 a 1 ) + a Calculando ahora u Tranformada Z pueto que e lineal, G 1 G 2 () = 1 ( ) a 1 (1 e at ) e at = a( 1)( e at ) Sin embargo el producto de la relacione 13.7a y 13.7b e G 1 ()G 2 () = 2 ( 1)( e at ) (13.8) (13.9) (13.10) 38
14. ZOH: dipoitivo de retención de orden cero Un ZOH (Zero Order Hold) e un dipoitivo cuya entrada e una eñal muetreada y u alida una eñal continua obtenida por extrapolación de un polinomio de orden cero en cada intervalo de muetreo [kt, (k + 1)T ), como e muetra en la Figura 9. ˆx(t) x(kt) T 2T 3T 4T 5T t Figura 9: Retención de Orden Cero Si x(kt ) e la eñal de entrada, la alida ˆx(t) e una combinación de eñale ecalón retardada ˆx(t) = x(kt ) (r 0 (t kt ) r 0 (t (k + 1)T ) (14.1) donde r 0 (t) e la función ecalón unidad. La tranformada de Laplace L {ˆx(t)} e ˆX() = x(kt )( e kt e (k+1)t ) = kt 1 e T x(kt )e (14.2) Eta expreión puede ecribire en la forma ˆX() = 1 e T x(kt )e kt = 1 e T X () (14.3) donde X () repreenta la eñal obtenida con un muetreador ideal. En conecuencia la función de tranferencia del ZOH e G ZOH () = ˆX() X () = 1 e T (14.4) 39
La Figura 10 y 11 muetran lo equema de bloque de un itema en lao abierto continuo y u correpondiente híbrido con un ZOH. u(t) G() y(t) Figura 10: Sitema en Lao Abierto Continuo u(t) u (t) û(t) ŷ(t) ŷ (t) ZOH G() T (t) T (t) Figura 11: Sitema en Lao Abierto Híbrido con un ZOH Teniendo en cuenta el procedimiento dado por 13.3 puede comprobare que la función de tranferencia Z {G ZOH ()G()} e { } G() Z {G ZOH ()G()} = (1 1 )Z ya que para cualquier función G () e cumple que (14.5) Z { e T G () } = Z {g (t T )} = Z {g (kt T )} = 1 G () (14.6) 40
15. Dicretiación de Funcione de Tranferencia Dada una función de tranferencia continua G() deeamo obtener una función de tranferencia dicreta G D () que atifaga al meno la iguiente do condicione: 1. Que G D () repreente un itema lineal dicreto. 2. Que e atifaga la retricción de igualdad de ganancia a baja frecuencia, e decir que G D () = G() (15.1) =1 =0 En alguna aplicacione puede er conveniente cambiar la retricción de ganancia a baja frecuencia por la de ganancia a alguna otra frecuencia de interé, como el centro de una banda de frecuencia de trabajo o algún punto crítico = y = = e T. Realmente lo que ería deeable e que G D () fuee una dicretiación exacta de G() para cualquier entrada u(t), en el entido de que el itema dicretiado tenga la mima alida y(t) de G() en lo intante de muetreo, y(kt ), cuando la entrada del itema dicreto ea la dicretiación de u(t), e decir u(kt ). Pero e impoible lograr eto alvo que G D () no repreente un itema dicreto lineal. La raón de eto e debida a que la relación = e T no e lineal. Sin embargo í podrá lograre para alguna entrada particular, aunque no para cualquier entrada. Por otro lado obervemo el itema de lao abierto híbrido de la Figura 11. Si el ZOH realiae una recontrucción exacta de la eñal muetreada x (t), e decir i u alida fuee x(t), entonce el itema G() tendría la mima entrada y en conecuencia la mima alida y(t). Por degracia no e poible hacer fíicamente una recontrucción exacta de una eñal muetreada, aunque teóricamente pueda lograre con un filtro pao bajo ideal, que no e caual. El ZOH repreenta una aproximación caual de ete filtro. Por otro lado, el cumplimiento de la do condicione anteriore erá un requiito de dieño neceario, pero normalmente e exigen condicione adicionale. Por ejemplo i el itema continuo e etable o inetable, u equivalente dicreto debería er también etable o inetable. O también ería deeable que i el itema continuo tuviee un comportamiento ocilatorio para una determinada entrada, también lo tuviee u equivalente dicreto. En definitiva, ería deeable que cualquier dicretiación conerve la propiedade cualitativa del itema continuo. También ería deeable etablecer alguna equivalencia en el comportamiento de lo itema de control realimentado continuo y dicretiado. Por lo tanto erá neceario etudiar la dicretiación H D () de la función de tranferencia de lao cerrado continua H(). Sin embargo en la práctica aparece una dificultad adicional, ya que no encontraremo con dieño de itema de control híbrido 41
como el de la Figura 12, itema de control en lo que el itema a controlar G() e continuo mientra que el controlador G c () e dicreto aunque la entrada r(k) ea una dicretiación exacta de una eñal continua r(t). r(k) e(k) u(k) u(t) y(t) G c () ZOH G() + y(k) T Figura 12: Etructura de Control de Lao Directo Híbrido En la iguiente ubeccione etudiaremo tre forma de dicretiación que, en general, dan lugar a funcione de tranferencia dicretiada ditinta: 1. Dicretiación exacta a eñale de entrada particulare (15.1). 2. Dicretiación por aproximación lineal de la relación = e T (15.2). 3. Dicretiación por igualación de cero y polo (15.3). 15.1. Dicretiación a la entrada ecalón o equivalencia ZOH En general no olo la alida y(t) e ŷ(t) de la Figura 10 y 11 on ditinta, ino que también on ditinto lo valore de y(t) y de ŷ(t) en lo intante de muetreo, e decir que y(t) ŷ(t) y (t) ŷ (t) (15.2a) (15.2b) La primera deigualdad e evidente ya que u(t) û(t). Comprobaremo la egunda con un ejemplo. La deigualdade 15.2a y 15.2b pueden ecribire aplicando la Tranformada de Laplace y la Tranformada Z como Y () Ŷ () Y () Ŷ () (15.3a) (15.3b) 42
Supongamo que G() = 1 + a u(t) = e bt r 0 (t) (15.4a) (15.4b) donde r 0 (t) e la función ecalón unidad. Por un lado abemo que U() = 1 + b U() = e bt Por otro lado puede comprobare que G()U() = 1 ( 1 b a + a 1 ) + b G() = 1 ( 1 a 1 ) + a (15.5a) (15.5b) (15.6a) (15.6b) De aquí que Z {G()U()} = 1 ( b a { } G() Z = 1 a ( 1 e at e at ) e ) bt (15.7a) (15.7b) que puede implificare a la forma Z {G()U()} = e at e bt b a { } G() Z = 1 e at a ( e at )( e bt ) ( e at )( 1) (15.8a) (15.8b) Por último, teniendo en cuenta 14.5, podemo comprobar que la deigualdad 15.3b e correcta: Y () = Z {G()U()} = e at e bt b a ( e at )( e bt ) { } G() Ŷ () = (1 1 )Z U() = 1 e at a ( e at )( e bt ) (15.9a) (15.9b) Solamente en el cao en que b = 0, e decir cuando la entrada ea un ecalón e dará Y () = Ŷ (). Puede comprobare que eto iempre e aí para cualquier función de tranferencia G() y no olo para la del ejemplo. Por eta raón la función de tranferencia dada por 14.5 puede coniderare una dicretiación exacta G D0 () de G() para una entrada ecalón: 43
{ } G() G D0 () = Z {G ZOH ()G()} = (1 1 )Z (15.10) Podemo ver en el ejemplo anterior (G() = 1 ) que la dicretiación a + a la entrada ecalón no coincide con la Tranformada Z de G(), G D0 () = 1 e at 1 a e at G() = Z {G()} = e at (15.11a) (15.11b) Podemo comprobar también que para la dicretiación a la entrada ecalón e cumple la retricción de igualdad de ganancia a baja frecuencia dada por 15.1: G( = 0) = G D0 ( = 1). 15.2. Dicretiación por aproximación lineal de = e T o por aproximación dicreta de la integral La idea de la dicretiación por aproximación lineal de = e T e obtener funcione de tranferencia dicretiada G D () de G() ubtituyendo la variable compleja por una función racional lineal de la variable compleja obtenida como aproximación racional lineal de la igualdad = e T. Veamo tre método en lo que obtendremo la ecuación en diferencia dicretiada de la ecuación diferencial iguiente con la condición inicial [y(0 )]. La función de tranferencia e ẏ(t) = u(t) (15.12) G() = 1 (15.13) La olución de la ecuación diferencial dada por 15.12 e t y(t) = y(0 ) + u(t)dt 0 (15.14) En la Tabla 4 e reumen eto método. Podemo ver que todo ello tienen en el numerador el factor 1, por lo que G( = 0) = G D ( = 1), e decir que atifacen la retricción de ganancia a baja frecuencia. 44
Método Euler = 1 + T = 1 T Euler en atrao = 1 1 T = 1 T 1 + 1 Tutin = 2 T 1 1 = 2 1 2 T T + 1 Tabla 4: Método de dicretiación por aproximación lineal de = e T 1. Método de Euler. La función exponencial e T puede ecribire como un dearrollo en erie de Taylor alrededor de = 0, e T = 1 + T + 1 2 (T 1 i e T =0 )2 + = i! i i (15.15) i=0 Quedándoe con el término de primer orden en e obtiene el método de Euler e T 1 + T (15.16) = 1 + T (15.17) Por lo tanto dado G() puede calculare G D () ubtiuyendo por la relación 15.17, e imponiendo la retricción de ganacia a baja frecuencia: G D () = G() = 1 (15.18) T La función de tranferencia dicretiada de 15.13 e G D () = T 1 Y la ecuación en diferencia equivalente e con la condición inicial [y(0)]. (15.19) y(k + 1) y(k) = T u(k) (15.20) 45
2. Método de Euler en atrao. La función exponencial e T puede ecribire como e T = 1 e T = 1 1 T + 1 2 (T )2... (15.21) El método de Euler en atrao conite en hacer De aquí que = 1 1 T G D () = G() = 1 T La función de tranferencia dicretiada de 15.13 e G D () = T 1 Y la ecuación en diferencia equivalente e (15.22) (15.23) (15.24) con la condición inicial [y(0), u(0)]. 3. Método de Tutin o tranformación bilineal. y(k + 1) y(k) = T u(k + 1) (15.25) La función exponencial e T puede ecribire como e T = e T 2 e T 2 1 + 1 = 2 T +... 1 1 (15.26) 2 T +... El método de Tutin o de la tranformación bilineal conite en hacer 1 + 1 = 2 T 1 1 (15.27) 2 T De aquí que G D () = G() 2 1 = T + 1 La función de tranferencia dicretiada de 15.13 e G D () = T 2 + 1 1 (15.28) (15.29) 46
Y la ecuación en diferencia equivalente e con la condición inicial [y(0), u(0)]. y(k + 1) y(k) = T 2 u(k + 1) + T u(k) (15.30) 2 Como puede vere en el ejemplo, a travé de la olución 15.14 de la ecuación diferencial 15.12, al reolver la ecuacione en diferencia equivalente e obtendría una aproximación de la integral de la entrada u(t). 15.3. Dicretiación por igualación de cero y polo La idea de igualación de cero y polo para obtener una dicretiación G D () de una función de tranferencia continua G() e ubtituir cada uno de lo cero c y polo p de G() por cero c D y polo p D en G D () mediante la tranformación = e T : p D = e pt (15.31a) c D = e ct (15.31b) E neceario también tener en cuenta todo lo cero en el infinito de G() cuando el orden relativo e mayor que cero, e decir el cero o cero cuando =. Eto puede hacere incluyendo cero en = 1 o en =. A continuación e explica la raón de cada una de eta poible eleccione. Por último debe imponere la retricción de ganancia a baja frecuencia dada por 15.1. Supongamo que G() = 1 (15.32) + a entonce obtenemo do poible dicretiacione, egún que e ecoja una u otra forma de igualar el cero en el infinito: G D () = (1 e at )( + 1) 2a( e at ) G D () = 1 e at a( e at ) (c D = 1) (15.33a) (c D = ) (15.33b) Puede obervare que mediante la primera dicretiación obtenida haciendo = 1 en lo cero del infinito iempre e obtiene una función de tranferencia G D () de orden relativo nulo. Sin embargo haciendo = e conerva el orden relativo de G(). 15.3.1. Cero en el infinito con = 1 Como e comentó en la Sección 12, la relación = e T e periódica (ver relación 12.7) por lo que puede hacere el iguiente raonamiento. 47
Mientra que = σ +j e el máximo valor de frecuencia del cao continuo, el máximo valor para el cao dicreto erá ω = π debido a la periodicidad. T Teniendo en cuenta ete hecho puede hacere la igualación de polo en el infinito (2n + 1)π con =, por lo que = e j(2n+1)π = 1, donde n Z. T 15.3.2. Cero en el infinito con = Para explicar por qué puede er conveniente tranformar lo cero en el infinito continuo por cero en = analiaremo la do forma de dicretiación del ejemplo anterior dada por 15.33a y15.33b. La ecuación diferencial cuya función de tranferencia viene dada por 15.32 e ẏ(t) + ay(t) = u(t) (15.34) La ecuacione en diferencia cuya función de tranferencia vienen dada por 15.33a y 15.33b on repectivamente y(k + 1) e at y(k) = 1 e at 2a y(k + 1) e at y(k) = 1 e at a (u(k + 1) + u(k)) u(k) (15.35a) (15.35b) El hecho de que apareca el término de entrada en u(k + 1) en la ecuación 15.35a e problemático ya que exige que el itema tenga una repueta intantánea para poder conocer y(k + 1). En la práctica de lo itema de control digital eto no puede ocurrir, ya que el cálculo o computo de y(k + 1) neceita un tiempo que puede er tan largo como un periodo de muetreo (en realidad e calcula y(k) con la ecuacione en diferencia expreada en la forma programable o en atrao como e explica en la Sección 7[1]). Si ete fuee el cao conviene utiliar eta forma de dicretiación de lo cero en el infinito. Si por el contrario, e upone que el tiempo de cálculo de y(k + 1) e muy pequeño en relación al periodo de muetreo, puede utiliare la dicretiación = 1 de lo cero en el infinito. 48
Bibliografía [1] F. Monaterio-Huelin and A. Gutiérre, Apunte de Teoría. Primera Parte. SECO2014-I, 2014. [Online]. Available: http://robolabo.etit.upm.e 49